Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : les taux de variation liés (201-103)

Q: Pourquoi faut-il dériver avant de remplacer dans un problème de taux liés ?

Parce qu'une valeur remplacée devient une constante, et que la dérivée d'une constante est nulle. Si on écrit que le prix vaut vingt dollars avant de dériver, le prix cesse de varier dans le calcul, et tout le terme qui décrit sa baisse disparaît. On écrit donc la relation avec des lettres, on dérive, et on remplace seulement à la fin.

Q: Qu'est-ce que le facteur de chaîne dans une dérivation par rapport au temps ?

C'est la vitesse de variation de chaque grandeur qui n'est pas le temps lui-même. En dérivant le carré d'une quantité par rapport au temps, on obtient deux fois cette quantité multipliée par sa propre vitesse de variation. Oublier ce facteur donne un résultat faux, et l'erreur est d'autant plus grande que la grandeur varie vite.

Q: Comment savoir si un indicateur par habitant augmente ?

On compare les taux de croissance en pourcentage, jamais les variations absolues. L'indicateur augmente si et seulement si le numérateur croît plus vite, en pourcentage, que le dénominateur. Comparer des milliards de dollars à des milliers de personnes n'a aucun sens, parce que ce sont des unités différentes.

Q: Pourquoi un taux de natalité peut-il baisser sans qu'il y ait moins de naissances ?

Parce que c'est un rapport entre les naissances et la population totale. Si la population augmente, par exemple par immigration, le dénominateur grossit et le rapport diminue, même quand le nombre de naissances reste identique. Commenter un indicateur demande donc toujours de regarder ses deux étages.

Q: Quelle différence entre un stock et un flux ?

Un stock est une quantité mesurée à un instant, comme une population ou un montant épargné. Un flux est une vitesse, mesurée par unité de temps, comme des naissances par année ou des dollars par mois. Les unités les distinguent toujours : un flux contient un par année ou un par mois, un stock jamais.

Q: Quand utiliser les taux relatifs plutôt que la dérivation directe ?

Dès que la réponse est attendue en pourcentage, ou que l'énoncé ne fournit que des pourcentages sans valeurs absolues. La méthode est alors plus courte, puisque les taux s'additionnent pour un produit et se soustraient pour un quotient. Quand les deux méthodes sont possibles, les faire toutes les deux sert de vérification.

En Sciences humaines, les taux liés ne parlent presque jamais d'échelles qui glissent ou de ballons qui gonflent : ils parlent d'un chiffre d'affaires dont le prix baisse pendant que le volume monte, d'une densité de population dont le numérateur et le dénominateur bougent ensemble, d'un taux brut que le dénominateur suffit à faire varier.

La méthode est pourtant la même partout, et elle tient en cinq gestes dont l'ordre n'est pas négociable. Cette fiche donne ces cinq gestes, la voie plus rapide des taux relatifs, les huit erreurs qui reviennent chaque session, et le contrôle des unités qui les attrape presque toutes.

Le fil du chapitre

On dérive la RELATION, puis seulement on remplace : une valeur substituée trop tôt devient une constante, sa dérivée est nulle, et le résultat est faux sans qu'aucune ligne de calcul ne le soit.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et les règles de dérivation Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Les fonctions et leur domaine
6Les limites et la continuité
7La dérivée et les règles de dérivation

Notions couvertes

Taux de variation liés
Dérivation par rapport au temps
Règle de chaîne
Taux de variation relatif
Stock et flux
Taux brut
Indicateur composé
Analyse dimensionnelle
Taux de chômage
Densité de population

L'essentiel

Les cinq gestes, dans cet ordre

• Nommer les variables qui dépendent du temps, et écrire ce qu'on connaît : valeurs et taux, avec leurs unités.
• Écrire la RELATION qui lie ces variables entre elles, sans y mettre une seule valeur numérique.
• Dériver la relation par rapport au TEMPS, chaque grandeur apportant son facteur de chaîne.
• Remplacer alors, et alors seulement, les valeurs numériques de l'instant considéré.
• Conclure par une phrase avec les UNITÉS, et vérifier que leur lecture a un sens.

Les deux courbes passent par le même point à l'instant marqué, et une seule a une pente : remplacer

n

par

40

avant de dériver revient à suivre la droite horizontale.

