Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : les puissances et les exposants fractionnaires (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les exposants : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, l'écriture à choisir selon la question posée, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un exposant fractionnaire n'est pas une notation décorative, c'est une racine déguisée : le dénominateur de l'exposant dit quelle racine, le numérateur dit quelle puissance. Presque tous les points perdus viennent d'appliquer une loi des exposants sans vérifier qu'elle a le droit de s'appliquer, parce qu'une racine PAIRE exige un radicande positif, et parce que les lois relient des puissances de même base ou de même exposant, jamais deux termes additionnés.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Calculs algébriques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
2La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
3La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
4Calculs algébriques

Notions couvertes

Lois des exposants
Exposant fractionnaire
Racine nième
Exposant négatif
Exposant nul
Radicande
Domaine d'existence d'une racine
Notation exponentielle
Réduction à une base commune
Comparaison de puissances
Radicaux imbriqués
Équation exponentielle

L'essentiel

Les cinq lois, et ce qu'elles exigent

• $a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$ et $\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$ : les deux exigent la MÊME base. Sans base commune, aucune des deux ne s'applique.
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ : les exposants se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
• $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$ : l'exposant traverse un produit et un quotient, JAMAIS une somme.
• $a^{0}=1$ pour tout $a\neq 0$ , et $a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$ : un exposant négatif inverse, il ne rend pas négatif.
• $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ et $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$ : le DÉNOMINATEUR de l'exposant est l'indice de la racine.

Toute loi des exposants relie des puissances qui se multiplient ou se divisent. Dès qu'un signe $+$ ou $-$ sépare deux puissances, il n'existe aucune loi : on calcule séparément, ou on met en évidence.

Quand une racine existe, et ce qu'elle vaut

• $n$ PAIR : $\sqrt[n]{a}$ n'existe dans $\mathbb{R}$ que si $a\ge 0$ , et le résultat est positif ou nul.
• $n$ IMPAIR : $\sqrt[n]{a}$ existe pour tout réel $a$ , et il a le signe de $a$ . Ainsi $\sqrt[3]{-8}=-2$ .
• $\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$ si $n$ est pair, et $=a$ si $n$ est impair. C'est la valeur absolue qui gère le cas pair.
• Une racine paire d'expression, $\sqrt[n]{E(x)}$ , impose la condition d'existence $E(x)\ge 0$ , qu'il faut résoudre AVANT l'équation.
• $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ pour un même indice seulement. Deux indices différents se ramènent d'abord en écriture exponentielle.

L'écriture $a^{m/n}$ avec $a<0$ n'a pas de sens quand $n$ est pair, même si la calculatrice affiche parfois un nombre : elle est passée par les complexes, pas par le programme de SN5.

Les deux écritures, et laquelle choisir

• Écriture radicale $\sqrt[n]{a^{m}}$ : lisible, exigée dans une réponse finale exacte.
• Écriture exponentielle $a^{m/n}$ : la seule sur laquelle les lois des exposants se manipulent sans réfléchir.
• Méthode générale : convertir tout en exposants fractionnaires, appliquer les lois, puis reconvertir en radical à la fin si l'énoncé le demande.
• $\sqrt{a}=a^{1/2}$ , $\sqrt[3]{a}=a^{1/3}$ , $\frac{1}{\sqrt{a}}=a^{-1/2}$ , $\sqrt{\sqrt{a}}=a^{1/4}$ .
• Un radical imbriqué se déplie en multipliant les exposants : $\sqrt[3]{\sqrt{a}}=\left(a^{1/2}\right)^{1/3}=a^{1/6}$ .

Convertir coûte deux lignes et supprime la moitié des erreurs du chapitre : la loi $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ est bien plus sûre que la manipulation directe de racines emboîtées.

