Mathématiques SN, secondaire 5 à Montréal • Synthèse

Fiche de révision : choisir la bonne fonction pour modéliser (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les familles de fonctions : vous les avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, le test qui prouve la famille au lieu de la deviner, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Le modèle ne se devine pas au premier coup d'oeil sur les nombres, il se PROUVE par un test : on calcule les différences successives, puis les rapports successifs, et l'un des deux est constant. Presque tous les points perdus viennent de choisir une famille parce que « les valeurs montent vite » ou parce que le chapitre précédent portait sur les exponentielles, au lieu d'appliquer le test qui tranche en trente secondes et qui, en prime, fournit directement la valeur d'un paramètre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Notions couvertes

Modélisation fonctionnelle
Différences premières
Différences secondes
Rapport constant
Modèle affine
Modèle exponentiel
Modèle quadratique
Modèle rationnel
Modèle sinusoïdal
Asymptote comme valeur limite
Domaine de validité d'un modèle
Extrapolation

L'essentiel

Les deux tests qui décident, dans cet ordre

• 1. DIFFÉRENCES : calculer $y_{2}-y_{1}$ , $y_{3}-y_{2}$ ... Si elles sont constantes, le modèle est AFFINE.
• Si elles ne le sont pas, calculer les DIFFÉRENCES SECONDES, c'est-à-dire les différences des différences : constantes, le modèle est QUADRATIQUE.
• 2. RAPPORTS : calculer $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ , $\frac{y_{3}}{y_{2}}$ ... Si le rapport est constant, le modèle est EXPONENTIEL, et ce rapport est la base.
• Les deux tests exigent des pas ÉGAUX en $x$ : sans cela, ni les différences ni les rapports ne veulent rien dire.
• Le test qui réussit donne en prime un paramètre : la différence constante est la pente, le rapport constant est la base.

Trente secondes de test valent mieux que toute intuition : « ça monte vite » décrit aussi bien une exponentielle qu'une quadratique, et les deux se distinguent en trois soustractions.

Les signatures des autres familles

• PRODUIT $x\cdot y$ constant : modèle RATIONNEL $\frac{a}{x}+k$ , avec une asymptote.
• $x$ multiplié par un facteur constant pendant que $y$ AUGMENTE d'une constante : modèle LOGARITHMIQUE.
• $y^{2}$ linéaire en $x$ , donc les carrés des ordonnées ont des différences constantes : modèle RACINE CARRÉE.
• Valeurs qui se RÉPÈTENT à l'identique après un intervalle fixe : modèle SINUSOÏDAL.
• Deux demi-droites de pentes OPPOSÉES avec un point anguleux : modèle VALEUR ABSOLUE.

Le modèle logarithmique est l'image en miroir de l'exponentiel : l'un multiplie $y$ quand $x$ augmente d'une constante, l'autre augmente $y$ quand $x$ est multiplié. Regarder de quel côté se trouve la multiplication suffit à les distinguer.

Ce que le contexte donne gratuitement

• Une ASYMPTOTE, c'est-à-dire une valeur approchée sans jamais être atteinte, donne directement le paramètre $k$ .
• Un POURCENTAGE d'augmentation ou de diminution par période impose une exponentielle, avec la base $1\pm\text{taux}$ .
• Un montant FIXE ajouté à chaque pas impose une fonction affine, pas une exponentielle.
• Un MAXIMUM atteint puis quitté impose une quadratique ou une sinusoïde, selon que le phénomène se répète ou non.
• Une TRANCHE ENTAMÉE ou une facturation par paliers impose une fonction en escalier.

Une phrase comme « la température se stabilise à $20$ degrés » ou « le coût unitaire ne descend jamais sous $3$ dollars » annonce une asymptote, donc $k$ , donc la moitié du modèle. Ces phrases se repèrent à la lecture, avant tout calcul.

Après le modèle : le valider et le borner

• Vérifier le modèle sur un point de l'énoncé qui n'a PAS servi à le construire.
• Vérifier le sens de variation : le modèle doit croître si le phénomène croît.
• Vérifier l'ordre de grandeur sur une valeur extrême : une population de $10^{9}$ habitants dans un village signale un modèle faux.
• Donner le DOMAINE DE VALIDITÉ : un modèle n'est valable que sur l'intervalle où les données ont été relevées, ou un peu au-delà.
• Une extrapolation lointaine se signale : « le modèle prévoit $X$ , mais il n'a été validé que jusqu'à $Y$ ».

