Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : les calculs algébriques (math SN5)

Q: Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?

Comptez les termes. Avec un facteur commun à tous, c'est une mise en évidence simple, et on la tente toujours en premier. Avec deux termes, c'est une différence de carrés. Avec trois termes, c'est un carré parfait ou un trinôme. Avec quatre termes, c'est un groupement deux par deux. Au-delà du degré deux sans facteur commun, c'est le théorème du facteur.

Q: Pourquoi on ne peut pas simplifier les x dans une fraction algébrique ?

Parce qu'une barre de fraction porte sur toute l'expression du haut et sur toute celle du bas. On ne peut donc éliminer que ce qui les multiplie entièrement, autrement dit un facteur. Dans x au carré plus trois x, sur x plus un, les x sont des termes d'une somme, pas des facteurs : la fraction est déjà réduite.

Q: Comment trouver les valeurs interdites d'une fraction rationnelle ?

On factorise le dénominateur de l'expression de départ, puis on annule chaque facteur : les solutions obtenues sont les valeurs interdites. Elles se relèvent avant toute simplification et restent interdites ensuite, même quand le facteur qui les portait a disparu. Dans une division de fractions, le numérateur du diviseur donne des valeurs interdites supplémentaires.

Q: Comment factoriser un polynôme de degré 3 en secondaire 5 ?

On cherche d'abord une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant, positifs et négatifs. Dès qu'une valeur annule le polynôme, le théorème du facteur donne un premier facteur du premier degré. On divise alors le polynôme par ce facteur, par division synthétique, et il reste un trinôme du second degré à factoriser normalement.

Q: Comment rationaliser un dénominateur avec une racine carrée ?

Si le dénominateur est une seule racine, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine. S'il contient une somme ou une différence, on multiplie par son conjugué, c'est-à-dire la même expression avec le signe du milieu changé. Le produit fait alors apparaître une différence de carrés, et la racine disparaît du dénominateur.

Cette fiche ne refait pas le cours sur le calcul algébrique : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode de factorisation à choisir en regardant simplement le nombre de termes, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Développer et factoriser ne sont pas deux exercices, ce sont deux directions du même chemin, et l'examen demande presque toujours celle qui n'est pas écrite dans l'énoncé. Simplifier une fraction rationnelle sans avoir d'abord factorisé les deux membres, ou barrer un terme au lieu d'un facteur, coûte plus de points en SN5 que tout le reste du chapitre réuni : on ne simplifie jamais une somme, on ne simplifie qu'un produit.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
4La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4

Notions couvertes

Identités remarquables
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation par groupement
Trinôme du second degré
Fraction rationnelle
Valeurs interdites
Simplification de fractions algébriques
Théorème du facteur
Division de polynômes
Rationalisation du dénominateur
Expression conjuguée

L'essentiel

Les trois identités, dans les deux sens

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ et $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ : le double produit $2ab$ est le terme que tout le monde oublie.
• $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ : c'est la seule différence qui se factorise. Une SOMME de deux carrés, $a^{2}+b^{2}$ , ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ .
• $a$ et $b$ ne sont pas forcément des lettres seules : dans $9x^{2}-25$ , on a $a=3x$ et $b=5$ , donc $(3x-5)(3x+5)$ .
• Le cube n'est pas un carré : $(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$ , jamais $x^{3}+1$ .
• Lue de gauche à droite, une identité développe; lue de droite à gauche, elle factorise. C'est le même outil.

Vérification universelle d'une identité : donner à $x$ une valeur simple, par exemple $x=1$ ou $x=2$ , et comparer les deux membres numériquement. Dix secondes, et cela attrape presque toutes les erreurs de développement.

Factoriser : quatre méthodes, dans cet ordre

• 1. Mise en évidence simple : sortir le facteur commun à TOUS les termes, coefficient et lettres. On la tente toujours en premier.
• 2. Identité remarquable : $2$ termes qui forment une différence de carrés, ou $3$ termes qui forment un carré parfait.
• 3. Trinôme $ax^{2}+bx+c$ : somme et produit quand $a=1$ , discriminant sinon.
• 4. Groupement ou mise en évidence double : réservée aux $4$ termes, on associe deux par deux et on fait apparaître une parenthèse commune.
• « Le plus complètement possible » signifie qu'on recommence sur chaque facteur obtenu, tant qu'il reste quelque chose à factoriser.