Comparer et résoudre sans calculatrice

• Pour comparer deux puissances, on les ramène à une même base ou à un même exposant. Sans cela, aucune comparaison n'est possible.
• Même base $a>1$ : la plus grande puissance est celle qui a le plus grand exposant. Si $0<a<1$ , l'ordre s'INVERSE.
• Même exposant positif : la plus grande puissance est celle qui a la plus grande base.
• Équation exponentielle : si $a^{u}=a^{v}$ avec $a>0$ et $a\neq 1$ , alors $u=v$ . C'est le seul outil du chapitre.
• Une équation en $x^{m/n}=k$ se résout en élevant les deux membres à la puissance $\frac{n}{m}$ , puis en vérifiant chaque solution dans l'équation de départ.

Élever à une puissance paire n'est pas une opération réversible : elle peut créer des solutions étrangères. La vérification finale n'est donc pas une politesse, elle fait partie de la résolution.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les lois des exposants, vérifiées sur des nombres

Chaque loi est suivie du calcul qui la confirme, fait des deux côtés. C'est le contrôle qui permet de retrouver une loi oubliée en épreuve, sans la chercher dans sa mémoire.

L'écriture	Ce qu'elle exige	Ce qu'elle devient
$a^{x}\cdot a^{y}$	la MÊME base	$a^{x+y}$
Exemple : $2^{3}\cdot 2^{4}=8\times 16=128$ , et $2^{7}=128$ . Les exposants s'additionnent.
$\frac{a^{x}}{a^{y}}$	la MÊME base	$a^{x-y}$
Exemple : $\frac{2^{7}}{2^{4}}=\frac{128}{16}=8$ , et $2^{3}=8$ .
$\left(a^{x}\right)^{y}$	rien	$a^{xy}$
Exemple : $\left(2^{3}\right)^{4}=8^{4}=4096$ , et $2^{12}=4096$ . Ici les exposants se MULTIPLIENT, alors qu'ils s'additionnaient à la première ligne.
$(ab)^{x}$	un PRODUIT dans la parenthèse	$a^{x}b^{x}$
Exemple : $(2\cdot 5)^{3}=10^{3}=1000$ , et $2^{3}\cdot 5^{3}=8\times 125=1000$ . C'est la seule loi qui change de base.
$a^{0}$	$a\neq 0$	$1$
Exemple : $7^{0}=1$ et $0{,}5^{0}=1$ : la valeur de $a$ ne change rien, et le résultat n'est jamais $0$ .
$a^{-x}$	$a\neq 0$	$\frac{1}{a^{x}}$
Exemple : $2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125$ : un exposant négatif INVERSE, il ne rend pas négatif. Le résultat reste positif.
$a^{m/n}$	racine paire : $a\geq 0$	$\sqrt[n]{a^{m}}$
Exemple : $8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}=2^{2}=4$ : le DÉNOMINATEUR de l'exposant est l'indice de la racine.
$(a+b)^{x}$	$a^{x}+b^{x}$	l'exposant ne traverse pas une somme règle inexistante
Exemple : $(2+3)^{2}=25$ , alors que $2^{2}+3^{2}=13$ . Douze d'écart, sur des nombres à un chiffre. Ce qu'il faut faire : On calcule d'abord la somme dans la parenthèse, puis on élève. Si l'énoncé veut un développement, c'est l'identité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ qui sert, et le double produit $2ab=12$ est exactement l'écart constaté.
$a^{x}+a^{y}$	$a^{x+y}$	une somme ne fusionne pas règle inexistante
Exemple : $2^{3}+2^{4}=8+16=24$ , alors que $2^{7}=128$ . Rien ne rapproche ces deux nombres. Ce qu'il faut faire : Une somme de puissances se FACTORISE : $2^{3}+2^{4}=2^{3}(1+2)=24$ . C'est la seule transformation licite, et elle sert en factorisation.

Les trois premières lois exigent la même base et rien d'autre. Sans base commune, on ne simplifie pas : $2^{3}\cdot 5^{3}$ ne devient une puissance unique que par la quatrième loi, et cette puissance est $10^{3}$ .

Racines : quand elles existent, et ce qu'elles valent

La parité de l'indice décide de tout, et c'est le seul endroit du chapitre où une valeur absolue apparaît.

