Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : les calculs exponentiels et logarithmiques (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les logarithmes : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon la place de l'inconnue, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un logarithme n'est pas une opération, c'est une QUESTION : $\log_{a}(x)$ demande à quelle puissance il faut élever $a$ pour obtenir $x$ . Tant qu'on ne le lit pas ainsi, on le manipule comme un facteur et on perd des points partout. Le second obstacle est jumeau du premier : le logarithme n'existe que sur les nombres strictement positifs, donc une équation logarithmique se résout en trois temps obligatoires, domaine, résolution, vérification, et sauter le premier ou le dernier fait accepter des solutions qui n'existent pas.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Puissances et exposants fractionnaires Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
2La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
3Calculs algébriques
4Puissances et exposants fractionnaires

Notions couvertes

Définition du logarithme
Lois des logarithmes
Logarithme d'un produit
Logarithme d'un quotient
Logarithme d'une puissance
Changement de base
Logarithme naturel
Équation logarithmique
Équation exponentielle
Solutions étrangères
Domaine d'existence
Intérêts composés

L'essentiel

La définition, et rien qu'elle

• $\log_{a}(x)=y$ signifie exactement $a^{y}=x$ , avec $a>0$ , $a\neq 1$ et $x>0$ . Les deux écritures disent la même chose.
• Un logarithme est un EXPOSANT : $\log_{2}(8)=3$ parce que $2^{3}=8$ . Toute question de calcul se ramène à cette lecture.
• $\log_{a}(1)=0$ et $\log_{a}(a)=1$ , pour toute base admissible : ce sont les deux valeurs qu'on doit reconnaître sans réfléchir.
• $\log$ sans indice signifie $\log_{10}$ , et $\ln$ signifie $\log_{e}$ avec $e\approx 2{,}718$ .
• $a^{\log_{a}(x)}=x$ et $\log_{a}(a^{x})=x$ : exponentielle et logarithme de même base s'annulent l'une l'autre.

Devant un calcul de logarithme, réécrire la définition en clair : « $\log_{3}(81)$ , c'est l'exposant qu'il faut donner à $3$ pour obtenir $81$ ». La réponse vient alors sans formule.

Les trois lois, et le domaine qu'elles ne préservent pas

• $\log_{a}(xy)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)$ : le logarithme transforme un PRODUIT en somme.
• $\log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)$ : un quotient devient une différence.
• $\log_{a}(x^{n})=n\log_{a}(x)$ : l'exposant descend devant, à condition qu'il porte sur TOUT l'argument.
• Il n'existe AUCUNE loi pour $\log_{a}(x+y)$ : le logarithme d'une somme ne se décompose pas.
• Regrouper deux logarithmes en un seul AGRANDIT parfois le domaine, et c'est ce qui fabrique les solutions étrangères.

$\log(x^{2})$ et $2\log(x)$ n'ont pas le même domaine : le premier existe pour $x\neq 0$ , le second seulement pour $x>0$ . La loi de la puissance n'est une équivalence que sur les $x$ strictement positifs.

Changement de base et calculatrice

• $\log_{a}(x)=\frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(a)}$ , pour n'importe quelle base $b$ admissible.
• En pratique on prend $b=10$ ou $b=e$ , car ce sont les deux seules touches de la calculatrice.
• $\log_{2}(50)=\frac{\log(50)}{\log(2)}\approx 5{,}64$ : c'est un QUOTIENT de logarithmes, pas un logarithme de quotient.
• $\log_{a}(b)$ et $\log_{b}(a)$ sont inverses l'un de l'autre : leur produit vaut $1$ .
• Un logarithme de base $a>1$ est croissant, donc il conserve l'ordre : si $x<y$ alors $\log_{a}(x)<\log_{a}(y)$ .

$\frac{\log(50)}{\log(2)}$ n'est PAS $\log(25)$ : la loi du quotient concerne le logarithme d'un quotient, pas le quotient de deux logarithmes. Les deux écritures se ressemblent, et c'est tout ce qu'elles ont en commun.

