Fiche de révision : les fonctions exponentielles (math SN5)

Si l'asymptote et deux points sont donnés ou lisibles → $k$ vient de l'asymptote, puis on pose $f(x)=a\,c^{x}+k$ et on résout le système sur les deux points

Exemple : asymptote $y=2$, passage par $(0;5)$ et $(1;11)$ : $a=3$ puis $3c=9$, donc $c=3$ et $f(x)=3\cdot 3^{x}+2$

Retrancher $k$ de chaque ordonnée AVANT le système : on retrouve alors une exponentielle pure, et le quotient des deux valeurs donne $c$ directement.

Si un problème de croissance avec un taux en pourcentage → $Q(t)=Q_{0}\cdot c^{t}$ avec $c=1+\text{taux}$ pour une hausse, $c=1-\text{taux}$ pour une baisse

Exemple : hausse de $8$ pour cent par an à partir de $1200$ : $Q(t)=1200\cdot 1{,}08^{t}$

Si un temps de doublement, de triplement ou une demi-vie est donné → $Q(t)=Q_{0}\cdot r^{t/p}$, où $r$ est le facteur annoncé et $p$ la durée sur laquelle il agit

Exemple : demi-vie de $12$ jours : $Q(t)=Q_{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/12}$

La période va au DÉNOMINATEUR de l'exposant. Vérifiez en remplaçant $t$ par $p$ : on doit retrouver exactement le facteur annoncé.

Si deux valeurs à deux instants, sans taux ni asymptote → diviser les deux équations : $Q_{0}$ disparaît et il reste $c^{t_{2}-t_{1}}=\frac{Q_{2}}{Q_{1}}$

Exemple : $Q(2)=300$ et $Q(5)=2400$ donnent $c^{3}=8$, donc $c=2$, puis $Q_{0}=75$

Si seulement un graphique → lire l'asymptote pour $k$, le point de référence pour $a$, puis un troisième point pour $c$

Exemple : asymptote $y=-1$, courbe passant par $(0;1)$ et $(2;15)$ : $a=2$ puis $2c^{2}=16$, donc $c=2\sqrt{2}$

L'asymptote se repère à l'endroit où la courbe s'aplatit; elle est presque toujours une graduation entière du dessin.

Si après isolement, le membre de droite est NÉGATIF ou nul → aucune solution : une exponentielle est strictement positive. On l'écrit et on s'arrête

Exemple : $2\cdot 3^{x}+5=0$ donne $3^{x}=-2{,}5$, donc $S=\varnothing$

Si les deux membres se ramènent à une même base → identifier les exposants, sans logarithme

Exemple : $4^{x+1}=8^{x-1}$ donne $2^{2x+2}=2^{3x-3}$, donc $2x+2=3x-3$ et $x=5$

C'est la voie exacte : elle donne une fraction ou un entier, jamais une décimale approchée.

Si les bases ne se réduisent pas l'une à l'autre → appliquer le logarithme aux deux membres, puis faire descendre l'exposant

Exemple : $2^{x}=7$ donne $x=\frac{\log 7}{\log 2}\approx 2{,}807$

Si l'inconnue apparaît en $c^{2x}$ et $c^{x}$ → poser $u=c^{x}$, résoudre le trinôme, puis revenir à $x$ en rejetant tout $u\le 0$

Exemple : $9^{x}-4\cdot 3^{x}+3=0$ donne $u^{2}-4u+3=0$, donc $u=1$ ou $u=3$, soit $x=0$ ou $x=1$

Si c'est une INÉQUATION → résoudre comme l'équation, puis conserver le sens si la base est supérieure à $1$, l'INVERSER si elle est entre $0$ et $1$

Exemple : $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}<\frac{1}{8}$ donne $x>3$

Le paramètre $a$ compte aussi : s'il est négatif, la fonction est renversée et le sens s'inverse une seconde fois.