Exercices corrigés : les taux de variation liés (201-103)

Les coefficients sont constants : $\frac{dz}{dt}=4\frac{dx}{dt}+7\frac{dy}{dt}=4\times 2{,}5+7\times(-1{,}5)=10-10{,}5=-0{,}5$. $z$ diminue, alors que $x$ croît.

$\frac{dy}{dt}=(6x^{2}-5)\frac{dx}{dt}$. En $x=2$ : $6\times 4-5=19$, donc $\frac{dy}{dt}=19\times 4=76$. Piège : remplacer $x=2$ avant de dériver, ce qui donne $y=6$, une constante, et $\frac{dy}{dt}=0$.

$y=12x^{-1}$, donc $\frac{dy}{dt}=-\frac{12}{x^{2}}\frac{dx}{dt}$. En $x=4$ : $\frac{dy}{dt}=-\frac{12}{16}\times(-3)=2{,}25$. Les deux signes moins se compensent : $x$ diminue, donc $y$ augmente.

Règle de chaîne à deux maillons : $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}=(3u^{2}+2)\cdot 2t$. En $t=1$, $u=2$ : $\frac{dy}{dt}=(12+2)\times 2=28$. Piège : oublier de calculer $u$ en $t=1$ et remplacer $u$ par $1$.

Produit : $\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}\cdot y+x^{2}\frac{dy}{dt}$. Donc $\frac{dz}{dt}=2\times 3\times 2\times 5+9\times(-1)=60-9=51$. Piège : écrire $2x\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dy}{dt}$, c'est-à-dire dériver les deux facteurs à la fois.

$z=xy^{-2}$, produit : $\frac{dz}{dt}=\frac{1}{y^{2}}\frac{dx}{dt}-\frac{2x}{y^{3}}\frac{dy}{dt}$. Donc $\frac{dz}{dt}=\frac{3}{4}-\frac{2\times 8}{8}\times 0{,}5=0{,}75-1=-0{,}25$. Le numérateur croît et pourtant le quotient baisse : le carré du dénominateur pèse plus.

On dérive les deux membres : $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$, donc $\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$. Au point $(5\,;12)$ : $\frac{dy}{dt}=-\frac{5}{12}\times 6=-2{,}5$. Piège : dériver $y^{2}$ en $2y$, sans le facteur $\frac{dy}{dt}$, et ne plus rien avoir à isoler.

$\frac{dz}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left(2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\right)=\frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$. Ici $\sqrt{36+64}=10$, donc $\frac{dz}{dt}=\frac{6\times 3+8\times(-2)}{10}=\frac{2}{10}=0{,}2$.

$\frac{dy}{dt}=\frac{2x}{x^{2}+1}\frac{dx}{dt}$ : la dérivée du logarithme, puis celle de l'intérieur, puis le taux de $x$. En $x=3$ : $\frac{dy}{dt}=\frac{6}{10}\times(-2)=-1{,}2$.

On prend le logarithme : $\ln z=2\ln x+3\ln y$, puis on dérive par rapport à $t$ : $\frac{1}{z}\frac{dz}{dt}=2\cdot\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}+3\cdot\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}$. Les taux relatifs se pondèrent par les exposants : $2\times 1{,}5+3\times(-0{,}8)=3-2{,}4=0{,}6$ % par année. Piège : additionner les taux sans les exposants, $1{,}5-0{,}8=0{,}7$ %.

Premier geste, NOMMER les variables et dire lesquelles dépendent du temps : ici $T$ et $n$ dépendent toutes deux de $t$. Deuxième geste, ÉCRIRE la relation qui les lie, $T=\dfrac{n^{2}}{20\,000}+3$. Troisième geste, DÉRIVER les deux membres par rapport au TEMPS, ce qui fait apparaître la règle de chaîne. Quatrième geste, REMPLACER les valeurs numériques, et seulement maintenant. Cinquième geste, CONCLURE avec les unités et une phrase. L'ordre des gestes 3 et 4 est la seule difficulté réelle du chapitre, et l'exercice 2 y est consacré.