Le seul ordre qui pose problème est celui des gestes 3 et 4. Une valeur remplacée avant la dérivation devient une constante, et une constante a une dérivée nulle.

Ce que la dérivation par rapport au temps fait apparaître

• Toute grandeur qui n'est pas $t$ apporte un facteur de chaîne : $\dfrac{d}{dt}\left(n^{2}\right)=2n\,\dfrac{dn}{dt}$ .
• Produit : $\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\,y+x\,\dfrac{dy}{dt}$ .
• Quotient : $\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{x'y-xy'}{y^{2}}$ , avec l'ordre imposé au numérateur.
• Chaîne à plusieurs maillons : $\dfrac{dW}{dt}=\dfrac{dW}{d\rho}\times\dfrac{d\rho}{dc}\times\dfrac{dc}{dt}$ , et les unités intermédiaires se simplifient deux à deux.
• $\dfrac{dA}{dt}$ et $\dfrac{dA}{dr}$ ne se mesurent pas dans la même unité : c'est la variable de dérivation qui fixe le dénominateur.

Écrire $\dfrac{dn}{dt}$ en toutes lettres plutôt que $n'$ pendant tout le chapitre : la notation rappelle d'elle-même par rapport à quoi on dérive.

La voie courte : les taux relatifs

• Produit : $\dfrac{(xy)'}{xy}=\dfrac{x'}{x}+\dfrac{y'}{y}$ . Les taux relatifs s'ADDITIONNENT.
• Quotient : $\dfrac{(x/y)'}{x/y}=\dfrac{x'}{x}-\dfrac{y'}{y}$ . Ils se SOUSTRAIENT.
• Un quotient croît si et seulement si $\dfrac{x'}{x}>\dfrac{y'}{y}$ : c'est l'ordre des POURCENTAGES qui décide, jamais celui des valeurs absolues.
• Un stock se dérive en ses flux : $\dfrac{dP}{dt}=B-D+M$ , naissances moins décès plus solde migratoire.
• Un taux brut $\dfrac{1000B}{P}$ baisse dès que $P$ croît, même à $B$ constant : le dénominateur suffit à faire bouger l'indicateur.

Sur un indicateur composé, cette voie est presque toujours plus rapide que la dérivation directe, et elle donne en prime le résultat en pourcentage, qui est la forme demandée.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Dériver une relation par rapport au temps

Les valeurs de référence pour tous les exemples : $p=20$ dollars, $q=500$ unités, $\dfrac{dp}{dt}=-0{,}50$ dollar par semaine et $\dfrac{dq}{dt}=30$ unités par semaine. La dernière colonne donne le taux obtenu.

Relation	Ce qu'on applique	Taux obtenu
$z=xy$	la règle du produit	$x'y+xy'$
Exemple : $(-0{,}50)(500)+(20)(30)=-250+600=350$ dollars par semaine.
$z=\dfrac{x}{y}$	la règle du quotient	$\dfrac{x'y-xy'}{y^{2}}$
Exemple : $\dfrac{(-0{,}50)(500)-(20)(30)}{500^{2}}=\dfrac{-850}{250\,000}=-0{,}0034$ dollar par unité et par semaine.
$z=n^{2}$	la chaîne	$2n\,\dfrac{dn}{dt}$
Exemple : Avec $n=40$ et $\dfrac{dn}{dt}=3$ : $2\times 40\times 3=240$ par unité de temps.
$P$ stock, $B$ , $D$ , $M$ flux	la somme algébrique	$B-D+M$
Exemple : $900-620+150=430$ habitants par année.
taux relatif de $xy$	la somme des taux	$\dfrac{x'}{x}+\dfrac{y'}{y}$
Exemple : $-2{,}5$ pour cent $+\;6$ pour cent $=3{,}5$ pour cent par semaine, soit $350$ dollars sur $10\,000$ .
$\dfrac{d}{dt}\left(n^{2}\right)=2n$	la puissance seule	n'existe pas règle inexistante
Exemple : Avec $n=40$ et $\dfrac{dn}{dt}=3$ , la vraie valeur est $240$ , alors que cette écriture donnerait $80$ . Ce qu'il faut faire : Multiplier par $\dfrac{dn}{dt}$ : toute grandeur autre que $t$ apporte son facteur de chaîne.