La question finale d'un problème de modélisation demande souvent une prévision hors du domaine des données. Répondre en donnant la valeur ET en signalant la limite du modèle est ce qui distingue une copie complète.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir la famille à l'oeil sans faire de test

toute la question, le modèle est de la mauvaise famille

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les valeurs augmentent de plus en plus vite, donc c'est une exponentielle. »

Ce qu'il faut écrire

« Les différences secondes valent $2$ , $2$ , $2$ : elles sont constantes, donc le modèle est QUADRATIQUE. Les rapports, eux, ne sont pas constants. »

Les premières différences grandissent, ce qui ferait croire à une exponentielle; les SECONDES sont constantes, et c'est la signature du modèle quadratique.

Pourquoi : Une quadratique et une exponentielle accélèrent toutes deux, et l'oeil ne les distingue pas sur quelques points. Le test des différences secondes tranche en trois soustractions, et il donne en prime le coefficient $a$ , qui vaut la moitié de la différence seconde.

2. Calculer les différences sur des pas inégaux

toute la question, et une famille écartée à tort

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les $x$ sont $0$ , $1$ , $3$ , $6$ : les différences de $y$ valent $4$ , $14$ , $36$ , elles ne sont pas constantes, donc ce n'est pas affine. »

Ce qu'il faut écrire

« Les pas en $x$ sont $1$ , $2$ , $3$ : ils ne sont pas égaux, donc le test ne s'applique pas. Il faut d'abord calculer les TAUX $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , qui valent $4$ , $7$ et $12$ ici, et ce sont EUX qu'on compare. »

Pourquoi : Les tests de différences supposent implicitement un pas constant : c'est ce qui rend la comparaison légitime. Avec des pas inégaux, on divise par le pas pour obtenir un taux de variation, et c'est lui qu'on compare.

3. Confondre rapport et différence

toute la question, et le modèle affine choisi diverge très vite des données

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les valeurs passent de $100$ à $108$ , puis de $108$ à $116{,}64$ : la différence n'est pas constante, donc ce n'est pas exponentiel. »

Ce qu'il faut écrire

« Les RAPPORTS valent $\frac{108}{100}=1{,}08$ et $\frac{116{,}64}{108}=1{,}08$ : ils sont constants, donc le modèle est bien exponentiel de base $1{,}08$ . »

Les écarts grandissent, donc le modèle n'est pas affine; mais les RAPPORTS valent

1{,}08

à chaque pas, ce qui signe une exponentielle.

Pourquoi : Une exponentielle a justement des différences qui augmentent : c'est le RAPPORT qui reste constant. Le test des différences échoue donc par construction, et il faut enchaîner sur le test des rapports avant de conclure.

4. Ignorer l'asymptote annoncée dans le contexte

toute la question, et le modèle prédit une température qui tend vers zéro

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le café refroidit, donc sa température suit une exponentielle décroissante $T(t)=80\times 0{,}9^{t}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il refroidit vers la température de la pièce, $20$ degrés, qui est une ASYMPTOTE : le modèle est $T(t)=60\times 0{,}9^{t}+20$ , et l'ÉCART à $20$ degrés décroît exponentiellement. »

Pourquoi : Une exponentielle sans $k$ tend vers zéro, ce qui n'a aucun sens physique ici : le café ne descend pas sous la température ambiante. La phrase du contexte donne $k$ gratuitement, et c'est l'ÉCART à cette valeur qui suit le modèle exponentiel.

5. Extrapoler un modèle très loin sans le signaler

1 point de contexte, systématiquement prévu au barème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le modèle de population donne $P(200)=4{,}2\times 10^{7}$ habitants pour ce village dans deux siècles. »

Ce qu'il faut écrire

« Le modèle prévoit une valeur immense, mais il n'a été validé que sur $20$ ans : une croissance exponentielle ne peut pas se poursuivre indéfiniment, faute d'espace et de ressources. La prévision n'est pas fiable au-delà de quelques décennies. »

Pourquoi : Un modèle décrit les données sur l'intervalle où elles ont été relevées, pas au-delà. La question qui demande une extrapolation lointaine teste exactement cette lucidité, et la réponse attendue donne la valeur ET la réserve.

