Exercices corrigés : exponentielle et logarithme (201-103)

$f'(x)=3e^{1{,}5x}\times 1{,}5=4{,}5\,e^{1{,}5x}$. En $x=0{,}4$, l'exposant vaut $0{,}6$ : $f'(0{,}4)=4{,}5\,e^{0{,}6}\approx 8{,}200$. Piège : oublier le $1{,}5$ et répondre $3e^{0{,}6}\approx 5{,}466$.

Base constante, exposant variable : $g'(x)=4^{3x}\ln 4\times 3=3\ln 4\cdot 4^{3x}$. En $x=0{,}5$, $4^{1{,}5}=8$, donc $g'(0{,}5)=24\ln 4\approx 33{,}271$. Piège : la règle de puissance, $3x\cdot 4^{3x-1}$, qui ne vaut que pour un exposant constant.

La constante $150$ disparaît : $Q'(t)=-90\,e^{-0{,}35t}\times(-0{,}35)=31{,}5\,e^{-0{,}35t}$, les deux signes moins donnant un plus. $Q'(2)=31{,}5\,e^{-0{,}7}\approx 15{,}642$.

$h'(x)=(2x-3)\,e^{x^{2}-3x}$ : on recopie l'exponentielle et on multiplie par la dérivée de l'exposant. En $x=0{,}5$ : $2x-3=-2$ et $x^{2}-3x=-1{,}25$, donc $h'(0{,}5)=-2e^{-1{,}25}\approx -0{,}573$.

Produit : $f'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot(-2)e^{-2x}=(1-2x)\,e^{-2x}$. En $x=1$ : $f'(1)=-e^{-2}\approx -0{,}135$. Piège : dériver $e^{-2x}$ en $e^{-2x}$, sans le $-2$, ce qui donne $2e^{-2}$.

Quotient avec $u=e^{x}-1$, $v=e^{x}+1$ et $u'=v'=e^{x}$ : $g'(x)=\frac{e^{x}(e^{x}+1)-(e^{x}-1)e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{2e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$. En $x=1$ : $g'(1)=\frac{2e}{(e+1)^{2}}\approx 0{,}393$.

$h'(x)=\frac{2x+4}{x^{2}+4x+1}$ : la dérivée de l'intérieur sur l'intérieur. En $x=2$ : $h'(2)=\frac{8}{13}\approx 0{,}615$. Piège : écrire $\frac{1}{x^{2}+4x+1}$, sans le numérateur $u'$.

$(\log_{2}u)'=\frac{u'}{u\ln 2}$, donc $f'(x)=\frac{3}{(3x+1)\ln 2}$. En $x=1$ : $f'(1)=\frac{3}{4\ln 2}\approx 1{,}082$. Piège : oublier le $\ln 2$, qui vient de $\log_{2}u=\frac{\ln u}{\ln 2}$.

On développe d'abord : $g(x)=\ln(2x+1)-\ln(x-1)$, valable en $x=2$ puisque les deux arguments y sont positifs. Donc $g'(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{1}{x-1}$ et $g'(2)=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}=-0{,}6$. Piège : $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$, une DIFFÉRENCE, pas un quotient de logarithmes.

Produit : $h'(x)=3x^{2}\ln x+x^{3}\cdot\frac{1}{x}=3x^{2}\ln x+x^{2}$. En $x=2$ : $h'(2)=12\ln 2+4\approx 12{,}318$. Le $x^{3}\cdot\frac{1}{x}$ se simplifie en $x^{2}$ avant d'évaluer.

Quotient : $f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^{2}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{x-2x\ln x}{x^{4}}=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$. En $x=0{,}5$, $\ln 0{,}5=-\ln 2$ et $x^{3}=\frac{1}{8}$ : $f'(0{,}5)=8(1+2\ln 2)\approx 19{,}090$. Piège : le signe de $\ln 0{,}5$, qui est NÉGATIF.

