Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : la fonction rationnelle, dite homographique (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur la fonction rationnelle, celle que le programme français appelle homographique : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la façon sûre de passer de la forme générale à la forme canonique, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une hyperbole est la seule fonction du programme dont l'image exclut une valeur : elle s'approche de $y=k$ sans jamais l'atteindre, exactement comme elle s'approche de $x=h$ sans jamais y exister. Presque tous les points perdus viennent d'oublier l'une des deux exclusions, ou de résoudre une inéquation rationnelle en multipliant par le dénominateur sans en connaître le signe, ce qui renverse l'inégalité une fois sur deux et donne l'intervalle exactement complémentaire du bon.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
5Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
6Variation inverse et proportionnalitéSecondaire 3
7La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
8La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
9Calculs algébriques

L'essentiel

Les deux écritures et ce qu'elles montrent

• Deux noms pour la même fonction : RATIONNELLE au programme québécois, HOMOGRAPHIQUE au programme français. Un quotient de deux expressions du premier degré, dans les deux cas.
• Forme générale $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ : elle ne montre rien directement, sauf la valeur interdite $x=-\frac{d}{c}$ .
• Forme canonique $f(x)=\frac{A}{x-h}+k$ : elle montre les deux asymptotes d'un coup, $x=h$ et $y=k$ .
• L'asymptote horizontale de la forme générale vaut $y=\frac{a}{c}$ , le RAPPORT des coefficients de $x$ , jamais $\frac{b}{d}$ .
• Le domaine est $\mathbb{R}$ privé de $h$ ; l'image est $\mathbb{R}$ privé de $k$ . Les deux exclusions se disent.
• Le point $(h;k)$ est le CENTRE DE SYMÉTRIE de l'hyperbole : elle est invariante par demi-tour autour de lui.

C'est la seule fonction du programme dont l'image exclut une valeur. Écrire « image $=\mathbb{R}$ » est donc faux à coup sûr, et cette exclusion vaut son point à elle seule.

Passer de la forme générale à la forme canonique

• Objectif : faire apparaître le dénominateur au numérateur, pour couper la fraction en deux morceaux.
• 1. Repérer $h$ en annulant le dénominateur : $2x-6=0$ donne $h=3$ .
• 2. Réécrire le numérateur en faisant apparaître le dénominateur : $3x+1=\frac{3}{2}(2x-6)+10$ .
• 3. Séparer : $\frac{3x+1}{2x-6}=\frac{3}{2}+\frac{10}{2x-6}$ , puis mettre le coefficient de $x$ en évidence au dénominateur.
• La constante isolée est $k$ , l'asymptote horizontale; le reste donne $A$ et confirme $h$ .

Contrôle immédiat après le calcul : donner à $x$ une valeur simple, par exemple $x=0$ , et vérifier que les deux écritures donnent le même nombre. Une erreur de division se voit en cinq secondes.

Variation, zéro et ordonnée à l'origine

• L'hyperbole n'est jamais monotone sur son domaine entier : elle l'est SUR CHAQUE branche, séparément.
• Si $A>0$ , elle est décroissante sur chaque branche; si $A<0$ , croissante sur chacune.
• Le zéro s'obtient en annulant le NUMÉRATEUR de la forme générale, à condition que le dénominateur n'y soit pas nul.
• L'ordonnée à l'origine vaut $f(0)=\frac{b}{d}$ , à condition que $0$ appartienne au domaine.
• Il y a au plus un zéro : une hyperbole coupe l'axe des $x$ une fois, ou pas du tout si $k=0$ .

« Décroissante sur $\mathbb{R}$ privé de $h$ » est faux : entre les deux branches, la fonction saute de $-\infty$ à $+\infty$ . On écrit toujours « décroissante sur chacun des deux intervalles ».

Les inéquations rationnelles

• On ne multiplie JAMAIS par le dénominateur : son signe est inconnu, donc le sens de l'inégalité l'est aussi.
• Méthode : tout ramener d'un seul côté, réduire au même dénominateur, puis étudier le signe du quotient.
• Le tableau de signe comporte deux valeurs charnières : le zéro du numérateur et la valeur interdite.
• Un quotient est positif quand numérateur et dénominateur sont de MÊME signe, négatif sinon.
• La valeur interdite est TOUJOURS exclue de l'ensemble solution, avec un crochet ouvert, même si l'inégalité est large.