L'écriture	Condition d'existence	Résultat
$\sqrt[n]{a}$ , $n$ PAIR	$a\geq 0$	positif ou nul
Exemple : $\sqrt[4]{16}=2$ , alors que $\sqrt[4]{-16}$ n'existe pas dans les réels : aucun nombre élevé à la puissance $4$ ne donne un négatif.
$\sqrt[n]{a}$ , $n$ IMPAIR	aucune	du signe de $a$
Exemple : $\sqrt[3]{-8}=-2$ , puisque $(-2)^{3}=-8$ . La racine cubique d'un négatif existe et elle est négative.
$\sqrt[n]{a^{n}}$ , $n$ PAIR	aucune	$\left\|a\right\|$
Exemple : $\sqrt{(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5$ , et non $-5$ : c'est la valeur absolue qui sort, jamais le nombre de départ.
$\sqrt[n]{a^{n}}$ , $n$ IMPAIR	aucune	$a$
Exemple : $\sqrt[3]{(-5)^{3}}=\sqrt[3]{-125}=-5$ : sans valeur absolue cette fois.
$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$	le MÊME indice	$\sqrt[n]{ab}$
Exemple : $\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$ . Avec deux indices différents, on repasse d'abord en exposants fractionnaires.
$\sqrt[3]{\sqrt{a}}$	$a\geq 0$	$a^{1/6}$
Exemple : $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[3]{8}=2$ , et $64^{1/6}=2$ : les exposants des radicaux imbriqués se multiplient.

Une racine PAIRE d'expression impose sa condition d'existence AVANT toute résolution : $\sqrt{E(x)}$ oblige à résoudre $E(x)\geq 0$ , et l'examen compte cette ligne séparément.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner les exposants de bases différentes

2 points, et un ordre de grandeur totalement faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{3}\cdot 5^{3}=10^{6}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{3}\cdot 5^{3}=(2\cdot 5)^{3}=10^{3}=1000$ : les bases se multiplient, l'exposant COMMUN reste le même. »

Pourquoi : Deux lois se ressemblent et s'appliquent dans des cas opposés : même BASE, on additionne les exposants; même EXPOSANT, on multiplie les bases. Le premier réflexe est donc de regarder ce qui est commun avant de choisir la loi.

2. Rendre le résultat négatif à cause d'un exposant négatif

1 point à chaque occurrence, et jusqu'à toute la question dans un problème de décroissance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3^{-2}=-9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}$ : l'exposant négatif fabrique un INVERSE, pas un opposé. »

Chaque exposant retiré DIVISE par

3

: les puissances se rapprochent de zéro sans jamais devenir négatives.

3^{-2}

vaut

\frac{1}{9}

, pas

-9

Pourquoi : Le signe de l'exposant décide de la position, au numérateur ou au dénominateur; le signe de la BASE décide du signe du résultat. Une base positive donne toujours un résultat positif, quel que soit l'exposant.

3. Inverser le rôle du numérateur et du dénominateur dans l'exposant fractionnaire

toute la question, et un nombre irrationnel là où la réponse était entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $8^{2/3}=\sqrt[2]{8^{3}}=\sqrt{512}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $8^{2/3}=\sqrt[3]{8^{2}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}=2^{2}=4$ : le DÉNOMINATEUR $3$ est l'indice de la racine. »

Pourquoi : La mémoire tient en une ligne : le dénominateur descend sous le radical, comme il est en dessous dans la fraction. Et il vaut mieux prendre la racine d'abord, puis élever : $\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$ se fait de tête, $\sqrt[3]{64}$ un peu moins.

4. Faire traverser une somme à un exposant ou à une racine

toute la question, dans les deux cas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x+3)^{2}=x^{2}+9$ , et $\sqrt{x^{2}+16}=x+4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ , et $\sqrt{x^{2}+16}$ ne se simplifie pas : pour $x=3$ , cela vaut $\sqrt{25}=5$ , pas $7$ . »

Pourquoi : L'exposant se distribue sur un produit et un quotient parce que la multiplication est associative, jamais sur une somme. Le test numérique en une valeur simple règle la question et ne coûte que cinq secondes.