Après une mise en évidence simple, relire le contenu de la parenthèse : c'est très souvent une identité remarquable, et c'est le second point de la question.

Fractions rationnelles : le domaine avant tout

• Les valeurs interdites sont les zéros du dénominateur de l'expression DE DÉPART, avant toute simplification.
• Une fois un facteur simplifié, la valeur interdite qu'il portait reste interdite : $\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$ pour $x\neq 2$ , et cette restriction s'écrit.
• On ne simplifie que des FACTEURS, jamais des termes : $\frac{x+3}{x}$ ne se simplifie pas, la fraction est déjà réduite.
• Additionner deux fractions demande un dénominateur commun, obtenu en factorisant d'abord les deux dénominateurs.
• Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse, et l'inverse a aussi son propre dénominateur, donc ses propres valeurs interdites.

Dans une division de fractions, le numérateur du diviseur passe au dénominateur : ses zéros deviennent des valeurs interdites supplémentaires que presque personne ne cherche.

Degré 3 et radicaux

• Théorème du facteur : si $P(r)=0$ , alors $(x-r)$ divise $P(x)$ . On teste les diviseurs du terme constant : $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ ...
• Une fois la racine $r$ trouvée, la division de $P(x)$ par $(x-r)$ laisse un trinôme, qu'on factorise comme d'habitude.
• Rationaliser $\frac{1}{\sqrt{a}}$ : multiplier haut et bas par $\sqrt{a}$ . Rationaliser $\frac{1}{\sqrt{a}-b}$ : multiplier par le conjugué $\sqrt{a}+b$ .
• $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ , mais $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ : la racine ne traverse pas une addition.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , et non $x$ : c'est le seul endroit du chapitre où la valeur absolue apparaît.

Le conjugué de $\sqrt{a}-b$ est $\sqrt{a}+b$ : on change UN seul signe, celui du milieu, jamais les deux.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Simplifier un terme au lieu d'un facteur dans une fraction

toute la question, et souvent la suivante qui s'appuie sur le résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x^{2}+3x}{x+1}=\frac{x^{2}+3}{1}=x^{2}+3$ , j'ai simplifié les $x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{x^{2}+3x}{x+1}=\frac{x(x+3)}{x+1}$ : aucun facteur commun au numérateur et au dénominateur, la fraction est déjà réduite. »

Pourquoi : Une barre de fraction est une division qui porte sur l'expression ENTIÈRE du haut et du bas. On ne peut donc éliminer que ce qui multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur, c'est-à-dire un facteur. Tant que rien n'est factorisé, aucune simplification n'est légitime.

2. Chercher les valeurs interdites sur la fraction déjà simplifiée

1 point à chaque fois, et la fonction est fausse en un point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2$ , donc l'expression est définie pour tout $x$ réel. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ pour $x\neq 2$ . La valeur $2$ reste interdite même après simplification. »

Pourquoi : La simplification transforme l'écriture, jamais le domaine : l'expression de départ n'a jamais eu de valeur en $x=2$ , et rien ne peut lui en donner une. Le domaine se lit UNE fois, sur l'énoncé, et se transporte ensuite jusqu'à la conclusion.

3. Développer un cube comme s'il s'agissait d'un carré

2 points, et une factorisation de degré 3 impossible ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x+1)^{3}=x^{3}+1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(x+1)^{3}=(x+1)(x+1)^{2}=(x+1)(x^{2}+2x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x+1$ . »

Les deux écritures ne coïncident qu'aux points où le double produit s'annule : en

x=2

, l'une vaut

27

et l'autre

9

. Le cube d'une somme a quatre termes.

Pourquoi : L'exposant ne se distribue jamais sur une somme, quel que soit son ordre. Le contrôle numérique règle la question en trois secondes : en $x=1$ , le vrai membre de gauche vaut $8$ , l'écriture fautive donne $2$ .

