Exercices corrigés : la différentielle et l'approximation (201-103)

$f'(x)=3x^{2}-2$, donc $f'(2)=10$ et $dy=10\times 0{,}5=5$. Piège : confondre $dy$ avec l'accroissement réel, $\Delta y=f(2{,}5)-f(2)=10{,}625-4=6{,}625$ ; la différentielle n'en est qu'une estimation.

$f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}$, donc $f'(36)=\frac{3}{6}=0{,}5$ et $dy=0{,}5\times 3=1{,}5$.

$f'(x)=-\frac{200}{x^{2}}$, donc $f'(20)=-\frac{200}{400}=-0{,}5$ et $dy=-0{,}5\times(-0{,}4)=0{,}2$. Piège : le signe. $x$ DIMINUE et $\frac{200}{x}$ est décroissante, donc $y$ AUGMENTE : $dy$ est positif.

$f(x)=\sqrt{x}$, $a=64$, $dx=-1$ : $f'(64)=\frac{1}{2\times 8}=\frac{1}{16}$, donc $\sqrt{63}\approx 8-\frac{1}{16}=7{,}9375$. La calculatrice donne $7{,}9373$ : l'estimation dépasse de deux dix-millièmes, parce que la tangente passe au-dessus d'une courbe concave. Piège : partir de $49$, beaucoup plus loin, ce qui donne $7+\frac{14}{14}=8$.

$f(x)=\sqrt[3]{x}$, $a=27$, $dx=1$ : $f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$, donc $f'(27)=\frac{1}{3\times 9}=\frac{1}{27}$ et $\sqrt[3]{28}\approx 3+\frac{1}{27}\approx 3{,}0370$. La calculatrice donne $3{,}0366$.

$f(x)=\frac{1}{x}$, $a=4$, $dx=0{,}02$ : $f'(4)=-\frac{1}{16}$, donc $\frac{1}{4{,}02}\approx 0{,}25-\frac{0{,}02}{16}=0{,}25-0{,}00125=0{,}24875$. Piège : oublier le signe moins de la dérivée de $\frac{1}{x}$ et AJOUTER $0{,}00125$, alors que diviser par un nombre plus grand donne moins.

$f(x)=x^{5}$, $a=2$, $dx=-0{,}02$ : $f'(2)=5\times 2^{4}=80$, donc $(1{,}98)^{5}\approx 32+80\times(-0{,}02)=32-1{,}6=30{,}4$. La valeur exacte est $30{,}4316$ : l'écart vient de la courbure, qui reste petite parce que $dx$ l'est.

Pour $y=x^{n}$, $dy=nx^{n-1}dx$, donc $\frac{dy}{y}=n\,\frac{dx}{x}$ : l'exposant multiplie l'erreur relative. Pour $y=x^{3}$ : $3\times 2=6$ %. Pour $y=x^{-\frac{1}{2}}$ : $\left|-\frac{1}{2}\right|\times 4=2$ %. Piège : garder le signe de l'exposant, alors qu'une marge d'erreur s'exprime en valeur absolue.

$\ln y=\ln u+2\ln v$, donc $\frac{dy}{y}=\frac{du}{u}+2\frac{dv}{v}$. Dans le pire cas : $0{,}8+2\times 1{,}2=3{,}2$ %. Piège : oublier l'exposant de $v$ et trouver $2$ %.

$\frac{dy}{y}=\frac{du}{u}-\frac{dv}{v}$. Dans le pire cas les deux erreurs vont en sens contraires, donc la marge est $2+0{,}6=2{,}6$ %. Piège : soustraire les marges et annoncer $1{,}4$ %, ce qui suppose que les deux erreurs se compensent toujours.

$U(900)=140\sqrt{900}=140\times 30=4\,200$ usagers. En écrivant $U(b)=140\,b^{1/2}$ : $U'(b)=70\,b^{-1/2}=\dfrac{70}{\sqrt{b}}$, donc $U'(900)=\dfrac{70}{30}\approx 2{,}333$ usagers par millier de dollars.