Les lignes 1 et 5 donnent le même résultat par deux chemins, $350$ dollars par semaine et $3{,}5$ pour cent de $10\,000$ dollars. Faire les deux est le contrôle le plus sûr du chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Remplacer les valeurs avant de dériver

toute la question, et l'erreur donne toujours zéro

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À cet instant $n=40$ , donc $A=n^{2}=1600$ , et $\dfrac{dA}{dt}=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $A=n^{2}$ , donc $\dfrac{dA}{dt}=2n\,\dfrac{dn}{dt}$ . En remplaçant ensuite, $2\times 40\times 3=240$ . »

Pourquoi : Une valeur remplacée devient une constante, et une constante ne varie pas. C'est pour cela que le geste 4 vient après le geste 3, et jamais avant.

2. Oublier le facteur de chaîne

2 points, et un résultat faux d'un facteur égal au taux oublié

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{d}{dt}\left(n^{2}\right)=2n=80$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{d}{dt}\left(n^{2}\right)=2n\,\dfrac{dn}{dt}=2\times 40\times 3=240$ . »

Pourquoi : On dérive par rapport à $t$ , pas par rapport à $n$ . Chaque fois qu'une grandeur autre que le temps apparaît, sa propre vitesse de variation sort en facteur.

3. Comparer les valeurs absolues pour décider si un quotient monte

2 points, et une conclusion parfois inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le produit intérieur brut augmente de $3$ milliards et la population de $40\,000$ personnes, donc le produit par habitant augmente. »

Ce qu'il faut écrire

« Le quotient croît si et seulement si $\dfrac{x'}{x}>\dfrac{y'}{y}$ : il faut comparer les POURCENTAGES, pas les milliards aux personnes. »

Pourquoi : Deux variations exprimées dans des unités différentes ne se comparent pas. Les taux relatifs, eux, sont sans unité et se comparent directement.

4. Croire qu'un taux brut ne bouge que par son numérateur

2 points d'interprétation, et c'est la question de raisonnement type

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le nombre de naissances est stable, donc le taux de natalité l'est aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux brut est $\dfrac{1000B}{P}$ : à $B$ constant, il DIMINUE dès que $P$ augmente, sans qu'aucune naissance ait été perdue. »

La population augmente de la même façon pour les deux courbes, et pourtant l'indicateur monte dans un cas et baisse dans l'autre : seul le numérateur les distingue.

Pourquoi : Un indicateur est un rapport, et un rapport a deux étages. La moitié des commentaires faux en Sciences humaines viennent d'avoir regardé un seul des deux.

5. Additionner les taux relatifs d'un quotient

2 points, et un signe inversé dans la conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le chiffre d'affaires croît de $3$ pour cent et le nombre de clients de $5$ pour cent, donc le panier moyen croît de $8$ pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« Le panier moyen est un QUOTIENT : son taux relatif est $3-5=-2$ pour cent. Il DIMINUE. »

Pourquoi : $\ln\dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y$ , donc en dérivant les taux se soustraient. Additionner revient à traiter un quotient comme un produit.

6. Confondre les unités de $\dfrac{dA}{dt}$ et de $\dfrac{dA}{dr}$

1 point par réponse, et l'erreur revient à chaque question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La densité varie de $12$ , donc la ville se densifie de $12$ habitants par kilomètre carré. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{dD}{dt}$ se mesure en habitants par kilomètre carré ET PAR ANNÉE. $\dfrac{dD}{dr}$ , elle, se mesurerait en habitants par kilomètre carré et par kilomètre. »

Pourquoi : L'unité d'une dérivée est celle de la grandeur divisée par celle de la VARIABLE DE DÉRIVATION. Changer de variable change l'unité, donc le sens de la phrase.

7. Lire un taux de chômage sans son taux d'activité

2 points d'interprétation, et c'est la question de commentaire attendue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de chômage a baissé, donc l'emploi s'améliore. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux de chômage a baissé, mais il faut regarder le taux d'activité : si des personnes ont cessé de chercher, le dénominateur a fondu, et l'indicateur baisse sans qu'aucun emploi ait été créé. »

Pourquoi : C'est le cas d'école des taux liés en Sciences humaines : deux façons opposées de faire baisser le même rapport, l'une bonne, l'autre mauvaise.

