Modélisation : dix problèmes pour choisir la bonne fonction (maths SN5)

On calcule les rapports entre valeurs successives : $\frac{2}{1}=2$, $\frac{4}{2}=2$, $\frac{8}{4}=2$, $\frac{16}{8}=2$. Le rapport est CONSTANT et vaut $2$ : c'est la signature d'une fonction EXPONENTIELLE de base $2$. Comparez avec ce qu'aurait donné une fonction affine : ce sont alors les DIFFÉRENCES qui seraient constantes, or ici elles valent $1$, $2$, $4$, $8$, elles doublent au lieu de rester fixes. La distinction affine/exponentielle se joue exactement là, différence contre rapport.

Les valeurs $0$, $1$, $1{,}41$, $1{,}73$, $2$ se reconnaissent immédiatement comme $\sqrt{0}$, $\sqrt{1}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$ : c'est une fonction RACINE CARRÉE. Le test numérique qui l'établit sans reconnaître les valeurs : on élève chaque $y$ au carré, ce qui donne $0$ ; $1$ ; $1{,}99$ ; $2{,}99$ ; $4$, soit $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ aux arrondis près, une suite linéaire en $x$. Autrement dit, $y^{2}$ est proportionnel à $x$, ce qui caractérise la racine carrée.

On calcule les produits $x\cdot y$ : $1\times 5=5$, $2\times 2{,}5=5$, $3\times 1{,}67\approx 5$, $4\times 1{,}25=5$, $5\times 1=5$. Le produit est CONSTANT et vaut $5$ : c'est une fonction RATIONNELLE, $y=\frac{5}{x}$. Ce test du produit constant est le plus rapide pour repérer une proportionnalité inverse, et il ne demande aucune calculatrice.

Récapitulatif des signatures, à connaître pour l'examen. AFFINE : les différences successives sont constantes. QUADRATIQUE : les différences des différences, dites différences secondes, sont constantes. EXPONENTIELLE : les rapports successifs sont constants. RATIONNELLE en $\frac{k}{x}$ : le produit $xy$ est constant. RACINE CARRÉE : les écarts successifs DIMINUENT et $y^{2}$ est linéaire en $x$. PÉRIODIQUE : les valeurs se répètent à l'identique. Une précision de méthode qui vaut des points : ces tests supposent que les abscisses soient RÉGULIÈREMENT espacées, sans quoi il faut comparer les rapports à pas égal avant de conclure.

La température tend vers $20{,}0$ °C, la température de la PIÈCE. C'est une asymptote horizontale, et elle correspond au paramètre $k$ du modèle exponentiel. Physiquement, un café ne peut pas devenir plus froid que la pièce qui l'entoure : il s'en approche indéfiniment sans jamais descendre en dessous, ce qui est exactement le comportement d'une asymptote. Le tableau le confirme, les valeurs $85$, $68{,}2$, $55{,}7$, $39{,}6$, $30{,}9$ descendent en ralentissant vers $20$.

Le point de méthode décisif est de ne PAS travailler sur $T$ mais sur l'ÉCART $T-20$, c'est-à-dire sur la distance à l'asymptote : c'est cet écart qui décroît exponentiellement, pas la température elle-même. On obtient $65{,}0$ ; $48{,}2$ ; $35{,}7$ ; $19{,}6$ ; $10{,}9$. Les rapports successifs sur $5$ minutes valent $\frac{48{,}2}{65{,}0}=0{,}742$ et $\frac{35{,}7}{48{,}2}=0{,}741$ : constants aux arrondis près ✓. Les relevés suivants sont espacés de $10$ minutes : on compare leurs rapports à celui d'un pas de $10$ min, $0{,}742^{2}=0{,}551$, et l'on trouve $\frac{19{,}6}{35{,}7}=0{,}549$ et $\frac{10{,}9}{19{,}6}=0{,}556$, conformes ✓. Si l'on avait calculé les rapports sur $T$ directement, on aurait trouvé $\frac{68{,}2}{85}=0{,}802$ puis $\frac{55{,}7}{68{,}2}=0{,}817$, non constants, et l'on aurait conclu à tort que le modèle n'est pas exponentiel.

