Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : les fonctions logarithmiques (math SN5)

Q: Comment trouver le domaine d'une fonction logarithmique ?

On écrit que l'argument du logarithme est strictement positif, puis on résout l'inéquation obtenue. Pour le logarithme de x moins trois, la condition est x supérieur à trois, donc le domaine est l'intervalle ouvert de trois à l'infini. Ce n'est jamais l'ensemble des réels, et la valeur qui annule l'argument donne l'asymptote verticale.

Q: Pourquoi une fonction logarithmique n'a pas d'asymptote horizontale ?

Parce qu'elle est la réciproque de l'exponentielle : leurs propriétés sont échangées. L'asymptote horizontale de l'exponentielle devient une asymptote verticale pour le logarithme, et le domaine de l'une devient l'image de l'autre. L'image du logarithme est donc l'ensemble des réels, et aucune droite horizontale ne peut le borner.

Q: Quand faut-il inverser le sens d'une inéquation logarithmique ?

Quand la base est comprise entre zéro et un, car la fonction est alors décroissante, et aussi quand on divise l'inéquation par un coefficient négatif. Ces deux renversements peuvent se cumuler et se compenser. En cas de doute, testez une valeur numérique dans l'inéquation de départ, cela tranche définitivement le sens de l'intervalle.

Q: Où se trouve le zéro d'une fonction logarithmique ?

Là où l'argument du logarithme vaut un, car le logarithme de un vaut zéro dans toutes les bases. Pour le logarithme de x moins deux, le zéro est donc en x égale trois. La valeur qui annule l'argument, ici deux, n'est pas un zéro du tout : c'est l'asymptote verticale, un point exclu du domaine.

Q: Que signifie une différence de vingt décibels ?

Une différence sur une échelle logarithmique correspond à un rapport sur la grandeur réelle. Vingt décibels d'écart correspondent à un facteur dix puissance deux, donc une intensité cent fois plus grande. C'est ce qui rend ces échelles pratiques : elles compriment des rapports de un à un million dans une graduation lisible.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les fonctions logarithmiques : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, ce que la réciproque permet de déduire sans calcul, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

La fonction logarithme est la RÉCIPROQUE de l'exponentielle, et tout le chapitre se déduit de cette phrase : ce qui était asymptote horizontale devient asymptote verticale, ce qui était domaine devient image, et l'unique zéro se trouve là où l'argument vaut $1$ . Les points se perdent en oubliant que le domaine n'est plus $\mathbb{R}$ mais un intervalle à trouver, et en traitant une inéquation logarithmique sans regarder si la base est supérieure ou inférieure à $1$ , car ce seul détail renverse l'ensemble solution.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les fonctions exponentielles Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Fonction logarithmique
Fonction réciproque
Asymptote verticale
Domaine d'existence
Base du logarithme
Croissance et décroissance
Inéquation logarithmique
Zéro d'une fonction logarithmique
Tracé d'une fonction logarithmique
Échelle logarithmique
Forme canonique
Modèle logarithmique

L'essentiel

Ce que la réciproque donne gratuitement

• $\log_{a}$ est la réciproque de $x\mapsto a^{x}$ : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ .
• Le domaine de $\log_{a}$ est l'image de l'exponentielle, soit $]0;+\infty[$ ; son image est le domaine de l'exponentielle, soit $\mathbb{R}$ .
• L'asymptote horizontale $y=0$ de l'exponentielle devient l'asymptote VERTICALE $x=0$ du logarithme.
• Le point $(0;1)$ de l'exponentielle devient le point $(1;0)$ du logarithme : c'est l'unique zéro.
• $\log_{a}\left(a^{x}\right)=x$ et $a^{\log_{a}(x)}=x$ : chacune défait ce que l'autre fait.

Pour tracer un logarithme, tracez l'exponentielle correspondante et retournez la feuille selon la diagonale $y=x$ : les points remarquables s'échangent, et la courbe est juste du premier coup.