6. Prendre une fonction affine pour une exponentielle à cause d'un pourcentage

toute la question, et le modèle diverge rapidement des données

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le salaire augmente de $500$ dollars par an, donc c'est une croissance exponentielle. »

Ce qu'il faut écrire

« Un montant FIXE ajouté chaque année donne une fonction AFFINE : $S(t)=S_{0}+500t$ . Une exponentielle correspondrait à une augmentation en POURCENTAGE. »

Pourquoi : Le vocabulaire de l'énoncé tranche : « de $500$ dollars » est une différence constante, « de $5$ pour cent » est un rapport constant. Les deux se ressemblent sur les premières années et divergent ensuite complètement.

7. Confondre modèle logarithmique et modèle exponentiel

toute la question, les deux modèles sont réciproques donc opposés

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Quand $x$ passe de $10$ à $100$ puis à $1000$ , $y$ augmente de $2$ à chaque fois : c'est exponentiel. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est $x$ qui est MULTIPLIÉ par $10$ pendant que $y$ AUGMENTE d'une constante : le modèle est LOGARITHMIQUE. L'exponentielle fait l'inverse. »

Pourquoi : Exponentielle et logarithme sont réciproques : dans l'une, l'addition est du côté des $x$ et la multiplication du côté des $y$ ; dans l'autre, c'est l'inverse. Repérer de quel côté se trouve la multiplication identifie la famille sans hésitation.

8. Manquer un modèle racine carrée faute d'avoir testé les carrés

toute la question, laissée sans modèle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les valeurs $0$ , $2$ , $2{,}83$ , $3{,}46$ , $4$ n'ont ni différences ni rapports constants : aucun modèle ne convient. »

Ce qu'il faut écrire

« On teste les CARRÉS : $0$ , $4$ , $8$ , $12$ , $16$ . Leurs différences valent $4$ à chaque fois, donc $y^{2}$ est linéaire en $x$ et le modèle est $y=2\sqrt{x}$ . »

Les valeurs brutes ne donnent ni différences ni rapports constants; leurs CARRÉS montent de

4

à chaque pas et tombent sur une droite, donc

y=\sqrt{4x}

Pourquoi : Quand les deux tests standard échouent, il reste trois signatures à essayer : les carrés pour une racine, le produit $xy$ pour une rationnelle, et la répétition pour une sinusoïde. Ces trois vérifications prennent une minute et couvrent toutes les familles du programme.

Quelle méthode choisir

Identifier la famille depuis un tableau de valeurs

Vérifiez d'abord que les pas en $x$ sont ÉGAUX, sinon divisez par le pas. Appliquez ensuite les tests dans cet ordre, et arrêtez-vous au premier qui réussit.

Si les différences de $y$ sont CONSTANTES → modèle AFFINE $y=mx+b$ , et la différence constante est la pente $m$

Exemple : $y$ passe de $5$ à $8$ à $11$ : différences de $3$ , donc $m=3$
Si les différences SECONDES sont constantes → modèle QUADRATIQUE, et le coefficient $a$ vaut la moitié de la différence seconde

Exemple : différences $4$ , $6$ , $8$ donc différences secondes $2$ : $a=1$

Trois différences secondes égales suffisent, mais il en faut au moins trois pour conclure.
Si les RAPPORTS de $y$ sont constants → modèle EXPONENTIEL $a\,c^{x}+k$ , et le rapport constant est la base $c$

Exemple : rapports tous égaux à $1{,}08$ : $c=1{,}08$ , soit une hausse de $8$ pour cent

S'il y a une asymptote $k$ , il faut tester les rapports des ÉCARTS à $k$ , pas des valeurs elles-mêmes.
Si le PRODUIT $x\cdot y$ est constant → modèle RATIONNEL $y=\frac{a}{x}$ , et ce produit est le paramètre $a$