8. Croire qu'un même effort produit le même gain partout

2 points, et une recommandation de politique publique inutile

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Réduire le taux d'occupation de deux points fait toujours gagner le même temps d'attente. »

Ce qu'il faut écrire

« L'attente varie comme $\dfrac{1}{1-\rho}$ , donc sa sensibilité est $\dfrac{1}{(1-\rho)^{2}}$ : elle vaut $4$ à $50$ pour cent d'occupation et $62$ à $87$ pour cent. »

Les deux points marqués sont sur la même courbe : à gauche elle monte doucement, à droite elle se redresse, et la pente y est près de quinze fois plus grande.

Pourquoi : Une dérivée est locale. Sur une courbe très incurvée, le même écart d'entrée donne des écarts de sortie sans commune mesure selon l'endroit où on se place.

9. Confondre un stock et un flux

1 point, et une phrase de conclusion qui ne veut rien dire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population de la municipalité est de $430$ habitants par année. »

Ce qu'il faut écrire

« La population est un STOCK, mesuré en habitants ; $430$ habitants par année est un FLUX, c'est-à-dire $\dfrac{dP}{dt}$ . »

Pourquoi : Les unités le disent toutes seules : un stock n'a pas de « par année » dans son unité, un flux en a toujours un. C'est le contrôle le plus rapide de la copie.

Quelle méthode choisir

Quelle relation écrire, selon ce que donne l'énoncé

Le geste 2 est le seul où il faut réfléchir. Une fois la relation posée, tout le reste est mécanique.

Si un chiffre d'affaires, un budget total, une dépense globale → un PRODUIT, prix fois quantité

Exemple : $R=pq$ , donc $R'=p'q+pq'$
Si une moyenne, un indicateur « par habitant », « par élève », un taux → un QUOTIENT, et la voie des taux relatifs est la plus courte

Exemple : $\dfrac{\text{PIB}}{\text{population}}$ , taux relatif $3-1{,}2=1{,}8$ pour cent
Si une population, un effectif, une réserve qui se remplit et se vide → un STOCK, dérivé en somme algébrique de ses flux

Exemple : $\dfrac{dP}{dt}=B-D+M=900-620+150=430$
Si une aire, un volume, une surface urbanisée → une formule géométrique, avec le facteur de chaîne sur chaque grandeur

Exemple : $A=\pi r^{2}$ donne $\dfrac{dA}{dt}=2\pi r\,\dfrac{dr}{dt}$
Si une suite d'effets en cascade, chaque grandeur en commandant une autre → une CHAÎNE de plusieurs maillons, à écrire en entier avant de calculer

Exemple : $\dfrac{dW}{dt}=\dfrac{dW}{d\rho}\times\dfrac{d\rho}{dc}\times\dfrac{dc}{dt}$

les unités intermédiaires se simplifient deux à deux, ce qui donne un contrôle gratuit

Si l'énoncé ne fournit pas de relation, c'est presque toujours qu'elle est dans le vocabulaire : « par habitant » veut dire quotient, « total » veut dire produit ou somme.

Dérivation directe ou taux relatifs : laquelle choisir

Les deux voies donnent le même résultat. Le choix se fait sur ce que l'énoncé demande et sur ce qu'il fournit.

Si l'énoncé demande une réponse en unités, dollars par semaine par exemple → dérivation directe, produit ou quotient

Exemple : $R'=350$ dollars par semaine
Si l'énoncé demande une réponse en POUR CENT par unité de temps → taux relatifs, additionnés ou soustraits

Exemple : $-2{,}5+6=3{,}5$ pour cent par semaine
Si l'énoncé ne donne que des pourcentages, sans aucune valeur absolue → taux relatifs OBLIGATOIREMENT, la dérivation directe est impossible

Exemple : croissance de $3$ pour cent et de $1{,}2$ pour cent
Si l'énoncé demande seulement si l'indicateur monte ou baisse → comparer les deux taux relatifs, sans calculer la valeur

Exemple : $3>1{,}2$ , donc le produit par habitant augmente
Si l'énoncé fournit valeurs ET taux, et demande une vérification → faire les DEUX voies : elles doivent concorder

Exemple : $3{,}5$ pour cent de $10\,000$ redonne bien $350$

Quand les deux voies sont possibles, la seconde est plus rapide et donne directement la forme demandée en Sciences humaines. La première reste indispensable dès qu'une unité est attendue.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un problème de taux liés en cinq gestes

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne une vitesse de variation et en demande une autre, à un instant précis.