Le paramètre $a$ est l'écart initial : $a=T(0)-20=85-20=65{,}0$. Pour la base par MINUTE, on part du rapport sur $5$ minutes, qui vaut $c^{5}=0{,}742$, donc $c=0{,}742^{1/5}=0{,}9421$. Le modèle est $T(t)=20+65{,}0\,(0{,}9421)^{t}$. Contrôle sur une valeur non utilisée pour la construction, ce qui en fait un vrai test : $T(20)=20+65\times 0{,}9421^{20}=20+65\times 0{,}3033\approx 39{,}7$ °C, à comparer aux $39{,}6$ mesurés ✓.

On résout $25=20+65\,(0{,}9421)^{t}$, donc $65\,(0{,}9421)^{t}=5$ et $(0{,}9421)^{t}=\frac{5}{65}=0{,}0769$. On passe au logarithme : $t=\frac{\log 0{,}0769}{\log 0{,}9421}=\frac{-1{,}1139}{-0{,}0259}\approx 43{,}0$ minutes. Le quotient de deux logarithmes négatifs donne bien un temps positif ✓. Contrôle de plausibilité : à $30$ min le café est à $30{,}9$ °C, donc l'écart n'est plus que de $10{,}9$ °C, et il doit encore être divisé par deux environ pour atteindre $5$ °C d'écart : cela demande à peu près une demi-vie supplémentaire, soit une douzaine de minutes, ce qui mène bien vers $43$ min ✓.

Les valeurs $2{,}1$ ; $4{,}2$ ; $6{,}3$ ; $4{,}2$ ; $2{,}1$ reviennent à leur point de départ, puis le cycle recommence : la fonction est PÉRIODIQUE, donc SINUSOÏDALE. Attention, les cinq relevés d'un seul cycle ne suffiraient pas : une valeur absolue, $6{,}3-0{,}7|t-6|$, les reproduit exactement (différences $+2{,}1$, $+2{,}1$, $-2{,}1$, $-2{,}1$), et une parabole revient elle aussi à une valeur déjà prise. Mais ni l'une ni l'autre ne se RÉPÈTE ensuite, et une exponentielle, une racine ou une rationnelle (sur chaque branche) sont même monotones. C'est la répétition du cycle, et la nature de la marée, un phénomène périodique, qui imposent la sinusoïde. Le choix compte : avec la valeur absolue, la question d) donnerait $]4{,}14\,;7{,}86[$ au lieu de $]3{,}75\,;8{,}25[$.

L'amplitude est la demi-différence des extremums : $a=\frac{6{,}3-2{,}1}{2}=\frac{4{,}2}{2}=2{,}1$ m. L'axe médian est leur moyenne : $k=\frac{6{,}3+2{,}1}{2}=\frac{8{,}4}{2}=4{,}2$ m. La période se lit sur le tableau : les relevés sont espacés de $3$ heures et il en faut cinq pour boucler, du premier au dernier inclus, soit quatre intervalles de $3$ h, donc une période de $12$ heures. On en déduit $b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$.

Le maximum $6{,}3$ est atteint au troisième relevé, soit $t=6$ h. Or un sinus atteint son maximum un QUART de période après son point de départ, donc le déphasage vaut $h_{0}=6-\frac{12}{4}=6-3=3$. Règle : $h(t)=2{,}1\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+4{,}2$. Contrôles sur le tableau : $h(0)=2{,}1\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+4{,}2=-2{,}1+4{,}2=2{,}1$ ✓, $h(3)=2{,}1\sin 0+4{,}2=4{,}2$ ✓ et $h(6)=2{,}1\sin\frac{\pi}{2}+4{,}2=6{,}3$ ✓. Les trois premiers relevés sont reproduits exactement.

