Exercices corrigés : l'étude complète de fonction (201-103)

a) Le seul interdit est $d=0$, donc le domaine algébrique est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Une densité étant positive, le domaine de validité est $]0\,;+\infty[$ : c'est lui qu'on étudie.

b) Quand $d\to 0^{+}$, le terme $\dfrac{4\,000}{d}$ tend vers $+\infty$ et les deux autres restent bornés, donc $g(d)\to+\infty$. La droite $d=0$ est une ASYMPTOTE VERTICALE. Le signe est bien $+\infty$ parce que $d$ approche zéro par valeurs positives, seul côté qui existe dans le contexte.

c) Quand $d\to+\infty$, $\dfrac{4\,000}{d}\to 0$ mais $0{,}9d\to+\infty$, donc $g(d)\to+\infty$. Il n'y a AUCUNE asymptote horizontale : une asymptote horizontale suppose une limite finie, ce qui n'est pas le cas.

d) On calcule la différence entre la courbe et la droite : $g(d)-(0{,}9d+120)=\dfrac{4\,000}{d}$. Cette différence tend vers 0 quand $d\to+\infty$, ce qui est exactement la définition d'une asymptote OBLIQUE. Comme $\dfrac{4\,000}{d}>0$ sur le domaine, la courbe reste AU-DESSUS de son asymptote, et s'en rapproche par valeurs supérieures. La méthode générale est celle-ci : on sépare la partie polynomiale de degré 1 du reste, et si le reste tend vers 0, la partie polynomiale est l'asymptote.

e) L'asymptote verticale dit qu'à très faible densité, le coût par logement explose : chaque maison isolée exige sa propre longueur d'aqueduc, de route et de fil électrique, et il n'y a personne pour la partager. L'asymptote oblique dit qu'à très forte densité le coût par logement ne se stabilise pas, il RECOMMENCE à croître selon une pente de 90 cents par logement et par hectare : il faut construire en hauteur, creuser, renforcer les réseaux. Une courbe qui monte aux deux bouts a nécessairement un minimum entre les deux, et c'est l'objet de l'exercice suivant.

a) On réécrit $g(d)=4\,000\,d^{-1}+0{,}9d+120$, donc $g'(d)=-4\,000\,d^{-2}+0{,}9=0{,}9-\dfrac{4\,000}{d^{2}}$, en dollars par logement et par hectare.

b) $0{,}9-\dfrac{4\,000}{d^{2}}=0$ donne $d^{2}=\dfrac{4\,000}{0{,}9}\approx 4\,444{,}4$, donc $d=\sqrt{4\,444{,}4}\approx 66{,}7$ logements par hectare. La racine négative est rejetée par le domaine. On retient environ 67 logements par hectare.

c) Pour $d<66{,}7$, $d^{2}$ est petit donc $\dfrac{4\,000}{d^{2}}>0{,}9$ et $g'(d)<0$ : la fonction DÉCROÎT. Pour $d>66{,}7$, l'inégalité s'inverse et $g'(d)>0$ : la fonction CROÎT. Le point critique est donc un minimum, et il est ABSOLU sur le domaine puisque la fonction décroît strictement avant et croît strictement après.

d) $g(66{,}7)=\dfrac{4\,000}{66{,}67}+0{,}9\times 66{,}67+120=60+60+120=240$ dollars par logement. Les deux termes variables valent exactement 60 chacun, ce qui n'est pas un hasard : au minimum, le terme de réseau partagé et le terme de construction en hauteur s'équilibrent. Test de la dérivée seconde : $g''(d)=\dfrac{8\,000}{d^{3}}>0$ sur tout le domaine, donc la courbe est convexe partout et le point critique est bien un minimum.

e) Tableau : sur $]0\,;66{,}7[$, $g'<0$ et $g$ décroît de $+\infty$ à 240 ; en $d\approx 66{,}7$, $g'=0$ et $g$ atteint son minimum de 240 dollars ; sur $]66{,}7\,;+\infty[$, $g'>0$ et $g$ croît de 240 vers $+\infty$ le long de son asymptote oblique. Lecture de gestion : il existe une densité de desserte OPTIMALE, environ 67 logements par hectare, et s'en écarter coûte dans les deux sens. La courbe étant assez plate autour du minimum, $g(50)=245$ et $g(90)=245$ également, la bonne recommandation n'est pas un chiffre mais une PLAGE, de 50 à 90 logements par hectare, ce qui est une information bien plus robuste qu'un optimum au dixième près.

a) $V'(t)=3t^{2}-48t+180=3\,(t^{2}-16t+60)=3\,(t-6)(t-10)$, la factorisation venant de $6+10=16$ et $6\times 10=60$. En dériver la forme factorisée est ce qui rend l'étude de signe immédiate ; garder la forme développée oblige à un tableau de discriminant.