La forme canonique et le domaine à trouver

• $f(x)=a\log_{c}\left(b(x-h)\right)+k$ , avec $c>0$ , $c\neq 1$ et $b\neq 0$ .
• L'asymptote verticale est $x=h$ : c'est la valeur qui annule l'argument, jamais $x=0$ dès que $h$ est non nul.
• Le domaine se trouve en résolvant $b(x-h)>0$ : c'est $]h;+\infty[$ si $b>0$ , et $]-\infty;h[$ si $b<0$ .
• L'image est $\mathbb{R}$ tout entier, toujours : un logarithme n'est borné ni en haut ni en bas.
• Le zéro vérifie $\log_{c}\left(b(x-h)\right)=-\frac{k}{a}$ , donc $b(x-h)=c^{-k/a}$ : il existe toujours, et il est unique.

Contrairement à l'exponentielle, le logarithme a TOUJOURS exactement un zéro et jamais d'asymptote horizontale. Les deux fonctions sont réciproques, donc leurs propriétés sont échangées, pas identiques.

Le sens de variation et ce qu'il commande

• Base $c>1$ : $\log_{c}$ est CROISSANTE. Base $0<c<1$ : $\log_{c}$ est DÉCROISSANTE.
• Avec les paramètres, la fonction croît quand $ab>0$ et $c>1$ , ou quand $ab<0$ et $0<c<1$ .
• Pour $c>1$ : $\log_{c}(x)>\log_{c}(y)$ équivaut à $x>y$ . Le sens est conservé.
• Pour $0<c<1$ : $\log_{c}(x)>\log_{c}(y)$ équivaut à $x<y$ . Le sens s'INVERSE.
• La croissance d'un logarithme est très lente : $\log_{10}$ passe de $1$ à $2$ quand $x$ passe de $10$ à $100$ .

La lenteur du logarithme est ce qui le rend utile en sciences : le pH, les décibels et l'échelle de Richter compriment des rapports de un à un million dans une échelle de $0$ à $6$ .

Les échelles logarithmiques des problèmes

• pH $=-\log\left[H^{+}\right]$ : chaque unité de pH en moins multiplie la concentration par $10$ .
• Décibels : $L=10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ , donc $+10$ décibels signifie une intensité $10$ fois plus grande.
• Une échelle logarithmique transforme un rapport en différence : c'est la loi $\log\frac{x}{y}=\log x-\log y$ appliquée à la réalité.
• Décroissance d'un médicament ou d'un isotope : $Q(t)=Q_{0}c^{t}$ , et le temps se trouve par logarithme.
• Un modèle est logarithmique quand la grandeur croît de moins en moins vite sans jamais plafonner.

Dans une échelle logarithmique, deux valeurs qui diffèrent de $3$ unités correspondent à un rapport de $10^{3}$ , soit mille fois. C'est la question de contexte la plus fréquente, et elle ne demande aucun calcul.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Annoncer le domaine comme l'ensemble des réels

2 points, et toutes les questions suivantes portent sur des valeurs qui n'existent pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\log_{2}(x-3)$ : le domaine est $\mathbb{R}$ , comme pour toute fonction. »

Ce qu'il faut écrire

« L'argument doit être strictement positif : $x-3>0$ , donc le domaine est $]3;+\infty[$ , et l'asymptote verticale est $x=3$ . »

La courbe se colle à la droite

x=3

sans jamais la franchir : aucun point n'existe à gauche, donc le domaine est

]3\,;+\infty[

et l'asymptote est verticale.

Pourquoi : Le logarithme n'est défini que sur les nombres strictement positifs, et son argument est ici une expression, pas $x$ tout seul. Le domaine se trouve donc en résolvant une inéquation, ce qui est la première ligne de toute étude de fonction logarithmique.

2. Chercher une asymptote horizontale

2 points, et une image annoncée fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\log(x)+2$ : l'asymptote est $y=2$ , comme pour l'exponentielle. »

Ce qu'il faut écrire

« Une fonction logarithmique n'a PAS d'asymptote horizontale : son image est $\mathbb{R}$ . Son asymptote est verticale, ici $x=0$ . »

Pourquoi : L'exponentielle et le logarithme sont réciproques : leurs asymptotes sont échangées, pas identiques. Le logarithme croît sans borne, aussi lentement soit-il, donc aucune droite horizontale ne peut l'arrêter.

