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Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : la dérivée et les règles de dérivation (201-103)

En Sciences humaines, la dérivée n'est presque jamais demandée seule : on demande ce qu'elle VAUT, en quoi elle se mesure, et ce qu'elle raconte sur le phénomène. Une copie qui donne f′(2)=9,44f'(2)=9{,}44 sans écrire « points de pourcentage par année » perd la moitié de la question, même quand le calcul est parfait.

Cette fiche rassemble les neuf erreurs qui reviennent chaque session, les règles avec leur calcul chiffré, les deux rédactions attendues, et le contrôle des unités, qui attrape à lui seul la plupart des dérivations fausses.

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Le fil du chapitre

La dérivée n'est pas une formule, c'est une PENTE avec des unités : tant qu'on n'a pas dit en quoi elle se mesure et de quoi elle est la pente, on n'a pas répondu à la question posée.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 12 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Variation inverse et proportionnalité Secondaire 3
  2. 2 Calculs algébriques Secondaire 5
  3. 3 Les fonctions définies par parties Secondaire 5
  4. 4 La fonction rationnelle, dite homographique Secondaire 5
  5. 5 Les paramètres des fonctions Secondaire 5
  6. 6 Les opérations sur les fonctions Secondaire 5
  7. 7 Les fonctions et leur domaine
  8. 8 Les limites et la continuité

L'essentiel

Deux pentes, deux questions

  • • Taux MOYEN entre aa et bb : f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. C'est la pente de la SÉCANTE, elle résume tout l'intervalle.
  • • Taux INSTANTANÉ en aa : f′(a)f'(a). C'est la pente de la TANGENTE, elle ne décrit que le point.
  • • Définition : f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. L'expression n'est pas définie en h=0h=0, et c'est la limite qui comble le trou.
  • • Sur une fonction du second degré SEULEMENT, le taux moyen sur un intervalle égale le taux instantané au milieu de cet intervalle.
  • • Dans un tableau de données, la meilleure estimation de f′(a)f'(a) est la différence CENTRÉE f(a+h)−f(a−h)2h\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}, pas la différence à droite.
la sécantela tangentetaux moyentaux instantané en aaba
La même courbe, deux pentes : à gauche la droite joint les points aa et bb et résume l'intervalle, à droite elle effleure le seul point aa.

L'énoncé choisit toujours son mot : « en moyenne sur la période » demande la sécante, « au moment où » demande la tangente. Lire le mot avant de calculer évite la moitié des erreurs.

Les unités, et ce que f′′f'' dit vraiment

  • • f′f' se mesure en unité de ff DIVISÉE par unité de xx : des dollars par unité, des points de pourcentage par année, des habitants par kilomètre carré.
  • • f′′f'' se mesure en unité de ff divisée DEUX FOIS par l'unité de xx.
  • • f′>0f'>0 dit que ff monte. f′′<0f''<0 dit que ff monte MOINS VITE qu'avant, pas qu'elle baisse.
  • • « La hausse ralentit » est une phrase sur f′′f''. « La grandeur diminue » est une phrase sur f′f'. Les deux sont indépendantes.
  • • Taux de variation RELATIF : f′(t)f(t)×100\dfrac{f'(t)}{f(t)}\times 100, en pourcentage par unité de temps. Une croissance absolue constante donne un taux relatif DÉCROISSANT.
12345678910102030405060701 année+ 9,44 pointsD(t)t, en annéesD, en %
La pente de la tangente en t=2t=2 se lit sur un triangle : une ANNÉE de plus, 9,449{,}44 POINTS de plus. L'unité de D′D' est donc le point de pourcentage par année, unité de DD divisée par unité de tt.

Le contrôle des unités est le plus rapide du cours : une dérivée dont les unités n'ont pas de sens signale une chaîne de règles ratée, avant même de relire le calcul.

Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse

  • • Une fonction dérivable en aa y est nécessairement continue.
  • • La réciproque est fausse, et c'est elle qui est examinée : une fonction peut être parfaitement continue et n'avoir aucune tangente.
  • • Trois façons de perdre sa dérivée : la POINTE, où les deux pentes diffèrent ; le SAUT, où la fonction n'est même plus continue ; la TANGENTE VERTICALE, où la pente devient infinie.
  • • Un barème à taux marginal est continu partout et non dérivable aux frontières de tranche : le taux marginal EST la pente, et changer de taux crée une pointe.

L'exemple du barème est l'exemple type de l'examen, parce qu'il montre qu'une fonction sans aucun saut peut quand même ne pas être dérivable.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les règles de base, avec un calcul sous chacune

La dernière colonne donne la dérivée. La case rouge marque une règle qui n'existe pas et que la copie écrit pourtant chaque session.

Forme de ffCe qu'on appliquef′f'
5x35x^{3} la puissance 15x215x^{2}

Exemple : En x=2x=2 : f′(2)=15×4=60f'(2)=15\times 4=60.

1x2\dfrac{1}{x^{2}} réécrire x−2x^{-2}, puis la puissance −2x3-\dfrac{2}{x^{3}}

Exemple : En x=2x=2 : f′(2)=−28=−0,25f'(2)=-\dfrac{2}{8}=-0{,}25.

x\sqrt{x} réécrire x1/2x^{1/2} 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Exemple : En x=9x=9 : f′(9)=16≈0,167f'(9)=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167.

uvuv u′v+uv′u'v+uv' la somme des deux termes

Exemple : x2(3x+1)x^{2}(3x+1) a pour dérivée 9x2+2x9x^{2}+2x, qui vaut 4040 en x=2x=2.

uv\dfrac{u}{v} u′v−uv′v2\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} l'ordre est imposé

Exemple : xx+1\dfrac{x}{x+1} a pour dérivée 1(x+1)2\dfrac{1}{(x+1)^{2}}, soit 19≈0,111\dfrac{1}{9}\approx 0{,}111 en x=2x=2.

(uv)′=u′v′(uv)'=u'v' rien du tout n'existe pas règle inexistante

Exemple : Pour x2×x3=x5x^{2}\times x^{3}=x^{5} : la vraie dérivée 5x45x^{4} vaut 8080 en x=2x=2, alors que 2x×3x22x\times 3x^{2} en donnerait 4848.

Ce qu'il faut faire : Appliquer u′v+uv′u'v+uv', ou simplifier le produit avant de dériver quand c'est possible.

Les trois premières lignes disent la même chose : on réécrit en PUISSANCE avant de dériver. C'est le geste qui évite d'inventer une règle pour les fractions et pour les racines.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier la dérivée de la couche intérieure

2 points, et c'est l'erreur numéro un du cours

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=(3x+1)4f(x)=(3x+1)^{4}, donc f′(x)=4(3x+1)3f'(x)=4(3x+1)^{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« f′(x)=4(3x+1)3×3=12(3x+1)3f'(x)=4(3x+1)^{3}\times 3=12(3x+1)^{3} : la règle de chaîne multiplie par la dérivée de l'intérieur. »

0,60,70,80,911,11,21,3100200300400500600700pente 768pente 256(3x + 1)⁴
En x=1x=1, la vraie tangente (vert) a pour pente 4×43×3=7684\times 4^{3}\times 3=768. Sans le facteur 33 de la couche intérieure, on trace une droite de pente 256256 (rouge) qui coupe la courbe au lieu de la toucher.

Pourquoi : Dériver une fonction emboîtée, c'est parcourir les couches de l'extérieur vers l'intérieur en multipliant à chaque étape. Oublier un facteur revient à répondre à une autre question.

