Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal
En Sciences humaines, la dérivée n'est presque jamais demandée seule : on demande ce qu'elle VAUT, en quoi elle se mesure, et ce qu'elle raconte sur le phénomène. Une copie qui donne sans écrire « points de pourcentage par année » perd la moitié de la question, même quand le calcul est parfait.
Cette fiche rassemble les huit erreurs qui reviennent chaque session, les règles avec leur calcul chiffré, les deux rédactions attendues, et le contrôle des unités, qui attrape à lui seul la plupart des dérivations fausses.
Le fil du chapitre
La dérivée n'est pas une formule, c'est une PENTE avec des unités : tant qu'on n'a pas dit en quoi elle se mesure et de quoi elle est la pente, on n'a pas répondu à la question posée.
L'énoncé choisit toujours son mot : « en moyenne sur la période » demande la sécante, « au moment où » demande la tangente. Lire le mot avant de calculer évite la moitié des erreurs.
Le contrôle des unités est le plus rapide du cours : une dérivée dont les unités n'ont pas de sens signale une chaîne de règles ratée, avant même de relire le calcul.
L'exemple du barème est l'exemple type de l'examen, parce qu'il montre qu'une fonction sans aucun saut peut quand même ne pas être dérivable.
Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.
La dernière colonne donne la dérivée. La case rouge marque une règle qui n'existe pas et que la copie écrit pourtant chaque session.
| Forme de | Ce qu'on applique | |
|---|---|---|
| la puissance | ||
| Exemple : En : . | ||
| réécrire , puis la puissance | ||
| Exemple : En : . | ||
| réécrire | ||
| Exemple : En : . | ||
| la somme des deux termes | ||
| Exemple : a pour dérivée , qui vaut en . | ||
| l'ordre est imposé | ||
| Exemple : a pour dérivée , soit en . | ||
| rien du tout | n'existe pas règle inexistante | |
| Exemple : Pour : la vraie dérivée vaut en , alors que en donnerait . Ce qu'il faut faire : Appliquer , ou simplifier le produit avant de dériver quand c'est possible. | ||
Les trois premières lignes disent la même chose : on réécrit en PUISSANCE avant de dériver. C'est le geste qui évite d'inventer une règle pour les fractions et pour les racines.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« : la règle de chaîne multiplie par la dérivée de l'intérieur. »
Pourquoi : Dériver une fonction emboîtée, c'est parcourir les couches de l'extérieur vers l'intérieur en multipliant à chaque étape. Oublier un facteur revient à répondre à une autre question.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le HAUT se dérive en premier. »
Pourquoi : Le signe inversé donne une dérivée qui change de sens : une fonction croissante devient décroissante, et toute l'interprétation qui suit est retournée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le taux de variation en est . »
Ce qu'il faut écrire
« Le taux de variation en est . La quantité est une ESTIMATION de ce taux, la différence centrée, et elle n'est exacte que sur une parabole. »
Pourquoi : L'énoncé distingue toujours les deux : « en moyenne sur la période » appelle la sécante, « au moment où » appelle la tangente. Le mot est dans la question.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La dérivée seconde est négative, donc le taux de diplomation diminue. »
Ce qu'il faut écrire
« et : le taux de diplomation AUGMENTE encore, mais de moins en moins vite. »
Pourquoi : dit le sens, dit si le mouvement s'accélère ou ralentit. Les deux sont indépendants, et une hausse qui ralentit reste une hausse.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La pente est , donc la tangente est , et je cherche . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc . La forme point-pente donne directement l'équation, sans chercher . »
Pourquoi : La forme point-pente est faite pour cela : elle contient le point et la pente, les deux seules informations qu'on a. Développer pour trouver ajoute une occasion de se tromper de signe.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« point de pourcentage par année : après deux ans, le taux de diplomation progresse d'environ points par année supplémentaire. »
Pourquoi : En Sciences humaines, le nombre seul ne prouve rien. Les unités se déduisent mécaniquement, unité de divisée par unité de , et elles servent aussi de contrôle du calcul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le barème d'impôt est continu, donc il est dérivable partout. »
Ce qu'il faut écrire
« Le barème est continu partout, mais non dérivable aux frontières de tranche : le taux marginal y change, donc la pente saute, et il y a une pointe. »
Pourquoi : L'implication ne marche que dans un sens. Dérivable entraîne continue ; continue n'entraîne rien, et le barème en est le contre-exemple officiel.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La population augmente de habitants par an, donc son taux de croissance est constant. »
Ce qu'il faut écrire
« L'augmentation ABSOLUE est constante à habitants par an, mais le taux RELATIF diminue, puisque le dénominateur grandit. »
Pourquoi : Un même gain pèse de moins en moins lourd sur une base qui grandit. C'est exactement pourquoi les Sciences humaines raisonnent en pourcentage plutôt qu'en unités.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« On réécrit , puis la règle de la puissance donne . »
Pourquoi : Écrire en puissance avant de dériver supprime le besoin d'une règle pour les fractions. La dérivée doit d'ailleurs être NÉGATIVE, puisque la fonction décroît.