Exemple : $xy=60$ à chaque ligne : $y=\frac{60}{x}$
Si les CARRÉS de $y$ ont des différences constantes → modèle RACINE CARRÉE $y=a\sqrt{x}$

Exemple : carrés $0$ , $4$ , $8$ , $12$ : différences de $4$ , donc $y=2\sqrt{x}$
Si les valeurs se RÉPÈTENT à l'identique après un intervalle fixe → modèle SINUSOÏDAL : relever le maximum, le minimum et la période

Exemple : les mêmes valeurs toutes les $12$ heures : période $12$ , donc $b=\frac{2\pi}{12}$

L'axe d'oscillation est la moyenne des extrêmes, l'amplitude leur demi-différence.

Aucun test ne réussit quand une asymptote décale toutes les valeurs : soustrayez d'abord la valeur limite annoncée par le contexte, puis refaites les tests sur les écarts. C'est le geste qui débloque les problèmes de refroidissement et de coût unitaire.

Identifier la famille depuis un énoncé en français

Certains mots de l'énoncé désignent une famille sans ambiguïté. Repérez-les à la lecture, avant même de regarder les nombres.

Si « augmente de $X$ dollars chaque année », « un montant FIXE par unité » → modèle AFFINE : la variation est additive et constante

Exemple : un abonnement de $30$ dollars plus $2$ dollars par séance : $C(n)=30+2n$
Si « augmente de $X$ POUR CENT », « double tous les », « demi-vie » → modèle EXPONENTIEL : la variation est multiplicative

Exemple : hausse de $8$ pour cent par an : base $1{,}08$
Si « se stabilise à », « ne descend jamais sous », « tend vers » → il y a une ASYMPTOTE : le modèle est exponentiel avec $k$ , ou rationnel

Exemple : « la température se stabilise à $20$ degrés » donne $k=20$

Le contexte donne $k$ gratuitement : c'est la donnée la plus rentable de tout l'énoncé.
Si « atteint un maximum puis redescend », « la hauteur maximale » → modèle QUADRATIQUE, sauf si le phénomène se répète, auquel cas il est sinusoïdal

Exemple : trajectoire d'un ballon, hauteur maximale puis chute : quadratique
Si « se répète chaque », « cycle », « marée », « saison » → modèle SINUSOÏDAL : relever la période, le maximum et le minimum

Exemple : marée haute toutes les $12$ heures : période $12$
Si « par tranche entamée », « par heure commencée », « échelon » → fonction EN ESCALIER, construite avec la partie entière

Exemple : $2$ dollars par demi-heure entamée : escalier fermé à droite

Quand l'énoncé donne à la fois un tableau et un contexte, le contexte donne la FAMILLE et l'asymptote, le tableau donne les PARAMÈTRES. Les deux sources se complètent et doivent toutes deux être utilisées.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Modéliser une situation à partir d'un tableau de valeurs

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau de mesures et demande la règle de la fonction, puis une prévision ou une résolution.

1 Vérifier que les pas en $x$ sont égaux, et le dire; sinon calculer les taux de variation.
2 Calculer les DIFFÉRENCES et l'écrire : « les différences valent $4$ , $6$ , $8$ , elles ne sont pas constantes ».
3 Enchaîner sur le test suivant selon le résultat : différences secondes, puis rapports, puis produits ou carrés.
4 ANNONCER la famille avec sa justification : « les différences secondes sont constantes, le modèle est donc quadratique ».
5 Écrire la forme générale de cette famille, avec ses paramètres inconnus.
6 Déterminer les paramètres en substituant des points du tableau, en utilisant d'abord ceux qui donnent un paramètre directement.
7 VALIDER le modèle sur un point du tableau qui n'a pas servi à le construire, puis répondre à la question posée.

Phrase de conclusion

« Les valeurs de $x$ progressent d'une unité à chaque ligne. Les différences de $y$ valent $4$ , $6$ et $8$ : elles ne sont pas constantes, le modèle n'est donc pas affine. Les différences secondes valent $2$ et $2$ : elles sont constantes, donc le modèle est QUADRATIQUE. Le coefficient $a$ vaut la moitié de la différence seconde, soit $1$ ; en substituant deux points, on obtient $y=x^{2}+3x+2$ , ce que confirme le point $(3;20)$ du tableau. »

Le piège : Annoncer la famille sans écrire le test. Le barème récompense la JUSTIFICATION du choix, pas seulement le choix lui-même : une famille correcte sans test vaut environ la moitié des points de la question.