On résout $2{,}1\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+4{,}2>5{,}0$, donc $2{,}1\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)>0{,}8$ et $\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)>\frac{0{,}8}{2{,}1}=0{,}381$. Un sinus dépasse une valeur positive $s$ sur l'arc allant de $\arcsin s$ à $\pi-\arcsin s$. Ici $\arcsin(0{,}381)=0{,}391$ rad, donc $\frac{\pi}{6}(t-3)\in\ ]0{,}391\,;2{,}751[$. On multiplie par $\frac{6}{\pi}$ : $t-3\in\ ]0{,}747\,;5{,}253[$, donc $t\in\ ]3{,}75\,;8{,}25[$ heures. La hauteur dépasse $5{,}0$ m pendant environ $4{,}5$ heures autour de la marée haute de $6$ h. Contrôle de symétrie, qui valide le résultat : les deux bornes doivent être équidistantes du maximum $t=6$, et effectivement $6-3{,}75=2{,}25$ et $8{,}25-6=2{,}25$ ✓.

On calcule le produit $v\cdot t$ pour chaque mesure : $40\times 3{,}0=120$ ; $60\times 2{,}0=120$ ; $80\times 1{,}5=120$ ; $120\times 1{,}0=120$. Le produit est CONSTANT et vaut $120$, ce qui n'est pas une surprise puisque c'est la distance en kilomètres. La famille est donc RATIONNELLE, du type proportionnalité inverse. Vitesse et durée sont inversement proportionnelles : quand l'une double, l'autre est divisée par deux.

$t(v)=\frac{120}{v}$. Asymptote VERTICALE : $v=0$. Sens concret, et il faut le donner : à l'arrêt, la durée du trajet devient infinie, autrement dit on n'arrive jamais. Asymptote HORIZONTALE : $t=0$. Sens concret : aucune vitesse, si grande soit-elle, ne rend le trajet instantané, la durée s'approche de zéro sans jamais l'atteindre. Les deux asymptotes ont donc une interprétation physique, ce qui est caractéristique des bons modèles rationnels.

De $80$ à $100$ km/h : $\frac{120}{80}=1{,}500$ h et $\frac{120}{100}=1{,}200$ h, soit un gain de $0{,}300$ h $=18{,}0$ minutes. De $100$ à $120$ km/h : $\frac{120}{120}=1{,}000$ h, soit un gain de $0{,}200$ h $=12{,}0$ minutes seulement. Pour la MÊME augmentation de $20$ km/h, le second gain est inférieur d'un tiers au premier.

La courbe $t=\frac{120}{v}$ s'APLATIT quand $v$ augmente : elle décroît de moins en moins vite. Cela se quantifie en comparant les gains obtenus pour un même incrément de vitesse, ce qu'on vient de faire en c). L'explication de fond est que le gain de temps entre $v$ et $v+\Delta$ vaut $\frac{120}{v}-\frac{120}{v+\Delta}=\frac{120\Delta}{v(v+\Delta)}$, une quantité dont le dénominateur croît comme le CARRÉ de la vitesse : le gain s'effondre donc en $\frac{1}{v^{2}}$. Conséquence pratique et un peu contre-intuitive : rouler plus vite quand on roule déjà vite ne rapporte presque rien. Poussons le calcul : passer de $120$ à $140$ km/h ne ferait gagner que $\frac{120}{120}-\frac{120}{140}\approx 0{,}143$ h, soit à peine $8{,}6$ minutes, pour un risque et une consommation nettement accrus.

Le nuage descend en LIGNE DROITE de $4$ jusqu'à $0$, puis remonte en ligne droite de $0$ jusqu'à $4$, symétriquement. Deux indices concordent pour identifier la famille : les branches sont rectilignes, et le point le plus bas est ANGULEUX, la courbe change de direction brusquement sans s'arrondir. C'est la signature de la VALEUR ABSOLUE. Numériquement, on peut le confirmer par les différences : elles valent $-2$, $-2$, puis $+2$, $+2$, donc constantes en valeur absolue et changeant de signe une seule fois.