1 Nommer les variables et lister ce qui est connu, valeurs ET taux, avec les unités de chacun.
2 Écrire la relation qui les lie, SANS aucune valeur numérique dedans.
3 Dériver la relation par rapport à $t$ , en laissant apparaître chaque $\dfrac{d\cdot}{dt}$ .
4 Remplacer maintenant les valeurs de l'instant considéré.
5 Conclure par une phrase avec les unités et en interpréter le signe.

Phrase de conclusion

« Posons $R=pq$ . En dérivant par rapport au temps, $\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{dp}{dt}\,q+p\,\dfrac{dq}{dt}$ . À cet instant, $\dfrac{dR}{dt}=(-0{,}50)(500)+(20)(30)=350$ dollars par semaine : le chiffre d'affaires augmente, malgré la baisse du prix. »

Le piège : Écrire la relation avec les nombres déjà dedans, par exemple $R=20q$ . Le prix devient alors une constante, son taux disparaît, et il manque tout un terme au résultat.

Barème : 1 point pour les variables et leurs unités, 1 point pour la relation littérale, 2 points pour la dérivation, 1 point pour la conclusion interprétée.

Rédiger une chaîne à plusieurs maillons

Quand l'utiliser : Dès qu'une grandeur en commande une deuxième qui en commande une troisième, et que l'énoncé demande l'effet de la première sur la dernière.

1 Écrire la chaîne complète en notation de Leibniz AVANT de calculer quoi que ce soit.
2 Donner l'unité de chaque maillon et vérifier que les unités intermédiaires se simplifient.
3 Calculer chaque maillon séparément, en indiquant lequel on traite.
4 Multiplier, puis donner le résultat avec l'unité qui reste.
5 Interpréter : dire ce que l'investissement d'une unité rapporte concrètement.

Phrase de conclusion

« $\dfrac{dW}{dt}=\dfrac{dW}{d\rho}\times\dfrac{d\rho}{dc}\times\dfrac{dc}{dt}$ . Les jours par unité de $\rho$ , les unités de $\rho$ par dollar et les dollars par année se simplifient pour laisser des jours par année. »

Le piège : Additionner les maillons au lieu de les multiplier. Le contrôle des unités le détecte immédiatement, puisqu'une somme de grandeurs d'unités différentes n'a aucun sens.

Barème : 1 point pour la chaîne écrite, 1 point par maillon calculé, 1 point pour l'unité finale et l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les unités, lues à voix haute

Écrire l'unité du résultat, unité de la grandeur divisée par unité de la variable de dérivation, et lire la phrase complète. Si elle ne se dit pas, le calcul est faux.

« $350$ dollars par semaine » se lit ; « $350$ dollars fois semaine » ne se lit pas, et signale une multiplication à la place d'une division.
Les deux voies doivent concorder

Calculer par dérivation directe, puis par taux relatifs, et comparer. Les deux résultats doivent être le même nombre exprimé de deux façons.

$350$ dollars par semaine, et $3{,}5$ pour cent de $10\,000$ dollars. Un écart signale un terme oublié dans la règle du produit.
Le signe attendu

Avant tout calcul, se demander si la grandeur devrait monter ou descendre d'après l'énoncé. Le signe obtenu doit correspondre, sinon relire l'ordre du numérateur du quotient.

Si le prix baisse plus vite en pourcentage que le volume ne monte, le chiffre d'affaires doit baisser. Un résultat positif serait alors incohérent.
Le facteur de chaîne, compté

Compter combien de grandeurs autres que $t$ apparaissent dans la relation. Il doit y avoir autant de facteurs $\dfrac{d\cdot}{dt}$ dans la dérivée.

$A=\pi r^{2}$ contient une seule grandeur variable, donc la dérivée contient exactement un $\dfrac{dr}{dt}$ . Zéro facteur signale l'oubli de la chaîne.
L'ordre de grandeur en pourcentage

Convertir le résultat en pourcentage du niveau actuel et se demander s'il est plausible pour un phénomène social sur la période considérée.

Une population qui croîtrait de $40$ pour cent par année signale presque toujours une erreur de conversion d'unité de temps.

L'exercice type décortiqué

Le prix baisse, le volume monte : que fait le chiffre d'affaires

Un produit se vend actuellement $20$ dollars l'unité, à raison de $500$ unités par semaine.

Le prix baisse de $0{,}50$ dollar par semaine et la quantité vendue augmente de $30$ unités par semaine.