3. Conserver le sens d'une inéquation avec une base inférieure à 1

toute la question, l'ensemble solution est presque le complémentaire du bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log_{1/2}(x)>3$ donne $x>\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La base $\frac{1}{2}$ est comprise entre $0$ et $1$ , donc la fonction est décroissante et le sens s'inverse : $0<x<\frac{1}{8}$ . »

La courbe DESCEND : être au-dessus de

3

se lit à GAUCHE de

\frac{1}{8}

, et le domaine ferme l'intervalle à zéro. Le sens de l'inéquation s'inverse.

Pourquoi : Passer de l'inégalité sur les logarithmes à l'inégalité sur les arguments n'est une équivalence que si la fonction est croissante, donc si la base dépasse $1$ . Et il ne faut pas oublier la condition de domaine $x>0$ , qui borne l'intervalle à gauche.

4. Chercher le zéro là où l'argument s'annule

2 points, et le zéro annoncé est précisément l'asymptote

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\log_{3}(x-2)$ : le zéro est en $x=2$ , puisque c'est là que l'intérieur vaut zéro. »

Ce qu'il faut écrire

« Le zéro vérifie $\log_{3}(x-2)=0$ , donc $x-2=3^{0}=1$ , donc $x=3$ . En $x=2$ , la fonction n'existe même pas. »

Pourquoi : Un logarithme vaut $0$ quand son argument vaut $1$ , jamais quand il vaut $0$ : $\log_{c}(1)=0$ pour toute base. La valeur qui annule l'argument est au contraire l'asymptote verticale, donc exactement le point exclu du domaine.

5. Oublier la condition de domaine dans l'ensemble solution d'une inéquation

2 points sur 3 : la moitié de l'intervalle est absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log(x-1)<2$ donne $x-1<100$ , donc $x<101$ , et $S=\,]-\infty;101[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine impose $x-1>0$ , donc $x>1$ . Avec $x-1<100$ , on obtient $S=\,]1;101[$ . »

Pourquoi : Une inéquation logarithmique donne toujours DEUX conditions : celle du domaine et celle de la comparaison. La solution est leur intersection, et l'oubli du domaine produit un intervalle non borné à gauche où la fonction n'existe pas.

6. Confondre le paramètre $h$ et la valeur de l'asymptote quand $b$ est en facteur

1 point, et un tracé décalé de trois unités

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\log(2x-6)$ : l'asymptote verticale est $x=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2x-6>0$ donne $x>3$ , donc l'asymptote verticale est $x=3$ ; on peut aussi écrire $\log\left(2(x-3)\right)$ pour la lire directement. »

Pourquoi : L'asymptote est la valeur qui ANNULE l'argument, pas la constante qu'on y lit. Mettre $b$ en évidence avant toute lecture, ici $2x-6=2(x-3)$ , fait apparaître $h$ sans risque et prend cinq secondes.

7. Croire qu'un logarithme finit par plafonner

1 point de raisonnement, et une image annoncée bornée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log(x)$ ne dépassera jamais $10$ , la croissance est trop lente. »

Ce qu'il faut écrire

« $\log(x)=10$ pour $x=10^{10}$ : la croissance est lente, mais l'image est $\mathbb{R}$ tout entier et aucune valeur n'est hors de portée. »

Chaque unité gagnée coûte dix fois plus de

x

, mais la courbe monte toujours : l'image est

\mathbb{R}

tout entier, il n'y a aucune valeur hors d'atteinte.

Pourquoi : Lenteur et borne sont deux choses différentes : le logarithme met très longtemps à atteindre une valeur, mais il l'atteint toujours. C'est ce qui distingue une fonction logarithmique d'une fonction avec asymptote horizontale, comme la fonction homographique.

8. Traiter une échelle logarithmique comme une échelle proportionnelle

toute la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un son de $80$ décibels est deux fois plus intense qu'un son de $40$ décibels. »

Ce qu'il faut écrire

« $80-40=40$ décibels d'écart, soit $10^{4}$ : le son est $10000$ fois plus intense, pas deux fois. »

Pourquoi : Une échelle logarithmique transforme les rapports en différences : une DIFFÉRENCE de valeurs correspond à un QUOTIENT d'intensités. C'est exactement la loi $\log\frac{x}{y}=\log x-\log y$ lue dans le monde réel, et c'est ce qui rend ces échelles utiles.