Le tableau de signe rapporte des points même si l'intervalle final est faux, alors qu'une multiplication par le dénominateur est sanctionnée même quand elle tombe juste par hasard.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire l'asymptote horizontale sur les constantes

2 points, et le tracé comme l'image sont faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{3x+1}{2x-6}$ : l'asymptote horizontale est $y=\frac{1}{-6}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'asymptote horizontale est $y=\frac{a}{c}=\frac{3}{2}$ : c'est le rapport des coefficients de $x$ , car ce sont eux qui dominent quand $x$ devient grand. »

L'asymptote horizontale se lit sur les coefficients de

x

\frac{3}{2}

, et non sur les constantes : c'est la hauteur vers laquelle les deux branches se couchent.

Pourquoi : Quand $x$ devient très grand, les constantes deviennent négligeables devant les termes en $x$ : la fraction tend donc vers $\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$ . Le contrôle est immédiat : $f(1000)\approx 1{,}505$ , et non $-0{,}167$ .

2. Annoncer l'image comme l'ensemble des réels

1 point à chaque étude de fonction, et c'est la question la plus rapide du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{2}{x-1}+5$ : le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et l'image est $\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'image est $\mathbb{R}\setminus\{5\}$ : la valeur $5$ n'est jamais atteinte, car $\frac{2}{x-1}$ ne s'annule jamais. »

Les deux branches serrent la droite

y=5

sans jamais la toucher :

\frac{2}{x-1}

ne s'annule pas, donc

5

est la seule valeur exclue de l'image.

Pourquoi : L'hyperbole est la seule fonction du programme dont l'image exclut une valeur, et cette valeur est exactement $k$ . Résoudre $f(x)=5$ donnerait $\frac{2}{x-1}=0$ , qui n'a aucune solution : c'est la démonstration en une ligne.

3. Multiplier une inéquation par le dénominateur

toute la question, et l'intervalle rendu contient la valeur interdite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x+2}{x-3}>0$ : je multiplie par $x-3$ , donc $x+2>0$ , donc $x>-2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le signe de $x-3$ est inconnu, donc on ne multiplie pas. Tableau de signe avec les valeurs charnières $-2$ et $3$ : $S=\,]-\infty;-2[\,\cup\,]3;+\infty[$ . »

Pourquoi : Multiplier par un nombre négatif renverse l'inégalité, or on ignore le signe de $x-3$ tant que $x$ est inconnu. Le tableau de signe évite entièrement le problème, puisqu'il examine séparément chaque zone où les signes sont constants.

4. Inclure la valeur interdite dans l'ensemble solution

1 point à chaque inéquation rationnelle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x+2}{x-3}\ge 0$ : l'inégalité est large, donc $S=\,]-\infty;-2]\,\cup\,[3;+\infty[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La valeur $3$ annule le dénominateur, donc l'expression n'existe pas : $S=\,]-\infty;-2]\,\cup\,]3;+\infty[$ , avec un crochet OUVERT en $3$ . »

La borne

-2

annule le numérateur, elle entre dans la solution avec un crochet fermé; la borne

3

annule le dénominateur, elle en sort, même quand l'inégalité est large.

Pourquoi : Une inégalité large permet d'inclure les valeurs qui ANNULENT l'expression, c'est-à-dire les zéros du numérateur, mais jamais celles qui la rendent inexistante. Le crochet du zéro suit l'inégalité, celui de la valeur interdite est toujours ouvert.

5. Se tromper de signe en passant à la forme canonique

2 points, et une asymptote verticale placée du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{3x+1}{2x-6}=\frac{3}{2}+\frac{10}{2x-6}$ , donc $A=10$ et $h=-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{10}{2x-6}=\frac{10}{2(x-3)}=\frac{5}{x-3}$ , donc $A=5$ et $h=+3$ . Le dénominateur s'annule en $3$ , pas en $-3$ . »

Pourquoi : Il faut mettre le coefficient de $x$ en évidence au dénominateur avant de lire $h$ et $A$ : sans cette étape, on lit le $-6$ au lieu du $3$ . Le contrôle est direct : $h$ est la valeur qui ANNULE le dénominateur, et elle se vérifie en une soustraction.

