Exercices corrigés : exponentielle et logarithme (201-103)

a) $f'(x)=e^{x}$ : l'exponentielle de base $e$ est sa propre dérivée, et c'est la seule fonction non nulle à l'être. $g'(x)=2^{x}\ln 2$ : pour une base quelconque $a>0$, $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$, le facteur $\ln a$ étant la trace de la base. $h'(x)=0{,}05\,e^{0{,}05x}$ par la règle de chaîne, le $0{,}05$ venant de la dérivée de l'exposant.

b) $f'(0)=e^{0}=1$. $g'(0)=2^{0}\ln 2=\ln 2\approx 0{,}6931$. Les deux courbes passent par le point $(0\,;1)$, mais elles n'y ont pas la même pente : celle de $e^{x}$ vaut exactement 1, celle de $2^{x}$ environ 0,69.

c) $e$ est l'unique base dont la courbe a une pente de EXACTEMENT 1 au point $(0\,;1)$, c'est-à-dire l'unique base $a$ telle que $\ln a=1$. C'est de là que vient tout le reste : puisque le facteur $\ln a$ vaut 1, la dérivée de $e^{x}$ est $e^{x}$ elle-même. Ce n'est donc pas une convention d'écriture, c'est une propriété géométrique, et c'est pourquoi tous les modèles de croissance s'écrivent en base $e$ même quand le phénomène double ou décuple.

d) $k'(x)=5\times 3^{x}\ln 3$. En $x=2$ : $k'(2)=5\times 9\times \ln 3=45\times 1{,}098\,6\approx 49{,}44$. La constante 5 traverse la dérivation sans changer, alors que la base 3 laisse son logarithme : deux constantes, deux rôles, et les confondre est l'erreur de la question e) de l'exercice 8.

e) Dans tous les cas, la dérivée est PROPORTIONNELLE à la fonction elle-même : $f'=1\cdot f$, $g'=(\ln 2)\,g$, $h'=0{,}05\,h$, $k'=(\ln 3)\,k$. Une exponentielle est exactement une fonction dont la vitesse de croissance est proportionnelle à ce qui est déjà là, et c'est ce qui la rend inévitable dès qu'un phénomène se nourrit de lui-même : un capital qui produit des intérêts, une population qui produit des naissances, une rumeur qui se propage par ceux qui la connaissent déjà.

a) Le logarithme exige $3x-12>0$, donc $x>4$ : le domaine est $]4\,;+\infty[$. Par la règle de chaîne, $f'(x)=\dfrac{3}{3x-12}$, qui se simplifie en $\dfrac{1}{x-4}$. La simplification est légitime sur le domaine, et elle ne le modifie pas : $\dfrac{1}{x-4}$ existerait aussi pour $x<4$, mais la fonction de départ, non.

b) $x^{2}>0$ pour tout $x\ne 0$, donc le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. La dérivée vaut $g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}}=\dfrac{2}{x}$, valable sur tout ce domaine, négatif compris. La fonction $2\ln x$, elle, n'existe que sur $]0\,;+\infty[$ et sa dérivée $\dfrac{2}{x}$ n'y est valable que là. Les deux expressions coïncident sur les positifs et diffèrent par leur domaine, ce qui est exactement le piège de l'exercice 8 du premier chapitre : $\ln(x^{2})=2\ln|x|$.

c) Règle du produit sur le premier terme : $\left(x\ln x\right)'=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}=\ln x+1$. Puis on soustrait la dérivée de $x$, qui vaut 1 : $h'(x)=\ln x+1-1=\ln x$. La fonction $x\ln x-x$ est donc une primitive du logarithme, résultat qui resservira en calcul intégral, et son obtention ne demande ici que la règle du produit.

d) Tout logarithme se ramène au logarithme naturel : $\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$, donc $p'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}$. En $x=10$ : $p'(10)=\dfrac{1}{10\times 2{,}302\,6}\approx 0{,}043\,4$. Le nombre est petit, et c'est tout l'intérêt d'une échelle logarithmique : multiplier la grandeur par 10 ne fait monter l'indicateur que d'une unité.

e) Parce que la dérivée oublie le domaine. $\dfrac{1}{x-4}$ ne porte plus aucune trace de la condition $x>4$, et rien, dans cette expression, n'empêche de l'évaluer en $x=0$ pour obtenir $-0{,}25$, un nombre parfaitement faux. Le même piège vaut pour $\dfrac{2}{x}$ contre $\ln(x^{2})$. En sciences humaines, la conséquence est concrète : un modèle en $\ln$ n'a de sens que sur des valeurs strictement positives, revenus, effectifs, prix, et prolonger le calcul en dessous produit un chiffre que la calculatrice accepte et que la réalité refuse.