La méthode en trois temps, obligatoire

• 1. DOMAINE : chaque argument de logarithme doit être strictement positif; on résout ces inéquations avant tout.
• 2. RÉSOLUTION : on regroupe en un seul logarithme de chaque côté, puis on passe à la forme exponentielle.
• 3. VÉRIFICATION : chaque solution trouvée est confrontée au domaine, et celles qui en sortent sont rejetées EN L'ÉCRIVANT.
• Si $\log_{a}(u)=\log_{a}(v)$ avec $u>0$ et $v>0$ , alors $u=v$ : c'est l'injectivité, l'outil central du chapitre.
• Si $\log_{a}(u)=k$ avec $k$ un nombre, alors $u=a^{k}$ : on repasse en écriture exponentielle.

Les trois temps rapportent chacun leur point, même si le calcul du milieu est faux. Une copie qui pose le domaine et rejette une solution avec sa raison ne rend jamais une réponse absurde.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Un logarithme est un EXPOSANT : les deux écritures d'une même phrase

Toute question de calcul du chapitre se ramène à cette lecture. La colonne de droite est la valeur cherchée, et elle se trouve en répondant à une seule question : à quelle puissance faut-il élever la base ?

Écriture logarithmique	Écriture exponentielle	Valeur
$\log_{2}(8)$	$2^{?}=8$	$3$
Exemple : $2^{3}=8$ , donc le logarithme vaut $3$ . C'est la lecture à faire chaque fois, y compris quand la base n'est pas $10$ .
$\log(1000)$	$10^{?}=1000$	$3$
Exemple : Sans indice, la base est $10$ : $10^{3}=1000$ . C'est la convention du programme québécois.
$\ln\left(\mathrm{e}^{5}\right)$	$\mathrm{e}^{?}=\mathrm{e}^{5}$	$5$
Exemple : Le logarithme naturel est de base $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ , et il défait l'exponentielle : $\ln\left(\mathrm{e}^{5}\right)=5$ sans aucun calcul.
$\log_{5}\left(\frac{1}{25}\right)$	$5^{?}=\frac{1}{25}$	$-2$
Exemple : $5^{-2}=\frac{1}{25}=0{,}04$ : un logarithme est négatif quand son argument est entre $0$ et $1$ , et cela n'a rien d'anormal.
$\log_{a}(1)$	$a^{?}=1$	$0$
Exemple : Quelle que soit la base : $7^{0}=1$ , $0{,}5^{0}=1$ . C'est la valeur à reconnaître sans réfléchir.
$\log_{a}(a)$	$a^{?}=a$	$1$
Exemple : $\log_{3}(3)=1$ parce que $3^{1}=3$ . La deuxième valeur à reconnaître d'un coup d'œil.
$\log_{a}(0)$	une valeur, peut-être $0$	n'existe pas règle inexistante
Exemple : Aucune puissance de $10$ ne vaut $0$ : $10^{-10}=0{,}0000000001$ est déjà minuscule et reste strictement positif. Le domaine d'un logarithme est $x>0$ . Ce qu'il faut faire : Toute équation logarithmique commence par la condition d'existence, écrite AVANT le calcul, et chaque solution trouvée est ensuite vérifiée dans cette condition.

Le changement de base sert quand la calculatrice ne connaît pas la base demandée : $\log_{a}(x)=\frac{\log x}{\log a}$ . Ainsi $\log_{2}(8)=\frac{\log 8}{\log 2}=\frac{0{,}903}{0{,}301}=3$ , ce qui confirme la première ligne.

Les lois, vérifiées sur des nombres

Mêmes lois que pour les exposants, lues à l'envers : un produit devient une somme. La vérification chiffrée se fait de tête avec la base $10$ .