L'écart est la distance entre la masse obtenue et la cible $50$, ce qui s'écrit directement $e(m)=|m-50|$. Contrôle sur les cinq relevés : $|46-50|=4$ ✓, $|48-50|=2$ ✓, $|50-50|=0$ ✓, $|52-50|=2$ ✓, $|54-50|=4$ ✓. Le sommet est en $(50\,;0)$ et le coefficient vaut $a=1$, ce qui traduit qu'un gramme d'écart en masse donne exactement un gramme d'écart mesuré.

$|m-50|\leq 1{,}5$ se lit comme une condition de DISTANCE : la masse est à au plus $1{,}5$ g de la cible. On l'écrit en encadrement, $-1{,}5\leq m-50\leq 1{,}5$, puis on ajoute $50$ partout : $48{,}5\leq m\leq 51{,}5$. Les masses acceptables sont donc celles de l'intervalle $[48{,}5\,;51{,}5]$ g, un intervalle centré sur la cible et de largeur $3$ g. On peut lire directement le résultat sans calcul : centre $50$, rayon $1{,}5$.

Une parabole possède bien un minimum, mais il est ARRONDI, et c'est là que le modèle échouerait. Près du sommet, une parabole varie très lentement, si bien qu'un écart de masse de $1$ g y produirait un écart mesuré presque nul ; loin du sommet, elle varie de plus en plus vite, et un écart de $4$ g produirait un écart mesuré bien plus que quadruple. Or les données montrent le contraire : l'écart est exactement PROPORTIONNEL à la distance à la cible, $2$ g d'un côté donnent $2$, et $4$ g donnent $4$. Cette proportionnalité impose deux segments de droite et un sommet pointu, donc la valeur absolue. Contre-épreuve chiffrée : un modèle quadratique du type $e(m)=c(m-50)^{2}$ calé sur le point $(52\,;2)$ donnerait $c=0{,}5$, et prédirait en $m=54$ un écart de $0{,}5\times 16=8$ g au lieu des $4$ g mesurés ✗.

On calcule les rapports successifs : $\frac{15{,}6}{12{,}0}=1{,}300$ ; $\frac{20{,}3}{15{,}6}=1{,}301$ ; $\frac{26{,}4}{20{,}3}=1{,}300$ ; $\frac{34{,}3}{26{,}4}=1{,}299$. Ils sont constants aux arrondis près, et valent $1{,}30$ : la population augmente de $30$ % par an. C'est la signature exponentielle.

$P_{1}(4)=12+5{,}6\times 4=12+22{,}4=34{,}4$, contre $34{,}3$ mesuré, soit un écart de $0{,}1$. $P_{2}(4)=12\times(1{,}30)^{4}=12\times 2{,}8561=34{,}27$, soit un écart de $0{,}03$. Au seul point $t=4$, les deux modèles semblent donc se valoir. Mais $P_{1}$ a été construit pour passer par les deux extrémités, $t=0$ et $t=4$ : le comparer là, c'est vérifier sa construction, pas le modèle. En $t=2$, l'écart se voit : $P_{1}(2)=12+11{,}2=23{,}2$ contre $20{,}3$ mesuré, soit $2{,}9$ milliers, alors que $P_{2}(2)=12\times 1{,}69=20{,}28$, à $0{,}02$ près. Sur toute la plage, $P_{1}$ s'écarte de $2{,}0$, $2{,}9$ et $2{,}4$ milliers en $t=1$, $2$ et $3$ (jusqu'à $14$ %), et $P_{2}$ de moins de $0{,}04$. Le graphique le montre : la droite passe au-dessus des trois points du milieu. Un modèle se juge sur TOUTES les mesures, jamais sur une seule.