6. Chercher le zéro en annulant le dénominateur

2 points, et le zéro annoncé est exactement l'asymptote

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{3x+1}{2x-6}$ : le zéro est en $x=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une fraction est nulle quand son NUMÉRATEUR l'est : $3x+1=0$ donne $x=-\frac{1}{3}$ . En $x=3$ , la fonction n'existe même pas. »

Pourquoi : Annuler le dénominateur donne la valeur interdite, c'est-à-dire l'endroit où la fonction explose, ce qui est l'opposé d'un zéro. Les deux questions se ressemblent parce qu'elles mobilisent la même fraction, mais elles portent sur des parties différentes.

7. Annoncer une variation sur le domaine entier

1 point de rigueur, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ ET sur $]0;+\infty[$ , mais pas sur leur réunion : $f(-1)=-1$ est plus petit que $f(1)=1$ , alors que $-1<1$ . »

Pourquoi : La décroissance suppose que la courbe descend sans interruption, ce que l'asymptote verticale empêche : entre les deux branches, la fonction saute de $-\infty$ à $+\infty$ . On écrit donc toujours « sur chacun des deux intervalles ».

8. Oublier la valeur interdite du problème dans un contexte concret

1 point de modélisation, et une réponse qui accepte des valeurs négatives

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coût unitaire est $C(n)=\frac{500+3n}{n}$ : le domaine est $\mathbb{R}$ privé de $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n$ est un nombre d'articles produits, donc un entier strictement positif : le domaine du problème est $\mathbb{N}^{*}$ , et la valeur interdite $n=0$ n'a de toute façon aucun sens ici. »

Pourquoi : Le domaine mathématique et le domaine du problème sont deux choses différentes : le contexte restreint presque toujours davantage. Une quantité produite, une durée, une concentration sont positives, et le dire fait partie de la réponse.

Quelle méthode choisir

Trouver les asymptotes, selon l'écriture disponible

Deux asymptotes à trouver, et la méthode dépend uniquement de la forme sous laquelle la fonction est écrite. Ne convertissez que si c'est nécessaire.

Si la fonction est sous forme canonique $\frac{A}{x-h}+k$ → les deux asymptotes se lisent directement : $x=h$ et $y=k$

Exemple : $\frac{2}{x-1}+5$ : asymptotes $x=1$ et $y=5$

Attention au signe : le signe écrit au dénominateur est celui de $-h$ .
Si la fonction est sous forme générale $\frac{ax+b}{cx+d}$ → asymptote verticale en annulant le dénominateur, asymptote horizontale $y=\frac{a}{c}$

Exemple : $\frac{3x+1}{2x-6}$ : verticale $x=3$ , horizontale $y=\frac{3}{2}$

Aucune conversion n'est nécessaire pour les seules asymptotes : deux lectures suffisent.
Si on demande explicitement la forme canonique → faire apparaître le dénominateur au numérateur, séparer, puis mettre le coefficient de $x$ en évidence

Exemple : $\frac{3x+1}{2x-6}=\frac{3}{2}+\frac{5}{x-3}$

Vérifier en $x=0$ : les deux écritures doivent donner le même nombre.
Si seul un graphique est donné → lire les deux droites que la courbe approche sans les toucher, puis $A$ avec un point de la courbe

Exemple : asymptotes $x=2$ et $y=-1$ , passage par $(3;4)$ : $4=\frac{A}{1}-1$ , donc $A=5$
Si un contexte de coût unitaire ou de dilution → l'asymptote horizontale est la valeur LIMITE à long terme, et elle a un sens concret

Exemple : coût unitaire $\frac{500+3n}{n}=3+\frac{500}{n}$ : le coût tend vers $3$ dollars par article

Cette limite est presque toujours la question finale du problème, et elle se lit sans calcul une fois la forme canonique écrite.