2. Inverser l'ordre au numérateur de la règle du quotient

toute la question, puisque la dérivée obtenue est l'opposée de la vraie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« (uv)′=uv′−u′vv2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{uv'-u'v}{v^{2}}. »

Ce qu'il faut écrire

« (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} : le HAUT se dérive en premier. »

123456780,20,40,60,811,2+ 1/9 : juste− 1/9 : ordre inverséx/(x + 1)
Pour f(x)=xx+1f(x)=\frac{x}{x+1}, qui MONTE, la bonne formule donne f′(2)=19>0f'(2)=\frac{1}{9}>0. Le numérateur inversé donne −19-\frac{1}{9} : une tangente descendante sur une courbe qui monte.

Pourquoi : Le signe inversé donne une dérivée qui change de sens : une fonction croissante devient décroissante, et toute l'interprétation qui suit est retournée.

3. Répondre par le taux moyen quand on demande le taux instantané

1 point quand l'estimation est demandée, 3 quand elle ne l'est pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de variation en t=2t=2 est f(3)−f(1)2\dfrac{f(3)-f(1)}{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux de variation en t=2t=2 est f′(2)f'(2). La quantité f(3)−f(1)2\dfrac{f(3)-f(1)}{2} est une ESTIMATION de ce taux, la différence centrée, et elle n'est exacte que sur une parabole. »

Pourquoi : L'énoncé distingue toujours les deux : « en moyenne sur la période » appelle la sécante, « au moment où » appelle la tangente. Le mot est dans la question.

4. Lire f′′<0f''<0 comme une baisse

2 points d'interprétation, et c'est la question de raisonnement du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La dérivée seconde est négative, donc le taux de diplomation diminue. »

Ce qu'il faut écrire

« f′(2)=9,44>0f'(2)=9{,}44>0 et f′′(2)=−3,15<0f''(2)=-3{,}15<0 : le taux de diplomation AUGMENTE encore, mais de moins en moins vite. »

monte en ralentissantdescend vraimentf' > 0 et f'' < 0f' < 0
Les deux courbes ont une dérivée seconde négative et ne racontent pas la même histoire : celle de gauche monte encore, elle monte seulement de moins en moins vite.

Pourquoi : f′f' dit le sens, f′′f'' dit si le mouvement s'accélère ou ralentit. Les deux sont indépendants, et une hausse qui ralentit reste une hausse.

5. Chercher l'ordonnée à l'origine pour écrire une tangente

1 point, et deux minutes perdues par question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La pente est 9,449{,}44, donc la tangente est y=9,44x+by=9{,}44x+b, et je cherche bb. »

Ce qu'il faut écrire

« y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a), donc y=28,33+9,44(t−2)y=28{,}33+9{,}44(t-2). La forme point-pente donne directement l'équation, sans chercher bb. »

Pourquoi : La forme point-pente est faite pour cela : elle contient le point et la pente, les deux seules informations qu'on a. Développer pour trouver bb ajoute une occasion de se tromper de signe.

6. Donner une dérivée sans ses unités

la moitié de la question en Sciences humaines, où l'interprétation est notée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′(2)=9,44f'(2)=9{,}44. »

Ce qu'il faut écrire

« f′(2)≈9,44f'(2)\approx 9{,}44 point de pourcentage par année : après deux ans, le taux de diplomation progresse d'environ 9,49{,}4 points par année supplémentaire. »

Pourquoi : En Sciences humaines, le nombre seul ne prouve rien. Les unités se déduisent mécaniquement, unité de ff divisée par unité de xx, et elles servent aussi de contrôle du calcul.

7. Croire qu'une fonction continue est dérivable

2 points, et c'est la question théorique la plus posée du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le barème d'impôt est continu, donc il est dérivable partout. »

Ce qu'il faut écrire

« Le barème est continu partout, mais non dérivable aux frontières de tranche : le taux marginal y change, donc la pente saute, et il y a une pointe. »

une pointeun sauttangente verticalecontinuediscontinuecontinue
Deux des trois fonctions sont continues et aucune des trois n'est dérivable au point marqué : la continuité ne suffit jamais à garantir une tangente.

Pourquoi : L'implication ne marche que dans un sens. Dérivable entraîne continue ; continue n'entraîne rien, et le barème en est le contre-exemple officiel.