Barème : 1 point le test des différences écrit, 1 point la famille annoncée avec justification, 1 point les paramètres calculés, 1 point la validation sur un point non utilisé.

Modéliser un phénomène avec une valeur limite

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit un refroidissement, une dilution, un coût unitaire, ou toute grandeur qui tend vers une valeur sans l'atteindre.

1 Repérer la phrase du contexte qui annonce la valeur limite, et poser $k$ égal à cette valeur.
2 Calculer les ÉCARTS à $k$ pour chaque donnée du tableau : ce sont eux qui suivront le modèle simple.
3 Tester les rapports de ces écarts : s'ils sont constants, le modèle est exponentiel avec asymptote.
4 Écrire le modèle sous la forme $f(x)=a\,c^{x}+k$ , avec $c$ le rapport trouvé.
5 Déterminer $a$ par la valeur initiale : $f(0)=a+k$ , donc $a$ est l'écart initial à la limite.
6 Vérifier le modèle sur une donnée non utilisée, et vérifier qu'il tend bien vers $k$ .
7 Répondre à la question, en signalant que la valeur limite n'est jamais atteinte exactement.

Phrase de conclusion

« Le café refroidit vers la température de la pièce, $20$ degrés : c'est l'asymptote, donc $k=20$ . Les écarts à $20$ valent $60$ , $54$ , $48{,}6$ , dont les rapports sont tous égaux à $0{,}9$ : le modèle est exponentiel. Comme l'écart initial vaut $60$ , la règle est $T(t)=60\times 0{,}9^{t}+20$ , ce que confirme $T(3)=63{,}74$ degrés. »

Le piège : Tester les rapports sur les températures elles-mêmes plutôt que sur les écarts. Les rapports $\frac{74}{80}$ et $\frac{68{,}6}{74}$ ne sont pas égaux, et l'on conclurait à tort qu'aucun modèle exponentiel ne convient.

Barème : 1 point l'asymptote repérée dans le contexte, 1 point les écarts calculés, 1 point le rapport constant établi, 1 point le modèle complet validé.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le point non utilisé

Garder une ligne du tableau à l'écart pendant la détermination des paramètres, puis y substituer le modèle obtenu. La valeur calculée doit coïncider avec la valeur mesurée. C'est la seule vérification qui teste réellement le modèle.

Vous construisez $y=x^{2}+3x+2$ avec les points d'abscisses $0$ et $1$ . Le point $(3;20)$ n'a pas servi : le modèle donne $9+9+2=20$ , ce qui confirme la famille et les paramètres.
Le comportement à l'infini contre le contexte

Calculer le modèle pour une très grande valeur de la variable et comparer au bon sens physique : une température doit tendre vers l'ambiante, un coût unitaire vers le coût variable, une population ne peut pas devenir infinie dans un village.

Un modèle $T(t)=80\times 0{,}9^{t}$ donne $T(100)\approx 0{,}0022$ degré, c'est-à-dire un café presque à zéro degré dans une pièce à $20$ degrés. L'asymptote a été oubliée.
Le sens de variation

Comparer deux valeurs du modèle pour vérifier qu'il croît si le phénomène croît, et décroît sinon. Un modèle exponentiel de base inférieure à $1$ décroît, un modèle de base supérieure à $1$ croît : une seule comparaison le confirme.

Vous modélisez un refroidissement par $T(t)=60\times 1{,}9^{t}+20$ : le café chaufferait indéfiniment. La base devait être inférieure à $1$ , et le rapport calculé sur les données l'aurait montré.
Le test croisé des deux familles voisines

Quand une quadratique et une exponentielle semblent toutes deux plausibles, calculer les deux et comparer sur le point le plus éloigné du tableau. L'écart entre les deux modèles y est maximal, et la donnée mesurée tranche sans ambiguïté.