Le chiffre d'affaires hebdomadaire augmente-t-il ou diminue-t-il, et de combien ? À partir de quel rythme de baisse du prix diminuerait-il ?

Étape 1

Variables : $p$ le prix en dollars, $q$ la quantité en unités par semaine, $R$ le chiffre d'affaires en dollars par semaine. Connus : $p=20$ , $q=500$ , $\dfrac{dp}{dt}=-0{,}50$ dollar par semaine, $\dfrac{dq}{dt}=30$ unités par semaine.

Pourquoi

Lister les unités dès le premier geste permet, à la fin, de savoir sans réfléchir dans quoi le résultat doit se mesurer.

Étape 2

Relation : $R=pq$ , écrite sans aucun nombre.

Pourquoi

C'est ici que se joue la question. Écrire $R=20q$ ferait du prix une constante et supprimerait tout un terme de la dérivée.

Étape 3

Dérivation par rapport au temps, règle du produit : $\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{dp}{dt}\,q+p\,\dfrac{dq}{dt}$ .

Pourquoi

Les deux grandeurs dépendent du temps, donc chacune apporte son terme. Un seul terme signalerait qu'une des deux a été figée.

Étape 4

Substitution : $\dfrac{dR}{dt}=(-0{,}50)(500)+(20)(30)=-250+600=350$ .

Pourquoi

Le premier terme est l'effet prix, négatif, le second l'effet volume, positif. Les nommer rend la conclusion beaucoup plus facile à interpréter.

Étape 5

Unités : dollars par unité fois unités par semaine, plus dollars fois unités par semaine, donne des dollars par semaine.

Pourquoi

Le contrôle confirme que la règle du produit a bien été appliquée : deux termes d'unités différentes ne pourraient pas s'additionner.

Étape 6

Contrôle par les taux relatifs : $\dfrac{-0{,}50}{20}+\dfrac{30}{500}=-0{,}025+0{,}060=0{,}035$ , soit $3{,}5$ pour cent par semaine. Or $3{,}5$ pour cent de $R=10\,000$ dollars font bien $350$ dollars.

Pourquoi

Les deux voies concordent, ce qui valide le calcul. C'est aussi la forme de réponse que l'énoncé de Sciences humaines demande le plus souvent.

Étape 7

Seuil : le chiffre d'affaires diminuerait si $\dfrac{dp}{dt}\,q+p\,\dfrac{dq}{dt}<0$ , c'est-à-dire $500\,\dfrac{dp}{dt}<-600$ , donc $\dfrac{dp}{dt}<-1{,}20$ dollar par semaine.

Pourquoi

L'inégalité se résout sur la relation dérivée, pas sur une nouvelle. La question du seuil est presque toujours la dernière, et elle vaut le plus de points.

Étape 8

Vérification du seuil : avec $\dfrac{dp}{dt}=-1{,}20$ , on obtient $(-1{,}20)(500)+(20)(30)=-600+600=0$ .

Pourquoi

Réinjecter la valeur trouvée dans la relation dérivée est le contrôle le plus rapide sur une question de seuil.

Conclusion rédigée

« $\dfrac{dR}{dt}=(-0{,}50)(500)+(20)(30)=350$ dollars par semaine : le chiffre d'affaires AUGMENTE de $350$ dollars par semaine, soit $3{,}5$ pour cent, l'effet volume l'emportant sur l'effet prix. Il diminuerait si le prix baissait de plus de $1{,}20$ dollar par semaine. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que le chiffre d'affaires baisse parce que le prix baisse. Le signe du résultat dépend des DEUX effets, et ici le second est plus de deux fois plus grand que le premier.

À savoir par cœur

• On dérive la RELATION, puis on remplace. Jamais l'inverse.
• Toute grandeur qui n'est pas $t$ apporte son facteur $\dfrac{d\cdot}{dt}$ : $\dfrac{d}{dt}\left(n^{2}\right)=2n\,\dfrac{dn}{dt}$ .
• Produit : $x'y+xy'$ . Quotient : $\dfrac{x'y-xy'}{y^{2}}$ , le haut se dérive en premier.
• Taux relatifs : ils s'ADDITIONNENT pour un produit, se SOUSTRAIENT pour un quotient.
• Un quotient monte si et seulement si le taux relatif du haut dépasse celui du bas, en POUR CENT.
• Un stock se mesure en unités, un flux en unités PAR unité de temps. L'unité les distingue toujours.
• Un taux brut bouge par son dénominateur autant que par son numérateur.
• L'unité d'une dérivée est celle de la grandeur divisée par celle de la VARIABLE DE DÉRIVATION.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il dériver avant de remplacer dans un problème de taux liés ?

