Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : exponentielle et logarithme (201-103)

C'est le chapitre le plus utile du cours pour la suite des études : croissance démographique, intérêt composé, décroissance de la mémoire, diffusion d'une innovation. Tout y passe par la même idée, un taux relatif constant, et par la même erreur, la règle de la puissance appliquée à une variable qui est à l'exposant.

Cette fiche donne les sept règles de dérivation avec un calcul chiffré sous chacune, les deux règles qui n'existent pas, et les trois outils d'interprétation qu'un examen de 201-103 demande systématiquement : le taux relatif, le temps de doublement et la lecture d'une échelle semi-logarithmique.

Le fil du chapitre

Tout le chapitre tient dans une question : la variable est-elle à la BASE ou à l'EXPOSANT ? La règle de la puissance sert au premier cas, jamais au second, et la confondre change la réponse d'un facteur qui grandit sans fin.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Puissances et exposants fractionnairesSecondaire 5 SN5
3Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
4Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
5Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
6Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
7La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
8Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
9Les fonctions et leur domaine
10Les limites et la continuité
11La dérivée et les règles de dérivation

Notions couvertes

Dérivée de l'exponentielle
Dérivée du logarithme naturel
Changement de base
Propriétés des logarithmes
Taux de variation relatif
Temps de doublement
Demi-vie
Règle de 70
Échelle semi-logarithmique
Dérivation logarithmique
Capitalisation continue

L'essentiel

À la base ou à l'exposant : la question qui décide de tout

• $x^{2}$ a la variable à la BASE : règle de la puissance, $2x$ .
• $2^{x}$ a la variable à l'EXPOSANT : règle de l'exponentielle, $2^{x}\ln 2$ .
• Les deux fonctions n'ont rien à voir : à long terme l'exponentielle dépasse n'importe quelle puissance, et de très loin.
• $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ : c'est la seule fonction non nulle égale à sa propre dérivée.
• $e$ est l'unique base dont la pente vaut $1$ au point $(0\,;1)$ , c'est-à-dire l'unique base telle que $\ln a=1$ .

Les deux courbes se croisent en

2

et en

4

, puis l'exponentielle décroche :

2^{5}=32

contre

5^{2}=25

, et déjà

2^{6}=64

contre

6^{2}=36

Avant de dériver, entourer la variable et se demander où elle est. Ce réflexe de deux secondes évite l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Les règles, et le facteur qu'on oublie

• $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ : le facteur $u'$ ne s'oublie jamais.
• $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$ , et plus généralement $\left(a^{u}\right)'=u'a^{u}\ln a$ .
• $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ , sur le domaine où $u>0$ . Le domaine se détermine AVANT de dériver, car la dérivée simplifiée n'en garde aucune trace.
• $\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$ , donc $\left(\log_{10}x\right)'=\dfrac{1}{x\ln 10}$ .
• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$ , $\ln(a^{n})=n\ln a$ . Rien de simple pour $\ln(a+b)$ .

La dérivée de $\ln(3x)$ vaut $\dfrac{1}{x}$ : le $3$ disparaît, et c'est normal, puisque $\ln(3x)=\ln 3+\ln x$ ne diffère de $\ln x$ que d'une constante.

Ce que l'exponentielle raconte en Sciences humaines

• Un modèle $P(t)=P_{0}e^{rt}$ vérifie $P'=rP$ : le taux relatif vaut $r$ , CONSTANT. C'est la signature de l'exponentielle.
• Temps de doublement : $T=\dfrac{\ln 2}{r}$ , indépendant de la valeur initiale. Demi-vie : même formule avec $r$ pris en valeur absolue.
• Règle de 70 : $T\approx\dfrac{70}{\text{taux en pourcentage}}$ , parce que $100\ln 2\approx 69{,}3$ . Elle vaut pour les taux faibles et se dégrade au-delà de $10$ pour cent.
• Les taux relatifs s'ADDITIONNENT pour un produit et se SOUSTRAIENT pour un quotient : le produit intérieur brut par habitant croît de la différence des deux taux.
• Capitalisation continue : $A(t)=A_{0}e^{rt}$ , avec un taux EFFECTIF annuel de $e^{r}-1$ , toujours supérieur au taux nominal $r$ .

Ces cinq lignes sont les seules formules que l'examen demande de connaître par cœur dans ce chapitre. Le reste se redérive.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Dériver une exponentielle ou un logarithme

La dernière colonne donne la dérivée. Les deux cases rouges sont des règles que la copie invente chaque session : elles n'existent pas, et deux nombres suffisent à le montrer.