Aucune branche ne s'applique si le numérateur est de degré supérieur à $1$ : la fonction n'est alors pas homographique, il n'y a pas d'asymptote horizontale, et le chapitre n'est pas celui-ci.

Résoudre, selon le symbole de l'énoncé

La méthode se décide sur un seul détail : est-ce une égalité ou une inégalité ? Le passage de l'une à l'autre change tout, et c'est là que les copies se perdent.

Si c'est une ÉQUATION $f(x)=c$ → multiplier en croix est permis, puis vérifier que la solution n'est pas la valeur interdite

Exemple : $\frac{3x+1}{2x-6}=2$ donne $3x+1=4x-12$ , donc $x=13$

Ici multiplier est licite parce qu'on multiplie une égalité, dont le sens ne peut pas se renverser.
Si l'équation demande le ZÉRO de la fonction → annuler le NUMÉRATEUR, puis vérifier que le dénominateur ne s'annule pas en ce point

Exemple : $3x+1=0$ donne $x=-\frac{1}{3}$ , qui est bien différent de $3$
Si c'est une INÉQUATION → tout ramener d'un côté, réduire au même dénominateur, faire un tableau de signe

Exemple : $\frac{x+2}{x-3}>0$ donne $S=\,]-\infty;-2[\,\cup\,]3;+\infty[$

Ne jamais multiplier par le dénominateur : son signe est inconnu, donc le sens de l'inégalité aussi.
Si l'inéquation compare la fonction à un nombre non nul → soustraire ce nombre et réduire au même dénominateur AVANT le tableau

Exemple : $\frac{x+2}{x-3}>1$ devient $\frac{x+2-(x-3)}{x-3}=\frac{5}{x-3}>0$ , donc $x>3$

Le numérateur peut devenir une constante, ce qui simplifie encore le tableau.
Si on demande la RÉCIPROQUE → échanger $x$ et $y$ , puis isoler $y$ en regroupant tous ses termes d'un côté

Exemple : $y=\frac{3x+1}{2x-6}$ donne $x=\frac{3y+1}{2y-6}$ , puis $y=\frac{6x+1}{2x-3}$

La réciproque d'une homographique est une homographique : les asymptotes s'échangent, verticale contre horizontale.

Dans toutes les branches, la valeur interdite doit apparaître dans la réponse finale, exclue par un crochet ouvert. C'est le seul point du chapitre qui se perd sur une réponse par ailleurs entièrement juste.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une inéquation rationnelle par tableau de signe

Quand l'utiliser : L'énoncé compare une fraction à un nombre avec un symbole d'inégalité, ou demande « à partir de quelle quantité », « pour quelles valeurs le coût est inférieur à ».

1 Poser la valeur interdite dès la première ligne : « le dénominateur s'annule en $x=3$ , qui est exclue du domaine ».
2 Tout ramener d'un seul côté pour obtenir une comparaison à zéro. Ne JAMAIS multiplier par le dénominateur.
3 Réduire au même dénominateur et simplifier le numérateur.
4 Trouver les valeurs charnières : le zéro du numérateur et la valeur interdite.
5 Construire le tableau de signe avec une ligne pour le numérateur, une pour le dénominateur, une pour le quotient.
6 Lire les intervalles où le quotient a le signe demandé.
7 Écrire l'ensemble solution, avec un crochet OUVERT en la valeur interdite, quelle que soit l'inégalité.

Phrase de conclusion

« Le dénominateur s'annule en $x=3$ , valeur exclue du domaine. L'inéquation $\frac{x+2}{x-3}\ge 0$ a pour valeurs charnières $-2$ , zéro du numérateur, et $3$ , valeur interdite. Le tableau de signe montre que le quotient est positif à l'extérieur de ces deux valeurs. Donc $S=\,]-\infty;-2]\,\cup\,]3;+\infty[$ . »

Le piège : Multiplier les deux membres par le dénominateur pour se débarrasser de la fraction. Le signe de ce dénominateur dépend de $x$ , donc le sens de l'inégalité aussi : la réponse obtenue est correcte sur une branche et fausse sur l'autre.