Quelle méthode choisir

Trouver la règle, selon ce que l'énoncé donne

Le premier repère d'un logarithme n'est jamais un point : c'est l'asymptote verticale. Cherchez-la d'abord, elle donne $h$ et fixe le domaine.

Si l'asymptote verticale et deux points sont donnés → $h$ vient de l'asymptote, puis on pose $f(x)=a\log_{c}(x-h)+k$ et on résout sur les deux points

Exemple : asymptote $x=1$ , passage par $(2;0)$ et $(11;2)$ : $k=0$ puis $a\log_{c}(10)=2$

Un point où la fonction s'annule est le plus utile : il donne l'argument égal à $1$ et supprime une inconnue.
Si la base n'est pas imposée → prendre $c=10$ et laisser $a$ absorber le changement de base

Exemple : $a\log_{c}(u)=\frac{a}{\log c}\log(u)$ , donc une seule constante suffit

Deux points ne peuvent pas déterminer à la fois $a$ et $c$ : l'énoncé impose forcément l'un des deux.
Si l'énoncé donne la réciproque d'une exponentielle connue → échanger $x$ et $y$ dans la règle, puis isoler $y$ par la définition du logarithme

Exemple : $y=2\cdot 3^{x}+1$ donne $x=2\cdot 3^{y}+1$ , puis $y=\log_{3}\left(\frac{x-1}{2}\right)$

Le domaine de la réciproque est l'image de la fonction de départ : ici $]1;+\infty[$ , ce qui se lit sur l'asymptote de l'exponentielle.
Si un problème de décroissance où l'on cherche un TEMPS → écrire le modèle exponentiel, puis isoler le temps par logarithme

Exemple : $Q(t)=Q_{0}\cdot 0{,}8^{t}$ et $Q(t)=0{,}1Q_{0}$ donnent $t=\frac{\log 0{,}1}{\log 0{,}8}\approx 10{,}3$
Si une échelle physique est nommée (pH, décibels, Richter) → utiliser la formule de l'échelle, et traduire toute DIFFÉRENCE de valeurs en QUOTIENT de grandeurs

Exemple : un pH qui passe de $6$ à $3$ correspond à une concentration $10^{3}$ fois plus grande

Aucune branche ne s'applique quand l'énoncé donne deux points sans asymptote ni base : il manque alors une donnée, et elle est souvent dans le contexte plutôt que dans le graphique.

Résoudre une inéquation logarithmique, en trois questions

Trois questions dans cet ordre, et l'inéquation est résolue : quel est le domaine, la base dépasse-t-elle $1$ , et le logarithme est-il seul d'un côté ?

Si il y a un coefficient devant le logarithme → diviser d'abord, et INVERSER le sens si ce coefficient est négatif

Exemple : $-2\log(x)>4$ donne $\log(x)<-2$ , donc $0<x<0{,}01$

C'est un premier renversement possible, indépendant de celui que provoque la base.
Si le logarithme est comparé à un NOMBRE, base supérieure à 1 → passer en exponentielle en conservant le sens, puis intersecter avec le domaine

Exemple : $\log(x-1)<2$ donne $x-1<100$ et $x-1>0$ , donc $S=\,]1;101[$
Si le logarithme est comparé à un nombre, base ENTRE 0 ET 1 → passer en exponentielle en INVERSANT le sens, puis intersecter avec le domaine

Exemple : $\log_{1/2}(x)>3$ donne $0<x<\frac{1}{8}$
Si deux logarithmes de même base, un de chaque côté → comparer les arguments, en conservant ou inversant le sens selon la base, et poser les DEUX conditions de domaine

Exemple : $\log(2x)>\log(x+3)$ donne $2x>x+3$ , soit $x>3$ , avec $x>0$ : donc $S=\,]3;+\infty[$
Si plusieurs logarithmes du même côté → regrouper avec les lois en un seul logarithme, mais poser le domaine AVANT le regroupement

Exemple : $\log(x)+\log(x-2)\le 0$ exige $x>2$ , puis $x(x-2)\le 1$ , donc $S=\,]2;1+\sqrt{2}]$

Deux renversements possibles peuvent se cumuler : un coefficient négatif et une base inférieure à $1$ se compensent et laissent le sens inchangé. Quand le doute persiste, testez une valeur dans l'inéquation de départ, cela tranche définitivement.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier complètement une fonction logarithmique

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le domaine, l'image, l'asymptote, la variation, le zéro et l'ordonnée à l'origine, en général avant un tracé.