L'écriture	Condition	Ce qu'elle devient
$\log(ab)$	$a>0$ et $b>0$	$\log a+\log b$
Exemple : $\log(10\times 100)=\log 1000=3$ , et $1+2=3$ .
$\log\frac{a}{b}$	$a>0$ et $b>0$	$\log a-\log b$
Exemple : $\log\frac{1000}{10}=\log 100=2$ , et $3-1=2$ .
$\log\left(a^{n}\right)$	$a>0$	$n\log a$
Exemple : $\log\left(10^{4}\right)=4$ , et $4\log 10=4\times 1=4$ . C'est la loi qui fait DESCENDRE l'inconnue d'un exposant, donc celle qui résout les équations.
$a^{u}=a^{v}$	$a>0$ et $a\neq 1$	$u=v$
Exemple : $2^{x}=2^{5}$ donne $x=5$ directement. Sans base commune, on prend le logarithme des deux côtés.
$a^{x}=b$	$a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$	$x=\frac{\log b}{\log a}$
Exemple : $3^{x}=81$ donne $x=\frac{\log 81}{\log 3}=\frac{1{,}908}{0{,}477}=4$ , ce que $3^{4}=81$ confirme.
$\log(a+b)$	$\log a+\log b$	ne se décompose pas règle inexistante
Exemple : $\log(10+100)=\log 110\approx 2{,}041$ , quand $\log 10+\log 100=3$ . Les deux nombres n'ont rien à voir. Ce qu'il faut faire : On isole la puissance AVANT de prendre le logarithme : $3\times 2^{x}=48$ se traite en écrivant d'abord $2^{x}=16$ , jamais en cassant la somme ou le produit sous le logarithme.

Une équation logarithmique se termine TOUJOURS par la vérification des solutions dans la condition d'existence : une racine qui rendrait l'argument négatif ou nul est rejetée, et cette ligne fait partie de la réponse attendue.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Décomposer le logarithme d'une somme

toute la question, et l'équation devient une autre équation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log(x+3)=\log(x)+\log(3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log(x+3)$ ne se décompose pas. C'est $\log(3x)$ qui vaut $\log(x)+\log(3)$ : la loi de la somme concerne le logarithme d'un PRODUIT. »

Les deux courbes n'ont même pas la même asymptote :

\log(x+3)

descend en

x=-3

\log(3x)

x=0

. La loi de la somme concerne le PRODUIT, jamais la somme.

Pourquoi : Le logarithme transforme les produits en sommes, jamais les sommes en sommes. Le test numérique tranche immédiatement : pour $x=1$ , $\log(4)\approx 0{,}602$ tandis que $\log(1)+\log(3)\approx 0{,}477$ .

2. Accepter une solution qui rend un argument négatif

1 point sur 3, et la réponse contient un logarithme de nombre négatif

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log(x)+\log(x-3)=1$ donne $x^{2}-3x-10=0$ , donc $x=5$ ou $x=-2$ : deux solutions. »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine impose $x>0$ ET $x-3>0$ , donc $x>3$ . La valeur $-2$ est hors domaine et se rejette : $S=\{5\}$ . »

La courbe n'existe qu'à droite de

3

: la solution

-2

sortie de l'équation du second degré n'a aucun point à rejoindre, elle se rejette.

Pourquoi : Regrouper $\log(x)+\log(x-3)$ en $\log\left(x(x-3)\right)$ agrandit le domaine, car un produit de deux négatifs est positif. La solution étrangère naît exactement là, et seule la confrontation au domaine INITIAL l'élimine.

3. Simplifier un logarithme comme s'il multipliait son argument

2 points, et un résultat faux d'un facteur quatre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{\log(50)}{\log(2)}=\log(25)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{\log(50)}{\log(2)}=\log_{2}(50)\approx 5{,}64$ , alors que $\log(25)\approx 1{,}40$ : ce sont deux nombres sans rapport. »

Pourquoi : Le symbole $\log$ n'est pas un facteur qu'on pourrait barrer, c'est le nom d'une fonction : $\log(50)$ est un nombre unique, pas un produit. Le quotient de deux logarithmes est justement la formule du changement de base, un objet complètement différent du logarithme d'un quotient.

4. Faire descendre un exposant qui ne porte pas sur tout l'argument

2 points, et souvent une équation impossible à résoudre ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log\left((x+1)^{2}\right)=2\log(x)+2\log(1)$ , et $\log(3x^{2})=2\log(3x)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log\left((x+1)^{2}\right)=2\log(x+1)$ , et $\log(3x^{2})=\log(3)+2\log(x)$ : l'exposant $2$ ne porte que sur $x$ . »

Pourquoi : La loi $\log(x^{n})=n\log(x)$ exige que l'exposant s'applique à l'argument ENTIER. Dans $3x^{2}$ , il ne s'applique qu'au $x$ , donc on décompose d'abord le produit, puis on descend l'exposant du seul facteur concerné.