a) La couche extérieure est l'exponentielle, l'intérieure est $-0{,}4t^{2}$, dont la dérivée vaut $-0{,}8t$. Donc $u'(t)=-0{,}8t\,e^{-0{,}4t^{2}}$. Le signe suit celui de $-0{,}8t$, puisque l'exponentielle est toujours positive : $u$ croît pour $t<0$, décroît pour $t>0$, et son maximum est en $t=0$. C'est la courbe en cloche, dont l'exercice 9 du chapitre 7 reparlera.

b) $v'(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+9}$. Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier, puisque $t^{2}+9\ge 9>0$ pour tout $t$ : c'est l'un des rares logarithmes dont le domaine ne retire rien. Le vérifier prend trois secondes et évite d'écrire une restriction inexistante, ce qui coûte aussi des points qu'une restriction oubliée.

c) Règle du quotient avec $u=e^{0{,}2t}$ et $v=t+5$ : $w'(t)=\dfrac{0{,}2e^{0{,}2t}(t+5)-e^{0{,}2t}}{(t+5)^{2}}$. On met $e^{0{,}2t}$ en évidence : $w'(t)=\dfrac{e^{0{,}2t}\bigl(0{,}2(t+5)-1\bigr)}{(t+5)^{2}}=\dfrac{e^{0{,}2t}\,(0{,}2t+1-1)}{(t+5)^{2}}=\dfrac{0{,}2t\,e^{0{,}2t}}{(t+5)^{2}}$. La mise en évidence de l'exponentielle est le réflexe à prendre : elle ne s'annule jamais, donc c'est TOUJOURS l'autre facteur qui porte les zéros et les signes.

d) $w'(5)=\dfrac{0{,}2\times 5\times e^{1}}{100}=\dfrac{2{,}718\,3}{100}\approx 0{,}027\,2$.

e) L'exponentielle ne s'annulant jamais et le dénominateur étant un carré, le seul zéro de $w'$ vient du facteur $0{,}2t$, donc $t=0$. En ce point, $w(0)=\dfrac{e^{0}}{5}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$. Comme $w'$ est du signe de $t$ sur le domaine $t>-5$, la fonction décroît puis croît : $t=0$ est un MINIMUM, et non le maximum que l'on attend par réflexe d'une expression contenant une exponentielle croissante.

a) Par la règle de chaîne, $P'(t)=8\,000\times 0{,}023\,e^{0{,}023t}=0{,}023\times 8\,000\,e^{0{,}023t}=0{,}023\,P(t)$. La dérivée est donc proportionnelle à la population elle-même, avec le coefficient $0{,}023$ qui figurait déjà dans l'exposant. On n'a rien fait d'autre qu'appliquer la chaîne, et l'on obtient l'équation qui définit toute croissance exponentielle.

b) Le taux relatif vaut $\dfrac{P'(t)}{P(t)}\times 100=0{,}023\times 100=2{,}3$ % par année, et ce nombre ne dépend pas de $t$ : il est CONSTANT. Le paramètre placé dans l'exposant d'un modèle en base $e$ est donc directement le taux relatif, ce qui explique pourquoi les démographes écrivent leurs modèles sous cette forme plutôt qu'en base 1,023.

c) $P(0)=8\,000$ habitants. $P(30)=8\,000\,e^{0{,}69}=8\,000\times 1{,}993\,7\approx 15\,950$ habitants. En trente ans, la population a pratiquement doublé, ce que l'exercice suivant expliquera en une ligne.

d) $P'(0)=0{,}023\times 8\,000=184$ habitants par année. $P'(30)=0{,}023\times 15\,950\approx 367$ habitants par année. Le rythme ABSOLU a doublé en même temps que la population, alors que le rythme RELATIF n'a pas bougé d'un centième. C'est la propriété qui rend l'exponentielle si trompeuse à l'oeil : une croissance qui paraît accélérer n'accélère pas du tout, en proportion.

e) Modèle LINÉAIRE : la croissance absolue est constante, 1 200 habitants par année, et le taux relatif décroît vers zéro parce que la base grossit. Modèle EXPONENTIEL : le taux relatif est constant, 2,3 % par année, et la croissance absolue augmente sans borne parce qu'elle s'applique à une base qui grossit. Le choix entre les deux n'est pas une affaire de goût : on regarde les données, et si les DIFFÉRENCES successives sont à peu près constantes le modèle est linéaire, si ce sont les QUOTIENTS successifs le modèle est exponentiel.