4. Oublier le double produit dans un carré

2 points, et une confusion durable entre les deux identités

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(3x-5)^{2}=9x^{2}-25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(3x-5)^{2}=9x^{2}-30x+25$ ; c'est $(3x-5)(3x+5)$ qui vaut $9x^{2}-25$ . »

Le carré de côté

3x

contient le carré cherché, DEUX rectangles

5(3x-5)

et le petit carré

25

: c'est le double produit que la réponse

9x^{2}-25

oublie.

Pourquoi : Les deux identités se ressemblent à l'écrit et se distinguent au premier coup d'oeil : deux signes IDENTIQUES dans les parenthèses donnent trois termes, deux signes OPPOSÉS donnent deux termes. Le carré produit toujours un trinôme, jamais un binôme.

5. Perdre le signe en mettant un moins en évidence

toute la factorisation, les zéros trouvés ensuite sont faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-2x^{2}+6x-8=-2(x^{2}+3x+4)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-2x^{2}+6x-8=-2(x^{2}-3x+4)$ : chaque terme est divisé par $-2$ , donc chaque signe change. »

Pourquoi : Mettre $-2$ en évidence, c'est diviser CHAQUE terme par $-2$ , pas seulement le premier. Le contrôle est immédiat : on redéveloppe mentalement la parenthèse et on doit retomber sur l'expression de départ.

6. Faire traverser une racine ou un carré à une addition

toute la question, et le résultat est numériquement absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x^{2}+9}=x+3$ , donc pour $x=4$ cela vaut $7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x^{2}+9}$ ne se simplifie pas : pour $x=4$ , $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ , et non $7$ . La racine ne se distribue pas sur une somme. »

x=4

, la racine vaut

5

et la somme

x+3

vaut

7

: les deux courbes ne se rejoignent jamais. Une racine ne traverse pas une addition.

Pourquoi : Racine, carré, inverse et logarithme sont des fonctions : elles ne traversent que les produits et les quotients, jamais les sommes. La seule parade fiable est le test numérique, qui coûte cinq secondes.

7. Grouper les quatre termes sans obtenir de parenthèse commune

2 points sur 4 : la factorisation n'est pas complète

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{3}+2x^{2}-9x-18=x^{2}(x+2)-9(x+2)$ , donc c'est factorisé et je m'arrête. »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^{2}-9)=(x+2)(x-3)(x+3)$ : la parenthèse commune se met en évidence, puis $x^{2}-9$ est une différence de carrés. »

Pourquoi : Le groupement n'est jamais l'étape finale, c'est celle qui FAIT APPARAÎTRE le facteur commun. Et « le plus complètement possible » oblige à relire chaque facteur obtenu : ici le second est une identité remarquable.

8. Rationaliser en changeant les deux signes du conjugué

1 point, et la racine reste au dénominateur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ , je multiplie par $\frac{-\sqrt{5}+2}{-\sqrt{5}+2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je multiplie par $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$ : le dénominateur devient $(\sqrt{5})^{2}-2^{2}=5-4=1$ , donc $\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$ . »

Pourquoi : Le conjugué change UN seul signe, celui qui sépare les deux termes : c'est ce qui déclenche l'identité $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ et fait disparaître la racine. Changer les deux signes revient à multiplier par $-1$ , ce qui ne rationalise rien du tout.

Quelle méthode choisir

Quelle factorisation, selon le nombre de termes

Après avoir tout ramené du même côté et réduit, comptez les termes. Le nombre de termes désigne la méthode, avant même de regarder ce qu'ils contiennent.