b) Les points critiques sont $t=6$ et $t=10$. Le produit $(t-6)(t-10)$ est POSITIF à l'extérieur des racines et NÉGATIF entre elles, et le facteur 3 ne change rien. Donc $V'>0$ sur $[0\,;6[$, $V'<0$ sur $]6\,;10[$ et $V'>0$ sur $]10\,;16]$.

c) $V$ croît sur $[0\,;6]$, décroît sur $[6\,;10]$, puis croît sur $[10\,;16]$. En $t=6$, la dérivée passe du positif au négatif : c'est un MAXIMUM local. En $t=10$, elle passe du négatif au positif : c'est un MINIMUM local. C'est le test de la dérivée première, et il ne demande aucune dérivée seconde.

d) $V(6)=216-864+1\,080+400=832$ et $V(10)=1\,000-2\,400+1\,800+400=800$. L'écart entre le sommet et le creux n'est que de 32 points : la réforme a produit un pic puis un léger repli, et non l'effondrement qu'un graphique mal cadré pourrait suggérer.

e) NON, et c'est le piège de l'exercice. Il faut comparer aux valeurs des BORNES : $V(0)=400$ et $V(16)=4\,096-6\,144+2\,880+400=1\,232$. Le maximum absolu vaut donc $1\,232$, atteint en $t=16$, et non 832 ; le minimum absolu vaut 400, atteint en $t=0$, et non 800. Les deux extremums LOCAUX ne sont ni l'un ni l'autre absolus. Le mot « local » n'est pas un ornement de vocabulaire : il signifie que la comparaison n'a été faite qu'avec les voisins immédiats, et l'exercice 7 en tirera la méthode complète.

a) $V'(t)=3t^{2}-48t+180$, donc $V''(t)=6t-48=6\,(t-8)$. Elle est NÉGATIVE sur $[0\,;8[$ et POSITIVE sur $]8\,;16]$. La courbe est donc concave vers le bas avant $t=8$, et concave vers le haut après.

b) $V''$ s'annule en $t=8$ ET y change de signe, donc $t=8$ est un POINT D'INFLEXION. Son ordonnée vaut $V(8)=512-1\,536+1\,440+400=816$. Les deux conditions sont nécessaires : une dérivée seconde qui s'annule sans changer de signe ne donne pas d'inflexion, comme le montrera la question d).

c) $V''(6)=6\times(-2)=-12<0$, donc la courbe est concave vers le bas en ce point : $t=6$ est un MAXIMUM local. $V''(10)=6\times 2=12>0$, concavité vers le haut : $t=10$ est un MINIMUM local. On retrouve les conclusions de l'exercice 3 en deux évaluations, sans aucun tableau de signes. C'est l'intérêt du test, et c'est pour cela qu'on l'emploie quand la dérivée seconde est facile à calculer.

d) Pour $f(x)=x^{4}$ : $f'(x)=4x^{3}$ s'annule en 0, et $f''(x)=12x^{2}$ y vaut AUSSI 0. Le test ne conclut pas. Pourtant $f(x)=x^{4}>0$ pour tout $x\ne 0$, donc $x=0$ est un minimum. Pour $h(x)=x^{3}$ : $h'(x)=3x^{2}$ et $h''(x)=6x$ s'annulent toutes deux en 0, le test ne conclut pas non plus, et cette fois $x=0$ n'est PAS un extremum, puisque $h$ est strictement croissante. Deux situations opposées, un même verdict du test : il est MUET.

e) La règle : quand $f''(a)=0$ en un point critique, le test de la dérivée seconde ne dit rien, ni dans un sens ni dans l'autre. Il faut alors revenir au TEST DE LA DÉRIVÉE PREMIÈRE, qui examine le SIGNE de $f'$ de part et d'autre du point et qui, lui, conclut toujours. Pour $x^{4}$, $f'$ passe du négatif au positif, donc minimum ; pour $x^{3}$, $f'$ reste positive des deux côtés, donc pas d'extremum. Le test de la dérivée première est plus lent et jamais muet ; celui de la dérivée seconde est rapide et faillible. En examen, on commence par le second et l'on se rabat sur le premier dès qu'on obtient zéro.

a) $N(0)=\dfrac{9\,000}{1+29}=\dfrac{9\,000}{30}=300$ adoptions au lancement. Quand $t\to+\infty$, $e^{-0{,}5t}\to 0$, donc le dénominateur tend vers 1 et $N(t)\to 9\,000$. La droite $y=9\,000$ est l'asymptote horizontale, c'est-à-dire la taille du marché atteignable.

b) On dérive $N(t)=9\,000\,\bigl(1+29e^{-0{,}5t}\bigr)^{-1}$ par la règle de chaîne : $N'(t)=-9\,000\,\bigl(1+29e^{-0{,}5t}\bigr)^{-2}\times 29\times(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t}$. Les deux signes moins se compensent et $9\,000\times 29\times 0{,}5=130\,500$, d'où le résultat. Le numérateur est strictement positif et le dénominateur est un carré, donc $N'>0$ partout : les adoptions cumulées ne peuvent que croître, ce qui est le propre d'un cumul.