5. Passer à l'exponentielle en oubliant que le logarithme n'est pas seul

toute la question, et une réponse mille fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2\log(x)=6$ donne $x=10^{6}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2\log(x)=6$ donne d'abord $\log(x)=3$ , puis $x=10^{3}=1000$ . »

Pourquoi : L'écriture exponentielle ne s'applique qu'à une équation de la forme $\log_{a}(u)=k$ , où le logarithme est SEUL d'un côté. Tout coefficient devant lui doit d'abord être divisé, exactement comme on isole une inconnue avant de prendre sa racine.

6. Prendre le logarithme d'un seul terme d'une somme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{x}+3=11$ donne $x\log(2)+\log(3)=\log(11)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{x}+3=11$ donne d'abord $2^{x}=8$ , puis $x\log(2)=\log(8)$ , donc $x=3$ . »

Pourquoi : Le logarithme s'applique à un membre ENTIER, pas à chacun de ses termes : $\log(2^{x}+3)$ ne se décompose pas. On isole donc l'exponentielle en premier, et le logarithme n'intervient qu'ensuite, sur une égalité de deux puissances.

7. Confondre la base et l'argument dans la définition

1 point à chaque calcul, et le chapitre entier reste incompréhensible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log_{2}(8)=8^{2}=64$ , ou bien $\log_{2}(8)=\frac{8}{2}=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log_{2}(8)$ est l'exposant qu'il faut donner à $2$ pour obtenir $8$ ; comme $2^{3}=8$ , on a $\log_{2}(8)=3$ . »

Lire

\log_{2}(8)

, c'est chercher la HAUTEUR au-dessus de

8

: elle vaut

3

, l'exposant qu'il faut donner à

2

. Ce n'est ni une division ni une puissance.

Pourquoi : La base est le petit nombre en indice, c'est celle qu'on élève; l'argument est entre parenthèses, c'est le résultat visé. Écrire l'égalité exponentielle correspondante, $2^{?}=8$ , retire toute ambiguïté et prend trois secondes.

8. Arrondir en cours de calcul dans un problème d'intérêts

1 point, et jusqu'à plusieurs années d'écart sur un placement long

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1{,}05^{n}=2$ donne $n=\frac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx\frac{0{,}3}{0{,}02}=15$ ans. »

Ce qu'il faut écrire

« $n=\frac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}21$ , donc il faut $15$ années complètes, mais le calcul intermédiaire se garde avec toutes ses décimales. »

Pourquoi : $\log(1{,}05)\approx 0{,}0212$ , pas $0{,}02$ : un arrondi de $6$ pour cent sur le dénominateur déplace la réponse de plus d'une année. Dans un problème de croissance, on garde les valeurs exactes jusqu'à la dernière ligne, puis on arrondit une seule fois, dans le sens qu'impose le contexte.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la place de l'inconnue

Une seule question à se poser avant d'écrire : $x$ est-il À L'INTÉRIEUR d'un logarithme, ou à l'exposant d'une puissance ? Les deux cas n'ont ni la même méthode, ni les mêmes vérifications.

Si un seul logarithme, égal à un nombre → passer directement en écriture exponentielle

Exemple : $\log_{3}(x-1)=2$ donne $x-1=3^{2}=9$ , donc $x=10$

Le logarithme doit être SEUL et sans coefficient : $2\log(u)=6$ devient d'abord $\log(u)=3$ .
Si plusieurs logarithmes de même base, égaux à un nombre → regrouper en un seul logarithme avec les lois, puis passer en exponentielle

Exemple : $\log(x)+\log(x-3)=1$ donne $\log\left(x(x-3)\right)=1$ , donc $x^{2}-3x=10$

C'est la branche qui fabrique des solutions étrangères : le domaine posé au départ est obligatoire.
Si des logarithmes des DEUX côtés, même base → regrouper de chaque côté, puis identifier les arguments par injectivité

Exemple : $\log(x+4)=\log(2x-1)$ donne $x+4=2x-1$ , donc $x=5$

L'identification n'est licite que si les deux arguments sont strictement positifs, ce qui se dit en une ligne.
Si l'inconnue est à l'EXPOSANT, avec des bases réductibles l'une à l'autre → ramener à une base commune et identifier les exposants, sans logarithme