1 Poser la condition d'existence en résolvant l'inéquation « argument $>0$ », et écrire le domaine en intervalle.
2 Nommer l'asymptote verticale : « la droite d'équation $x=h$ est asymptote verticale à la courbe ».
3 Donner l'image, qui vaut $\mathbb{R}$ pour toute fonction logarithmique, et le dire explicitement.
4 Donner le sens de variation à partir du signe de $ab$ et de la position de la base par rapport à $1$ .
5 Chercher le zéro en écrivant que le logarithme vaut $0$ , donc que son argument vaut $1$ .
6 Calculer l'ordonnée à l'origine, ou justifier qu'elle n'existe pas si $0$ n'appartient pas au domaine.
7 Tracer l'asymptote en pointillé, placer le zéro et un second point, puis tracer la courbe.

Phrase de conclusion

« La fonction $f(x)=2\log_{3}(x-1)-4$ est définie pour $x-1>0$ , donc sur $]1;+\infty[$ , et la droite $x=1$ est asymptote verticale. Son image est $\mathbb{R}$ et elle est croissante car $a=2>0$ et la base $3$ est supérieure à $1$ . Son zéro vérifie $\log_{3}(x-1)=2$ , donc $x-1=9$ et $x=10$ . Enfin $0$ n'appartient pas au domaine, il n'y a donc pas d'ordonnée à l'origine. »

Le piège : Annoncer une ordonnée à l'origine sans vérifier que $0$ appartient au domaine. Dès que l'asymptote verticale est à droite de l'axe des ordonnées, la courbe ne coupe jamais cet axe, et le dire en une ligne rapporte le point.

Barème : 1 point le domaine résolu et l'asymptote, 1 point l'image et la variation justifiée, 1 point le zéro, 1 point l'ordonnée à l'origine ou sa non-existence.

Résoudre une inéquation logarithmique

Quand l'utiliser : L'énoncé compare un logarithme à un nombre ou à un autre logarithme, ou demande « pour quelles valeurs de $x$ » avec un logarithme dans l'expression.

1 Poser le domaine : chaque argument strictement positif, puis intersecter les conditions.
2 Isoler le logarithme, en inversant le sens si l'on divise par un coefficient NÉGATIF.
3 Annoncer le sens de variation de la fonction logarithme employée : « la base $10$ est supérieure à $1$ , donc le logarithme est croissant ».
4 Passer aux arguments en conservant ou en inversant le sens selon cette variation.
5 Résoudre l'inéquation obtenue sur les arguments.
6 Intersecter avec le domaine, et écrire l'ensemble solution en intervalles.
7 Tester une valeur de l'intervalle trouvé dans l'inéquation de départ.

Phrase de conclusion

« Le domaine impose $x-1>0$ , donc $x>1$ . La base $10$ étant supérieure à $1$ , le logarithme est croissant et $\log(x-1)<2$ équivaut à $x-1<10^{2}=100$ , soit $x<101$ . En intersectant avec le domaine, $S=\,]1;101[$ . »

Le piège : Oublier l'intersection avec le domaine et rendre un intervalle non borné à gauche. L'inéquation sur les arguments ne contient plus l'information d'existence : c'est la seule condition qui ne se lit jamais sur l'équation transformée.

Barème : 1 point le domaine, 1 point le sens de variation annoncé et le passage aux arguments, 1 point la résolution, 1 point l'intersection et l'écriture en intervalles.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester une borne et un point intérieur de l'intervalle

Prendre une valeur au milieu de l'ensemble solution annoncé et une valeur juste à l'extérieur, puis les remplacer dans l'inéquation DE DÉPART. La première doit la vérifier, la seconde non. Deux calculs, et le sens de l'intervalle est confirmé.