a) On cherche $T$ tel que $P(T)=2P(0)$, donc $e^{0{,}023T}=2$. En prenant le logarithme naturel des deux côtés : $0{,}023\,T=\ln 2$, donc $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}023}=\dfrac{0{,}693\,15}{0{,}023}\approx 30{,}14$ années. Il faut noter que $T$ ne dépend PAS de la population initiale : les 8 000 se simplifient. Un temps de doublement est une propriété du taux, pas de la taille.

b) La règle donne $\dfrac{70}{2{,}3}\approx 30{,}43$ années, contre 30,14 par le calcul exact, soit une erreur de trois dixièmes d'année sur trente. Le nombre 70 vient de $\ln 2\approx 0{,}693$ : comme $T=\dfrac{\ln 2}{r}$ et que le taux en pourcentage vaut $100r$, on a $T=\dfrac{100\ln 2}{100r}=\dfrac{69{,}3}{\text{taux en pourcentage}}$. On arrondit 69,3 à 70 parce que 70 se divise de tête par 2, 5, 7, 10 et 14, ce que 69,3 ne fait pas.

c) Le modèle est $Q(t)=Q_{0}e^{-0{,}018t}$, la perte se traduisant par un exposant négatif. On cherche $e^{-0{,}018t}=0{,}5$, donc $-0{,}018t=\ln 0{,}5=-\ln 2$, et $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}018}\approx 38{,}51$ années. La règle de 70 donne $\dfrac{70}{1{,}8}\approx 38{,}89$, encore très proche. La même formule sert donc au doublement et à la demi-vie : seul le signe de l'exposant change, et il disparaît au moment du quotient.

d) Calcul exact : $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}06}\approx 11{,}55$ années. Règle de 70 : $\dfrac{70}{6}\approx 11{,}67$ année. L'écart est d'environ une semaine et demie sur onze ans et demi, ce qui est sans importance pour une décision d'épargne.

e) Ici la capitalisation est ANNUELLE, donc le capital vaut $C_{0}\times 1{,}2^{t}$ et non $C_{0}e^{0{,}2t}$. Le doublement exige $1{,}2^{t}=2$, donc $t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}2}=\dfrac{0{,}693\,15}{0{,}182\,32}\approx 3{,}80$ années, alors que la règle annonce $\dfrac{70}{20}=3{,}5$ années, soit une erreur de 8 %. Deux causes se superposent. D'abord la règle repose sur l'approximation $\ln(1+r)\approx r$, excellente pour $r$ petit et médiocre pour $r=0{,}2$ où $\ln 1{,}2$ ne vaut que 0,182 au lieu de 0,2. Ensuite, un intérêt versé une fois l'an rapporte moins qu'un intérêt versé en continu. La règle de 70 est donc un outil de taux faibles, ce qui couvre l'essentiel de la démographie et de la macroéconomie, et pas les rendements à deux chiffres.

a) $I(0)=100$. $I(5)=100\,e^{0{,}25}\approx 128{,}40$. $I(10)=100\,e^{0{,}5}\approx 164{,}87$. $I(15)=100\,e^{0{,}75}\approx 211{,}70$. $I(20)=100\,e^{1}\approx 271{,}83$. L'indice a presque triplé en vingt ans.

b) $\ln 100\approx 4{,}6052$ ; $\ln 128{,}40\approx 4{,}8552$ ; $\ln 164{,}87\approx 5{,}1052$ ; $\ln 211{,}70\approx 5{,}3552$ ; $\ln 271{,}83\approx 5{,}6052$. Chaque écart vaut exactement $0{,}25$, alors que les écarts de $I$ lui-même, $28{,}40$ puis $36{,}47$ puis $46{,}83$ puis $60{,}13$, ne cessent de grandir. Le logarithme a transformé une croissance qui s'emballe en une progression parfaitement régulière.

c) $\ln I(t)=\ln\left(100\,e^{0{,}05t}\right)=\ln 100+\ln\left(e^{0{,}05t}\right)=\ln 100+0{,}05t$, en utilisant $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ puis $\ln(e^{u})=u$. C'est une fonction AFFINE de $t$, d'ordonnée à l'origine $\ln 100$ et de pente $0{,}05$. Cette pente est le taux relatif de $I$, soit 5 % par année, et l'on peut donc lire un taux de croissance directement sur la pente d'un graphique semi-log, sans aucun calcul.