$P_{1}(10)=12+5{,}6\times 10=68{,}0$ milliers. $P_{2}(10)=12\times(1{,}30)^{10}=12\times 13{,}786=165{,}4$ milliers. Le second modèle prédit près de deux fois et demie le premier, un écart de près de $100\ 000$ habitants. Deux modèles qui coïncident au début et à la fin de la plage mesurée peuvent donc DIVERGER TOTALEMENT en extrapolation, et l'écart ne cesse de croître : à $t=20$, $P_{1}$ donnerait $124$ milliers et $P_{2}$ plus de $2\ 280$ milliers. C'est la leçon centrale de l'exercice : on choisit le modèle sur TOUTES les mesures, et même le bon modèle ne vaut que près de la plage observée ; plus de deux millions d'habitants dans un quartier, c'est l'aveu qu'un chantier finit toujours par s'arrêter.

Le rapport constant, et lui seul. Une croissance AFFINE se reconnaît à des DIFFÉRENCES constantes ; calculons-les ici : $15{,}6-12{,}0=3{,}6$ ; $20{,}3-15{,}6=4{,}7$ ; $26{,}4-20{,}3=6{,}1$ ; $34{,}3-26{,}4=7{,}9$. Elles augmentent nettement, ce qui EXCLUT le modèle affine dès la lecture du tableau. Ce sont les rapports qui sont constants, donc le modèle est exponentiel, et le choix pouvait être fait avant même de comparer les écarts. Retenez la démarche : on identifie la famille par la signature du tableau, PUIS on ajuste les paramètres, jamais l'inverse.

On lit le tableau en termes d'ORDRES DE GRANDEUR : quand la concentration est divisée par $100$, en passant de $10^{-3}$ à $10^{-5}$, le pH n'augmente que de $2$ unités, de $3$ à $5$. Une variation MULTIPLICATIVE de l'entrée donne donc une variation ADDITIVE de la sortie : c'est exactement la signature de la fonction LOGARITHMIQUE, et c'est la propriété $\log(ab)=\log a+\log b$ vue de l'extérieur. Une fonction affine ou rationnelle ne produirait jamais cette conversion du multiplicatif en additif.

Vérification sur le troisième relevé : $-\log\left(2\times 10^{-4}\right)=-(0{,}301-4)=3{,}70$ ✓. Puis $\text{pH}=-\log_{10}\left(4{,}0\times 10^{-6}\right)$. On applique la loi du produit pour séparer : $\log\left(4{,}0\times 10^{-6}\right)=\log 4{,}0+\log 10^{-6}=0{,}602-6=-5{,}398$. Donc $\text{pH}=5{,}40$. Contrôle de plausibilité, qui est immédiat une fois la méthode comprise : la concentration est comprise entre $10^{-6}$ et $10^{-5}$, donc le pH doit être compris entre $5$ et $6$ ✓, et plus près de $5$, puisque $\log 4{,}0\approx 0{,}60$ dépasse $0{,}5$ : sur une échelle logarithmique, $4$ est plus près de $10$ que de $1$, parce que $4>\sqrt{10}\approx 3{,}16$ ✓.

Diluer dix fois divise la concentration par $10$ : la nouvelle concentration est $\frac{[H^{+}]}{10}$. Le nouveau pH vaut $-\log\left(\frac{[H^{+}]}{10}\right)=-\left(\log[H^{+}]-\log 10\right)=-\log[H^{+}]+1=\text{pH}+1$. Le pH AUGMENTE donc d'une unité dans ce modèle, quelle que soit la concentration de départ. En chimie, la règle reste juste tant que la solution diluée reste nettement acide (pH obtenu inférieur à $6$ environ) : près de la neutralité, l'eau fournit elle-même des ions $H^{+}$, et une solution acide qu'on dilue s'approche de $7$ sans le dépasser. C'est ce qui rend l'échelle si commode : chaque dilution par dix se traduit par un pas de $1$, toujours le même.