Avec $db=40$ : $dU=2{,}333\times 40\approx 93{,}33$ usagers. L'accroissement réel vaut $\Delta U=U(940)-U(900)=140\sqrt{940}-4\,200=140\times 30{,}659\,4-4\,200\approx 4\,292{,}32-4\,200=92{,}32$ usagers. La différentielle est la variation le long de la TANGENTE, l'accroissement réel est la variation le long de la COURBE ; la figure montre l'écart entre les deux.

L'erreur vaut $93{,}33-92{,}32\approx 1{,}01$ usager, soit environ $1{,}1$ % de l'accroissement réel. Sur une décision budgétaire, se tromper d'un usager sur quatre-vingt-douze est parfaitement acceptable : c'est ce qui justifie l'emploi de la différentielle plutôt que du calcul exact.

Avec $db=100$ : $dU=2{,}333\times 100\approx 233{,}33$, alors que $\Delta U=140\sqrt{1\,000}-4\,200\approx 4\,427{,}19-4\,200=227{,}19$. L'erreur passe à $6{,}14$ usagers, soit environ six fois l'erreur précédente pour un pas seulement deux fois et demie plus grand. Ce n'est pas une coïncidence : l'erreur de l'approximation linéaire croît comme le CARRÉ du pas, et $2{,}5^{2}=6{,}25$, ce qui colle.

Elle SURESTIME, dans les deux cas. La raison est la concavité : $U''(b)=-35\,b^{-3/2}<0$, donc la courbe est concave vers le bas et se situe EN DESSOUS de sa tangente. La règle générale est simple à retenir et vaut pour tout le chapitre : si $f''<0$, la tangente passe au-dessus et la différentielle surestime ; si $f''>0$, la tangente passe en dessous et la différentielle sous-estime. Pour un budget, cela veut dire que l'estimation linéaire est toujours un peu optimiste sur le nombre d'usagers gagnés.

$D(8)=71{,}2+8-0{,}05\times 64=71{,}2+8-3{,}2=76{,}0$ et $D'(t)=1-0{,}1t$, donc $D'(8)=0{,}2$. La linéarisation est $L(t)=D(8)+D'(8)(t-8)=76+0{,}2\,(t-8)$. C'est exactement l'équation de la tangente, et c'est la phrase « au rythme actuel de $0{,}2$ point par année » écrite en symboles.

$L(9)=76+0{,}2=76{,}2$ %. La valeur exacte vaut $D(9)=71{,}2+9-0{,}05\times 81=71{,}2+9-4{,}05=76{,}15$ %. L'erreur est de $0{,}05$ point, négligeable devant la précision d'une statistique de diplomation.

$L(12)=76+0{,}2\times 4=76{,}8$ %. La valeur exacte vaut $D(12)=71{,}2+12-0{,}05\times 144=71{,}2+12-7{,}2=76{,}0$ %. L'erreur est de $0{,}8$ point, seize fois plus grande, et elle est cette fois du même ordre que les variations que l'on cherche à mesurer : la prévision est inutilisable.

Parce que l'erreur d'une approximation linéaire croît comme le CARRÉ du pas. Ici le pas passe de 1 à 4 années, donc l'erreur est multipliée par $4^{2}=16$. On peut le vérifier exactement sur une parabole : l'écart entre $D$ et sa tangente en 8 vaut $-0{,}05\,(t-8)^{2}$, soit $-0{,}05$ pour $t=9$ et $-0{,}80$ pour $t=12$. Sur une fonction du second degré, l'erreur de linéarisation est donc connue à l'avance, ce qui n'est pas le cas en général.

Non, jamais. Une droite de pente $0{,}2$ est strictement croissante, donc $L$ n'a ni maximum ni changement de sens : elle annonce un taux de diplomation qui monte indéfiniment, ce qui est faux dès $t=10$ et absurde bien au-delà : elle atteint 79 % à $t=24$ et finirait par dépasser 100 %. Une linéarisation ne peut pas voir ce que la COURBURE porte, c'est-à-dire ni un maximum, ni un plafond, ni un retournement. C'est le prix de sa simplicité, et c'est pourquoi toute phrase du type « au rythme actuel, dans quinze ans » doit être lue comme une extrapolation, au même titre que celles du premier chapitre.