Barème : 1 point la valeur interdite posée, 1 point la mise sous forme d'un quotient comparé à zéro, 1 point le tableau de signe, 1 point les intervalles avec les bons crochets.

Passer de la forme générale à la forme canonique

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la forme canonique, les asymptotes, le centre de symétrie, ou le tracé d'une fonction donnée sous forme de fraction.

1 Annuler le dénominateur pour trouver $h$ , et le noter tout de suite : « $2x-6=0$ donne $h=3$ ».
2 Réécrire le numérateur en y faisant apparaître le dénominateur, multiplié par la constante appropriée.
3 Séparer la fraction en deux : la partie qui se simplifie donne $k$ , le reste donne le terme fractionnaire.
4 Mettre le coefficient de $x$ en évidence au dénominateur, puis simplifier pour obtenir la forme $\frac{A}{x-h}$ .
5 Écrire la forme canonique complète et en déduire les deux asymptotes et le centre de symétrie.
6 VÉRIFIER en $x=0$ , ou en toute valeur simple du domaine, que les deux écritures donnent le même nombre.

Phrase de conclusion

« Le dénominateur s'annule en $x=3$ . En écrivant $3x+1=\frac{3}{2}(2x-6)+10$ , on obtient $f(x)=\frac{3}{2}+\frac{10}{2x-6}=\frac{3}{2}+\frac{5}{x-3}$ . Les asymptotes sont donc $x=3$ et $y=\frac{3}{2}$ , et le centre de symétrie est le point $\left(3;\frac{3}{2}\right)$ . »

Le piège : Lire $h$ sur le dénominateur non factorisé et annoncer $h=-6$ ou $h=6$ . Le paramètre $h$ est la valeur qui ANNULE le dénominateur, donc il se calcule, il ne se lit pas. La mise en évidence du coefficient de $x$ est l'étape qui le rend visible.

Barème : 1 point la valeur de $h$ , 1 point la réécriture du numérateur, 1 point la forme canonique correcte, 1 point les asymptotes et le centre de symétrie.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le comportement aux grandes valeurs, contre l'asymptote horizontale

Calculer $f(1000)$ et $f(-1000)$ : les deux doivent s'approcher de l'asymptote horizontale annoncée, par en dessous d'un côté et par au-dessus de l'autre. C'est la vérification la plus rapide contre l'erreur de lecture des coefficients.

Pour $f(x)=\frac{3x+1}{2x-6}$ , on trouve $f(1000)\approx 1{,}505$ et $f(-1000)\approx 1{,}496$ . L'asymptote $y=1{,}5$ est confirmée, et la valeur $y=-\frac{1}{6}$ est exclue.
Le test en $x=0$ après un passage à la forme canonique

Calculer l'ordonnée à l'origine avec la forme générale, puis avec la forme canonique. Les deux nombres doivent être identiques. Toute erreur de division ou de signe se révèle ici, et le calcul prend dix secondes.

Forme générale : $\frac{1}{-6}\approx -0{,}167$ . Forme canonique $\frac{3}{2}+\frac{5}{-3}=1{,}5-1{,}667\approx -0{,}167$ . Les deux coïncident, la conversion est correcte.
Tester une valeur dans chaque zone du tableau de signe

Le tableau de signe découpe la droite en trois zones. Choisir un nombre simple dans chacune et calculer le quotient : les signes obtenus doivent correspondre exactement à ceux du tableau. Trois calculs, et le tableau est validé.

Pour $\frac{x+2}{x-3}$ : en $x=-5$ on trouve $\frac{-3}{-8}>0$ , en $x=0$ on trouve $\frac{2}{-3}<0$ , en $x=5$ on trouve $\frac{7}{2}>0$ . Le motif positif, négatif, positif est confirmé.
La symétrie centrale du tracé

Vérifier que les deux branches sont symétriques par rapport au point $(h;k)$ : pour tout écart $d$ , les valeurs $f(h+d)$ et $f(h-d)$ doivent être à égale distance de $k$ , de part et d'autre. Deux calculs suffisent.