5. Accepter une racine paire d'un nombre négatif

toute la question, et souvent un domaine faux dans la suite du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt[4]{-16}=-2$ car $(-2)^{4}=-16$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(-2)^{4}=+16$ , donc aucun réel élevé à la puissance $4$ ne donne $-16$ : $\sqrt[4]{-16}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ . »

La puissance quatrième d'un réel est toujours positive : la droite

y=-16

ne rencontre jamais la courbe, donc

\sqrt[4]{-16}

n'existe pas dans

\mathbb{R}

Pourquoi : Une puissance paire est toujours positive ou nulle, donc une racine paire ne peut pas rendre un nombre négatif. La racine impaire, elle, garde le signe : $\sqrt[3]{-8}=-2$ est parfaitement correct, et c'est cette dissymétrie qu'il faut retenir.

6. Multiplier les exposants au lieu de les additionner, ou l'inverse

2 points, et les deux erreurs voyagent souvent ensemble sur la même copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{3}\cdot x^{4}=x^{12}$ et $(x^{3})^{4}=x^{7}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{3}\cdot x^{4}=x^{7}$ car on empile les facteurs; $(x^{3})^{4}=x^{12}$ car on répète le paquet quatre fois. »

Un PRODUIT empile les facteurs, donc les exposants s'additionnent; une puissance de puissance RÉPÈTE le paquet, donc ils se multiplient. Les deux lignes n'ont pas la même longueur.

Pourquoi : Reconstituer plutôt que réciter : $x^{3}\cdot x^{4}$ écrit sept $x$ à la suite, donc on additionne; $(x^{3})^{4}$ écrit quatre paquets de trois $x$ , donc on multiplie. Trois secondes de reconstitution valent mieux qu'une règle apprise à l'envers.

7. Élever au carré sans vérifier les solutions obtenues

1 point sur 3, et la même erreur revient à chaque équation avec radical

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x+6}=x$ donne $x+6=x^{2}$ , donc $x^{2}-x-6=0$ , donc $x=3$ ou $x=-2$ : deux solutions. »

Ce qu'il faut écrire

« $x=3$ convient car $\sqrt{9}=3$ . Pour $x=-2$ , le membre de gauche vaut $\sqrt{4}=2$ et celui de droite $-2$ : la solution est étrangère et se rejette. Donc $S=\{3\}$ . »

Pourquoi : Élever au carré n'est pas une équivalence : $u=v$ implique $u^{2}=v^{2}$ , mais la réciproque est fausse car $u=-v$ donne aussi $u^{2}=v^{2}$ . Toute solution obtenue après élévation à une puissance paire doit être testée dans l'équation d'origine.

8. Écrire une racine de racine en additionnant les indices

2 points, et l'erreur est invisible sans conversion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[5]{a}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\left(a^{1/3}\right)^{1/2}=a^{1/6}=\sqrt[6]{a}$ : les indices se MULTIPLIENT. »

Pourquoi : Une racine emboîtée est une puissance de puissance, donc la loi $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ s'applique. C'est exactement pourquoi on convertit systématiquement en exposants fractionnaires avant de toucher à des radicaux imbriqués : la loi se voit, l'intuition se trompe.

Quelle méthode choisir

Quelle écriture adopter, selon la forme de l'expression

Avant de calculer, décidez dans quelle écriture vous allez travailler. Ce choix se fait sur la forme de l'expression, et il détermine si le calcul prend deux lignes ou dix.

Si des radicaux d'indices différents, ou des racines emboîtées → tout convertir en exposants fractionnaires, appliquer les lois, reconvertir à la fin

Exemple : $\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\left(x^{1/2}\right)^{1/3}=x^{1/6}$

C'est la branche la plus rentable du chapitre : elle transforme une manipulation risquée en une multiplication de fractions.
Si un produit ou un quotient de puissances de même base → additionner ou soustraire les exposants directement, sans conversion

Exemple : $\frac{x^{5}\cdot x^{-2}}{x^{4}}=x^{5-2-4}=x^{-1}=\frac{1}{x}$
Si des bases différentes mais réductibles à une même base → réécrire chaque base comme une puissance de la base commune, puis appliquer les lois

