Modélisation : dix problèmes pour choisir la bonne fonction (maths SN5)

a) Les rapports valent $2/1=2$, $4/2=2$, $8/4=2$, $16/8=2$ : rapport CONSTANT, donc une fonction exponentielle de base 2.

b) Les valeurs $0$, $1$, $1{,}41$, $1{,}73$, $2$ sont exactement $\sqrt{0}$, $\sqrt{1}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$ : une fonction racine carrée.

c) $1\times 5=5$ ; $2\times 2{,}5=5$ ; $3\times 1{,}67=5$ ; $4\times 1{,}25=5$ ; $5\times 1=5$. Le produit $x\cdot y$ est CONSTANT et vaut $5$ : c'est une fonction rationnelle $y=5/x$.

d) Exponentielle : rapport constant. Racine carrée : les écarts successifs DIMINUENT et $y^2$ est linéaire. Rationnelle : le produit $xy$ est constant. Quadratique : les différences secondes sont constantes.

a) Elle tend vers $20{,}0$ °C, la température de la pièce : c'est une ASYMPTOTE horizontale, le paramètre $k$ du modèle exponentiel.

b) $T-20$ vaut $65{,}0$ ; $48{,}2$ ; $35{,}7$ ; $19{,}6$ ; $10{,}9$. Le rapport sur 5 min vaut $48{,}2/65{,}0=0{,}742$, puis $35{,}7/48{,}2=0{,}741$ : constant.

c) $a=65{,}0$ et $c=0{,}742^{1/5}=0{,}9421$ par minute, donc $T(t)=20+65{,}0(0{,}9421)^{t}$.

d) $25=20+65(0{,}9421)^{t}$ donne $(0{,}9421)^{t}=5/65=0{,}0769$, donc $t=\log(0{,}0769)/\log(0{,}9421)=43{,}0$ min.

a) Les valeurs se répètent à l'identique : c'est une fonction PÉRIODIQUE, donc sinusoïdale. Aucune exponentielle, rationnelle ou racine ne revient à sa valeur de départ.

b) Amplitude $a=(6{,}3-2{,}1)/2=2{,}1$ m ; axe médian $k=(6{,}3+2{,}1)/2=4{,}2$ m ; période $12$ h, donc $b=2\pi/12=\pi/6$.

c) Le maximum est à $t=6$, donc $h(t)=2{,}1\sin\!\big(\tfrac{\pi}{6}(t-3)\big)+4{,}2$.

d) $2{,}1\sin(\tfrac{\pi}{6}(t-3))>0{,}8$ donne $\sin(\cdot)>0{,}381$, soit $\tfrac{\pi}{6}(t-3)\in\,]0{,}391;2{,}751[$, donc $t\in\,]3{,}75;8{,}25[$ heures.

a) Le produit vaut $120$ à chaque fois : la famille est RATIONNELLE, $t=120/v$.

b) $t(v)=120/v$. Asymptote verticale $v=0$ (à l'arrêt, le trajet ne finit jamais) et asymptote horizontale $t=0$ (aucune vitesse ne rend le trajet instantané).

c) $120/80=1{,}500$ h et $120/100=1{,}200$ h : on gagne $0{,}300$ h $=18{,}0$ min. Puis $120/120=1{,}000$ h : on ne gagne plus que $0{,}200$ h $=12{,}0$ min.

d) La courbe s'aplatit : la dérivée d'une fonction en $k/v$ décroît en $1/v^{2}$. Chaque tranche de vitesse gagnée rapporte de moins en moins de temps.

a) Le nuage descend en droite jusqu'à zéro puis remonte en droite, avec un POINT ANGULEUX : c'est la valeur absolue.

b) $e(m)=|m-50|$.

c) $|m-50|\leq 1{,}5$ équivaut à $-1{,}5\leq m-50\leq 1{,}5$, donc $m\in[48{,}5\,;\,51{,}5]$ g.

d) Une parabole a un minimum ARRONDI : ses variations sont lentes près du sommet et rapides loin. Ici les écarts varient proportionnellement à la distance à la cible, ce qui donne deux segments de droite et un sommet pointu.