Exemple : $8^{x}=32$ donne $2^{3x}=2^{5}$ , donc $x=\frac{5}{3}$

Plus rapide et exact : le logarithme n'est utile que lorsque cette réduction est impossible.
Si l'inconnue est à l'exposant, bases NON réductibles → isoler l'exponentielle, puis appliquer le logarithme aux deux membres entiers

Exemple : $3\cdot 2^{x}=21$ donne $2^{x}=7$ , puis $x=\frac{\log 7}{\log 2}\approx 2{,}807$
Si deux exponentielles d'exposants liés, comme $a^{2x}$ et $a^{x}$ → changement de variable $u=a^{x}$ , résoudre, puis revenir à $x$ par logarithme

Exemple : $4^{x}-3\cdot 2^{x}+2=0$ donne $u^{2}-3u+2=0$ , donc $u=1$ ou $u=2$ , soit $x=0$ ou $x=1$

Un $u$ négatif ou nul se rejette : une exponentielle de base positive est toujours strictement positive.

Aucune branche ne s'applique quand l'inconnue est à la fois dans un logarithme et à l'exposant, comme $x\log(x)=1$ : ces équations sortent du programme de SN5, donc relisez l'énoncé, une simplification a été manquée.

Développer ou regrouper, selon ce que la question demande

Les lois se lisent dans les deux sens, et le sens à choisir dépend uniquement du verbe de l'énoncé. Décidez-le avant la première ligne, sinon vous ferez l'aller-retour pour rien.

Si l'énoncé dit « écrire comme un seul logarithme » → lire les lois de droite à gauche : sommes vers produit, différences vers quotient, coefficients vers exposants

Exemple : $2\log(x)-\log(y)=\log\left(\frac{x^{2}}{y}\right)$

Les coefficients remontent EN PREMIER, en exposants; le regroupement en produit ou quotient vient ensuite.
Si l'énoncé dit « développer » ou « exprimer en fonction de $\log a$ et $\log b$ » → lire les lois de gauche à droite, jusqu'à ne plus avoir que des logarithmes de lettres seules

Exemple : $\log\left(\frac{a^{3}}{\sqrt{b}}\right)=3\log(a)-\frac{1}{2}\log(b)$

Une racine se convertit d'abord en exposant fractionnaire, puis l'exposant descend.
Si l'énoncé donne des valeurs numériques de logarithmes à réutiliser → décomposer l'argument en produit de facteurs dont les logarithmes sont fournis

Exemple : avec $\log 2=0{,}301$ , $\log 5=\log\frac{10}{2}=1-0{,}301=0{,}699$

Les décompositions utiles sont $10=2\times 5$ , $6=2\times 3$ , $12=2^{2}\times 3$ , $50=\frac{100}{2}$ .
Si l'énoncé demande une valeur avec une base inhabituelle → changement de base vers $\log$ ou $\ln$ , les deux seules touches de la calculatrice

Exemple : $\log_{7}(200)=\frac{\ln 200}{\ln 7}\approx 2{,}723$

Quand une expression résiste, testez-la numériquement en donnant à $a$ et $b$ des valeurs simples comme $2$ et $3$ : le résultat de votre transformation et celui de l'expression de départ doivent coïncider à la calculatrice.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation logarithmique, les trois temps

Quand l'utiliser : L'inconnue apparaît à l'intérieur d'au moins un logarithme, quelle que soit la base.

1 Poser le domaine : écrire une inéquation par argument de logarithme, chacune strictement positive, puis les intersecter.
2 Annoncer le domaine obtenu en intervalle : « les solutions éventuelles appartiennent à $]3;+\infty[$ ».
3 Regrouper les logarithmes de chaque côté en un seul, en citant la loi employée.
4 Passer en écriture exponentielle, ou identifier les arguments si les deux membres sont des logarithmes de même base.
5 Résoudre l'équation obtenue, en général du premier ou du second degré.
6 Confronter chaque solution au domaine, et REJETER explicitement celles qui en sortent, avec leur raison.
7 Conclure par une phrase donnant l'ensemble solution.