En dérivant par rapport à $t$ : $\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{2n}{20\,000}\times\dfrac{dn}{dt}=\dfrac{n}{10\,000}\times\dfrac{dn}{dt}$. Le facteur $\dfrac{dn}{dt}$ vient de la règle de chaîne, parce que $n$ n'est pas la variable de dérivation : c'est une fonction du temps. L'oublier reviendrait à calculer $\dfrac{dT}{dn}$, un tout autre nombre, dont l'unité serait le jour par dossier et non le jour par semaine.

Pour $n=400$ : $\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{400}{10\,000}\times 12=0{,}04\times 12=0{,}48$ jour par semaine. Pour $n=800$ : $\dfrac{dT}{dt}=0{,}08\times 12=0{,}96$ jour par semaine. Le même afflux de douze dossiers hebdomadaires supplémentaires dégrade deux fois plus vite le délai quand le service est déjà chargé.

On cherche d'abord le $n$ correspondant : $\dfrac{n^{2}}{20\,000}+3=20$ donne $n^{2}=17\times 20\,000=340\,000$, donc $n=\sqrt{340\,000}\approx 583{,}1$ dossiers. Comme $n(t)=400+12t$, on résout $400+12t=583{,}1$, d'où $t\approx 15{,}26$ semaines. En quinze semaines, le délai aura presque doublé.

Parce que la relation entre $T$ et $n$ est QUADRATIQUE, alors que la croissance de $n$ est linéaire. Formellement, $\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{n}{10\,000}\times 12$ est proportionnelle à $n$, donc elle grandit avec lui. Concrètement, un service peu chargé absorbe les dossiers supplémentaires dans ses temps morts, et un service chargé les empile. C'est le même phénomène que l'asymptote de la file d'attente vue au chapitre 2, sous une forme polynomiale : la dégradation d'un service saturé n'est jamais proportionnelle à la demande supplémentaire.

$R=\dfrac{4\,800\,000}{120}=40\,000$ dollars par employé. Si l'on remplace d'abord, on écrit $R=40\,000$, qui est une CONSTANTE, et la dérivée d'une constante vaut zéro. Le calcul est parfaitement correct et la réponse est parfaitement fausse : on a dérivé la photographie d'un instant, pas le film. Les valeurs $4\,800\,000$ et $120$ ne sont vraies qu'à une date, et c'est précisément leur variation qui est demandée.

On dérive la relation $R=\dfrac{M}{n}$ par rapport à $t$, avec la règle du quotient et la règle de chaîne : $\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{\dfrac{dM}{dt}\,n-M\,\dfrac{dn}{dt}}{n^{2}}$. C'est la relation ENTIÈRE qui se dérive, avant toute substitution.

$\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{180\,000\times 120-4\,800\,000\times 6}{120^{2}}=\dfrac{21\,600\,000-28\,800\,000}{14\,400}=\dfrac{-7\,200\,000}{14\,400}=-500$ dollars par année. Le salaire MOYEN baisse de 500 dollars par année, alors que la masse salariale augmente de 180 000 dollars. Les deux faits sont vrais en même temps : l'organisation dépense plus en salaires et paie moins bien, parce qu'elle recrute plus vite qu'elle n'augmente son enveloppe. Un rapport qui ne citerait que la masse salariale donnerait exactement l'impression inverse de la réalité vécue.

On annule le numérateur : $\dfrac{dM}{dt}\times 120=4\,800\,000\times 6$, donc $\dfrac{dM}{dt}=\dfrac{28\,800\,000}{120}=240\,000$ dollars par année. Autrement dit, il faudrait 240 000 dollars de plus par année, et non 180 000, pour que le salaire moyen tienne. On peut le lire autrement : $\dfrac{dM}{dt}=R\times\dfrac{dn}{dt}$, soit $40\,000\times 6$, ce qui revient à financer chaque nouvel employé au salaire moyen actuel.

On dérive la RELATION, puis on remplace : jamais l'inverse. Ce que la règle protège, c'est la distinction entre une valeur et une fonction. Toute grandeur qui varie doit rester une lettre jusqu'à la dernière ligne, et seules les quantités RÉELLEMENT constantes, un prix contractuel, une surface fixe, un nombre de semaines par an, peuvent être remplacées dès le départ.

$R=pq=24\times 540=12\,960$ dollars par mois.