Puissance d'abord, $g(x)=(\ln x)^{3}$ : $g'(x)=3(\ln x)^{2}\cdot\frac{1}{x}$. En $x=e^{2}$, $\ln x=2$ : $g'(e^{2})=\frac{3\times 4}{e^{2}}=\frac{12}{e^{2}}\approx 1{,}624$. Piège : confondre $(\ln x)^{3}$ avec $\ln(x^{3})=3\ln x$, dont la dérivée est $\frac{3}{x}$.

$f'(x)=e^{x}$ : l'exponentielle de base $e$ est sa propre dérivée, et c'est la seule fonction non nulle à l'être. $g'(x)=2^{x}\ln 2$ : pour une base quelconque $a>0$, $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$, le facteur $\ln a$ étant la trace de la base. $h'(x)=0{,}05\,e^{0{,}05x}$ par la règle de chaîne, le $0{,}05$ venant de la dérivée de l'exposant.

$f'(0)=e^{0}=1$. $g'(0)=2^{0}\ln 2=\ln 2\approx 0{,}6931$. Les deux courbes passent par le point $(0\,;1)$, mais elles n'y ont pas la même pente : celle de $e^{x}$ vaut exactement 1, celle de $2^{x}$ environ 0,69.

$e$ est l'unique base dont la courbe a une pente de EXACTEMENT 1 au point $(0\,;1)$, c'est-à-dire l'unique base $a$ telle que $\ln a=1$. C'est de là que vient tout le reste : puisque le facteur $\ln a$ vaut 1, la dérivée de $e^{x}$ est $e^{x}$ elle-même. Ce n'est donc pas une convention d'écriture, c'est une propriété géométrique, et c'est pourquoi tous les modèles de croissance s'écrivent en base $e$ même quand le phénomène double ou décuple.

$k'(x)=5\times 3^{x}\ln 3$. En $x=2$ : $k'(2)=5\times 9\times \ln 3=45\times 1{,}098\,6\approx 49{,}44$. La constante 5 traverse la dérivation sans changer, alors que la base 3 laisse son logarithme : deux constantes, deux rôles, et les confondre est l'erreur de la question e) de l'exercice 8.

Dans tous les cas, la dérivée est PROPORTIONNELLE à la fonction elle-même : $f'=1\cdot f$, $g'=(\ln 2)\,g$, $h'=0{,}05\,h$, $k'=(\ln 3)\,k$. Une exponentielle est exactement une fonction dont la vitesse de croissance est proportionnelle à ce qui est déjà là, et c'est ce qui la rend inévitable dès qu'un phénomène se nourrit de lui-même : un capital qui produit des intérêts, une population qui produit des naissances, une rumeur qui se propage par ceux qui la connaissent déjà.

Le logarithme exige $3x-12>0$, donc $x>4$ : le domaine est $]4\,;+\infty[$. Par la règle de chaîne, $f'(x)=\dfrac{3}{3x-12}$, qui se simplifie en $\dfrac{1}{x-4}$. La simplification est légitime sur le domaine, et elle ne le modifie pas : $\dfrac{1}{x-4}$ existerait aussi pour $x<4$, mais la fonction de départ, non.

$x^{2}>0$ pour tout $x\ne 0$, donc le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. La dérivée vaut $g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}}=\dfrac{2}{x}$, valable sur tout ce domaine, négatif compris. La fonction $2\ln x$, elle, n'existe que sur $]0\,;+\infty[$ et sa dérivée $\dfrac{2}{x}$ n'y est valable que là. Les deux expressions coïncident sur les positifs et diffèrent par leur domaine, ce qui est exactement le piège de la question e) des « Cinq affirmations à corriger » du premier chapitre : $\ln(x^{2})=2\ln|x|$.

Règle du produit sur le premier terme : $\left(x\ln x\right)'=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}=\ln x+1$. Puis on soustrait la dérivée de $x$, qui vaut 1 : $h'(x)=\ln x+1-1=\ln x$. La fonction $x\ln x-x$ est donc une primitive du logarithme, résultat qui resservira en calcul intégral, et son obtention ne demande ici que la règle du produit.