Les concentrations utiles en chimie s'étalent d'environ $1$ mol/L à $10^{-14}$ mol/L, soit QUATORZE ordres de grandeur. Sur une échelle ordinaire graduée de $0$ à $1$, tout ce qui est inférieur à $10^{-2}$ serait écrasé contre l'origine et parfaitement indiscernable : on ne pourrait pas distinguer une solution à $10^{-5}$ d'une solution à $10^{-9}$, alors qu'elles diffèrent d'un facteur dix mille. L'échelle logarithmique convertit ces quatorze ordres de grandeur en une graduation régulière de $0$ à $14$, où chaque unité représente le même RAPPORT plutôt que la même différence. C'est la même raison qui a fait adopter l'échelle des décibels pour les sons et celle de Richter pour les séismes.

Les vitesses avancent de $30$ en $30$ km/h, donc le test des différences s'applique. Différences des distances : $13{,}1$ ; $21{,}9$ ; $30{,}6$, non constantes, le modèle n'est pas affine. Différences secondes : $8{,}8$ et $8{,}7$, constantes aux arrondis près : le modèle est QUADRATIQUE. Pour préciser sa forme, on calcule $\frac{d}{v^{2}}$ : $\frac{4{,}4}{900}=4{,}89\times 10^{-3}$ ; $\frac{17{,}5}{3600}=4{,}86\times 10^{-3}$ ; $\frac{39{,}4}{8100}=4{,}86\times 10^{-3}$ ; $\frac{70{,}0}{14400}=4{,}86\times 10^{-3}$. Le rapport est CONSTANT : la quadratique n'a ni terme en $v$ ni constante, elle est du type $d=cv^{2}$. Contrôle croisé : au pas de $30$, la différence seconde de $cv^{2}$ vaut $2c\times 30^{2}=1800\,c\approx 8{,}75$, ce qui redonne $c\approx 4{,}86\times 10^{-3}$ ✓. On aurait pu s'en douter en observant que la distance est multipliée par environ $4$ quand la vitesse double, ce qui est la signature d'un carré.

$d(v)=4{,}86\times 10^{-3}\,v^{2}$, avec $v$ en km/h et $d$ en mètres. À $100$ km/h : $d=4{,}86\times 10^{-3}\times 10\ 000=48{,}6$ m. Contrôle de plausibilité : cette valeur doit se situer entre les $39{,}4$ m mesurés à $90$ km/h et les $70{,}0$ m à $120$ km/h ✓, et plus près du premier puisque $100$ est plus proche de $90$ ✓.

On inverse la relation. De $d=4{,}86\times 10^{-3}v^{2}$ on tire $v^{2}=\frac{d}{4{,}86\times 10^{-3}}$, puis $v=\sqrt{\frac{d}{4{,}86\times 10^{-3}}}=\sqrt{205{,}8\,d}\approx 14{,}3\sqrt{d}$. La réciproque est donc une fonction RACINE CARRÉE, définie pour $d\geq 0$. On ne garde que la racine POSITIVE, ce qui est le point de rigueur de la question : la quadratique n'a de réciproque que restreinte aux vitesses positives, où chaque distance correspond à une seule vitesse, et c'est cette restriction qui rend l'inversion possible. Application concrète : des traces de freinage de $25$ m indiquent une vitesse d'environ $14{,}34\times 5\approx 71{,}7$ km/h, calcul que font réellement les enquêteurs après un accident.

L'affirmation est fausse, et le tableau la contredit directement. À $60$ km/h la distance vaut $17{,}5$ m ; à $120$ km/h, soit deux fois plus vite, elle vaut $70{,}0$ m. Or $\frac{70{,}0}{17{,}5}=4$ : c'est QUATRE fois plus, pas deux. La raison tient à la forme du modèle : doubler $v$ multiplie $v^{2}$ par $2^{2}=4$. Le même calcul se vérifie sur l'autre couple disponible, $30$ et $60$ km/h : $\frac{17{,}5}{4{,}4}=3{,}98\approx 4$ ✓. Formulation à retenir, et c'est celle qu'utilisent les campagnes de sécurité routière : la distance de freinage croît comme le CARRÉ de la vitesse, si bien qu'un excès de $20$ % en vitesse allonge le freinage de $44$ %.