d) $\ln J(0)=\ln 100\approx 4{,}6052$ ; $\ln J(5)=\ln 160\approx 5{,}0752$ ; $\ln J(10)=\ln 220\approx 5{,}3936$ ; $\ln J(20)=\ln 340\approx 5{,}8289$. Les écarts valent $0{,}470$ puis $0{,}318$ puis, sur dix ans, $0{,}435$ soit $0{,}218$ par tranche de cinq ans : ils DÉCROISSENT. La courbe est concave vers le bas, donc ce n'est pas une droite. Rien d'étonnant : le taux relatif d'un modèle linéaire décroît, comme le chapitre précédent l'a montré, et la pente du semi-log est ce taux relatif.

e) Soit $P$ une fonction strictement positive et dérivable. La dérivée de $\ln P(t)$ se calcule par la règle de chaîne : $\bigl(\ln P(t)\bigr)'=\dfrac{P'(t)}{P(t)}$. Or la pente du graphe semi-logarithmique en un point est précisément cette dérivée. Donc la pente lue sur un graphique semi-log EST le taux de variation relatif, à lire en pourcentage après multiplication par 100. C'est la raison pour laquelle les séries financières, les cours de bourse et les courbes épidémiques sont publiés en échelle logarithmique : sur ce type de graphique, une droite signifie « taux constant », un redressement signifie « le taux augmente », et un aplatissement se voit à l'oeil nu, ce qu'une échelle ordinaire rend impossible.

a) Les propriétés du logarithme transforment produit en somme, quotient en différence et puissance en produit : $\ln F(t)=3\ln(2t+1)+2\ln(t+4)-5\ln(3t+7)$. Chacune des trois pièces est maintenant un logarithme simple, dérivable en une ligne. Cette écriture n'est valable que là où les trois arguments sont strictement positifs, ce qui est acquis pour $t\ge 0$.

b) En dérivant à gauche, $\bigl(\ln F\bigr)'=\dfrac{F'}{F}$. En dérivant à droite, chaque terme donne le quotient de la dérivée intérieure par l'argument : $\dfrac{F'(t)}{F(t)}=\dfrac{3\times 2}{2t+1}+\dfrac{2\times 1}{t+4}-\dfrac{5\times 3}{3t+7}=\dfrac{6}{2t+1}+\dfrac{2}{t+4}-\dfrac{15}{3t+7}$. On obtient directement le taux RELATIF, ce qui est souvent la quantité que l'on cherchait.

c) En $t=1$ : $\dfrac{6}{3}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{15}{10}=2+0{,}4-1{,}5=0{,}9$. Le taux relatif vaut donc $0{,}9$, soit une croissance de 90 % par unité de temps en ce point. Pour $F(1)$ : $\dfrac{3^{3}\times 5^{2}}{10^{5}}=\dfrac{27\times 25}{100\,000}=\dfrac{675}{100\,000}=0{,}006\,75$. Donc $F'(1)=0{,}9\times 0{,}006\,75=0{,}006\,075$. La dérivation logarithmique livre toujours le résultat en deux temps, le taux d'abord, la dérivée ensuite en multipliant par la valeur.

d) Pour un PRODUIT, les taux relatifs s'ADDITIONNENT ; pour un QUOTIENT, ils se SOUSTRAIENT ; une PUISSANCE multiplie le taux par l'exposant. En symboles : $\dfrac{(uv)'}{uv}=\dfrac{u'}{u}+\dfrac{v'}{v}$ et $\dfrac{(u/v)'}{u/v}=\dfrac{u'}{u}-\dfrac{v'}{v}$. Ces trois règles sont ce qui rend les pourcentages composables, alors que les valeurs absolues ne le sont pas.

e) Le produit intérieur brut par habitant est le QUOTIENT du produit intérieur brut par la population, donc son taux relatif est la DIFFÉRENCE des deux taux : $2{,}4-0{,}9=1{,}5$ % par année. C'est le calcul le plus fait et le plus mal fait de toute la macroéconomie, et il explique en une ligne pourquoi un pays dont l'économie croît de 2,4 % peut voir le niveau de vie de ses habitants stagner si la population croît de 2,4 % elle aussi. À noter que le résultat est une APPROXIMATION du premier ordre : le calcul exact donne $\dfrac{1{,}024}{1{,}009}-1\approx 1{,}487$ %, et l'écart reste négligeable tant que les taux sont petits, exactement comme pour la règle de 70.

a) FAUX. Seule $e^{x}$ est sa propre dérivée. Dès qu'un facteur apparaît dans l'exposant, la règle de chaîne le fait ressortir : $\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}$. Énoncé correct : $\left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}$. Vérification numérique en $x=0$ : le taux moyen entre $-0{,}001$ et $0{,}001$ vaut environ 2, et non 1.