Si tous les termes ont un facteur commun → mise en évidence simple d'abord, TOUJOURS, puis on recommence sur la parenthèse

Exemple : $6x^{3}-24x=6x(x^{2}-4)=6x(x-2)(x+2)$

Le facteur commun prend le plus petit exposant de chaque lettre et le plus grand diviseur commun des coefficients.
Si 2 termes, une différence de carrés → $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Exemple : $49x^{2}-16=(7x-4)(7x+4)$

Une somme de carrés $a^{2}+b^{2}$ ne se factorise pas dans les réels, et c'est une réponse acceptable à l'examen.
Si 3 termes dont le premier et le dernier sont des carrés → tester le carré parfait : le terme du milieu doit valoir $2ab$

Exemple : $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ car $2\times 5=10$

Si le terme du milieu ne vaut pas exactement $2ab$ , ce n'est pas un carré parfait et on passe au trinôme général.
Si 3 termes, trinôme $ax^{2}+bx+c$ ordinaire → somme et produit si $a=1$ , sinon discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ puis $a(x-x_{1})(x-x_{2})$

Exemple : $x^{2}-x-6$ : somme $-1$ , produit $-6$ , donc $(x-3)(x+2)$
Si 4 termes → groupement deux par deux, puis mise en évidence de la parenthèse commune

Exemple : $2x^{3}+x^{2}-8x-4=x^{2}(2x+1)-4(2x+1)=(2x+1)(x-2)(x+2)$

Si la parenthèse commune n'apparaît pas, changez de groupement : le 1er avec le 3e, le 2e avec le 4e.
Si degré 3 ou plus, sans facteur commun ni groupement → théorème du facteur : tester $x=\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ parmi les diviseurs du terme constant, puis diviser

Exemple : $x^{3}-7x+6$ : $P(1)=0$ , donc $(x-1)$ divise, et le quotient $x^{2}+x-6$ se factorise en $(x+3)(x-2)$

Aucune branche ne s'applique quand le trinôme a un discriminant négatif : l'expression est alors irréductible dans $\mathbb{R}$ , et c'est la réponse attendue. Écrire « non factorisable dans les réels car $\Delta<0$ » vaut le point entier.

Que faire d'une fraction, selon l'opération demandée

Le geste dépend uniquement du symbole entre les fractions. Dans tous les cas, on factorise d'abord chaque numérateur et chaque dénominateur : c'est la seule étape commune à toutes les branches.

Si une seule fraction, on demande de simplifier → factoriser haut et bas, écrire les valeurs interdites, puis éliminer les facteurs communs

Exemple : $\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^{2}}=\frac{x-3}{x+3}$ pour $x\neq -3$
Si une multiplication → factoriser les quatre expressions, puis simplifier en croix avant de multiplier

Exemple : $\frac{x^{2}-4}{x}\cdot\frac{x^{2}}{x+2}=x(x-2)$ pour $x\neq 0$ et $x\neq -2$

Simplifier AVANT de multiplier évite un polynôme de degré 4 qu'il faudrait refactoriser.
Si une division → multiplier par l'inverse, et ajouter les zéros du NUMÉRATEUR du diviseur aux valeurs interdites

Exemple : $\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$ exige $B\neq 0$ , $D\neq 0$ ET $C\neq 0$

C'est la seule branche où une valeur interdite vient d'un numérateur : trois conditions, pas deux.
Si une addition ou une soustraction → factoriser les dénominateurs, prendre le plus petit dénominateur commun, puis additionner les numérateurs

Exemple : $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)+(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x}{x^{2}-4}$

Dans une soustraction, le signe moins porte sur TOUT le numérateur suivant : il faut des parenthèses.
Si une fraction dont le numérateur ou le dénominateur est lui-même une fraction → traiter le haut et le bas séparément jusqu'à obtenir une seule fraction de chaque côté, puis diviser

Exemple : $\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x-1}{x}}=\frac{x+1}{x-1}$ pour $x\neq 0$ et $x\neq 1$

Dans toutes les branches, les valeurs interdites se relèvent sur l'écriture INITIALE, avant la moindre simplification, et se recopient dans la réponse finale. Une réponse juste sans son domaine perd systématiquement un point.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Simplifier une fraction rationnelle en donnant son domaine

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « simplifier », « réduire », « écrire sous forme irréductible », ou demande les valeurs interdites d'une expression fractionnaire.