$\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{dp}{dt}\,q+p\,\dfrac{dq}{dt}=(-0{,}50)\times 540+24\times 18=-270+432=+162$ dollars par mois. La recette AUGMENTE de 162 dollars par mois : l'effet volume, 432 dollars, l'emporte sur l'effet prix, $-270$ dollars. Les deux termes de la règle du produit portent chacun un nom en gestion, et leur somme est ce que l'on constate en fin de mois.

On cherche $\dfrac{dp}{dt}$ telle que $\dfrac{dp}{dt}\times 540+24\times 18=0$, donc $\dfrac{dp}{dt}=-\dfrac{432}{540}=-0{,}80$ dollar par mois. Une baisse de 80 cents par mois annulerait exactement le gain de volume. La baisse actuelle, 50 cents, reste donc en deçà du point d'équilibre, et c'est la seule question qui compte pour décider de poursuivre le rabais.

$\dfrac{p'}{p}=\dfrac{-0{,}50}{24}\approx -0{,}020\,83$, soit $-2{,}08$ % par mois. $\dfrac{q'}{q}=\dfrac{18}{540}=0{,}033\,33$, soit $+3{,}33$ % par mois. La somme vaut $0{,}012\,5$, soit $+1{,}25$ % par mois. On retrouve bien $\dfrac{dR}{dt}=0{,}012\,5\times 12\,960=162$ dollars par mois. Les deux chemins concordent, et le second se fait de tête.

La recette progresse d'environ 1,25 % par mois, différence des deux pourcentages. La conclusion commerciale tient en une phrase : le rabais est RENTABLE tant que la hausse relative du volume dépasse la baisse relative du prix. C'est une règle de décision utilisable sans calculatrice, et elle explique pourquoi une entreprise suit le pourcentage de variation de ses ventes plutôt que leur nombre : seul le pourcentage se compare directement à la remise consentie.

$\dfrac{dP}{dt}=B-D+M=1\,120-860-140=120$ habitants par année. Le taux relatif vaut $\dfrac{120}{48\,000}\times 100=0{,}25$ % par année. La municipalité croît, mais lentement : le solde naturel positif, 260 personnes, est amputé de plus de la moitié par le déficit migratoire.

$\dfrac{dP}{dt}=1\,120-860+300=560$ habitants par année, et le taux relatif devient $\dfrac{560}{48\,000}\times 100\approx 1{,}17$ % par année. Un solde migratoire redressé de 440 personnes multiplie par près de cinq le rythme de croissance, sans qu'aucun paramètre démographique n'ait changé. C'est le levier le plus rapide dont dispose une municipalité, et c'est pourquoi les politiques d'attraction pèsent davantage à court terme que les politiques natalistes.

$N=\dfrac{1\,000\times 1\,120}{48\,000}=\dfrac{1\,120\,000}{48\,000}\approx 23{,}33$ naissances pour mille habitants.

Le numérateur est constant et le dénominateur varie, donc $\dfrac{dN}{dt}=1\,000\,B\times\left(-\dfrac{1}{P^{2}}\right)\dfrac{dP}{dt}=-\dfrac{1\,000\times 1\,120\times 120}{48\,000^{2}}=-\dfrac{134\,400\,000}{2\,304\,000\,000}\approx -0{,}058$ pour mille par année. Le taux de natalité brut BAISSE, alors que le nombre de naissances n'a pas bougé d'une unité.

Oui, et le calcul précédent en est la démonstration. Un taux brut est un QUOTIENT : il baisse dès que son dénominateur croît plus vite que son numérateur, ici dès que la population augmente à naissances constantes. Le même mécanisme joue sur le taux de criminalité, le taux d'équipement, le nombre de médecins pour mille habitants. La conséquence méthodologique est constante : devant un taux qui bouge, la première question est de savoir lequel des deux termes a bougé, et l'exercice 10 la posera sur le chiffre le plus commenté de tous, le taux de chômage.

$c=60+0{,}5\times 100=110$ dossiers par jour. $\rho=\dfrac{96}{110}\approx 0{,}872\,7$, soit 87,3 % d'utilisation. $W=\dfrac{0{,}872\,7}{1-0{,}872\,7}=\dfrac{0{,}872\,7}{0{,}127\,3}\approx 6{,}86$ durées de service : un usager attend en moyenne près de sept fois la durée d'un traitement.

$\dfrac{dc}{dt}=0{,}5\times\dfrac{dI}{dt}=0{,}5\times 12=6$ dossiers par jour et par année. La capacité progresse de six dossiers quotidiens chaque année.