Phrase de conclusion

« Le domaine impose $x>0$ et $x-3>0$ , donc $x>3$ . L'équation devient $\log\left(x(x-3)\right)=1$ , soit $x^{2}-3x=10$ , dont les solutions sont $5$ et $-2$ . Or $-2$ n'appartient pas au domaine $]3;+\infty[$ et se rejette. Donc $S=\{5\}$ . »

Le piège : Poser le domaine à la fin, après avoir regroupé. Une fois les logarithmes réunis en $\log\left(x(x-3)\right)$ , la condition n'est plus que « le produit est positif », ce qui est plus large que les conditions de départ : le domaine se lit sur l'énoncé, jamais sur l'équation transformée.

Barème : 1 point le domaine posé avant la résolution, 1 point le regroupement et le passage à l'exponentielle, 1 point la résolution, 1 point le rejet motivé de la solution étrangère.

Résoudre une équation exponentielle par le logarithme

Quand l'utiliser : L'inconnue est à l'exposant et les bases ne se ramènent pas l'une à l'autre, typiquement dans un problème de croissance ou de placement.

1 Isoler l'exponentielle : la puissance contenant $x$ doit être SEULE d'un côté du signe égal.
2 Appliquer le logarithme aux deux membres entiers, en le disant : « on applique le logarithme décimal aux deux membres ».
3 Faire descendre l'exposant avec la loi de la puissance, ce qui rend l'équation linéaire en $x$ .
4 Isoler $x$ sous forme d'un quotient de logarithmes, et garder cette forme EXACTE avant tout arrondi.
5 Calculer la valeur décimale à la calculatrice, avec au moins quatre décimales.
6 Interpréter dans le contexte et arrondir dans le bon sens : un nombre d'années complètes s'arrondit vers le haut si l'objectif doit être atteint.

Phrase de conclusion

« On a $1{,}05^{n}=2$ . En appliquant le logarithme décimal aux deux membres, $n\log(1{,}05)=\log(2)$ , donc $n=\frac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}21$ . Le capital double donc au cours de la $15^{\text{e}}$ année. »

Le piège : Arrondir $\log(1{,}05)$ à $0{,}02$ avant de diviser. Le dénominateur est petit, donc l'erreur relative explose : la réponse passe de $14{,}21$ à $15$ , et le raisonnement devient faux même quand la conclusion tombe juste.

Barème : 1 point l'exponentielle isolée, 1 point le logarithme appliqué aux deux membres et l'exposant descendu, 1 point la valeur exacte, 1 point l'interprétation dans le contexte.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter chaque solution dans l'équation de départ

Remplacer la solution dans l'ÉNONCÉ, pas dans l'équation regroupée, et vérifier deux choses : chaque argument de logarithme est strictement positif, et les deux membres donnent le même nombre à la calculatrice.

Pour $\log(x)+\log(x-3)=1$ et $x=-2$ : l'argument $-2$ est négatif, le logarithme n'existe pas, la solution se rejette sans même calculer. Pour $x=5$ : $\log 5+\log 2=\log 10=1$ , l'égalité est vérifiée.
Le test numérique de toute transformation logarithmique

Donner aux lettres des valeurs simples, par exemple $x=4$ et $y=3$ , puis calculer l'expression de départ et votre résultat à la calculatrice. Les deux nombres doivent coïncider à toutes les décimales affichées.

Vous écrivez $\log(3x^{2})=2\log(3x)$ . Avec $x=4$ : à gauche $\log(48)\approx 1{,}681$ , à droite $2\log(12)\approx 2{,}159$ . L'écart apparaît sans avoir à retrouver la loi.
L'ordre de grandeur du logarithme décimal

Le logarithme décimal compte les chiffres : $\log(x)$ est compris entre $0$ et $1$ pour un nombre à un chiffre, entre $1$ et $2$ pour un nombre à deux chiffres, et ainsi de suite. Un résultat qui sort de cette fourchette est faux.

Si votre copie annonce $\log(50)\approx 5{,}6$ , l'ordre de grandeur suffit à trancher : $50$ a deux chiffres, donc son logarithme décimal est entre $1$ et $2$ . La valeur $5{,}6$ était en fait $\log_{2}(50)$ .
La cohérence du contexte dans un problème de croissance

Relire la réponse et se demander si elle a un sens physique : un temps est positif, une population ne diminue pas quand le taux est positif, un capital placé ne perd pas de valeur. Puis recalculer la grandeur pour la valeur entière la plus proche pour encadrer.