b) FAUX, et c'est l'erreur de logarithme la plus fréquente. La propriété porte sur le PRODUIT : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Il n'existe aucune formule simple pour $\ln(a+b)$. Contre-exemple : $\ln(2+8)=\ln 10\approx 2{,}30$, alors que $\ln 2+\ln 8\approx 0{,}69+2{,}08=2{,}77$. Énoncé correct : le logarithme transforme les produits en sommes, jamais les sommes en sommes.

c) FAUX, et le défaut est dans le domaine. $\ln x$ n'existe que pour $x>0$, donc sa dérivée aussi. Pour $x<0$, c'est $\ln|x|$ qui est défini, et l'on a bien $\left(\ln|x|\right)'=\dfrac{1}{x}$ sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Énoncé correct : $\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}$ pour $x>0$, et $\left(\ln|x|\right)'=\dfrac{1}{x}$ pour tout $x\ne 0$.

d) FAUX. C'est le taux RELATIF qui est constant dans un modèle exponentiel ; sa croissance absolue augmente sans borne. L'exercice 4 le chiffre : le rythme passe de 184 à 367 habitants par année alors que le taux reste à 2,3 %. La croissance absolue constante est la signature du modèle LINÉAIRE. Énoncé correct : un modèle exponentiel a un taux de variation relatif constant.

e) FAUX, et c'est une confusion de règles. La règle de puissance $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ s'applique quand la VARIABLE est à la base et la constante à l'exposant. Ici c'est l'inverse : la base est constante et la variable est à l'exposant, donc c'est la règle exponentielle qui s'applique, $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$. Énoncé correct : $\left(2^{x}\right)'=2^{x}\ln 2$. Le test de reconnaissance tient en une question, où est le $x$ : à la base, c'est la puissance ; à l'exposant, c'est l'exponentielle.

a) $A_{1}(t)=10\,000\,(1{,}04)^{t}$. En dix ans : $A_{1}(10)=10\,000\times 1{,}480\,244=14\,802{,}44$ dollars. Le capital a gagné 4 802,44 dollars, soit nettement plus que les $10\,000\times 0{,}04\times 10=4\,000$ dollars d'un intérêt simple : la différence, 802,44 dollars, est l'intérêt produit par les intérêts.

b) Un taux nominal de 4 % composé mensuellement applique $\dfrac{0{,}04}{12}$ douze fois par an : $A_{12}(t)=10\,000\left(1+\dfrac{0{,}04}{12}\right)^{12t}$. En dix ans, l'exposant vaut 120 et $A_{12}(10)=10\,000\times 1{,}490\,833\approx 14\,908{,}33$ dollars, soit environ 106 dollars de plus qu'en composition annuelle. Le taux nominal est identique, le résultat ne l'est pas, et c'est pourquoi la loi oblige à afficher un taux EFFECTIF.

c) La capitalisation continue est la limite quand le nombre de périodes tend vers l'infini : $A(t)=10\,000\,e^{0{,}04t}$. En dix ans : $A(10)=10\,000\,e^{0{,}4}=10\,000\times 1{,}491\,825\approx 14\,918{,}25$ dollars. C'est le PLAFOND de ce que la multiplication des périodes peut rapporter : passer de mensuel à continu ne gagne que 9,92 dollars sur dix ans, alors que passer d'annuel à mensuel en gagnait 106.

d) Le taux effectif est la hausse réelle sur une année : $\dfrac{A(1)}{A(0)}-1=e^{0{,}04}-1=1{,}040\,811-1=0{,}040\,811$, soit $4{,}0811$ %. Un taux nominal de 4 % en capitalisation continue équivaut donc à un taux effectif de 4,0811 % : c'est ce second nombre qu'il faut comparer d'une offre à l'autre, le premier n'étant qu'une convention d'écriture.

e) $A'(t)=10\,000\times 0{,}04\,e^{0{,}04t}=0{,}04\times 10\,000\,e^{0{,}04t}=0{,}04\,A(t)$. En $t=10$ : $A'(10)=0{,}04\times 14\,918{,}25\approx 596{,}73$ dollars par année. Interprétation : au bout de dix ans, le capital s'accroît de près de 597 dollars par année, contre 400 dollars la première année, sans qu'aucune décision n'ait été prise ni aucun versement ajouté. La vitesse d'enrichissement est proportionnelle à ce qui est déjà accumulé, ce qui est la définition même d'un phénomène exponentiel et la raison pour laquelle l'épargne tôt vaut davantage que l'épargne beaucoup.