$\rho=96\,c^{-1}$, donc $\dfrac{d\rho}{dt}=-\dfrac{96}{c^{2}}\times\dfrac{dc}{dt}=-\dfrac{96\times 6}{110^{2}}=-\dfrac{576}{12\,100}\approx -0{,}047\,60$ par année. Le taux d'utilisation baisse d'environ 4,76 points de pourcentage par année.

$\dfrac{dW}{d\rho}=\dfrac{1}{(1-\rho)^{2}}=\dfrac{1}{0{,}127\,3^{2}}\approx 61{,}73$. Par la règle de chaîne, $\dfrac{dW}{dt}=61{,}73\times(-0{,}047\,60)\approx -2{,}94$ durée de service par année. Le temps d'attente diminue donc d'environ trois durées de service chaque année, ce qui est considérable rapporté aux 6,86 de départ : un tiers de l'attente disparaît la première année.

Non, et le gain serait bien PLUS FAIBLE. Le seul facteur qui change dans la chaîne est $\dfrac{dW}{d\rho}=\dfrac{1}{(1-\rho)^{2}}$, qui vaut 61,7 à 87 % d'utilisation et seulement 4 à 50 %. Les deux autres maillons, $\dfrac{dc}{dt}=6$ et la forme de $\rho$, sont presque inchangés. Le même investissement produirait donc environ quinze fois moins de réduction d'attente dans un service peu chargé. C'est l'argument quantitatif en faveur d'investir là où la saturation est la plus forte, et il ne tient qu'au carré du dénominateur.

La règle du produit donne $z'=x'y+xy'$. On divise les deux membres par $z=xy$, non nul : $\dfrac{z'}{z}=\dfrac{x'y}{xy}+\dfrac{xy'}{xy}=\dfrac{x'}{x}+\dfrac{y'}{y}$. La simplification est immédiate, chaque terme perdant le facteur qu'il ne contient pas au numérateur.

La règle du quotient donne $z'=\dfrac{x'y-xy'}{y^{2}}$. On divise par $z=\dfrac{x}{y}$, ce qui revient à multiplier par $\dfrac{y}{x}$ : $\dfrac{z'}{z}=\dfrac{x'y-xy'}{y^{2}}\times\dfrac{y}{x}=\dfrac{x'y-xy'}{xy}=\dfrac{x'}{x}-\dfrac{y'}{y}$. Le signe moins vient du numérateur de la règle du quotient, et c'est lui qui porte tout l'intérêt économique du résultat.

Recette $R=pq$ avec $p=24$, $q=540$, $p'=-0{,}50$ et $q'=18$. Taux relatifs : $\dfrac{-0{,}50}{24}\approx -2{,}08$ % et $\dfrac{18}{540}\approx 3{,}33$ % par mois. Somme : $1{,}25$ % par mois. Multipliée par $R=12\,960$, elle redonne $162$ dollars par mois, exactement la valeur trouvée à l'exercice 3 par la règle du produit.

Salaire moyen $R=\dfrac{M}{n}$ avec $M=4\,800\,000$, $n=120$, $M'=180\,000$ et $n'=6$. Taux relatifs : $\dfrac{180\,000}{4\,800\,000}=3{,}75$ % et $\dfrac{6}{120}=5$ % par année. Différence : $3{,}75-5=-1{,}25$ % par année. Multipliée par $R=40\,000$ dollars, elle donne $-500$ dollars par année, la valeur de l'exercice 2. La lecture est directe : la masse salariale croît moins vite, en pourcentage, que l'effectif, donc le salaire moyen baisse.

Parce qu'elle répond sans calcul à la seule question qui se pose en réunion : qui, du numérateur ou du dénominateur, croît le plus vite en POURCENTAGE ? Les valeurs absolues, 180 000 dollars et 6 personnes, ne se comparent pas ; les pourcentages, 3,75 % et 5 %, se comparent immédiatement. La règle explique aussi pourquoi tant d'indicateurs se dégradent sans qu'aucune de leurs composantes ne se dégrade : produit intérieur brut par habitant, salaire moyen, densité de médecins, taux de natalité brut. Dans chaque cas, les deux termes montent, et c'est leur ORDRE en pourcentage qui décide du sens du quotient.