Forme de $f$	Ce qu'on applique	$f'$
$e^{x}$	elle est sa propre dérivée	$e^{x}$
Exemple : En $x=0$ la pente vaut $1$ ; en $x=2$ elle vaut $e^{2}\approx 7{,}389$ .
$e^{u}$	la chaîne	$u'e^{u}$
Exemple : $e^{3x}$ a pour dérivée $3e^{3x}$ , qui vaut $3$ en $x=0$ .
$a^{x}$	l'exponentielle de base $a$	$a^{x}\ln a$
Exemple : $2^{x}$ a pour dérivée $2^{x}\ln 2$ , qui vaut environ $0{,}693$ en $x=0$ .
$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$ , sur $u>0$	$\dfrac{u'}{u}$
Exemple : $\ln(3x)$ a pour dérivée $\dfrac{1}{x}$ , qui vaut $0{,}5$ en $x=2$ .
$\log_{10}x$	le changement de base	$\dfrac{1}{x\ln 10}$
Exemple : En $x=2$ : $\dfrac{1}{2\ln 10}\approx 0{,}217$ .
$\left(e^{x}\right)'=xe^{x-1}$	la règle de puissance	n'existe pas règle inexistante
Exemple : En $x=2$ , la vraie dérivée vaut $e^{2}\approx 7{,}389$ , alors que cette écriture donnerait $2e\approx 5{,}437$ . Ce qu'il faut faire : La variable est à l'EXPOSANT : la dérivée est $e^{x}$ , jamais $nx^{n-1}$ .
$\ln(a+b)=\ln a+\ln b$	rien du tout	ne se décompose pas règle inexistante
Exemple : $\ln 5\approx 1{,}609$ contre $\ln 2+\ln 3\approx 1{,}792$ . Ce qu'il faut faire : On calcule la somme, PUIS le logarithme. Seuls les produits et les quotients se décomposent.

Les cinq premières lignes se récitent en trente secondes et couvrent tout l'examen. Les deux dernières coûtent en moyenne quatre points par copie.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier le facteur intérieur sur une exponentielle composée

2 points, et un taux de croissance annoncé cinquante fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(t)=e^{0{,}018t}$ , donc $f'(t)=e^{0{,}018t}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f'(t)=0{,}018\,e^{0{,}018t}$ : la règle de chaîne multiplie par la dérivée de l'exposant. »

Pourquoi : L'exponentielle est sa propre dérivée seulement quand l'exposant est $x$ tout seul. Dès que l'exposant contient un coefficient, ce coefficient ressort en facteur.

2. Appliquer la règle de la puissance à une exponentielle

toute la question, et l'erreur revient à l'étude de fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2^{x}$ , donc $f'(x)=x\,2^{x-1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La variable est à l'exposant : $f'(x)=2^{x}\ln 2$ , qui vaut environ $0{,}693$ en $x=0$ . »

Pourquoi : $x^{n}$ et $n^{x}$ sont deux familles sans rapport. La règle de la puissance suppose que l'exposant est une constante, ce qui est exactement ce qui est faux ici.

3. Décomposer le logarithme d'une somme

2 points, et une dérivée entièrement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(x+3)=\ln x+\ln 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln(x+3)$ ne se décompose pas. Sa dérivée se calcule par la chaîne : $\dfrac{1}{x+3}$ . »

Pourquoi : Le logarithme transforme un PRODUIT en somme, pas une somme en somme. Deux nombres le prouvent : $\ln 5\approx 1{,}609$ et $\ln 2+\ln 3\approx 1{,}792$ .

4. Dériver un logarithme sans avoir posé son domaine

1,5 point, et une étude de fonction menée sur une moitié de droite qui n'existe pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\ln(5-x)$ , donc $f'(x)=\dfrac{-1}{5-x}$ , définie partout sauf en $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'existe que pour $x<5$ . Sur ce domaine, $f'(x)=\dfrac{-1}{5-x}$ . »

Pourquoi : La dérivée simplifiée ne garde aucune trace de la condition $u>0$ : en $x=7$ elle donne un nombre parfaitement calculable, alors que la fonction n'y est pas définie.

5. Croire que le temps de doublement dépend de la population de départ

2 points d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une ville de $50\,000$ habitants met plus de temps à doubler qu'un village de $2\,400$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec le même taux $r$ , les deux doublent en $T=\dfrac{\ln 2}{r}$ : la valeur initiale se simplifie et n'intervient pas. »

Les trois traits verticaux sont équidistants et la courbe est chaque fois divisée par deux : la durée de la demi-vie ne dépend ni du niveau de départ, ni de l'endroit où l'on commence à compter.