$N(6)=500\times(1{,}45)^{6}=500\times 9{,}294=4{,}64\times 10^{3}$ bactéries. À comparer à la capacité du milieu, $2{,}0\times 10^{5}$ : on n'en est qu'à $2{,}3$ %. Le modèle est donc encore parfaitement acceptable sur toute la plage mesurée, la ressource n'est nulle part limitante ✓.

On résout $500\times(1{,}45)^{t}=2{,}0\times 10^{5}$, donc $(1{,}45)^{t}=\frac{2{,}0\times 10^{5}}{500}=400$. On passe au logarithme : $t=\frac{\log 400}{\log 1{,}45}=\frac{2{,}602}{0{,}1614}\approx 16{,}1$ heures. C'est le moment où, selon le modèle, la culture saturerait son milieu. Notez que ce moment n'arrive que $2{,}7$ fois plus tard que la fin des mesures ($\frac{16{,}1}{6}\approx 2{,}7$), alors que la population y sera $43$ fois plus grande : c'est la brutalité caractéristique de la croissance exponentielle.

$N(24)=500\times(1{,}45)^{24}=500\times 7{,}45\times 10^{3}=3{,}7\times 10^{6}$ bactéries, soit environ $19$ fois ce que le milieu peut nourrir. Le nombre est ABSURDE au sens propre : il décrit une population que la ressource disponible ne peut physiquement pas soutenir. L'erreur n'est pas dans le calcul, qui est exact, mais dans l'usage : le modèle a été EXTRAPOLÉ très loin hors de son domaine de validité, lequel s'arrête au plus tard à la saturation trouvée en b), soit $16{,}1$ h. Un modèle n'est valable que sur la plage où les hypothèses qui l'ont produit tiennent encore, ici l'abondance de nourriture.

Après le seuil, la vraie courbe cesse de monter et s'APLATIT vers un plateau : la croissance ralentit à mesure que la nourriture se raréfie, puis s'arrête quand la capacité du milieu est atteinte. Parmi les familles du cours, celle qui s'en approche le mieux est l'exponentielle DÉCROISSANTE renversée, du type $N(t)=k-a\,c^{t}$ avec $0<c<1$ : elle monte en ralentissant et possède une ASYMPTOTE HORIZONTALE $y=k$, qu'on placerait ici à la capacité $2{,}0\times 10^{5}$. C'est exactement la structure du modèle du café de l'exercice 2, à ceci près qu'elle monte au lieu de descendre. La courbe réelle complète, exponentielle au début puis plateau à la fin, porte le nom de courbe LOGISTIQUE et n'est pas au programme, mais on peut en décrire les deux régimes avec les outils du cours.

On soustrait d'abord la valeur plancher soupçonnée, comme on l'a fait pour le café : $c-2{,}00$ vaut $6{,}00$ ; $3{,}00$ ; $1{,}50$ ; $0{,}75$. On multiplie ensuite chaque écart par le nombre d'unités : $100\times 6{,}00=600$ ; $200\times 3{,}00=600$ ; $400\times 1{,}50=600$ ; $800\times 0{,}75=600$. Le produit $n\,(c-2)$ est CONSTANT et vaut $600$ : la famille est RATIONNELLE avec une asymptote horizontale en $2{,}00$. Notez la démarche en deux temps : le test du produit constant ne fonctionne que sur l'ÉCART À L'ASYMPTOTE, jamais sur la valeur brute, exactement comme le test du rapport constant à l'exercice 2.

De $n\,(c-2)=600$ on tire $c-2=\frac{600}{n}$, donc $c(n)=\frac{600}{n}+2{,}00$. On identifie $a=600$ et $k=2{,}00$. Contrôle sur un relevé non utilisé pour l'ajustement : $c(400)=\frac{600}{400}+2=1{,}50+2=3{,}50$ ✓, conforme au tableau.