Parce qu'une valeur remplacée devient une constante, et que la dérivée d'une constante est nulle. Si on écrit que le prix vaut vingt dollars avant de dériver, le prix cesse de varier dans le calcul, et tout le terme qui décrit sa baisse disparaît. On écrit donc la relation avec des lettres, on dérive, et on remplace seulement à la fin.

Qu'est-ce que le facteur de chaîne dans une dérivation par rapport au temps ?

C'est la vitesse de variation de chaque grandeur qui n'est pas le temps lui-même. En dérivant le carré d'une quantité par rapport au temps, on obtient deux fois cette quantité multipliée par sa propre vitesse de variation. Oublier ce facteur donne un résultat faux, et l'erreur est d'autant plus grande que la grandeur varie vite.

Comment savoir si un indicateur par habitant augmente ?

On compare les taux de croissance en pourcentage, jamais les variations absolues. L'indicateur augmente si et seulement si le numérateur croît plus vite, en pourcentage, que le dénominateur. Comparer des milliards de dollars à des milliers de personnes n'a aucun sens, parce que ce sont des unités différentes.

Pourquoi un taux de natalité peut-il baisser sans qu'il y ait moins de naissances ?

Parce que c'est un rapport entre les naissances et la population totale. Si la population augmente, par exemple par immigration, le dénominateur grossit et le rapport diminue, même quand le nombre de naissances reste identique. Commenter un indicateur demande donc toujours de regarder ses deux étages.

Quelle différence entre un stock et un flux ?

Un stock est une quantité mesurée à un instant, comme une population ou un montant épargné. Un flux est une vitesse, mesurée par unité de temps, comme des naissances par année ou des dollars par mois. Les unités les distinguent toujours : un flux contient un par année ou un par mois, un stock jamais.

Quand utiliser les taux relatifs plutôt que la dérivation directe ?

Dès que la réponse est attendue en pourcentage, ou que l'énoncé ne fournit que des pourcentages sans valeurs absolues. La méthode est alors plus courte, puisque les taux s'additionnent pour un produit et se soustraient pour un quotient. Quand les deux méthodes sont possibles, les faire toutes les deux sert de vérification.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les taux de variation liés

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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Fiche de révision : les taux de variation liés (201-103)

L'essentiel

Les cinq gestes, dans cet ordre

Ce que la dérivation par rapport au temps fait apparaître

La voie courte : les taux relatifs

Les règles de calcul en tableau

Dériver une relation par rapport au temps

Les pièges qui coûtent des points

1. Remplacer les valeurs avant de dériver

2. Oublier le facteur de chaîne

3. Comparer les valeurs absolues pour décider si un quotient monte

4. Croire qu'un taux brut ne bouge que par son numérateur

5. Additionner les taux relatifs d'un quotient

6. Confondre les unités de dAdt\dfrac{dA}{dt}dtdA​ et de dAdr\dfrac{dA}{dr}drdA​

7. Lire un taux de chômage sans son taux d'activité

8. Croire qu'un même effort produit le même gain partout

9. Confondre un stock et un flux

Quelle méthode choisir

Quelle relation écrire, selon ce que donne l'énoncé

Dérivation directe ou taux relatifs : laquelle choisir

La rédaction attendue

Rédiger un problème de taux liés en cinq gestes

Rédiger une chaîne à plusieurs maillons

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le prix baisse, le volume monte : que fait le chiffre d'affaires

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il dériver avant de remplacer dans un problème de taux liés ?

Qu'est-ce que le facteur de chaîne dans une dérivation par rapport au temps ?

Comment savoir si un indicateur par habitant augmente ?

Pourquoi un taux de natalité peut-il baisser sans qu'il y ait moins de naissances ?

Quelle différence entre un stock et un flux ?

Quand utiliser les taux relatifs plutôt que la dérivation directe ?

Exercices corrigés : Les taux de variation liés

Voir aussi

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6. Confondre les unités de $\dfrac{dA}{dt}$ et de $\dfrac{dA}{dr}$