On ne regarde pas le thème, on regarde l'opération qu'on ferait en dernier si on calculait la valeur à la calculatrice. C'est elle qui nomme la règle.
Si en dernier, une addition ou une soustraction → dériver terme à terme, indépendamment
Exemple : donne
Si en dernier, une multiplication de deux expressions en → la règle du produit,
Exemple : donne
si le produit se développe facilement, développer d'abord va souvent plus vite
Si en dernier, une division → la règle du quotient, , dans cet ordre
Exemple : donne
Si en dernier, une puissance appliquée à TOUTE une expression → la règle de chaîne : puissance, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur
Exemple : donne
Si une constante multiplie toute l'expression → la sortir, elle ne se dérive pas
Exemple : donne
Si une fraction sans au dénominateur, ou une racine seule → réécrire en PUISSANCE avant toute chose
Exemple : devient , puis
Si plusieurs branches semblent s'appliquer, c'est qu'il y a plusieurs couches : on commence par la dernière opération et on redescend. Aucune règle ne se saute, elles s'emboîtent.
Le vocabulaire des Sciences humaines est stable : chaque formulation appelle une quantité précise, et une seule.
Si « en moyenne entre telle et telle année » → taux moyen, donc la sécante
Exemple : entre 2020 et 2026, la variation annuelle moyenne
Si « au moment où », « à l'instant », « en telle année » → taux instantané, donc , avec ses unités
Exemple : la vitesse de progression en 2026
Si « de combien de pour cent par année » → taux relatif
Exemple : une hausse de sur une base de fait pour cent
Si « la hausse ralentit-elle », « le phénomène s'essouffle » → signe de , sans changer la conclusion sur
Exemple : et : la hausse continue en ralentissant
Si « estimer la dérivée à partir du tableau » → différence CENTRÉE
Exemple : avec :
Si « droite tangente », « approximation linéaire » → , en forme point-pente
Exemple :
Un énoncé qui demande « la variation » sans autre précision demande presque toujours le taux instantané au cégep. En cas de doute réel, calculer les deux et dire lequel répond à la question.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé parle de tangente, de droite d'approximation, ou demande d'estimer une valeur voisine à partir de la dérivée.
Phrase de conclusion
« Le point de contact est , soit environ , et la pente est . La tangente a donc pour équation . »
Le piège : Calculer le point de contact avec la dérivée au lieu de la fonction. L'erreur est silencieuse : l'équation obtenue est une vraie droite, simplement pas celle qu'on demande.
Barème : 1 point pour , 2 points pour , 1 point pour , 1 point pour l'équation écrite.
Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un calcul de dérivée est suivi de « interpréter », « que signifie », ou « commenter ». C'est-à-dire presque toujours en 201-103.
Phrase de conclusion
« point de pourcentage par année : après deux années de programme, le taux de diplomation augmente d'environ points par année supplémentaire. Comme , cette hausse ralentit. »
Le piège : Écrire « la dérivée vaut , donc ça augmente ». La phrase ne nomme ni la grandeur, ni le moment, ni l'unité : elle ne vaut rien au barème d'interprétation.
Barème : 1 point pour la valeur, 1 point pour les unités, 2 points pour la phrase interprétée.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le signe attendu
Avant de relire le calcul, se demander si la fonction monte ou descend au point considéré. Le signe de la dérivée trouvée doit correspondre.
décroît, donc sa dérivée est négative. Obtenir , qui est positive en , signale l'erreur sans aucun recalcul.
Les unités
Écrire les unités de divisées par celles de , et lire le résultat à voix haute. Si la phrase n'a aucun sens, la chaîne de règles est fausse quelque part.
Des dollars par unité produite se lit bien ; des dollars fois des unités ne se lit pas, et signale une multiplication là où il fallait une division.
La pente lue sur le graphique
Tracer la fonction à la calculatrice et regarder l'inclinaison au point. Une pente visiblement douce ne peut pas valoir .
Une courbe qui gagne à peine une unité en dix signale une dérivée de l'ordre de , pas de .