En dérivant logarithmiquement, $\dfrac{dR}{R}=\dfrac{dp}{p}+\dfrac{dq}{q}$. Les deux erreurs pouvant être de n'importe quel signe, le PIRE CAS additionne leurs valeurs absolues : $\left|\dfrac{dR}{R}\right|\le 1{,}5+2{,}5=4$ %. Il faut lire « au pire » et non « en moyenne » : si les deux erreurs sont de signes contraires elles se compensent partiellement, mais on ne peut pas compter dessus.

$\dfrac{d(Y/P)}{Y/P}=\dfrac{dY}{Y}-\dfrac{dP}{P}$, et le pire cas additionne encore les valeurs absolues : $1+0{,}5=1{,}5$ %. Le signe moins de la formule ne réduit pas la marge, parce qu'une erreur négative sur $P$ combinée à une erreur positive sur $Y$ produit précisément le cumul.

$\dfrac{dA}{A}=2\,\dfrac{dr}{r}$, l'exposant 2 sortant par la dérivation logarithmique. La marge vaut donc $2\times 3=6$ %. Une puissance MULTIPLIE l'erreur relative par son exposant, ce qui est la raison pour laquelle on ne mesure jamais une aire ou un volume en mesurant seulement une longueur, quand on peut faire autrement.

$R=24\times 540=12\,960$ dollars, et la marge vaut $4$ % de ce montant, soit $0{,}04\times 12\,960\approx 518$ dollars. On écrira donc « $12\,960$ dollars, à $518$ dollars près », et l'on se gardera de commenter un écart de 200 dollars d'un mois à l'autre.

Non. Ce sont les TAUX DE VARIATION qui se soustraient, parce qu'ils ont un signe connu ; les INCERTITUDES, elles, n'ont pas de signe, donc leurs valeurs absolues s'additionnent. La différence est fondamentale et se dit en une phrase : pour une vitesse, $\dfrac{x'}{x}-\dfrac{y'}{y}$ ; pour une incertitude, $\left|\dfrac{dx}{x}\right|+\left|\dfrac{dy}{y}\right|$. Confondre les deux conduit à annoncer une précision que l'on n'a pas, ce qui est la faute la plus grave d'un rapport quantitatif.

$(1{,}04)^{5}\approx 1{,}216\,653$, donc $V(0{,}04)=\dfrac{1\,000}{1{,}216\,653}\approx 821{,}93$ dollars.

On écrit $V(r)=1\,000\,(1+r)^{-5}$, donc $V'(r)=-5\,000\,(1+r)^{-6}=\dfrac{-5\,000}{(1+r)^{6}}$. En $r=0{,}04$ : $(1{,}04)^{6}\approx 1{,}265\,319$, donc $V'(0{,}04)\approx -3\,951{,}6$ dollars par unité de taux. L'unité est déroutante et il faut la lire correctement : une hausse d'UN POINT entier de taux, c'est-à-dire $dr=0{,}01$, ferait perdre environ 39,52 dollars.

Avec $dr=0{,}002\,5$ : $dV=-3\,951{,}6\times 0{,}002\,5\approx -9{,}88$ dollars. La valeur exacte vaut $V(0{,}042\,5)=\dfrac{1\,000}{(1{,}042\,5)^{5}}\approx 812{,}12$ dollars, soit une baisse réelle de $9{,}81$ dollar. L'estimation se trompe de 7 cents sur près de dix dollars, ce qui est amplement suffisant pour une salle de marché comme pour un examen.

$\dfrac{V'(r)}{V(r)}=\dfrac{-5\,000\,(1+r)^{-6}}{1\,000\,(1+r)^{-5}}=\dfrac{-5}{1+r}$, soit $\dfrac{-5}{1{,}04}\approx -4{,}808$ par unité de taux. Pour $dr=0{,}002\,5$ : $-4{,}808\times 0{,}002\,5\approx -0{,}012\,02$, c'est-à-dire $-1{,}20$ %. On retrouve bien $-0{,}012\,02\times 821{,}93\approx -9{,}88$ dollars. Le nombre 5 qui apparaît au numérateur est l'ÉCHÉANCE du placement : plus l'échéance est lointaine, plus la valeur est sensible au taux, ce que les gestionnaires appellent la duration.