a) $15{,}6/12{,}0=1{,}30$ ; $20{,}3/15{,}6=1{,}301$ ; $26{,}4/20{,}3=1{,}300$ ; $34{,}3/26{,}4=1{,}299$ : rapport constant $1{,}30$.

b) $P_{1}(4)=12+22{,}4=34{,}4$, écart $0{,}1$. $P_{2}(4)=12(1{,}30)^{4}=34{,}27$, écart $0{,}03$. Les deux collent presque également bien.

c) $P_{1}(10)=68{,}0$ milliers et $P_{2}(10)=12(1{,}30)^{10}=165{,}4$ milliers, soit deux fois et demie plus. **Deux modèles indiscernables sur les données peuvent diverger totalement en extrapolation.**

d) Le rapport constant. Une croissance affine donne des DIFFÉRENCES constantes ; ici ce sont les rapports qui le sont, donc le modèle est exponentiel.

a) Une variation MULTIPLICATIVE de la concentration donne une variation ADDITIVE du pH : c'est la signature de la fonction logarithmique.

b) pH $=-\log(4{,}0\times 10^{-6})=6-\log 4{,}0=6-0{,}602=5{,}40$.

c) $-\log([H^{+}]/10)=-\log[H^{+}]+\log 10=$ pH $+1$. Le pH AUGMENTE d'exactement une unité.

d) Les concentrations utiles s'étalent sur quatorze ordres de grandeur. Sur une échelle ordinaire, tout ce qui est sous $10^{-2}$ serait écrasé contre zéro et indiscernable.

a) $4{,}4/900=4{,}89\times 10^{-3}$ ; $17{,}5/3600=4{,}86\times 10^{-3}$ ; $39{,}4/8100=4{,}86\times 10^{-3}$ ; $70{,}0/14400=4{,}86\times 10^{-3}$ : rapport constant, donc famille QUADRATIQUE.

b) $d(v)=4{,}86\times 10^{-3}v^{2}$, donc $d(100)=48{,}6$ m.

c) $v(d)=\sqrt{d/4{,}86\times 10^{-3}}=14{,}3\sqrt{d}$, définie pour $d\geq 0$ : c'est une fonction RACINE CARRÉE, réciproque de la quadratique restreinte aux vitesses positives.

d) À $120$ km/h la distance vaut $70{,}0$ m, contre $17{,}5$ m à $60$ km/h : c'est QUATRE fois plus, pas deux. Doubler la vitesse quadruple la distance.

a) $N(6)=500(1{,}45)^{6}=4{,}64\times 10^{3}$ bactéries, très en dessous de la limite : le modèle tient.

b) $500(1{,}45)^{t}=2{,}0\times 10^{5}$ donne $(1{,}45)^{t}=400$, donc $t=\log 400/\log 1{,}45=16{,}1$ h.

c) $N(24)=500(1{,}45)^{24}=3{,}7\times 10^{6}$, soit dix-neuf fois ce que le milieu peut nourrir. Le nombre est absurde : le modèle a été extrapolé loin hors de son domaine de validité.

d) La vraie courbe s'aplatit et tend vers un plateau : elle ressemble à une exponentielle DÉCROISSANTE renversée, du type $k-a\,c^{t}$, avec une asymptote horizontale à la capacité du milieu.

a) Les écarts valent $6{,}00$ ; $3{,}00$ ; $1{,}50$ ; $0{,}75$. Les produits $n(c-2)$ valent $600$ à chaque fois : la famille est RATIONNELLE avec asymptote horizontale $2{,}00$.

b) $c(n)=\dfrac{600}{n}+2{,}00$, donc $a=600$ et $k=2{,}00$.

c) $k=2{,}00$ $ est le coût variable par unité, incompressible. $a=600$ $ est le coût FIXE, réparti sur les unités produites.

d) $\dfrac{600}{n}+2<2{,}5$ donne $n>1200$ unités. Le seuil de $2{,}00$ $ n'est JAMAIS atteint : c'est une asymptote, le coût fixe ne disparaît pas, il se dilue.