Sur cinq mesures, deux modèles concordent aux premiers points et diffèrent de $30$ pour cent au dernier. La mesure du dernier point désigne le bon modèle, alors que les premiers points ne le pouvaient pas.

L'exercice type décortiqué

Le café qui refroidit : asymptote cachée, écarts et prévision

Un café est servi à $80$ degrés Celsius dans une pièce à $20$ degrés. On relève sa température toutes les minutes : $80$ , $74$ , $68{,}6$ , $63{,}74$ degrés.

a) Montrer qu'aucun modèle affine ni exponentiel simple ne convient. b) Trouver le modèle correct. c) Quelle sera la température après $10$ minutes ? d) Le café atteindra-t-il un jour $20$ degrés exactement ?

Étape 1

Différences : $74-80=-6$ , $68{,}6-74=-5{,}4$ , $63{,}74-68{,}6=-4{,}86$ . Elles ne sont pas constantes, donc le modèle n'est pas affine.

Pourquoi

Le premier test est mécanique et prend dix secondes. Son échec ne fait pas perdre de temps : il élimine une famille et oriente vers la suivante, et il doit être écrit sur la copie car il vaut son point.

Étape 2

Rapports des températures : $\frac{74}{80}=0{,}925$ et $\frac{68{,}6}{74}\approx 0{,}927$ . Ils ne sont pas rigoureusement constants, donc le modèle n'est pas une exponentielle simple.

Pourquoi

Les rapports sont PRESQUE constants, ce qui est justement le piège : on serait tenté de conclure à une exponentielle. Le léger écart signale qu'une constante additive fausse le calcul, et c'est cette constante qu'il faut chercher.

Étape 3

L'énoncé dit que la pièce est à $20$ degrés : le café tend vers cette température sans jamais la dépasser. C'est une ASYMPTOTE, donc $k=20$ . On calcule les ÉCARTS à $20$ : $60$ , $54$ , $48{,}6$ , $43{,}74$ .

Pourquoi

La phrase du contexte donne $k$ sans aucun calcul, et c'est la donnée la plus rentable de l'énoncé. Une fois l'asymptote soustraite, il reste une exponentielle pure, sur laquelle les tests standard fonctionnent de nouveau.

Étape 4

Rapports des écarts : $\frac{54}{60}=0{,}9$ , $\frac{48{,}6}{54}=0{,}9$ , $\frac{43{,}74}{48{,}6}=0{,}9$ . Ils sont exactement constants : le modèle est exponentiel de base $0{,}9$ .

Pourquoi

Trois rapports rigoureusement égaux, contre des rapports approximatifs à l'étape précédente : la différence est nette et constitue la justification que le barème attend. C'est l'ÉCART à l'ambiante qui décroît de $10$ pour cent par minute, pas la température.

Étape 5

L'écart initial vaut $80-20=60$ , donc $a=60$ et le modèle est $T(t)=60\times 0{,}9^{t}+20$ . Validation sur le point non utilisé : $T(3)=60\times 0{,}729+20=43{,}74+20=63{,}74$ degrés, ce qui correspond exactement à la mesure.

Pourquoi

Le paramètre $a$ est l'écart initial, pas la température initiale : c'est la conséquence directe de $T(0)=a+k$ . Et la validation porte sur une donnée qui n'a servi à rien d'autre, ce qui en fait une vraie vérification.

Étape 6

$T(10)=60\times 0{,}9^{10}+20=60\times 0{,}3487+20\approx 20{,}92+20\approx 40{,}9$ degrés.

Pourquoi

Le calcul est direct une fois le modèle établi. L'ordre de grandeur est plausible : après dix minutes le café est tiède, ce qu'un modèle sans asymptote aurait annoncé à $27{,}9$ degrés, soit sous la température de la pièce dès la vingtième minute.

Étape 7

$T(t)=20$ exigerait $60\times 0{,}9^{t}=0$ , ce qui est impossible : une exponentielle ne s'annule jamais. Le café s'approche indéfiniment de $20$ degrés sans jamais les atteindre exactement.

Pourquoi

C'est la lecture physique de l'asymptote horizontale, et c'est la question qui teste la compréhension du modèle plutôt que le calcul. En pratique l'écart devient indétectable, mais mathématiquement il reste strictement positif, et c'est cela qu'il faut écrire.