Tout logarithme se ramène au logarithme naturel : $\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$, donc $p'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}$. En $x=10$ : $p'(10)=\dfrac{1}{10\times 2{,}302\,6}\approx 0{,}043\,4$. Le nombre est petit, et c'est tout l'intérêt d'une échelle logarithmique : multiplier la grandeur par 10 ne fait monter l'indicateur que d'une unité.

Parce que la dérivée oublie le domaine. $\dfrac{1}{x-4}$ ne porte plus aucune trace de la condition $x>4$, et rien, dans cette expression, n'empêche de l'évaluer en $x=0$ pour obtenir $-0{,}25$, un nombre parfaitement faux. Le même piège vaut pour $\dfrac{2}{x}$ contre $\ln(x^{2})$. En sciences humaines, la conséquence est concrète : un modèle en $\ln$ n'a de sens que sur des valeurs strictement positives, revenus, effectifs, prix, et prolonger le calcul en dessous produit un chiffre que la calculatrice accepte et que la réalité refuse.

La couche extérieure est l'exponentielle, l'intérieure est $-0{,}4t^{2}$, dont la dérivée vaut $-0{,}8t$. Donc $u'(t)=-0{,}8t\,e^{-0{,}4t^{2}}$. Le signe suit celui de $-0{,}8t$, puisque l'exponentielle est toujours positive : $u$ croît pour $t<0$, décroît pour $t>0$, et son maximum est en $t=0$. C'est la courbe en cloche, qu'on retrouve en statistique.

$v'(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+9}$. Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier, puisque $t^{2}+9\ge 9>0$ pour tout $t$ : c'est l'un des rares logarithmes dont le domaine ne retire rien. Le vérifier prend trois secondes et évite d'écrire une restriction inexistante, ce qui coûte aussi des points qu'une restriction oubliée.

Règle du quotient avec $u=e^{0{,}2t}$ et $v=t+5$ : $w'(t)=\dfrac{0{,}2e^{0{,}2t}(t+5)-e^{0{,}2t}}{(t+5)^{2}}$. On met $e^{0{,}2t}$ en évidence : $w'(t)=\dfrac{e^{0{,}2t}\bigl(0{,}2(t+5)-1\bigr)}{(t+5)^{2}}=\dfrac{e^{0{,}2t}\,(0{,}2t+1-1)}{(t+5)^{2}}=\dfrac{0{,}2t\,e^{0{,}2t}}{(t+5)^{2}}$. La mise en évidence de l'exponentielle est le réflexe à prendre : elle ne s'annule jamais, donc c'est TOUJOURS l'autre facteur qui porte les zéros et les signes.

$w'(5)=\dfrac{0{,}2\times 5\times e^{1}}{100}=\dfrac{2{,}718\,3}{100}\approx 0{,}027\,2$.

L'exponentielle ne s'annulant jamais et le dénominateur étant un carré, le seul zéro de $w'$ vient du facteur $0{,}2t$, donc $t=0$. En ce point, $w(0)=\dfrac{e^{0}}{5}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$. Comme $w'$ est du signe de $t$ sur le domaine $t>-5$, la fonction décroît puis croît : $t=0$ est un MINIMUM, et non le maximum que l'on attend par réflexe d'une expression contenant une exponentielle croissante.

Par la règle de chaîne, $P'(t)=8\,000\times 0{,}023\,e^{0{,}023t}=0{,}023\times 8\,000\,e^{0{,}023t}=0{,}023\,P(t)$. La dérivée est donc proportionnelle à la population elle-même, avec le coefficient $0{,}023$ qui figurait déjà dans l'exposant. On n'a rien fait d'autre qu'appliquer la chaîne, et l'on obtient l'équation qui définit toute croissance exponentielle.

Le taux relatif vaut $\dfrac{P'(t)}{P(t)}\times 100=0{,}023\times 100=2{,}3$ % par année, et ce nombre ne dépend pas de $t$ : il est CONSTANT. Le paramètre placé dans l'exposant d'un modèle en base $e$ est donc directement le taux relatif, ce qui explique pourquoi les démographes écrivent leurs modèles sous cette forme plutôt qu'en base 1,023.