Exemple : $\frac{4^{3}\cdot 8^{2}}{16}=\frac{2^{6}\cdot 2^{6}}{2^{4}}=2^{8}=256$

Les bases $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ sont toutes des puissances de $2$ ; $9$ , $27$ , $81$ sont des puissances de $3$ .
Si une valeur numérique exacte est demandée, avec un exposant fractionnaire → prendre la racine D'ABORD, puis élever à la puissance

Exemple : $27^{4/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^{4}=3^{4}=81$

Dans l'autre ordre, il faudrait calculer $27^{4}=531441$ puis en extraire la racine cubique : même résultat, dix fois plus de risques.
Si une somme de puissances, sans produit ni quotient → aucune loi ne s'applique : calculer chaque terme, ou mettre la plus petite puissance en évidence

Exemple : $2^{n+1}+2^{n}=2^{n}(2+1)=3\cdot 2^{n}$

La mise en évidence est le seul geste légitime sur une somme de puissances, et c'est presque toujours celui que l'énoncé attend.

Aucune branche ne s'applique quand les bases ne se réduisent pas l'une à l'autre, par exemple $2^{x}=5$ . Il faut alors le logarithme, qui est le chapitre suivant : si l'exercice est dans ce chapitre-ci, relisez l'énoncé, une base commune existe forcément.

Comment résoudre, selon la place de l'inconnue

Regardez OÙ se trouve $x$ : à la base ou à l'exposant. Les deux situations n'ont rien en commun, ni la méthode, ni les vérifications à faire.

Si l'inconnue est à l'EXPOSANT, avec des bases réductibles → tout ramener à une même base, puis identifier les exposants

Exemple : $8^{x}=32$ donne $2^{3x}=2^{5}$ , donc $3x=5$ et $x=\frac{5}{3}$

L'identification des exposants n'est licite que si la base est strictement positive et différente de $1$ .
Si l'inconnue est à la BASE, avec un exposant fractionnaire $\frac{m}{n}$ → élever les deux membres à la puissance $\frac{n}{m}$ , puis vérifier dans l'équation de départ

Exemple : $x^{2/3}=9$ donne $x=9^{3/2}=27$ , et aussi $x=-27$ car l'indice $3$ est impair

Quand l'indice de la racine est impair, une solution négative est possible : il faut la chercher, pas seulement la rejeter.
Si l'équation contient une racine PAIRE de l'inconnue → poser d'abord la condition d'existence, élever à la puissance, puis vérifier chaque solution

Exemple : $\sqrt{x+6}=x$ exige $x\ge -6$ et $x\ge 0$ , et seule $x=3$ survit à la vérification
Si l'inconnue apparaît à deux exposants liés, comme $x$ et $2x$ → changement de variable $u=a^{x}$ , résoudre en $u$ , puis revenir à $x$

Exemple : $4^{x}-3\cdot 2^{x}+2=0$ donne $u^{2}-3u+2=0$ avec $u=2^{x}$ , donc $u=1$ ou $u=2$ , soit $x=0$ ou $x=1$

Un $u$ négatif ou nul se rejette en l'écrivant : une exponentielle de base positive ne peut jamais valoir $0$ ni un nombre négatif.

Dans toutes les branches où l'on élève à une puissance PAIRE, la vérification finale fait partie de la résolution et rapporte son point. Dans les branches à puissance impaire, aucune solution étrangère ne peut apparaître, mais aucune ne doit être oubliée non plus.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation exponentielle par réduction à une base commune

Quand l'utiliser : L'inconnue se trouve à l'exposant, et les bases de l'équation sont des puissances d'un même nombre, typiquement $2$ , $3$ ou $5$ .

1 Repérer la base commune en décomposant chaque nombre : « $8=2^{3}$ , $32=2^{5}$ , $\frac{1}{4}=2^{-2}$ ».
2 Réécrire chaque membre comme une puissance unique de cette base, en appliquant les lois des exposants.
3 Annoncer l'équivalence avec sa condition : « la base $2$ est strictement positive et différente de $1$ , donc $2^{u}=2^{v}$ équivaut à $u=v$ ».
4 Résoudre l'équation obtenue sur les exposants, qui est du premier ou du second degré.
5 Vérifier en remplaçant la solution dans l'équation de départ.
6 Conclure par une phrase avec l'ensemble solution.