Pourquoi : L'équation $P_{0}e^{rT}=2P_{0}$ se divise par $P_{0}$ des deux côtés. C'est toute la démonstration, et elle tient en une ligne.

6. Confondre le taux nominal et le taux effectif en capitalisation continue

1,5 point, et une comparaison de placements faussée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un placement à $6$ pour cent capitalisé en continu rapporte $6$ pour cent par année. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux nominal est $6$ pour cent, le taux effectif est $e^{0{,}06}-1\approx 6{,}18$ pour cent : la capitalisation continue rapporte toujours un peu plus que le taux annoncé. »

Pourquoi : Entre deux instants, les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts. L'écart est petit sur un an et devient très visible sur vingt.

7. Appliquer la règle de 70 à un taux élevé

1 point, et surtout une phrase de méthode fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $30$ pour cent par année, le doublement prend $\dfrac{70}{30}\approx 2{,}3$ années. »

Ce qu'il faut écrire

« La règle de 70 est une approximation valable pour les taux faibles. À $30$ pour cent, le calcul exact donne $\dfrac{\ln 2}{0{,}30}\approx 2{,}31$ années si le taux est continu, mais $2{,}64$ années s'il est annuel composé. »

Pourquoi : La règle de 70 vient de $100\ln 2\approx 69{,}3$ , une approximation qui suppose un taux continu et petit. Savoir d'où elle vient, c'est savoir quand elle cesse de valoir.

8. Lire une droite sur l'échelle ordinaire comme la preuve d'une exponentielle

2 points, et un modèle mal choisi pour toute la suite du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les points sont presque alignés, donc la croissance est exponentielle. »

Ce qu'il faut écrire

« Des points alignés sur l'échelle ORDINAIRE signalent une croissance linéaire. C'est sur l'échelle semi-logarithmique qu'une exponentielle devient une droite. »

Sur cette échelle l'exponentielle est une droite parfaite, tandis que le modèle linéaire monte vite puis s'aplatit : la forme de la trace suffit à choisir le modèle.

Pourquoi : La pente de $\ln P(t)$ vaut $\dfrac{P'}{P}$ : une droite sur l'échelle semi-logarithmique signifie taux relatif constant, ce qui est exactement la définition d'une exponentielle.

9. Additionner les grandeurs au lieu des taux dans un produit

2 points, et un résultat de signe parfois inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le produit intérieur brut croît de $3$ pour cent et la population de $1{,}2$ pour cent, donc le produit par habitant croît de $4{,}2$ pour cent. »

Ce qu'il faut écrire

« Le produit par habitant est un QUOTIENT : son taux relatif est la DIFFÉRENCE des deux, soit environ $1{,}8$ pour cent par année. »

Pourquoi : La dérivation logarithmique le démontre en deux lignes : $\ln\dfrac{A}{B}=\ln A-\ln B$ , et en dérivant, $\dfrac{(A/B)'}{A/B}=\dfrac{A'}{A}-\dfrac{B'}{B}$ .

Quelle méthode choisir

Quelle règle, selon l'endroit où se trouve la variable

On localise la variable avant tout : à la base, à l'exposant, ou dans l'argument d'un logarithme. Trois positions, trois règles, aucune interchangeable.

Si la variable est à la BASE et l'exposant est un nombre → règle de la puissance, $nx^{n-1}$

Exemple : $x^{5}$ donne $5x^{4}$
Si la variable est à l'EXPOSANT, base $e$ → $u'e^{u}$

Exemple : $e^{0{,}018t}$ donne $0{,}018e^{0{,}018t}$
Si la variable est à l'EXPOSANT, base quelconque → $u'a^{u}\ln a$

Exemple : $2^{3x}$ donne $3\times 2^{3x}\ln 2$
Si la variable est dans l'argument d'un $\ln$ → $\dfrac{u'}{u}$ , après avoir écrit la condition $u>0$

Exemple : $\ln(5-x)$ donne $\dfrac{-1}{5-x}$ sur $x<5$
Si la variable est à la base ET à l'exposant → dérivation logarithmique, seule méthode possible

Exemple : $x^{x}$ donne $x^{x}(\ln x+1)$

ce cas est rare en 201-103, mais il tombe en question de raisonnement
Si un produit ou un quotient de trois facteurs ou plus → dérivation logarithmique : prendre $\ln$ , décomposer, puis dériver

Exemple : les taux relatifs s'additionnent et se soustraient

Si la variable apparaît à deux endroits, aucune règle simple ne s'applique et il faut passer par le logarithme. C'est le signal de la dérivation logarithmique.