Vous trouvez $n\approx 14{,}21$ ans pour doubler à $5$ pour cent. Le contrôle : $1{,}05^{14}\approx 1{,}98$ et $1{,}05^{15}\approx 2{,}08$ . Le doublement se situe bien entre les deux, la réponse est cohérente.

L'exercice type décortiqué

Deux placements qui se rattrapent : logarithmes, domaine et interprétation

Un premier capital de $5000$ dollars est placé à un taux annuel de $4$ pour cent composé annuellement; un second capital de $8000$ dollars est placé à $2$ pour cent.

a) Écrire la valeur de chaque placement après $n$ années. b) Au bout de combien d'années le premier placement rattrape-t-il le second ? c) Vérifier la cohérence de la réponse.

Étape 1

Après $n$ années, $C_{1}(n)=5000\cdot 1{,}04^{n}$ et $C_{2}(n)=8000\cdot 1{,}02^{n}$ .

Pourquoi

Un intérêt composé multiplie le capital par le même facteur chaque année, donc la croissance est exponentielle et non linéaire. Écrire $1{,}04$ et non $0{,}04$ est le premier geste : le facteur contient le capital initial plus l'intérêt.

Étape 2

On cherche $n$ tel que $5000\cdot 1{,}04^{n}=8000\cdot 1{,}02^{n}$ , soit $\frac{1{,}04^{n}}{1{,}02^{n}}=\frac{8000}{5000}=1{,}6$ , donc $\left(\frac{1{,}04}{1{,}02}\right)^{n}=1{,}6$ .

Pourquoi

Regrouper les deux exponentielles d'un même côté transforme deux inconnues apparentes en une seule puissance, grâce à la loi $\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ . Sans ce regroupement, aucun logarithme ne pourrait descendre l'exposant proprement.

Étape 3

On applique le logarithme décimal aux deux membres : $n\log\left(\frac{1{,}04}{1{,}02}\right)=\log(1{,}6)$ , donc $n=\frac{\log 1{,}6}{\log\left(\frac{1{,}04}{1{,}02}\right)}$ .

Pourquoi

Le logarithme s'applique au membre entier, et l'exposant descend parce qu'il porte sur TOUT l'argument. On garde la forme fractionnaire exacte : c'est elle qu'on écrit sur la copie, la décimale ne vient qu'à la ligne suivante.

Étape 4

Numériquement, $\frac{1{,}04}{1{,}02}\approx 1{,}019608$ , donc $\log\approx 0{,}0084362$ , et $\log(1{,}6)\approx 0{,}2041200$ . D'où $n\approx 24{,}195$ .

Pourquoi

Le dénominateur est très petit, donc chaque décimale compte : un arrondi à $0{,}008$ donnerait $n\approx 25{,}5$ , soit plus d'un an d'écart. C'est la raison pour laquelle on ne tape qu'une seule fois dans la calculatrice, à la fin.

Étape 5

Le contexte compte les années entières et le premier placement doit DÉPASSER le second : on arrondit donc vers le haut, à $n=25$ années.

Pourquoi

Le sens de l'arrondi n'est pas une convention, il se lit dans la question : « rattrape » signifie atteindre ou dépasser, donc la $24^{\text{e}}$ année ne suffit pas. C'est ce point d'interprétation que les copies fortes gagnent et que les autres perdent.

Étape 6

Vérification : $C_{1}(24)=5000\cdot 1{,}04^{24}\approx 12817$ et $C_{2}(24)=8000\cdot 1{,}02^{24}\approx 12866$ , donc le premier est encore derrière. Puis $C_{1}(25)\approx 13330$ et $C_{2}(25)\approx 13123$ : le premier est passé devant.

Pourquoi

L'encadrement par deux entiers consécutifs valide à la fois le calcul et le sens de l'arrondi, sans refaire un seul logarithme. C'est la vérification la plus convaincante pour un correcteur, et elle tient en deux lignes.