Phrase de conclusion

« On a $8^{x}=32$ , soit $\left(2^{3}\right)^{x}=2^{5}$ , donc $2^{3x}=2^{5}$ . La base $2$ étant strictement positive et différente de $1$ , on identifie les exposants : $3x=5$ , d'où $x=\frac{5}{3}$ . Donc $S=\left\{\frac{5}{3}\right\}$ . »

Le piège : Identifier les exposants sans avoir réduit à une base UNIQUE de chaque côté. Tant qu'il reste un produit comme $2^{x}\cdot 3^{x}$ , l'identification n'a aucun sens : il faut d'abord écrire $6^{x}$ .

Barème : 1 point la décomposition en base commune, 1 point l'identification des exposants annoncée avec sa condition, 1 point la résolution et la conclusion.

Donner le domaine d'existence d'une expression avec radicaux

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « pour quelles valeurs de $x$ l'expression est-elle définie », ou toute résolution portant sur une racine d'indice pair.

1 Repérer chaque contrainte séparément : chaque racine d'indice PAIR impose son radicande positif ou nul, chaque dénominateur impose sa non-nullité.
2 Ignorer explicitement les racines d'indice IMPAIR, qui n'imposent rien : le dire en une ligne rapporte le point de rigueur.
3 Résoudre chaque inéquation obtenue, avec un tableau de signe si le radicande est un trinôme.
4 Intersecter toutes les conditions : le domaine est ce qui satisfait TOUTES les contraintes à la fois, pas l'une d'entre elles.
5 Écrire le domaine en notation d'intervalles, en soignant les crochets ouverts pour les valeurs qui annulent un dénominateur.
6 Tester une valeur du domaine et une valeur exclue pour valider l'écriture.

Phrase de conclusion

« L'expression $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt[3]{x}}$ exige $x-2\ge 0$ pour la racine carrée, et $x\neq 0$ pour le dénominateur; la racine cubique n'impose rien. L'intersection de $x\ge 2$ et $x\neq 0$ donne le domaine $[2;+\infty[$ . »

Le piège : Réunir les conditions au lieu de les intersecter. Le domaine est l'ensemble des $x$ pour lesquels TOUT est calculable : une seule contrainte violée suffit à exclure la valeur, donc on intersecte toujours.

Barème : 1 point chaque condition correctement posée, 1 point l'intersection, 1 point l'écriture en intervalles.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Reconstituer la loi plutôt que la réciter

En cas de doute entre additionner et multiplier les exposants, écrire l'expression en toutes lettres avec de petits nombres. Trois secondes, et la loi apparaît d'elle-même sans risque de l'avoir mémorisée à l'envers.

Doute sur $(x^{3})^{4}$ : c'est $x^{3}\cdot x^{3}\cdot x^{3}\cdot x^{3}$ , soit douze $x$ , donc $x^{12}$ . Si vous aviez écrit $x^{7}$ , l'écriture développée le contredit immédiatement.
Le test sur un petit nombre

Remplacer les lettres par $2$ ou $3$ et calculer les deux membres de votre égalité. Toute loi des exposants mal appliquée produit deux nombres différents, et l'écart est en général énorme, donc impossible à manquer.

Vous écrivez $2^{3}\cdot 5^{3}=10^{6}$ : à gauche $8\times 125=1000$ , à droite $1000000$ . Un facteur mille d'écart, repéré en cinq secondes.
Le signe et l'existence, avant de rendre

Relire chaque racine de la copie et vérifier deux choses : l'indice est-il pair, et le radicande est-il positif ? Puis relire chaque puissance à exposant négatif et vérifier que le résultat annoncé est bien positif quand la base l'est.