1 Factoriser complètement le numérateur, en annonçant la méthode : « le numérateur est une différence de carrés ».
2 Factoriser complètement le dénominateur de la même façon.
3 Écrire les valeurs interdites AVANT de simplifier, en annulant chaque facteur du dénominateur de départ : « le dénominateur s'annule pour $x=3$ et $x=-3$ ».
4 Éliminer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, un par un.
5 Écrire la fraction réduite, suivie de la restriction sur $x$ , sur la même ligne.
6 Vérifier sur une valeur autorisée : l'expression de départ et l'expression réduite doivent donner le même nombre.

Phrase de conclusion

« $\frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^{2}}=\frac{x+3}{x-3}$ , pour tout $x\neq 3$ . »

Le piège : Écrire la réponse réduite sans la restriction. La fraction réduite est définie en une valeur où l'expression de départ ne l'était pas : les deux écritures ne sont égales que sur le domaine de la première, et c'est cela que la restriction dit.

Barème : 1 point la factorisation des deux membres, 1 point les valeurs interdites relevées sur l'écriture de départ, 1 point la fraction réduite avec sa restriction.

Factoriser un polynôme de degré 3 par le théorème du facteur

Quand l'utiliser : On demande de factoriser, de résoudre ou de trouver les zéros d'un polynôme de degré $3$ où aucune mise en évidence ni aucun groupement ne fonctionne.

1 Lister les diviseurs entiers du terme constant : ce sont les seules racines entières possibles.
2 Tester ces valeurs une à une dans $P(x)$ jusqu'à en trouver une qui annule le polynôme.
3 Annoncer le théorème du facteur avec sa conclusion : « $P(1)=0$ , donc $(x-1)$ est un facteur de $P(x)$ ».
4 Diviser $P(x)$ par $(x-1)$ , par division synthétique ou par division longue, et écrire le quotient obtenu.
5 Factoriser le trinôme quotient par les méthodes habituelles.
6 Écrire la factorisation complète en produit de facteurs du premier degré, puis conclure sur les zéros si c'est la question.

Phrase de conclusion

« $P(1)=1-7+6=0$ , donc $(x-1)$ divise $P$ . La division donne $P(x)=(x-1)(x^{2}+x-6)=(x-1)(x+3)(x-2)$ . Les zéros de $P$ sont donc $-3$ , $1$ et $2$ . »

Le piège : Tester uniquement $x=1$ et abandonner. Il faut passer en revue les diviseurs du terme constant, POSITIFS ET NÉGATIFS : pour un terme constant de $6$ , ce sont $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ et $\pm 6$ , soit huit essais possibles.

Barème : 1 point la racine évidente trouvée et justifiée par $P(r)=0$ , 1 point la division et le quotient, 1 point la factorisation complète.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le test numérique, valable pour toute identité algébrique

Choisir une valeur simple de $x$ qui n'est pas une valeur interdite, par exemple $x=1$ ou $x=2$ , et calculer séparément l'expression de départ et votre résultat. Les deux nombres doivent être égaux. Une seule valeur suffit pour détecter une erreur, deux valeurs pour être tranquille.

Vous écrivez $(3x-5)^{2}=9x^{2}-25$ . En $x=1$ : à gauche $(-2)^{2}=4$ , à droite $9-25=-16$ . L'erreur apparaît avant même d'avoir relu la ligne.
Redévelopper mentalement chaque factorisation

Multiplier les deux premiers facteurs et comparer le terme de plus haut degré et le terme constant avec ceux de l'énoncé. Ces deux termes seuls attrapent la quasi-totalité des erreurs de signe, sans refaire tout le produit.

Vous annoncez $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ : le produit des constantes vaut $-6$ , correct, et leur somme vaut $-1$ , correct. Avec $(x+3)(x-2)$ , la somme donnerait $+1$ et l'erreur de signe se verrait aussitôt.
Compter les valeurs interdites avant et après

Le domaine se relève sur l'écriture de départ, jamais sur le résultat. Comparez donc votre liste finale de valeurs interdites au dénominateur INITIAL : chaque zéro de ce dénominateur doit y figurer, même s'il a disparu de l'expression réduite.