Pour $f(x)=\frac{5}{x-3}+1{,}5$ : $f(4)=6{,}5$ et $f(2)=-3{,}5$ . Leur moyenne vaut $1{,}5$ , c'est-à-dire exactement $k$ , ce qui confirme le centre de symétrie.

L'exercice type décortiqué

Le coût unitaire de production : forme canonique, seuil et limite

Une petite entreprise de Montréal a des frais fixes de $500$ dollars et un coût de $3$ dollars par article produit. Le coût unitaire moyen pour $n$ articles est $C(n)=\dfrac{500+3n}{n}$ .

a) Écrire $C$ sous forme canonique et donner ses deux asymptotes. b) Quel est le coût unitaire pour $100$ articles ? c) À partir de combien d'articles le coût unitaire descend-il sous $5$ dollars ? d) Le coût unitaire peut-il atteindre $3$ dollars ?

Étape 1

$C(n)=\frac{500+3n}{n}=\frac{500}{n}+\frac{3n}{n}=\frac{500}{n}+3$ . Les asymptotes sont donc $n=0$ , verticale, et $C=3$ , horizontale.

Pourquoi

Ici la séparation est immédiate parce que le dénominateur est déjà $n$ : aucune division à poser. Et la forme obtenue se lit en français, ce qui est l'intérêt du chapitre : le coût unitaire, c'est les frais fixes répartis, plus le coût variable de chaque article.

Étape 2

Le domaine du problème est l'ensemble des entiers strictement positifs : $n$ est un nombre d'articles, donc $n\ge 1$ . La valeur interdite $n=0$ est exclue à la fois mathématiquement et concrètement.

Pourquoi

Le contexte restreint le domaine bien plus que la seule valeur interdite : ni les nombres négatifs ni les fractions d'article n'ont de sens. Poser ce domaine dès le départ évite d'annoncer plus tard une réponse comme $n>166{,}67$ sans l'arrondir.

Étape 3

$C(100)=\frac{500}{100}+3=5+3=8$ dollars par article.

Pourquoi

La forme canonique rend le calcul mental immédiat, alors que la forme générale demanderait une division de $800$ par $100$ . C'est un gain de temps, mais surtout un gain de sécurité : on voit que $5$ dollars sont des frais fixes répartis.

Étape 4

On cherche $C(n)<5$ , soit $\frac{500}{n}+3<5$ , donc $\frac{500}{n}<2$ . Comme $n>0$ dans ce problème, on peut ici multiplier par $n$ sans changer le sens : $500<2n$ , donc $n>250$ .

Pourquoi

La multiplication par $n$ n'est licite que parce que le CONTEXTE garantit $n>0$ , et il faut l'écrire. Sans cette justification, le geste est fautif : sur le domaine mathématique complet, la branche négative donnerait un tout autre résultat.

Étape 5

Comme $n$ est un entier, le coût unitaire descend sous $5$ dollars à partir de $n=251$ articles.

Pourquoi

L'inégalité est stricte, donc $250$ ne convient pas : $C(250)=5$ exactement. L'arrondi à l'entier suivant est le point de contexte de la question, et le vérifier avec $C(250)$ et $C(251)$ prend cinq secondes.

Étape 6

$C(n)=3$ donnerait $\frac{500}{n}=0$ , ce qui est impossible : une fraction de numérateur non nul ne s'annule jamais. Le coût unitaire ne peut donc jamais atteindre $3$ dollars, il s'en approche seulement.

Pourquoi

C'est l'asymptote horizontale lue dans le monde réel : les frais fixes se diluent indéfiniment sans jamais disparaître. Cette question teste exactement la propriété qui distingue l'hyperbole des autres fonctions, l'exclusion d'une valeur de l'image.

Étape 7

Vérification : $C(250)=\frac{500}{250}+3=5$ dollars et $C(251)\approx 4{,}992$ dollars, ce qui confirme le seuil. Pour $n=100000$ , $C\approx 3{,}005$ dollars : proche de $3$ , mais strictement au-dessus.

Pourquoi

Le calcul sur une très grande valeur illustre la question d) mieux qu'un argument abstrait : le coût s'approche de $3$ dollars sans jamais l'atteindre. Et l'encadrement $250$ contre $251$ valide l'arrondi de la question c) sans reprendre l'inéquation.

