Fiche de révision : résoudre f(x) = k, f(x) < k et f(x) = g(x) (math SN5)

Si l'équation contient une VALEUR ABSOLUE → ouvrir deux cas, et vérifier chaque solution SI l'inconnue apparaît aussi de l'autre côté

Exemple : $|x-1|=2x-4$ donne $x=3$ et $x=\frac{5}{3}$, dont seule $3$ survit

Si le membre de droite est un nombre négatif, il n'y a aucune solution et on l'écrit sans calculer.

Si l'équation contient une RACINE CARRÉE → poser la condition d'existence, isoler, élever au carré, puis VÉRIFIER chaque solution

Exemple : $\sqrt{x+6}=x$ donne $x=3$ et $x=-2$, dont seule $3$ vérifie l'énoncé

Élever au carré crée des solutions : la vérification n'est pas optionnelle.

Si l'équation contient un LOGARITHME → poser le domaine AVANT tout, résoudre, puis confronter chaque solution au domaine

Exemple : $\log(x)+\log(x-3)=1$ exige $x>3$, ce qui rejette $x=-2$

Si l'équation contient une EXPONENTIELLE → isoler l'exponentielle et regarder le SIGNE du membre restant : négatif ou nul, pas de solution

Exemple : $2\cdot 3^{x}+5=0$ donne $3^{x}=-2{,}5$, donc $S=\varnothing$

Si l'équation contient une FRACTION avec l'inconnue au dénominateur → relever les valeurs interdites, résoudre, puis les exclure de l'ensemble solution

Exemple : une solution égale à la valeur interdite se rejette, même si elle vérifie l'équation simplifiée

Si l'équation est POLYNOMIALE sans radical ni logarithme → aucune vérification n'est obligatoire, mais réinjecter reste rentable

Exemple : $x^{2}-x-6=0$ donne $-2$ et $3$, tous deux valides sans condition

Si le symbole est $=$ → réponse en NOMBRES, entre accolades : $S=\{2;5\}$

Exemple : $f(x)=k$ donne les abscisses des points d'intersection avec la droite $y=k$

Si le symbole est $<$ ou $\le$ pour une fonction en U, comme un trinôme à $a>0$ → UN intervalle, entre les racines

Exemple : $x^{2}-x-6<0$ donne $S=\,]-2;3[$

Si le symbole est $>$ ou $\ge$ pour la même fonction → une RÉUNION de deux intervalles, à l'extérieur des racines

Exemple : $x^{2}-x-6>0$ donne $S=\,]-\infty;-2[\,\cup\,]3;+\infty[$

Si la fonction est MONOTONE, comme une exponentielle ou une racine → un seul intervalle, borné d'un côté par la solution de l'équation, de l'autre par le domaine

Exemple : $\sqrt{x-1}<3$ donne $S=[1;10[$

Le côté du domaine impose souvent une borne fermée, même avec un symbole strict.

Si il s'agit de comparer DEUX courbes, $f(x)>g(x)$ → étudier le signe de $f-g$ : l'ensemble est là où cette différence est positive

Exemple : les points d'intersection sont les frontières, et un test entre eux donne le signe

Si la fonction est PÉRIODIQUE → un intervalle par période, réunis par un terme en $+2k\pi$ ou $+k\pi$

Exemple : $\sin x>\frac{1}{2}$ donne $\left]\frac{\pi}{6}+2k\pi;\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi\right[$