Parce qu'un placement déjà émis promet un montant FIXE : si les taux montent, le même montant peut désormais s'obtenir en plaçant moins d'argent aujourd'hui, donc le droit à ce montant vaut moins cher. La valeur actualisée et le taux varient toujours en sens contraires, et le calcul le dit par le signe négatif de $V'$, sans qu'aucune interprétation financière ne soit nécessaire.

$W(0{,}80)=\dfrac{0{,}80}{0{,}20}=4$ durées de service. $W'(\rho)=\dfrac{1}{(1-\rho)^{2}}$, donc $W'(0{,}80)=\dfrac{1}{0{,}04}=25$. La linéarisation est $L(\rho)=4+25\,(\rho-0{,}80)$.

$L(0{,}85)=4+25\times 0{,}05=5{,}25$, alors que $W(0{,}85)=\dfrac{0{,}85}{0{,}15}\approx 5{,}667$. L'erreur vaut $0{,}417$, soit environ $7{,}4$ % de la valeur exacte. Déjà, sur cinq points de pourcentage, l'approximation perd de sa valeur.

$L(0{,}90)=4+2{,}5=6{,}5$ contre $W(0{,}90)=9$ : erreur de $2{,}5$, soit $28$ %. $L(0{,}95)=4+3{,}75=7{,}75$ contre $W(0{,}95)=19$ : erreur de $11{,}25$, soit $59$ %. L'approximation ne se dégrade pas, elle s'effondre : elle annonce huit durées de service là où il y en aura dix-neuf.

$W'(\rho)=(1-\rho)^{-2}$, donc $W''(\rho)=2\,(1-\rho)^{-3}=\dfrac{2}{(1-\rho)^{3}}$, et $W''(0{,}80)=\dfrac{2}{0{,}008}=250$. Cette valeur énorme annonce précisément ce que la question c) constate : l'erreur de linéarisation vaut environ $\dfrac{1}{2}W''\,(\Delta\rho)^{2}$, soit $125\times 0{,}05^{2}=0{,}31$ pour le premier pas, du bon ordre de grandeur. Pour le dernier pas, l'estimation elle-même échoue, parce que $W''$ n'est plus constante sur l'intervalle : on s'approche de l'asymptote.

Il annonce $7{,}75$ durées de service au lieu de 19, donc il se trompe de plus de onze, et il se trompe PAR DÉFAUT : la courbe est convexe, $W''>0$, donc elle passe au-dessus de sa tangente. C'est le sens d'erreur le plus dangereux pour un service public, celui qui rassure : le gestionnaire prévoit une file deux fois et demie plus courte qu'elle ne sera. La règle à retenir tient en une phrase : près d'une asymptote, toute phrase commençant par « au rythme actuel » est fausse, et elle est fausse du côté optimiste.

$u=\dfrac{24\,800}{412\,000}\approx 0{,}060\,194$, soit $6{,}019$ %.

$du=\dfrac{dU\,A-U\,dA}{A^{2}}=\dfrac{dU}{A}-\dfrac{U\,dA}{A^{2}}$. Les deux erreurs sont de signe inconnu, donc le pire cas additionne les valeurs absolues : $|du|\le \dfrac{|dU|}{A}+\dfrac{U\,|dA|}{A^{2}}$. C'est encore la règle du chapitre : pour un quotient, les taux de variation se soustraient, les INCERTITUDES s'additionnent.

$\dfrac{400}{412\,000}\approx 0{,}000\,971$ et $\dfrac{24\,800\times 2\,000}{412\,000^{2}}=\dfrac{49\,600\,000}{169\,744\,000\,000}\approx 0{,}000\,292$. La somme vaut environ $0{,}001\,263$, soit $0{,}126$ point de pourcentage. Le taux doit donc s'écrire $6{,}019$ % à $0{,}126$ point près, c'est-à-dire quelque part entre $5{,}893$ % et $6{,}145$ %.