Quel outil, selon ce que l'énoncé demande

Le vocabulaire des problèmes de croissance est stable. Chaque formulation appelle une formule et une seule.

Si « de combien de pour cent par année » → taux relatif $\dfrac{P'}{P}$ , qui vaut $r$ pour une exponentielle

Exemple : $P(t)=2400e^{0{,}018t}$ croît de $1{,}8$ pour cent par année
Si « en combien de temps la population double » → $T=\dfrac{\ln 2}{r}$

Exemple : avec $r=0{,}018$ : $T\approx 38{,}5$ années
Si « demi-vie », « il en reste la moitié » → même formule, avec $|r|$

Exemple : avec $r=-0{,}15$ : demi-vie de $4{,}62$ unités
Si « estimer de tête », « ordre de grandeur » → règle de 70, valable pour les taux faibles

Exemple : $\dfrac{70}{1{,}8}\approx 38{,}9$ , tout près de $38{,}5$
Si « ces données suivent-elles un modèle exponentiel » → tracer en échelle semi-logarithmique et chercher une droite

Exemple : une droite signifie taux relatif constant
Si « le taux du produit, du quotient, du produit par habitant » → additionner ou soustraire les taux relatifs

Exemple : $3$ pour cent moins $1{,}2$ pour cent donne $1{,}8$ pour cent

Aucune de ces branches ne demande de résoudre une équation compliquée : toutes se ramènent à $\ln$ des deux côtés, puis à une division.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer et rédiger un temps de doublement

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande quand une grandeur double, triple, atteint un seuil, ou tombe à la moitié.

1 Écrire l'équation que le mot traduit : $P_{0}e^{rT}=2P_{0}$ pour un doublement.
2 Diviser par $P_{0}$ et DIRE que la valeur initiale se simplifie, donc que le résultat n'en dépend pas.
3 Prendre le logarithme naturel des deux côtés : $rT=\ln 2$ .
4 Isoler $T$ et donner la valeur avec ses unités.
5 Contrôler avec la règle de 70 et conclure par une phrase en mots.

Phrase de conclusion

« L'équation $2400e^{0{,}018T}=4800$ donne $e^{0{,}018T}=2$ , donc $0{,}018T=\ln 2$ et $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}018}\approx 38{,}5$ années. La population double donc en un peu moins de quarante ans, quelle que soit sa taille de départ. »

Le piège : Garder $2400$ dans le calcul jusqu'au bout. Ce n'est pas faux, mais la simplification est justement ce que la question veut voir écrit.

Barème : 1 point pour l'équation posée, 1 point pour la simplification, 1 point pour le logarithme, 1 point pour la valeur et son unité.

Mener une dérivation logarithmique

Quand l'utiliser : Dès qu'il y a trois facteurs ou plus, un quotient de produits, ou une variable à la fois à la base et à l'exposant. Aussi dès qu'on demande le taux relatif d'un rapport.

1 Écrire $\ln F$ et DÉCOMPOSER avec les propriétés du logarithme, produits en sommes et puissances en coefficients.
2 Dériver les deux côtés : à gauche apparaît $\dfrac{F'}{F}$ , à droite une somme de termes simples.
3 Lire directement le résultat quand la question porte sur le taux relatif : $\dfrac{F'}{F}$ est déjà isolé.
4 Multiplier par $F$ seulement si l'énoncé demande $F'$ lui-même.
5 Interpréter en pourcentage, puisque $\dfrac{F'}{F}$ est un taux relatif.

Phrase de conclusion

« Posons $F=\dfrac{A}{B}$ . Alors $\ln F=\ln A-\ln B$ , et en dérivant, $\dfrac{F'}{F}=\dfrac{A'}{A}-\dfrac{B'}{B}=0{,}030-0{,}012=0{,}018$ . Le produit intérieur brut par habitant croît donc d'environ $1{,}8$ pour cent par année. »

Le piège : Dériver $\ln F$ comme si c'était $F$ . À gauche, la règle de chaîne impose $\dfrac{F'}{F}$ , et c'est précisément ce facteur qui rend la méthode utile.