La différence centrée comme contrôle numérique
Calculer à la calculatrice. Le résultat doit coïncider avec la dérivée trouvée sur deux ou trois décimales.
Pour en , le calcul numérique donne , ce qui confirme .
La cohérence entre et
Relire la phrase d'interprétation et vérifier qu'elle ne dit pas deux choses contradictoires. Une hausse qui ralentit garde .
« Le taux diminue de plus en plus vite » exige ET . Avec , la phrase est fausse quel que soit le calcul.
Le taux de diplomation d'un programme, en pourcentage, est modélisé par , où est le nombre d'années écoulées depuis la réforme, avec .
Calculer , l'interpréter avec ses unités, écrire la tangente en , puis dire si la hausse accélère ou ralentit.
Étape 1
La dernière opération de est une division : c'est la règle du quotient, avec et , donc et .
Pourquoi
Nommer , , et avant d'écrire la formule évite l'inversion du numérateur, qui est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre.
Étape 2
.
Pourquoi
Le numérateur se simplifie entièrement : c'est le signe que la règle a été appliquée dans le bon ordre. Un numérateur qui garde un signale une erreur.
Étape 3
. La dérivée est positive pour tout , donc le taux de diplomation croît sans cesse.
Pourquoi
Le signe se lit directement sur la forme finale, sans calculer : un carré au dénominateur et au numérateur ne changent jamais de signe.
Étape 4
Unités : est en points de pourcentage, en années, donc est en points de pourcentage PAR ANNÉE.
Pourquoi
Les unités se déduisent mécaniquement et servent de contrôle : elles doivent se lire comme une phrase du contexte.
Étape 5
Point de contact : . Tangente : .
Pourquoi
Le point vient de la FONCTION, la pente de la dérivée. Mélanger les deux produit une droite correcte mais fausse pour la question posée.
Étape 6
, donc .
Pourquoi
La dérivée seconde se calcule en réécrivant et en appliquant la chaîne : la puissance descend, et le signe devient négatif.
Étape 7
et : la hausse se poursuit en RALENTISSANT.
Pourquoi
C'est la phrase que le barème cherche, et elle combine les deux signes. Conclure à une baisse à partir de est l'erreur classique.
Étape 8
Taux relatif : , soit environ pour cent par année.
Pourquoi
Le taux relatif rapporte la hausse à son niveau de départ. C'est la lecture attendue en Sciences humaines, parce qu'elle se compare d'un programme à l'autre.
Conclusion rédigée
« point de pourcentage par année : deux ans après la réforme, le taux de diplomation progresse d'environ points par année, soit pour cent de son niveau. La tangente en ce point est , et comme , la progression ralentit. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en dérivant le haut et le bas séparément. Le nombre obtenu est plausible, il est en pourcentage par année, et il est faux d'un facteur neuf.
On regarde la dernière opération qu'on ferait pour calculer la valeur à la calculatrice. Si c'est une addition, on dérive terme à terme. Si c'est une multiplication de deux expressions contenant la variable, c'est la règle du produit. Si c'est une division, celle du quotient. Si c'est une puissance appliquée à toute une expression, c'est la règle de chaîne.
Parce qu'une fonction emboîtée transmet sa variation par étapes. Si l'intérieur varie trois fois plus vite que la variable, toute la construction varie trois fois plus vite aussi. La règle de chaîne multiplie donc la dérivée de la couche extérieure par celle de la couche intérieure, à chaque niveau d'emboîtement.
L'unité de la fonction divisée par l'unité de la variable. Un coût en dollars dérivé par rapport à une quantité donne des dollars par unité. Un taux en pourcentage dérivé par rapport au temps donne des points de pourcentage par année. Ce calcul mécanique sert aussi de contrôle : des unités illisibles signalent une erreur de règle.
Que la variation ralentit, pas que la grandeur baisse. Si la dérivée première est positive et la seconde négative, la grandeur continue d'augmenter mais de moins en moins vite. Si les deux sont négatives, la grandeur baisse et sa baisse s'accélère. Il faut donc toujours lire les deux signes ensemble.
Non, et c'est une question d'examen classique. Dérivable entraîne continue, mais la réciproque est fausse. Un barème d'impôt à tranches est continu partout et pourtant non dérivable aux frontières de tranche, parce que le taux marginal y change brusquement et crée une pointe, donc deux pentes différentes au même endroit.
On utilise la différence centrée : on soustrait la valeur qui précède de celle qui suit, puis on divise par deux fois le pas. C'est plus précis que la différence vers la droite, parce que les erreurs des deux côtés se compensent. Sur une fonction du second degré, cette estimation est même exacte.