Non, ou du moins pas telle quelle. La baisse annoncée, $0{,}175$ point, est du même ORDRE DE GRANDEUR que la marge d'un seul relevé, $0{,}126$ point. Or une variation compare DEUX relevés, chacun portant sa propre marge : l'incertitude sur la différence est donc plus grande encore, de l'ordre de $0{,}25$ point dans le pire cas. La baisse observée est parfaitement compatible avec une absence de variation, et titrer sur le recul du chômage n'est pas soutenu par les nombres.

La règle tient en une phrase : on ne commente jamais une variation inférieure à la marge d'incertitude. Elle a deux conséquences pratiques. D'abord, tout taux publié doit l'être avec sa marge, faute de quoi le lecteur ne peut rien en faire. Ensuite, une variation qui tombe sous la marge ne doit pas être dite nulle, ce qui serait une autre affirmation non soutenue, mais NON MESURABLE par l'enquête telle qu'elle a été conduite. Augmenter la taille de l'échantillon est alors le seul moyen de trancher, et l'exercice 7 montre comment fixer la précision à exiger.

Par dérivation logarithmique, $\dfrac{dB}{B}=\dfrac{dc}{c}+\dfrac{dn}{n}$. Dans le pire cas, $\left|\dfrac{dB}{B}\right|\le\left|\dfrac{dc}{c}\right|+\left|\dfrac{dn}{n}\right|$, donc la condition est que la SOMME des deux précisions relatives ne dépasse pas 1 %.

$\left|\dfrac{dn}{n}\right|\le 1-0{,}4=0{,}6$ %. Le budget de précision, si l'on peut dire, se partage : chaque dixième de point consenti au coût unitaire est retiré à l'effectif.

$0{,}006\times 12\,400=74{,}4$, donc il faut connaître l'effectif à 74 personnes près. C'est une contrainte d'enquête concrète, qui se traduit en taille d'échantillon ou en qualité de fichier administratif.

Avec l'exposant $1{,}2$ : $\dfrac{dB}{B}=\dfrac{dc}{c}+1{,}2\,\dfrac{dn}{n}$. La condition devient $1{,}2\left|\dfrac{dn}{n}\right|\le 0{,}6$ %, donc $\left|\dfrac{dn}{n}\right|\le 0{,}5$ %, ce qui fait $0{,}005\times 12\,400=62$ personnes. L'exposant supérieur à 1 AMPLIFIE l'erreur sur l'effectif, donc il resserre l'exigence.

Sur celle dont le COEFFICIENT est le plus grand dans la somme des erreurs relatives, ici l'effectif, qui pèse $1{,}2$ contre 1 pour le coût unitaire. La règle générale, valable pour $B=c^{\alpha}n^{\beta}$, est que la contribution de chaque donnée à l'erreur du résultat vaut son exposant multiplié par sa propre précision relative. Il faut noter que cette règle ne parle jamais de la TAILLE des grandeurs : que le coût unitaire vaille 12 dollars ou 12 000, il pèse dans l'erreur exactement autant que son exposant le dit. Concentrer l'effort de mesure sur le gros nombre plutôt que sur l'exposant élevé est l'erreur de méthode la plus fréquente dans un devis de recherche.

FAUX. $dy=f'(a)\,dx$ est la variation le long de la TANGENTE, alors que $\Delta y=f(a+dx)-f(a)$ est la variation le long de la COURBE. Les deux ne coïncident que si $f$ est affine, ou à la limite quand $dx$ tend vers 0. L'exercice 1 chiffre l'écart : $93{,}33$ contre $92{,}32$. Énoncé correct : $dy$ APPROCHE $\Delta y$, avec une erreur qui croît comme le carré du pas.

FAUX. Les erreurs relatives s'ADDITIONNENT : $2+2=4$ %. L'exercice 3 le montre. Une manière de s'en convaincre sans formule : majorer les deux facteurs de 2 % multiplie le produit par $1{,}02^{2}=1{,}040\,4$, donc environ 4 %. Énoncé correct : l'erreur relative d'un produit est la somme des erreurs relatives de ses facteurs.