Barème : 1 point pour la décomposition, 1 point pour la dérivation des deux côtés, 1 point pour la lecture du taux, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La règle de 70 comme ordre de grandeur

Après avoir calculé un temps de doublement, diviser $70$ par le taux en pourcentage. Les deux résultats doivent être proches pour un taux faible.

$\dfrac{\ln 2}{0{,}018}\approx 38{,}5$ et $\dfrac{70}{1{,}8}\approx 38{,}9$ . Un écart de plusieurs années signalerait une erreur de virgule sur le taux.
Le taux relatif doit redonner $r$

Diviser la dérivée trouvée par la fonction. Sur une exponentielle pure, le résultat doit être exactement le coefficient de l'exposant.

Avec $P(t)=2400e^{0{,}018t}$ et $P'(t)=43{,}2e^{0{,}018t}$ : $\dfrac{P'}{P}=\dfrac{43{,}2}{2400}=0{,}018$ . Un autre nombre signale un facteur oublié.
Le signe de la dérivée d'un logarithme

La dérivée de $\ln u$ a le signe de $u'$ , puisque $u$ est positif sur le domaine. Ce contrôle attrape les erreurs de signe de la chaîne.

$\ln(5-x)$ décroît, donc sa dérivée $\dfrac{-1}{5-x}$ doit être négative pour $x<5$ : en $x=4$ elle vaut $-1$ , c'est cohérent.
La différence numérique à la calculatrice

Comparer la dérivée trouvée à $\dfrac{f(a+0{,}0001)-f(a-0{,}0001)}{0{,}0002}$ . Les deux doivent coïncider sur trois décimales.

Pour $2^{x}$ en $x=0$ , le calcul numérique donne $0{,}6931$ , ce qui confirme $\ln 2$ et invalide la règle de la puissance.
L'unité du taux

Un taux relatif est SANS unité de grandeur : il s'exprime par unité de temps, en pour cent par année. Un taux en dollars par année est un taux absolu, pas relatif.

$P'(0)=43{,}2$ habitants par année est absolu ; $1{,}8$ pour cent par année est relatif. Les deux répondent à des questions différentes.

L'exercice type décortiqué

Une population en croissance continue : taux, doublement et contrôle

La population d'une municipalité est modélisée par $P(t)=2400\,e^{0{,}018t}$ , où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis 2020.

Calculer $P'(t)$ , donner le taux de croissance relatif, la population et sa vitesse de croissance en 2030, puis le temps de doublement.

Étape 1

La variable est à l'EXPOSANT, avec un coefficient : c'est $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ avec $u=0{,}018t$ , donc $u'=0{,}018$ .

Pourquoi

Identifier $u$ et $u'$ avant d'écrire la formule est ce qui empêche d'oublier le facteur, qui est l'erreur numéro un du chapitre.

Étape 2

$P'(t)=2400\times 0{,}018\,e^{0{,}018t}=43{,}2\,e^{0{,}018t}$ habitants par année.

Pourquoi

La constante $2400$ se garde, le coefficient $0{,}018$ descend. Les unités se lisent immédiatement : des habitants par année.

Étape 3

Taux relatif : $\dfrac{P'(t)}{P(t)}=\dfrac{43{,}2\,e^{0{,}018t}}{2400\,e^{0{,}018t}}=0{,}018$ , soit $1{,}8$ pour cent par année, pour tout $t$ .

Pourquoi

L'exponentielle se simplifie entièrement : c'est la signature du modèle, un taux relatif CONSTANT. Une fonction dont ce rapport dépend de $t$ n'est pas exponentielle.

Étape 4

En 2030, $t=10$ : $P(10)=2400\,e^{0{,}18}\approx 2400\times 1{,}1972\approx 2873$ habitants.

Pourquoi

On remplace dans la fonction, pas dans la dérivée. L'arrondi se fait à l'unité, puisqu'il s'agit d'habitants.

Étape 5

$P'(10)=43{,}2\,e^{0{,}18}\approx 51{,}7$ habitants par année.

Pourquoi

La vitesse augmente avec le temps, alors que le taux relatif, lui, reste à $1{,}8$ pour cent. Les deux phrases sont vraies en même temps.

Étape 6

Doublement : $2400\,e^{0{,}018T}=4800$ , donc $e^{0{,}018T}=2$ , puis $0{,}018T=\ln 2$ et $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}018}\approx 38{,}5$ années.

Pourquoi

La division par $2400$ montre que le résultat ne dépend pas de la population de départ. C'est cette ligne que le barème paie.

Étape 7

Contrôle par la règle de 70 : $\dfrac{70}{1{,}8}\approx 38{,}9$ années, très proche de $38{,}5$ .