Pour $\log_{1/2}(x)>3$ et la réponse $]0;0{,}125[$ : en $x=0{,}01$ on trouve environ $6{,}64>3$ , correct; en $x=1$ on trouve $0$ , qui n'est pas supérieur à $3$ . Le sens inversé est confirmé.
L'ordre de grandeur du logarithme décimal

Le logarithme décimal compte les chiffres avant la virgule : il vaut entre $0$ et $1$ pour un nombre à un chiffre, entre $1$ et $2$ pour deux chiffres, et il est NÉGATIF pour un nombre inférieur à $1$ . Toute valeur hors de cette fourchette signale une erreur.

Une copie qui annonce $\log(0{,}05)\approx 1{,}3$ contient une erreur de signe : le nombre est inférieur à $1$ , donc son logarithme décimal est négatif, ici environ $-1{,}3$ .
Le domaine relu en dernier, avant de rendre

Reprendre chaque valeur écrite dans les réponses, zéros, bornes d'intervalles, solutions d'équations, et vérifier qu'elle appartient au domaine trouvé à la première ligne. Cela ne demande aucun calcul, seulement une comparaison.

Vous avez trouvé le domaine $]3;+\infty[$ puis annoncé un zéro en $x=2$ : les deux réponses sont incompatibles, et la relecture le montre en trois secondes sans refaire l'exercice.
La symétrie avec l'exponentielle sur le graphique

Si vous avez tracé la courbe, vérifiez qu'elle est bien le miroir de l'exponentielle correspondante par rapport à la droite $y=x$ : l'asymptote verticale doit correspondre à l'asymptote horizontale, et le zéro à l'ordonnée à l'origine.

L'exponentielle $y=3^{x}$ passe par $(0;1)$ et $(1;3)$ ; son logarithme réciproque doit donc passer par $(1;0)$ et $(3;1)$ . Une courbe qui passerait par $(0;1)$ n'existe même pas, puisque $0$ n'est pas dans le domaine.

L'exercice type décortiqué

L'élimination d'un médicament : modèle, logarithme et lecture du domaine

Une dose de $500$ milligrammes d'un médicament est administrée à un patient. La quantité présente dans le sang diminue de $15$ pour cent par heure.

a) Donner la règle $Q(t)$ de la quantité restante après $t$ heures. b) Exprimer $t$ en fonction de $Q$ à l'aide d'un logarithme. c) Au bout de combien d'heures reste-t-il moins de $50$ milligrammes ? d) Que devient le résultat si la dose initiale est doublée ?

Étape 1

Une baisse de $15$ pour cent par heure multiplie la quantité par $0{,}85$ chaque heure, donc $Q(t)=500\cdot 0{,}85^{t}$ , avec $t$ en heures.

Pourquoi

Le facteur vaut $1-0{,}15$ et non $0{,}15$ : il reste $85$ pour cent de la quantité, on n'en perd pas $85$ . Un contrôle immédiat, $Q(1)=425$ , confirme qu'on a bien retiré $75$ milligrammes, soit $15$ pour cent de $500$ .

Étape 2

De $Q=500\cdot 0{,}85^{t}$ on tire $0{,}85^{t}=\frac{Q}{500}$ , puis en appliquant le logarithme, $t=\frac{\log\left(\frac{Q}{500}\right)}{\log(0{,}85)}$ .

Pourquoi

Exprimer $t$ en fonction de $Q$ , c'est construire la fonction RÉCIPROQUE du modèle exponentiel : elle est donc logarithmique, ce qui explique la présence de ce chapitre dans un problème de décroissance. Le domaine de cette réciproque est $]0;500]$ , l'image du modèle.

Étape 3

On cherche $t$ tel que $Q(t)<50$ , soit $0{,}85^{t}<0{,}1$ . La base $0{,}85$ est comprise entre $0$ et $1$ , donc en passant au logarithme et en divisant par $\log(0{,}85)$ qui est NÉGATIF, le sens s'inverse : $t>\frac{\log 0{,}1}{\log 0{,}85}$ .