$P(0)=8\,000$ habitants. $P(30)=8\,000\,e^{0{,}69}=8\,000\times 1{,}993\,7\approx 15\,950$ habitants. En trente ans, la population a pratiquement doublé, ce que l'exercice suivant expliquera en une ligne.

$P'(0)=0{,}023\times 8\,000=184$ habitants par année. $P'(30)=0{,}023\times 15\,950\approx 367$ habitants par année. Le rythme ABSOLU a doublé en même temps que la population, alors que le rythme RELATIF n'a pas bougé d'un centième. C'est la propriété qui rend l'exponentielle si trompeuse à l'oeil : une croissance qui paraît accélérer n'accélère pas du tout, en proportion.

Modèle LINÉAIRE : la croissance absolue est constante, 1 200 habitants par année, et le taux relatif décroît vers zéro parce que la base grossit. Modèle EXPONENTIEL : le taux relatif est constant, 2,3 % par année, et la croissance absolue augmente sans borne parce qu'elle s'applique à une base qui grossit. Le choix entre les deux n'est pas une affaire de goût : on regarde les données, et si les DIFFÉRENCES successives sont à peu près constantes le modèle est linéaire, si ce sont les QUOTIENTS successifs le modèle est exponentiel.

On cherche $T$ tel que $P(T)=2P(0)$, donc $e^{0{,}023T}=2$. En prenant le logarithme naturel des deux côtés : $0{,}023\,T=\ln 2$, donc $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}023}=\dfrac{0{,}693\,15}{0{,}023}\approx 30{,}14$ années. Il faut noter que $T$ ne dépend PAS de la population initiale : les 8 000 se simplifient. Un temps de doublement est une propriété du taux, pas de la taille.

La règle donne $\dfrac{70}{2{,}3}\approx 30{,}43$ années, contre 30,14 par le calcul exact, soit une erreur de trois dixièmes d'année sur trente. Le nombre 70 vient de $\ln 2\approx 0{,}693$ : comme $T=\dfrac{\ln 2}{r}$ et que le taux en pourcentage vaut $100r$, on a $T=\dfrac{100\ln 2}{100r}=\dfrac{69{,}3}{\text{taux en pourcentage}}$. On arrondit 69,3 à 70 parce que 70 se divise de tête par 2, 5, 7, 10 et 14, ce que 69,3 ne fait pas.

Le modèle est $Q(t)=Q_{0}e^{-0{,}018t}$, la perte se traduisant par un exposant négatif. On cherche $e^{-0{,}018t}=0{,}5$, donc $-0{,}018t=\ln 0{,}5=-\ln 2$, et $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}018}\approx 38{,}51$ années. La règle de 70 donne $\dfrac{70}{1{,}8}\approx 38{,}89$, encore très proche. La même formule sert donc au doublement et à la demi-vie : seul le signe de l'exposant change, et il disparaît au moment du quotient.

Calcul exact : $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}06}\approx 11{,}55$ années. Règle de 70 : $\dfrac{70}{6}\approx 11{,}67$ année. L'écart est d'environ six semaines sur onze ans et demi, ce qui est sans importance pour une décision d'épargne.

Ici la capitalisation est ANNUELLE, donc le capital vaut $C_{0}\times 1{,}2^{t}$ et non $C_{0}e^{0{,}2t}$. Le doublement exige $1{,}2^{t}=2$, donc $t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}2}=\dfrac{0{,}693\,15}{0{,}182\,32}\approx 3{,}80$ années, alors que la règle annonce $\dfrac{70}{20}=3{,}5$ années, soit une erreur de 8 %. Deux causes se superposent. D'abord la règle repose sur l'approximation $\ln(1+r)\approx r$, excellente pour $r$ petit et médiocre pour $r=0{,}2$ où $\ln 1{,}2$ ne vaut que 0,182 au lieu de 0,2. Ensuite, un intérêt versé une fois l'an rapporte moins qu'un intérêt versé en continu. La règle de 70 est donc un outil de taux faibles, ce qui couvre l'essentiel de la démographie et de la macroéconomie, et pas les rendements à deux chiffres.