8. Confondre croissance absolue et croissance relative

2 points d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population augmente de 200200 habitants par an, donc son taux de croissance est constant. »

Ce qu'il faut écrire

« L'augmentation ABSOLUE est constante à 200200 habitants par an, mais le taux RELATIF f′(t)f(t)\dfrac{f'(t)}{f(t)} diminue, puisque le dénominateur grandit. »

tf(t)+ 200 par anttaux relatif4 %2,2 %
À gauche, la même hausse de 200200 habitants chaque année : une droite. À droite, ce que pèse cette hausse : 4 %4\,\% de 5 0005\,000 au départ, 2,2 %2{,}2\,\% de 9 0009\,000 vingt ans plus tard.

Pourquoi : Un même gain pèse de moins en moins lourd sur une base qui grandit. C'est exactement pourquoi les Sciences humaines raisonnent en pourcentage plutôt qu'en unités.

9. Dériver le haut et le bas séparément, ou le dénominateur seul

2 points, et une dérivée de signe faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=1x2f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, donc f′(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2x}. »

Ce qu'il faut écrire

« On réécrit f(x)=x−2f(x)=x^{-2}, puis la règle de la puissance donne f′(x)=−2x−3=−2x3f'(x)=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}. »

0,511,522,533,54−0,50,511,522,5pente −0,25pente 1/(2x) = + 0,25y = 1/x²
La courbe de 1x2\frac{1}{x^{2}} descend : sa tangente en x=2x=2 (vert) a une pente NÉGATIVE, −0,25-0{,}25. Le calcul faux 12x\frac{1}{2x} donne +0,25+0{,}25, une droite qui monte : le signe seul suffisait à le rejeter.

Pourquoi : Écrire en puissance avant de dériver supprime le besoin d'une règle pour les fractions. La dérivée doit d'ailleurs être NÉGATIVE, puisque la fonction décroît.

Quelle méthode choisir

Quelle règle, selon la DERNIÈRE opération de l'expression

On ne regarde pas le thème, on regarde l'opération qu'on ferait en dernier si on calculait la valeur à la calculatrice. C'est elle qui nomme la règle.

  • Si en dernier, une addition ou une soustraction → dériver terme à terme, indépendamment

    Exemple : 3x2−5x+73x^{2}-5x+7 donne 6x−56x-5

  • Si en dernier, une multiplication de deux expressions en xx → la règle du produit, u′v+uv′u'v+uv'

    Exemple : x2(3x+1)x^{2}(3x+1) donne 9x2+2x9x^{2}+2x

    si le produit se développe facilement, développer d'abord va souvent plus vite

  • Si en dernier, une division → la règle du quotient, u′v−uv′v2\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, dans cet ordre

    Exemple : 85tt+4\dfrac{85t}{t+4} donne 340(t+4)2\dfrac{340}{(t+4)^{2}}

  • Si en dernier, une puissance appliquée à TOUTE une expression → la règle de chaîne : puissance, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur

    Exemple : (3x+1)4(3x+1)^{4} donne 12(3x+1)312(3x+1)^{3}

  • Si une constante multiplie toute l'expression → la sortir, elle ne se dérive pas

    Exemple : 7x7\sqrt{x} donne 72x\dfrac{7}{2\sqrt{x}}

  • Si une fraction sans xx au dénominateur, ou une racine seule → réécrire en PUISSANCE avant toute chose

    Exemple : 1x2\dfrac{1}{x^{2}} devient x−2x^{-2}, puis −2x−3-2x^{-3}

Si plusieurs branches semblent s'appliquer, c'est qu'il y a plusieurs couches : on commence par la dernière opération et on redescend. Aucune règle ne se saute, elles s'emboîtent.

Quelle quantité calculer, selon le verbe de l'énoncé

Le vocabulaire des Sciences humaines est stable : chaque formulation appelle une quantité précise, et une seule.