Pourquoi

C'est l'étape décisive et celle que les copies manquent : diviser une inégalité par un nombre négatif renverse le sens. Le contrôle de bon sens confirme le résultat, puisqu'une quantité qui décroît passe sous un seuil APRÈS un certain temps, donc pour les grands $t$ .

Étape 4

Numériquement, $\log(0{,}1)=-1$ et $\log(0{,}85)\approx -0{,}070581$ , donc $t>\frac{-1}{-0{,}070581}\approx 14{,}17$ heures.

Pourquoi

Le quotient de deux nombres négatifs est positif, ce qui est rassurant : un temps négatif aurait signalé une erreur de signe. On garde quatre décimales au dénominateur, sans quoi la réponse dérive de plusieurs dizièmes d'heure.

Étape 5

La quantité passe donc sous $50$ milligrammes après environ $14{,}2$ heures, soit à partir de la $15^{\text{e}}$ heure si l'énoncé compte des heures entières.

Pourquoi

Le sens de l'arrondi se lit dans la question : « reste-t-il moins de » impose de dépasser le seuil de temps, donc d'arrondir vers le haut. À la $14^{\text{e}}$ heure, il reste encore un peu plus de $50$ milligrammes.

Étape 6

Avec $1000$ milligrammes au départ, on cherche $0{,}85^{t}<0{,}05$ , donc $t>\frac{\log 0{,}05}{\log 0{,}85}\approx 18{,}4$ heures : il faut environ $4{,}3$ heures de plus, et non le double du temps.

Pourquoi

Doubler la dose n'ajoute qu'un temps de demi-vie, pas un facteur deux sur la durée : c'est la propriété caractéristique d'une décroissance exponentielle, et l'écart de $4{,}3$ heures est justement le temps de demi-vie du médicament.

Étape 7

Vérification : $Q(14)=500\cdot 0{,}85^{14}\approx 50{,}6$ milligrammes, encore au-dessus du seuil, tandis que $Q(15)\approx 43{,}0$ milligrammes. Et $\frac{\log 0{,}5}{\log 0{,}85}\approx 4{,}27$ , ce qui confirme l'écart trouvé à la question d).

Pourquoi

L'encadrement par deux heures consécutives valide à la fois le calcul et le sens de l'inégalité renversée, sans refaire une seule ligne. Et retrouver le temps de demi-vie dans l'écart de la question d) montre que le raisonnement, et pas seulement le résultat, était le bon.

Conclusion rédigée

« La quantité restante suit $Q(t)=500\cdot 0{,}85^{t}$ , où $t$ est le nombre d'heures. On en tire $t=\frac{\log\left(\frac{Q}{500}\right)}{\log 0{,}85}$ , fonction logarithmique définie sur $]0;500]$ . La condition $Q(t)<50$ s'écrit $0{,}85^{t}<0{,}1$ ; comme $\log(0{,}85)$ est négatif, le sens s'inverse et $t>\frac{\log 0{,}1}{\log 0{,}85}\approx 14{,}2$ heures. Enfin, doubler la dose initiale ne fait que retarder ce seuil d'environ $4{,}3$ heures, soit exactement le temps de demi-vie du médicament. »

L'erreur classique sur cet exercice : Diviser par $\log(0{,}85)$ sans inverser le sens : on annonce alors $t<14{,}2$ heures, c'est-à-dire que le médicament serait éliminé avant même d'avoir été administré. Le second travers est de croire que doubler la dose double le temps d'élimination : la réponse deviendrait $28{,}4$ heures, alors que le calcul donne $18{,}4$ heures.