Une copie qui affiche $\sqrt[4]{-16}=-2$ ou $3^{-2}=-9$ contient deux erreurs de nature différente, mais toutes deux visibles sans refaire le moindre calcul.
Réinjecter la solution dans l'équation de départ

Toute solution obtenue après élévation à une puissance paire doit être remplacée dans l'équation ORIGINALE, celle de l'énoncé. Les deux membres doivent donner le même nombre, et le membre sous la racine doit être positif.

Pour $\sqrt{x+6}=x$ , la valeur $x=-2$ donne $\sqrt{4}=2$ à gauche et $-2$ à droite : la solution est étrangère, ce que la seule résolution algébrique ne montrait pas.

L'exercice type décortiqué

Radicaux emboîtés et base commune : le chapitre entier en un calcul

On pose $A=\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt{64}}\cdot 16^{3/4}}{\sqrt{32}}$ .

a) Écrire $A$ comme une seule puissance de $2$ . b) En déduire la valeur exacte de $A$ . c) Résoudre ensuite $2^{x-1}=A$ .

Étape 1

Toutes les bases sont des puissances de $2$ : $64=2^{6}$ , $16=2^{4}$ , $32=2^{5}$ . On réécrit donc chaque facteur en base $2$ avant tout calcul.

Pourquoi

C'est la décision qui structure tout l'exercice, et elle se prend en dix secondes. Sans base commune, aucune loi des exposants ne s'applique et le calcul devient une suite d'approximations à la calculatrice.

Étape 2

$\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(\left(2^{6}\right)^{1/2}\right)^{1/3}=2^{6\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}=2^{1}$ .

Pourquoi

Les indices des racines emboîtées se multiplient, ils ne s'additionnent pas : convertir en exposants rend cette règle visible au lieu de la laisser à la mémoire. Ici les trois exposants se simplifient en un seul, ce qui montre que la conversion était le bon choix.

Étape 3

$16^{3/4}=\left(2^{4}\right)^{3/4}=2^{3}$ , et $\sqrt{32}=\left(2^{5}\right)^{1/2}=2^{5/2}$ .

Pourquoi

Le dénominateur $4$ de l'exposant $\frac{3}{4}$ est bien l'indice de la racine, et il annule le $4$ de $2^{4}$ . Inverser numérateur et dénominateur donnerait $2^{16/3}$ , une valeur irrationnelle : la simplification propre est la preuve que l'écriture est juste.

Étape 4

$A=\frac{2^{1}\cdot 2^{3}}{2^{5/2}}=2^{1+3-\frac{5}{2}}=2^{4-\frac{5}{2}}=2^{3/2}$ .

Pourquoi

On additionne les exposants du produit et on soustrait celui du dénominateur, en une seule ligne, parce que la base est désormais commune. Écrire l'exposant sous forme de fraction unique évite l'erreur d'arithmétique la plus fréquente du calcul.

Étape 5

$A=2^{3/2}=\left(2^{1/2}\right)^{3}=\left(\sqrt{2}\right)^{3}=2\sqrt{2}$ , ce qui vaut environ $2{,}83$ .

Pourquoi

Une valeur exacte s'écrit avec le radical, jamais avec la décimale de la calculatrice. La forme $2\sqrt{2}$ est celle qu'attend le correcteur, et l'approximation ne sert qu'au contrôle d'ordre de grandeur.

Étape 6

$2^{x-1}=2^{3/2}$ , et la base $2$ est strictement positive et différente de $1$ , donc $x-1=\frac{3}{2}$ et $x=\frac{5}{2}$ .

Pourquoi

L'identification des exposants exige une base unique de chaque côté, ce que les questions précédentes ont justement établi. La condition sur la base s'énonce en une ligne et rapporte le point de rigueur.

Étape 7

Vérification numérique : $\sqrt{64}=8$ , $\sqrt[3]{8}=2$ ; $16^{3/4}=8$ ; $\sqrt{32}\approx 5{,}657$ . Donc $A\approx\frac{2\times 8}{5{,}657}\approx 2{,}83$ , ce qui est bien $2\sqrt{2}$ . Enfin $2^{2{,}5-1}=2^{1{,}5}\approx 2{,}83$ .