Conclusion rédigée

« Les différences de température ne sont pas constantes, donc le modèle n'est pas affine, et les rapports des températures ne le sont pas non plus. Mais la pièce est à $20$ degrés : c'est une asymptote, et les ÉCARTS à cette valeur, soit $60$ , $54$ , $48{,}6$ et $43{,}74$ , ont un rapport rigoureusement constant de $0{,}9$ . Le modèle est donc $T(t)=60\times 0{,}9^{t}+20$ , ce que confirme la mesure à $t=3$ minutes. Après $10$ minutes, la température sera d'environ $40{,}9$ degrés. Enfin le café n'atteindra jamais exactement $20$ degrés : une exponentielle ne s'annule jamais, donc l'écart reste strictement positif. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure à une exponentielle simple parce que les rapports $0{,}925$ et $0{,}927$ sont presque égaux : le modèle $T(t)=80\times 0{,}926^{t}$ passerait sous $20$ degrés dès la dix-neuvième minute, ce qui est physiquement impossible dans une pièce à $20$ degrés. Le second travers est de prendre $a=80$ au lieu de $a=60$ : le modèle donnerait $100$ degrés à l'instant initial, ce que la première mesure contredit immédiatement.

À savoir par cœur

• Différences CONSTANTES : affine. Différences SECONDES constantes : quadratique.
• RAPPORTS constants : exponentiel, et le rapport est la base.
• Les deux tests exigent des pas ÉGAUX en $x$ ; sinon on divise par le pas.
• Produit $xy$ constant : rationnel. Carrés de $y$ à différences constantes : racine carrée.
• $x$ multiplié pendant que $y$ augmente d'une constante : LOGARITHMIQUE. L'inverse : exponentiel.
• Une phrase comme « se stabilise à » annonce une ASYMPTOTE, donc le paramètre $k$ , gratuitement.
• Avec une asymptote, tester les rapports des ÉCARTS à $k$ , jamais des valeurs elles-mêmes.
• Un montant FIXE donne une affine; un POURCENTAGE donne une exponentielle.
• Toujours valider sur un point NON utilisé, et donner le domaine de validité du modèle.

Questions fréquentes

Comment savoir si un tableau de valeurs suit un modèle linéaire ou exponentiel ?

On calcule d'abord les différences entre valeurs successives : si elles sont constantes, le modèle est affine et cette différence est la pente. Sinon on calcule les rapports : s'ils sont constants, le modèle est exponentiel et ce rapport est la base. Les deux tests exigent que les valeurs de x progressent par pas égaux.

Qu'est-ce que la différence seconde et à quoi sert-elle ?

C'est la différence entre deux différences successives. Quand elle est constante, le modèle est du second degré, et le coefficient du terme carré vaut la moitié de cette différence seconde. C'est le test qui distingue une quadratique d'une exponentielle, deux familles que l'oeil confond facilement sur un petit nombre de points.

Pourquoi tester les écarts plutôt que les valeurs elles-mêmes ?

Parce qu'une constante additive fausse les rapports. Un café qui refroidit vers vingt degrés voit son écart à vingt degrés décroître de façon exponentielle, mais pas sa température elle-même. Dès que le contexte annonce une valeur limite, on la soustrait à toutes les données avant d'appliquer le test des rapports.

Comment repérer une asymptote dans un énoncé ?

Certaines expressions l'annoncent directement : se stabilise à, tend vers, ne descend jamais sous, approche sans jamais atteindre. La valeur mentionnée est le paramètre additif du modèle, obtenu sans le moindre calcul. C'est la donnée la plus rentable d'un problème de modélisation, et elle se repère à la simple lecture.

Jusqu'où peut-on utiliser un modèle pour faire des prévisions ?

Sur l'intervalle où les données ont été relevées, et un peu au-delà. Une extrapolation lointaine devient irréaliste, notamment pour une croissance exponentielle, qu'aucun phénomène réel ne peut soutenir indéfiniment. La réponse attendue donne la valeur calculée et signale explicitement cette limite de validité.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Modélisation : choisir la bonne fonction

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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