  • Si « en moyenne entre telle et telle année » → taux moyen, donc la sécante f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

    Exemple : entre 2020 et 2026, la variation annuelle moyenne

  • Si « au moment où », « à l'instant », « en telle année » → taux instantané, donc f′(a)f'(a), avec ses unités

    Exemple : la vitesse de progression en 2026

  • Si « de combien de pour cent par année » → taux relatif f′(t)f(t)×100\dfrac{f'(t)}{f(t)}\times 100

    Exemple : une hausse de 9,449{,}44 sur une base de 28,3328{,}33 fait 33,333{,}3 pour cent

  • Si « la hausse ralentit-elle », « le phénomène s'essouffle » → signe de f′′f'', sans changer la conclusion sur f′f'

    Exemple : f′>0f'>0 et f′′<0f''<0 : la hausse continue en ralentissant

  • Si « estimer la dérivée à partir du tableau » → différence CENTRÉE f(a+h)−f(a−h)2h\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}

    Exemple : avec h=1h=1 : f(3)−f(1)2\dfrac{f(3)-f(1)}{2}

  • Si « droite tangente », « approximation linéaire » → y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a), en forme point-pente

    Exemple : y=28,33+9,44(t−2)y=28{,}33+9{,}44(t-2)

Un énoncé qui demande « la variation » sans autre précision demande presque toujours le taux instantané au cégep. En cas de doute réel, calculer les deux et dire lequel répond à la question.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Écrire l'équation d'une tangente

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé parle de tangente, de droite d'approximation, ou demande d'estimer une valeur voisine à partir de la dérivée.

  1. 1 Calculer f(a)f(a) : c'est le point de contact, et il se calcule avec la fonction, pas avec la dérivée.
  2. 2 Calculer f′(x)f'(x), puis f′(a)f'(a) : c'est la pente.
  3. 3 Écrire directement la forme point-pente y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a), sans chercher l'ordonnée à l'origine.
  4. 4 Développer SEULEMENT si l'énoncé le demande.
  5. 5 Interpréter la pente dans les unités du contexte.

Phrase de conclusion

« Le point de contact est (2 ;1706)\left(2\,;\dfrac{170}{6}\right), soit environ (2 ;28,33)(2\,;28{,}33), et la pente est D′(2)=34036≈9,44D'(2)=\dfrac{340}{36}\approx 9{,}44. La tangente a donc pour équation y=28,33+9,44(t−2)y=28{,}33+9{,}44(t-2). »

Le piège : Calculer le point de contact avec la dérivée au lieu de la fonction. L'erreur est silencieuse : l'équation obtenue est une vraie droite, simplement pas celle qu'on demande.

Barème : 1 point pour f(a)f(a), 2 points pour f′(x)f'(x), 1 point pour f′(a)f'(a), 1 point pour l'équation écrite.

Interpréter une dérivée en contexte

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un calcul de dérivée est suivi de « interpréter », « que signifie », ou « commenter ». C'est-à-dire presque toujours en 201-103.

  1. 1 Donner la valeur numérique arrondie, avec le bon nombre de décimales.
  2. 2 Donner les UNITÉS, obtenues en divisant l'unité de ff par celle de xx.
  3. 3 Écrire une phrase complète qui nomme la grandeur, le moment et le sens de variation.
  4. 4 Ajouter le signe de f′′f'' quand l'énoncé parle d'accélération ou de ralentissement.
  5. 5 Terminer par une réserve de validité quand le modèle est un ajustement de données.

Phrase de conclusion

« D′(2)≈9,44D'(2)\approx 9{,}44 point de pourcentage par année : après deux années de programme, le taux de diplomation augmente d'environ 9,49{,}4 points par année supplémentaire. Comme D′′(2)≈−3,15<0D''(2)\approx -3{,}15<0, cette hausse ralentit. »

Le piège : Écrire « la dérivée vaut 9,449{,}44, donc ça augmente ». La phrase ne nomme ni la grandeur, ni le moment, ni l'unité : elle ne vaut rien au barème d'interprétation.