Après avoir simplifié $\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+5)}$ en $\frac{x+1}{x+5}$ , la réponse doit porter DEUX restrictions, $x\neq 2$ et $x\neq -5$ . N'en écrire qu'une, c'est avoir relevé le domaine trop tard.
La calculatrice comme juge de paix

Entrer l'expression de départ en $Y_{1}$ et votre résultat en $Y_{2}$ , puis afficher la table de valeurs. Les deux colonnes doivent coïncider partout, sauf aux valeurs interdites où $Y_{1}$ affiche une erreur. Sur TI, 2nde puis GRAPH; sur Casio, menu TABLE.

Une table où $Y_{1}$ et $Y_{2}$ coïncident partout sauf en $x=2$ , où $Y_{1}$ indique une erreur et $Y_{2}$ un nombre, confirme à la fois la simplification et l'existence de la valeur interdite.

L'exercice type décortiqué

Une fraction complexe de degré 3 : factoriser, simplifier, garder le domaine

On considère l'expression $E(x)=\dfrac{x^{3}-7x+6}{x^{2}+x-6}$ .

a) Factoriser complètement le numérateur et le dénominateur. b) Donner les valeurs interdites de $E$ . c) Simplifier $E$ . d) Résoudre $E(x)=0$ .

Étape 1

Le numérateur est de degré $3$ : aucun facteur commun, quatre termes absents, donc théorème du facteur. Les diviseurs de $6$ sont $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 6$ . On teste : $P(1)=1-7+6=0$ , donc $(x-1)$ divise $P(x)$ .

Pourquoi

L'ordre des méthodes n'est pas décoratif : on élimine d'abord la mise en évidence et le groupement, qui sont plus rapides, avant de se lancer dans une division. Et le test de $x=1$ se fait de tête, ce qui ne coûte rien.

Étape 2

Division synthétique par $1$ sur les coefficients $1$ , $0$ , $-7$ , $6$ : on obtient $1$ , $1$ , $-6$ , reste $0$ . Donc $x^{3}-7x+6=(x-1)(x^{2}+x-6)=(x-1)(x+3)(x-2)$ .

Pourquoi

Le terme en $x^{2}$ est absent, donc son coefficient est $0$ et il doit être écrit dans la ligne de la division. L'oublier décale toute la division et donne un reste non nul, ce qui contredirait le théorème du facteur : le reste nul est en soi une vérification.

Étape 3

Le dénominateur est un trinôme avec $a=1$ : somme $1$ , produit $-6$ , donc $3$ et $-2$ , d'où $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$ . Il s'annule pour $x=-3$ et $x=2$ : ce sont les valeurs interdites.

Pourquoi

Les valeurs interdites se relèvent ICI, sur le dénominateur factorisé de départ, et non après la simplification qui va justement faire disparaître ces deux facteurs. C'est le point de rédaction que le correcteur cherche en premier.

Étape 4

$E(x)=\frac{(x-1)(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)}=x-1$ , pour $x\neq -3$ et $x\neq 2$ .

Pourquoi

Le dénominateur entier se simplifie, ce qui donne une expression du premier degré : mais $E$ n'est pas la fonction $x-1$ , c'est la fonction $x-1$ privée de deux points. La restriction n'est pas une formalité, c'est la moitié de la réponse.

Étape 5

$E(x)=0$ équivaut à $x-1=0$ avec $x\neq -3$ et $x\neq 2$ , donc $x=1$ . Cette valeur est bien dans le domaine, donc $S=\{1\}$ .

Pourquoi

Une fraction est nulle quand son numérateur l'est ET que son dénominateur ne l'est pas. Ici il fallait vérifier que $1$ n'est ni $-3$ ni $2$ : la vérification est triviale, mais son absence coûte le point de rigueur.

Étape 6

Vérification : en $x=0$ , l'expression de départ vaut $\frac{6}{-6}=-1$ , et l'expression réduite vaut $0-1=-1$ . En $x=3$ , départ $\frac{27-21+6}{9+3-6}=\frac{12}{6}=2$ , réduite $3-1=2$ . Enfin le numérateur en $x=1$ vaut $0$ , ce qui confirme $S=\{1\}$ .