Conclusion rédigée

« Après $n$ années, $C_{1}(n)=5000\cdot 1{,}04^{n}$ et $C_{2}(n)=8000\cdot 1{,}02^{n}$ . L'égalité $C_{1}(n)=C_{2}(n)$ conduit à $\left(\frac{1{,}04}{1{,}02}\right)^{n}=1{,}6$ , donc $n=\frac{\log 1{,}6}{\log\left(\frac{1{,}04}{1{,}02}\right)}\approx 24{,}2$ . Le premier placement rattrape donc le second au cours de la $25^{\text{e}}$ année, ce que confirme le calcul direct : $12817$ dollars contre $12866$ dollars après $24$ ans, et $13330$ dollars contre $13123$ dollars après $25$ ans. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\log\left(5000\cdot 1{,}04^{n}\right)=\log(5000)+\log(1{,}04)+n$ en croyant que l'exposant descend tout seul : il faut $\log(5000)+n\log(1{,}04)$ . Le second travers, plus coûteux, est d'arrondir $\log\left(\frac{1{,}04}{1{,}02}\right)$ à $0{,}008$ : la réponse devient $25{,}5$ puis $26$ années, et la vérification par encadrement montrerait pourtant que $25$ suffit.

À savoir par cœur

• $\log_{a}(x)=y$ équivaut à $a^{y}=x$ : un logarithme est un EXPOSANT, jamais un facteur.
• $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$ , $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ , $\log_{a}(x^{n})=n\log_{a}x$ .
• Il n'existe AUCUNE loi pour $\log(x+y)$ : le logarithme d'une somme ne se décompose pas.
• Un argument de logarithme est TOUJOURS strictement positif : le domaine se pose avant la résolution.
• Changement de base : $\log_{a}(x)=\frac{\log x}{\log a}$ . C'est un quotient de logarithmes, pas un logarithme de quotient.
• $\log_{a}(1)=0$ , $\log_{a}(a)=1$ , $a^{\log_{a}x}=x$ et $\log_{a}(a^{x})=x$ .
• Pour passer en exponentielle, le logarithme doit être SEUL et sans coefficient d'un côté.
• Toute solution d'une équation logarithmique se confronte au domaine, et le rejet s'écrit avec sa raison.
• Dans un problème de croissance, on garde les valeurs exactes jusqu'à la dernière ligne, puis on arrondit une seule fois.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec des logarithmes en secondaire 5 ?

En trois temps obligatoires. On pose d'abord le domaine, en écrivant que chaque argument de logarithme est strictement positif. On regroupe ensuite les logarithmes en un seul de chaque côté, puis on passe en écriture exponentielle ou on identifie les arguments. On confronte enfin chaque solution au domaine et on rejette celles qui en sortent.

Pourquoi certaines solutions doivent être rejetées ?

Parce que regrouper deux logarithmes en un seul agrandit le domaine : le logarithme d'un produit existe dès que le produit est positif, même si chaque facteur est négatif. L'équation transformée a donc plus de solutions que l'originale. Ces solutions supplémentaires sont dites étrangères, et seule la confrontation au domaine de départ les élimine.

Est-ce que le logarithme d'une somme est la somme des logarithmes ?

Non, jamais. Le logarithme transforme un produit en somme, pas une somme en somme. Le logarithme de x plus trois ne se décompose pas du tout, alors que le logarithme de trois x vaut bien le logarithme de trois plus le logarithme de x. Un test numérique rapide sur une valeur simple tranche la question en quelques secondes.

Comment calculer un logarithme dans une base autre que 10 ou e ?

On utilise la formule de changement de base : le logarithme de x en base a vaut le logarithme décimal de x divisé par le logarithme décimal de a. On peut aussi employer le logarithme naturel au numérateur et au dénominateur, le résultat est identique. C'est un quotient de deux logarithmes, à ne pas confondre avec le logarithme d'un quotient.

Comment trouver le nombre d'années pour doubler un capital ?

On écrit que le capital multiplié par le facteur de croissance élevé au nombre d'années vaut le double du capital initial, ce qui donne une équation exponentielle. On applique le logarithme aux deux membres, l'exposant descend, et le nombre d'années est le quotient du logarithme de deux par le logarithme du facteur. On arrondit ensuite vers le haut.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Calculs exponentiels et logarithmiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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