Conclusion rédigée

« Sous forme canonique, $C(n)=\frac{500}{n}+3$ , dont les asymptotes sont $n=0$ et $C=3$ . Le coût unitaire pour $100$ articles est de $8$ dollars. Il descend sous $5$ dollars lorsque $\frac{500}{n}<2$ , c'est-à-dire pour $n>250$ , donc à partir de $251$ articles, le nombre d'articles étant entier. Enfin le coût unitaire ne peut jamais atteindre $3$ dollars : la valeur $3$ est exclue de l'image, et les frais fixes se répartissent indéfiniment sans jamais s'annuler. »

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « à partir de $250$ articles » à la question c) sans vérifier que l'inégalité est stricte : le calcul $C(250)=5$ montre que ce nombre ne convient pas. Le second travers, plus grave, est de multiplier par $n$ sans justifier que $n>0$ : le geste est correct ici uniquement grâce au contexte, et l'omettre coûte le point de rigueur même quand la réponse tombe juste.

À savoir par cœur

• Forme canonique $\frac{A}{x-h}+k$ : asymptote verticale $x=h$ , asymptote horizontale $y=k$ .
• Forme générale $\frac{ax+b}{cx+d}$ : asymptote horizontale $y=\frac{a}{c}$ , le rapport des coefficients de $x$ .
• Domaine $=\mathbb{R}\setminus\{h\}$ et image $=\mathbb{R}\setminus\{k\}$ : les DEUX exclusions se disent.
• Le point $(h;k)$ est le centre de symétrie de l'hyperbole.
• Le zéro s'obtient en annulant le NUMÉRATEUR; la valeur interdite en annulant le dénominateur.
• Monotone sur CHAQUE branche, jamais sur le domaine entier.
• Inéquation rationnelle : ramener à zéro, réduire au même dénominateur, TABLEAU DE SIGNE. Jamais multiplier.
• La valeur interdite est toujours exclue de l'ensemble solution, même avec une inégalité large.
• Pour la forme canonique : mettre le coefficient de $x$ en évidence au dénominateur AVANT de lire $h$ et $A$ .

Questions fréquentes

Comment trouver les asymptotes d'une fonction homographique ?

L'asymptote verticale est la valeur qui annule le dénominateur. L'asymptote horizontale est le rapport des coefficients de x, celui du numérateur divisé par celui du dénominateur, car ce sont les termes qui dominent quand x devient grand. Sous forme canonique, les deux se lisent directement dans l'écriture.

Pourquoi l'image d'une fonction homographique n'est pas l'ensemble des réels ?

Parce que la valeur de l'asymptote horizontale n'est jamais atteinte. Sous forme canonique, cela reviendrait à ce que la fraction s'annule, ce qui est impossible quand son numérateur est non nul. L'image est donc l'ensemble des réels privé de cette valeur, et c'est la seule fonction du programme dans ce cas.

Comment résoudre une inéquation avec une fraction ?

On ne multiplie jamais par le dénominateur, car son signe dépend de x et pourrait renverser l'inégalité. On ramène tout d'un même côté, on réduit au même dénominateur, puis on étudie le signe du quotient dans un tableau. Les valeurs charnières sont le zéro du numérateur et la valeur interdite, toujours exclue.

Comment passer de la forme générale à la forme canonique ?

On fait apparaître le dénominateur à l'intérieur du numérateur, puis on sépare la fraction en deux morceaux : une constante, qui donne l'asymptote horizontale, et une fraction résiduelle. On met ensuite le coefficient de x en évidence au dénominateur pour lire correctement l'asymptote verticale. Un test en zéro valide la conversion.

Une fonction homographique est-elle décroissante sur tout son domaine ?

Non, jamais. Elle est monotone sur chacune de ses deux branches, mais pas sur leur réunion, car l'asymptote verticale interrompt la courbe. Pour la fonction inverse par exemple, une valeur négative donne une image négative et une valeur positive une image positive, alors que la première est plus petite. On écrit donc toujours sur chacun des deux intervalles.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction rationnelle, dite homographique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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