Pourquoi

Deux valeurs testées suffisent à valider une simplification de degré 3 : si la factorisation ou la division était fausse, la coïncidence sur deux points distincts serait un hasard improbable. Vingt secondes pour sécuriser quatre questions.

Conclusion rédigée

« On a $x^{3}-7x+6=(x-1)(x+3)(x-2)$ et $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$ . Les valeurs interdites de $E$ sont $x=-3$ et $x=2$ . Après simplification, $E(x)=x-1$ pour tout $x\neq -3$ et $x\neq 2$ . Enfin $E(x)=0$ pour $x=1$ , valeur qui appartient bien au domaine, donc $S=\{1\}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer $E(x)=x-1$ sans restriction, puis répondre à la question d) que $E(x)=0$ pour $x=1$ sans avoir vérifié le domaine. La réponse est juste par chance, mais le raisonnement ne l'est pas, et la même question avec un numérateur qui s'annulerait en $x=2$ donnerait une réponse fausse. Le second travers classique est d'oublier le coefficient $0$ du terme en $x^{2}$ dans la division synthétique, ce qui produit un reste non nul qu'on accepte alors sans réagir.

À savoir par cœur

• $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$ : trois termes, jamais deux. Le double produit est le terme qui tombe.
• $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ : seule la DIFFÉRENCE de carrés se factorise, la somme non.
• Ordre de factorisation : mise en évidence, identité, trinôme, groupement. Toujours dans cet ordre.
• On ne simplifie que des FACTEURS, jamais des termes. Sans factorisation préalable, aucune simplification.
• Les valeurs interdites se lisent sur le dénominateur DE DÉPART et restent interdites après simplification.
• Théorème du facteur : $P(r)=0$ équivaut à $(x-r)$ divise $P(x)$ . Tester les diviseurs du terme constant, signes compris.
• $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .
• Le conjugué de $\sqrt{a}-b$ est $\sqrt{a}+b$ : un seul signe change.
• Une fraction est nulle quand son NUMÉRATEUR est nul et son dénominateur ne l'est pas.

Questions fréquentes

Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?

Comptez les termes. Avec un facteur commun à tous, c'est une mise en évidence simple, et on la tente toujours en premier. Avec deux termes, c'est une différence de carrés. Avec trois termes, c'est un carré parfait ou un trinôme. Avec quatre termes, c'est un groupement deux par deux. Au-delà du degré deux sans facteur commun, c'est le théorème du facteur.

Pourquoi on ne peut pas simplifier les x dans une fraction algébrique ?

Parce qu'une barre de fraction porte sur toute l'expression du haut et sur toute celle du bas. On ne peut donc éliminer que ce qui les multiplie entièrement, autrement dit un facteur. Dans x au carré plus trois x, sur x plus un, les x sont des termes d'une somme, pas des facteurs : la fraction est déjà réduite.

Comment trouver les valeurs interdites d'une fraction rationnelle ?

On factorise le dénominateur de l'expression de départ, puis on annule chaque facteur : les solutions obtenues sont les valeurs interdites. Elles se relèvent avant toute simplification et restent interdites ensuite, même quand le facteur qui les portait a disparu. Dans une division de fractions, le numérateur du diviseur donne des valeurs interdites supplémentaires.

Comment factoriser un polynôme de degré 3 en secondaire 5 ?

On cherche d'abord une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant, positifs et négatifs. Dès qu'une valeur annule le polynôme, le théorème du facteur donne un premier facteur du premier degré. On divise alors le polynôme par ce facteur, par division synthétique, et il reste un trinôme du second degré à factoriser normalement.

Comment rationaliser un dénominateur avec une racine carrée ?

Si le dénominateur est une seule racine, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine. S'il contient une somme ou une différence, on multiplie par son conjugué, c'est-à-dire la même expression avec le signe du milieu changé. Le produit fait alors apparaître une différence de carrés, et la racine disparaît du dénominateur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Calculs algébriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Puissances et exposants fractionnaires Les fonctions définies par parties La fonction racine carrée La fonction rationnelle, dite homographique

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