À savoir par cœur

• $\log_{c}$ est la réciproque de $c^{x}$ : les courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ .
• Domaine : l'argument doit être strictement positif, ce qui se RÉSOUT. Image : $\mathbb{R}$ , toujours.
• L'asymptote est VERTICALE, à la valeur qui annule l'argument. Il n'y a jamais d'asymptote horizontale.
• Un logarithme vaut $0$ quand son argument vaut $1$ , jamais quand son argument vaut $0$ .
• Base $c>1$ : croissante, le sens des inéquations est conservé. Base $0<c<1$ : décroissante, le sens s'INVERSE.
• L'ensemble solution d'une inéquation logarithmique est l'INTERSECTION du domaine et de la condition trouvée.
• Diviser par un coefficient négatif renverse aussi le sens : deux renversements se compensent.
• Sur une échelle logarithmique, une DIFFÉRENCE de valeurs correspond à un QUOTIENT de grandeurs.
• Un logarithme croît lentement mais sans borne : lent ne veut pas dire borné.

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction logarithmique ?

On écrit que l'argument du logarithme est strictement positif, puis on résout l'inéquation obtenue. Pour le logarithme de x moins trois, la condition est x supérieur à trois, donc le domaine est l'intervalle ouvert de trois à l'infini. Ce n'est jamais l'ensemble des réels, et la valeur qui annule l'argument donne l'asymptote verticale.

Pourquoi une fonction logarithmique n'a pas d'asymptote horizontale ?

Parce qu'elle est la réciproque de l'exponentielle : leurs propriétés sont échangées. L'asymptote horizontale de l'exponentielle devient une asymptote verticale pour le logarithme, et le domaine de l'une devient l'image de l'autre. L'image du logarithme est donc l'ensemble des réels, et aucune droite horizontale ne peut le borner.

Quand faut-il inverser le sens d'une inéquation logarithmique ?

Quand la base est comprise entre zéro et un, car la fonction est alors décroissante, et aussi quand on divise l'inéquation par un coefficient négatif. Ces deux renversements peuvent se cumuler et se compenser. En cas de doute, testez une valeur numérique dans l'inéquation de départ, cela tranche définitivement le sens de l'intervalle.

Où se trouve le zéro d'une fonction logarithmique ?

Là où l'argument du logarithme vaut un, car le logarithme de un vaut zéro dans toutes les bases. Pour le logarithme de x moins deux, le zéro est donc en x égale trois. La valeur qui annule l'argument, ici deux, n'est pas un zéro du tout : c'est l'asymptote verticale, un point exclu du domaine.

Que signifie une différence de vingt décibels ?

Une différence sur une échelle logarithmique correspond à un rapport sur la grandeur réelle. Vingt décibels d'écart correspondent à un facteur dix puissance deux, donc une intensité cent fois plus grande. C'est ce qui rend ces échelles pratiques : elles compriment des rapports de un à un million dans une graduation lisible.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions logarithmiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)Exponentielle et logarithmeCalcul différentiel, Sciences humaines (201-103)

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Fiche de révision : les fonctions logarithmiques (math SN5)

L'essentiel

Ce que la réciproque donne gratuitement

La forme canonique et le domaine à trouver

Le sens de variation et ce qu'il commande

Les échelles logarithmiques des problèmes

Les pièges qui coûtent des points

1. Annoncer le domaine comme l'ensemble des réels

2. Chercher une asymptote horizontale

3. Conserver le sens d'une inéquation avec une base inférieure à 1

4. Chercher le zéro là où l'argument s'annule

5. Oublier la condition de domaine dans l'ensemble solution d'une inéquation

6. Confondre le paramètre hhh et la valeur de l'asymptote quand bbb est en facteur

7. Croire qu'un logarithme finit par plafonner

8. Traiter une échelle logarithmique comme une échelle proportionnelle

Quelle méthode choisir

Trouver la règle, selon ce que l'énoncé donne

Résoudre une inéquation logarithmique, en trois questions

La rédaction attendue

Étudier complètement une fonction logarithmique

Résoudre une inéquation logarithmique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

L'élimination d'un médicament : modèle, logarithme et lecture du domaine

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction logarithmique ?

Pourquoi une fonction logarithmique n'a pas d'asymptote horizontale ?

Quand faut-il inverser le sens d'une inéquation logarithmique ?

Où se trouve le zéro d'une fonction logarithmique ?

Que signifie une différence de vingt décibels ?

Exercices corrigés : Les fonctions logarithmiques

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6. Confondre le paramètre $h$ et la valeur de l'asymptote quand $b$ est en facteur