Pourquoi

Le calcul décimal parallèle ne remplace pas la démonstration, mais il attrape n'importe quelle erreur d'exposant : un $2^{16/3}$ égaré donnerait environ $40$ , un ordre de grandeur impossible à confondre avec $2{,}83$ .

Conclusion rédigée

« On a $A=\frac{2^{1}\cdot 2^{3}}{2^{5/2}}=2^{3/2}$ , soit $A=2\sqrt{2}$ . L'équation $2^{x-1}=A$ s'écrit alors $2^{x-1}=2^{3/2}$ ; la base $2$ étant strictement positive et différente de $1$ , on identifie les exposants : $x-1=\frac{3}{2}$ , d'où $x=\frac{5}{2}$ . Donc $S=\left\{\frac{5}{2}\right\}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[5]{64}$ en additionnant les indices : la valeur devient environ $2{,}30$ au lieu de $2$ , et tout l'exercice dérive sans qu'aucune étape ne paraisse fausse. Le second travers classique est de lire $16^{3/4}$ comme $\sqrt{16^{3}}$ , ce qui donne $64$ au lieu de $8$ : la réponse finale passe alors de $2\sqrt{2}$ à $16\sqrt{2}$ , et la question c) devient inexploitable.

À savoir par cœur

• Même BASE : on additionne les exposants. Même EXPOSANT : on multiplie les bases. Ne jamais confondre les deux.
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ : les exposants d'une puissance de puissance se MULTIPLIENT.
• $a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$ : l'exposant négatif inverse, il ne rend jamais négatif. Et $a^{0}=1$ pour $a\neq 0$ .
• $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}$ : le DÉNOMINATEUR de l'exposant est l'indice de la racine.
• Indice PAIR : le radicande doit être positif ou nul, et le résultat est positif. Indice IMPAIR : aucune contrainte, le résultat garde le signe.
• $\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$ quand $n$ est pair, $=a$ quand $n$ est impair.
• Aucune loi ne s'applique à une SOMME de puissances : on calcule, ou on met la plus petite puissance en évidence.
• Racines emboîtées : les indices se multiplient, donc on convertit en exposants fractionnaires avant de toucher à quoi que ce soit.
• Toute solution obtenue après élévation à une puissance PAIRE se vérifie dans l'équation de départ.

Questions fréquentes

Comment calculer une puissance avec un exposant fractionnaire ?

Le dénominateur de l'exposant est l'indice de la racine, le numérateur est la puissance. Ainsi huit puissance deux tiers est la racine cubique de huit, élevée au carré, soit deux au carré, donc quatre. Prenez toujours la racine en premier : les nombres restent petits et le calcul se fait de tête.

Pourquoi une racine paire d'un nombre négatif n'existe pas ?

Parce qu'un nombre élevé à une puissance paire est toujours positif ou nul, qu'il soit positif ou négatif au départ. Aucun réel ne peut donc donner un résultat négatif après une puissance paire. Les racines d'indice impair, elles, existent pour tout réel et gardent le signe : la racine cubique de moins huit vaut bien moins deux.

Quand faut-il additionner et quand faut-il multiplier les exposants ?

On additionne quand deux puissances de même base se multiplient, et on soustrait quand elles se divisent. On multiplie les exposants quand une puissance est elle-même élevée à une puissance. Le moyen le plus sûr de trancher est de réécrire l'expression avec de petits nombres et de compter les facteurs.

Comment résoudre une équation exponentielle en secondaire 5 ?

On ramène les deux membres à une même base, en décomposant chaque nombre, puis on identifie les exposants : si deux puissances de même base sont égales et que cette base est positive et différente de un, leurs exposants sont égaux. On résout alors l'équation obtenue sur les exposants et on vérifie la solution.

Comment simplifier une racine dans une racine ?

On convertit chaque radical en exposant fractionnaire, puis on multiplie les exposants, car une racine de racine est une puissance de puissance. La racine cubique de la racine carrée de a vaut donc a puissance un sixième. Les indices ne s'additionnent jamais, contrairement à ce que l'écriture radicale suggère.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Puissances et exposants fractionnaires

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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