Barème : 1 point pour la valeur, 1 point pour les unités, 2 points pour la phrase interprétée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Le taux de diplomation : dérivée, tangente, unités et taux relatif

Le taux de diplomation d'un programme, en pourcentage, est modélisé par D(t)=85tt+4D(t)=\dfrac{85t}{t+4}, où tt est le nombre d'années écoulées depuis la réforme, avec t≥0t\ge 0.

Calculer D′(2)D'(2), l'interpréter avec ses unités, écrire la tangente en t=2t=2, puis dire si la hausse accélère ou ralentit.

24681012141618201020304050607080D(t) = 85t / (t + 4)t, en annéesD(t), en %
Le taux de diplomation D(t)=85tt+4D(t)=\frac{85t}{t+4} sur ses vingt premières années : c'est sur cette courbe que se placent le point d'abscisse t=2t=2 et sa tangente.

Étape 1

La dernière opération de 85tt+4\dfrac{85t}{t+4} est une division : c'est la règle du quotient, avec u=85tu=85t et v=t+4v=t+4, donc u′=85u'=85 et v′=1v'=1.

Pourquoi

Nommer uu, vv, u′u' et v′v' avant d'écrire la formule évite l'inversion du numérateur, qui est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre.

Étape 2

D′(t)=85(t+4)−85t×1(t+4)2=85t+340−85t(t+4)2=340(t+4)2D'(t)=\dfrac{85(t+4)-85t\times 1}{(t+4)^{2}}=\dfrac{85t+340-85t}{(t+4)^{2}}=\dfrac{340}{(t+4)^{2}}.

Pourquoi

Le numérateur se simplifie entièrement : c'est le signe que la règle a été appliquée dans le bon ordre. Un numérateur qui garde un tt signale une erreur.

Étape 3

D′(2)=34036≈9,44D'(2)=\dfrac{340}{36}\approx 9{,}44. La dérivée est positive pour tout tt, donc le taux de diplomation croît sans cesse.

Pourquoi

Le signe se lit directement sur la forme finale, sans calculer : un carré au dénominateur et 340340 au numérateur ne changent jamais de signe.

Étape 4

Unités : DD est en points de pourcentage, tt en années, donc D′D' est en points de pourcentage PAR ANNÉE.

Pourquoi

Les unités se déduisent mécaniquement et servent de contrôle : elles doivent se lire comme une phrase du contexte.

Étape 5

Point de contact : D(2)=1706≈28,33D(2)=\dfrac{170}{6}\approx 28{,}33. Tangente : y=28,33+9,44(t−2)y=28{,}33+9{,}44(t-2).

Pourquoi

Le point vient de la FONCTION, la pente de la dérivée. Mélanger les deux produit une droite correcte mais fausse pour la question posée.

Étape 6

D′′(t)=−680(t+4)3D''(t)=-\dfrac{680}{(t+4)^{3}}, donc D′′(2)=−680216≈−3,15D''(2)=-\dfrac{680}{216}\approx -3{,}15.

Pourquoi

La dérivée seconde se calcule en réécrivant D′(t)=340(t+4)−2D'(t)=340(t+4)^{-2} et en appliquant la chaîne : la puissance descend, et le signe devient négatif.

Étape 7

D′(2)>0D'(2)>0 et D′′(2)<0D''(2)<0 : la hausse se poursuit en RALENTISSANT.

Pourquoi

C'est la phrase que le barème cherche, et elle combine les deux signes. Conclure à une baisse à partir de D′′<0D''<0 est l'erreur classique.

Étape 8

Taux relatif : D′(2)D(2)=340/36170/6=13\dfrac{D'(2)}{D(2)}=\dfrac{340/36}{170/6}=\dfrac{1}{3}, soit environ 33,333{,}3 pour cent par année.

Pourquoi

Le taux relatif rapporte la hausse à son niveau de départ. C'est la lecture attendue en Sciences humaines, parce qu'elle se compare d'un programme à l'autre.