Pourquoi

L'approximation vient de $100\ln 2\approx 69{,}3$ . Elle confirme l'ordre de grandeur et attrape une erreur de virgule sur le taux.

Étape 8

Réserve : le modèle a été ajusté sur des données récentes. Prolongé sur deux siècles, il donnerait une population absurde.

Pourquoi

Une exponentielle n'a pas de plafond, alors que la réalité en a un. Énoncer la fenêtre de validité fait partie de la réponse en Sciences humaines.

Conclusion rédigée

« $P'(t)=43{,}2\,e^{0{,}018t}$ habitants par année, et le taux relatif vaut $1{,}8$ pour cent par année quel que soit $t$ . En 2030 la municipalité comptera environ $2873$ habitants et gagnera environ $52$ habitants par année. La population double en $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}018}\approx 38{,}5$ années, indépendamment de sa taille initiale. »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer que la population croît de $43{,}2$ pour cent par année. Le nombre $43{,}2$ est un taux ABSOLU, en habitants par année ; le taux relatif est le rapport $\dfrac{P'}{P}$ , et il vaut $1{,}8$ pour cent.

À savoir par cœur

• $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ et $\left(a^{u}\right)'=u'a^{u}\ln a$ . Le facteur $u'$ ne s'oublie jamais.
• $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ , sur le domaine $u>0$ , écrit AVANT de dériver.
• La variable à la BASE appelle $nx^{n-1}$ ; à l'EXPOSANT, elle appelle $a^{x}\ln a$ . Jamais l'inverse.
• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln(a^{n})=n\ln a$ . RIEN pour $\ln(a+b)$ .
• Une exponentielle $P_{0}e^{rt}$ a un taux relatif CONSTANT égal à $r$ : c'est sa signature.
• Temps de doublement $T=\dfrac{\ln 2}{r}$ , indépendant de la valeur initiale. Règle de 70 pour le contrôle.
• Taux relatifs : ils s'ADDITIONNENT pour un produit, se SOUSTRAIENT pour un quotient.
• En échelle semi-logarithmique, une exponentielle devient une DROITE, et sa pente est le taux relatif.

Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de 2 puissance x ?

C'est 2 puissance x multiplié par le logarithme naturel de 2, soit environ 0,693 fois la fonction elle-même. La règle de la puissance ne s'applique pas ici, parce qu'elle suppose un exposant constant, alors que c'est justement l'exposant qui varie. Pour la base e, ce facteur vaut 1, ce qui explique que l'exponentielle naturelle soit sa propre dérivée.

Comment calculer un temps de doublement ?

On écrit que la fonction atteint le double de sa valeur initiale, on divise par cette valeur initiale, qui disparaît, puis on prend le logarithme naturel des deux côtés. Il reste le taux multiplié par le temps égale le logarithme de 2, donc le temps vaut le logarithme de 2 divisé par le taux. Le résultat ne dépend jamais de la quantité de départ.

D'où vient la règle de 70 ?

Du fait que cent fois le logarithme naturel de 2 vaut environ 69,3, que l'on arrondit à 70 parce qu'il se divise bien. Diviser 70 par le taux exprimé en pourcentage donne donc le temps de doublement approximatif. L'approximation est excellente pour les taux faibles et se dégrade nettement au-delà de dix pour cent.

Pourquoi le logarithme d'une somme ne se décompose pas ?

Parce que le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en sommes. Deux nombres suffisent à le vérifier : le logarithme de 5 vaut environ 1,609, alors que le logarithme de 2 plus celui de 3 vaut environ 1,792. Pour dériver le logarithme d'une somme, on utilise la règle de chaîne, pas une décomposition.

À quoi sert une échelle semi-logarithmique ?

À reconnaître une croissance exponentielle d'un coup d'oeil. Sur cette échelle, on trace le logarithme de la grandeur, et sa pente est exactement le taux relatif. Une exponentielle y devient donc une droite parfaite, et une croissance linéaire y devient une courbe qui s'aplatit. Si les points s'alignent, le taux est constant.

Comment obtenir le taux de croissance du produit intérieur brut par habitant ?

En soustrayant le taux de croissance de la population de celui du produit intérieur brut. C'est un quotient, et les taux relatifs se soustraient pour un quotient comme ils s'additionnent pour un produit. Avec trois pour cent et un virgule deux pour cent, le produit par habitant croît donc d'environ un virgule huit pour cent par année.

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Exercices corrigés : Exponentielle et logarithme

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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