Conclusion rédigée

« D′(2)=34036≈9,44D'(2)=\dfrac{340}{36}\approx 9{,}44 point de pourcentage par année : deux ans après la réforme, le taux de diplomation progresse d'environ 9,49{,}4 points par année, soit 33,333{,}3 pour cent de son niveau. La tangente en ce point est y=28,33+9,44(t−2)y=28{,}33+9{,}44(t-2), et comme D′′(2)≈−3,15<0D''(2)\approx -3{,}15<0, la progression ralentit. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire D′(t)=851=85D'(t)=\dfrac{85}{1}=85 en dérivant le haut et le bas séparément. Le nombre obtenu est plausible, il est en pourcentage par année, et il est faux d'un facteur neuf.

À savoir par cœur

  • • Taux MOYEN entre aa et bb : pente de la sécante. Taux INSTANTANÉ en aa : f′(a)f'(a), pente de la tangente.
  • • Produit : u′v+uv′u'v+uv'. Quotient : u′v−uv′v2\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, le HAUT se dérive en premier.
  • • Chaîne : dériver l'extérieur, PUIS multiplier par la dérivée de l'intérieur. Jamais l'un sans l'autre.
  • • Réécrire en puissance avant de dériver : 1x2=x−2\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2} et x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}.
  • • Tangente : y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a). Le point vient de ff, la pente de f′f'.
  • • f′f' se mesure en unité de ff par unité de xx. Une dérivée sans unité est une réponse incomplète.
  • • f′′<0f''<0 veut dire « monte moins vite » ou « baisse plus vite », jamais « baisse » tout court.
  • • DÉRIVABLE entraîne CONTINUE. La réciproque est fausse : pointe, saut, tangente verticale.

Questions fréquentes

Comment savoir quelle règle de dérivation appliquer ?

On regarde la dernière opération qu'on ferait pour calculer la valeur à la calculatrice. Si c'est une addition, on dérive terme à terme. Si c'est une multiplication de deux expressions contenant la variable, c'est la règle du produit. Si c'est une division, celle du quotient. Si c'est une puissance appliquée à toute une expression, c'est la règle de chaîne.

Pourquoi faut-il multiplier par la dérivée de l'intérieur ?

Parce qu'une fonction emboîtée transmet sa variation par étapes. Si l'intérieur varie trois fois plus vite que la variable, toute la construction varie trois fois plus vite aussi. La règle de chaîne multiplie donc la dérivée de la couche extérieure par celle de la couche intérieure, à chaque niveau d'emboîtement.

Quelles sont les unités d'une dérivée ?

L'unité de la fonction divisée par l'unité de la variable. Un coût en dollars dérivé par rapport à une quantité donne des dollars par unité. Un taux en pourcentage dérivé par rapport au temps donne des points de pourcentage par année. Ce calcul mécanique sert aussi de contrôle : des unités illisibles signalent une erreur de règle.

Que veut dire une dérivée seconde négative ?

Que la variation ralentit, pas que la grandeur baisse. Si la dérivée première est positive et la seconde négative, la grandeur continue d'augmenter mais de moins en moins vite. Si les deux sont négatives, la grandeur baisse et sa baisse s'accélère. Il faut donc toujours lire les deux signes ensemble.

Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Non, et c'est une question d'examen classique. Dérivable entraîne continue, mais la réciproque est fausse. Un barème d'impôt à tranches est continu partout et pourtant non dérivable aux frontières de tranche, parce que le taux marginal y change brusquement et crée une pointe, donc deux pentes différentes au même endroit.

Comment estimer une dérivée à partir d'un tableau de données ?

On utilise la différence centrée : on soustrait la valeur qui précède de celle qui suit, puis on divise par deux fois le pas. C'est plus précis que la différence vers la droite, parce que les erreurs des deux côtés se compensent. Sur une fonction du second degré, cette estimation est même exacte.

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Exercices corrigés : La dérivée et les règles de dérivation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sh103-derivee-regles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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