c) $29\,e^{-0{,}5t}=1$ donne $e^{-0{,}5t}=\dfrac{1}{29}$, donc $-0{,}5t=-\ln 29$ et $t=2\ln 29\approx 2\times 3{,}367=6{,}73$ mois. L'ordonnée vaut alors $N=\dfrac{9\,000}{1+1}=4\,500$, exactement la MOITIÉ du plafond. C'est une propriété générale du modèle logistique : son point d'inflexion est toujours à mi-hauteur.

d) $N'(6{,}73)=\dfrac{130\,500\times\frac{1}{29}}{(1+1)^{2}}=\dfrac{4\,500}{4}=1\,125$ adoptions par mois. C'est le rythme MAXIMAL : avant, la diffusion s'accélère ; après, elle ralentit, tout en restant positive.

e) Ce n'est pas le plafond, que tout le monde devine, c'est la DATE du point d'inflexion. Elle dit à quel moment la campagne cesse de gagner en efficacité : jusqu'au septième mois, chaque mois recrute plus que le précédent, et le budget promotionnel se justifie de lui-même ; après, le même effort produit de moins en moins, parce qu'il reste de moins en moins de gens à convaincre. La décision de réduire ou de réorienter la dépense se prend donc autour de $t=6{,}7$, et non quand la courbe semble plate, ce qui arriverait trop tard. Il faut aussi noter que ce modèle est une hypothèse, pas une observation : le plafond de 9 000 et le coefficient $0{,}5$ ont été ajustés sur les premiers mois, donc la date d'inflexion doit être recalculée à mesure que les données arrivent.

a) Le produit $(t-2)(t-7)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles, et le facteur $0{,}2$ ne change rien. Donc $f'>0$ sur $[0\,;2[$, $f'<0$ sur $]2\,;7[$ et $f'>0$ sur $]7\,;10]$. L'indicateur $f$ CROÎT sur $[0\,;2]$, DÉCROÎT sur $[2\,;7]$, puis croît de nouveau sur $[7\,;10]$.

b) En $t=2$, $f'$ passe du positif au négatif : $f$ y atteint un MAXIMUM local. En $t=7$, $f'$ passe du négatif au positif : $f$ y atteint un MINIMUM local. Ces deux conclusions se lisent uniquement sur les changements de SIGNE de la courbe donnée, et non sur sa hauteur.

c) L'indicateur baisse le plus vite là où $f'$ est la plus NÉGATIVE, c'est-à-dire au minimum de la parabole tracée. Une parabole a son sommet au milieu de ses racines : $\dfrac{2+7}{2}=4{,}5$, et $f'(4{,}5)=0{,}2\times 2{,}5\times(-2{,}5)=-1{,}25$ point par mois. Au passage, ce point est un POINT D'INFLEXION de $f$ : $f''$, qui est la pente de la courbe tracée, y change de signe.

d) $f'(0)=0{,}2\times(-2)\times(-7)=2{,}8$ est le RYTHME initial de l'indicateur, en points par mois. Ce n'est pas la valeur de l'indicateur au départ : le graphique ne la donne pas, et aucune lecture ne peut la fournir. Une dérivée détermine une fonction à une constante près, et seule une donnée supplémentaire, la valeur en un point, permettrait de fixer cette constante.

e) Le lecteur a confondu $f$ et $f'$. Ce qui s'annule en $t=2$ et en $t=7$, c'est le RYTHME : l'indicateur cesse d'y varier, il fait un plat, puis il repart. L'indicateur lui-même n'y est ni nul ni remarquable en valeur ; il y atteint simplement son maximum et son minimum locaux. La confusion est la plus fréquente qui soit devant un graphique publié, et elle a une conséquence concrète : annoncer que l'emploi est nul parce que sa variation mensuelle est nulle n'a évidemment aucun sens, et pourtant la phrase s'écrit sans qu'on y prenne garde. La règle est de toujours vérifier, sur l'axe des ordonnées, ce que la courbe MESURE.

a) Premièrement les POINTS CRITIQUES, où $f'$ s'annule. Deuxièmement les points où $f$ n'est PAS DÉRIVABLE, pointe, saut ou tangente verticale, vus au chapitre 3. Troisièmement les BORNES de l'intervalle. Oublier la troisième sorte est l'erreur la plus fréquente, et l'exercice 3 en a déjà donné un exemple.

b) $V$ est un polynôme, donc dérivable partout : la deuxième sorte est vide. Restent les points critiques $t=6$ et $t=10$, et les bornes $t=0$ et $t=16$. La liste compte donc quatre candidats.

c) $V(0)=400$, $V(6)=832$, $V(10)=800$, $V(16)=1\,232$. Le MAXIMUM absolu vaut $1\,232$, atteint en $t=16$, et le MINIMUM absolu vaut 400, atteint en $t=0$. Les deux extremums absolus sont donc aux bornes, et aucun des deux points critiques n'en est un. Il faut noter que la méthode ne demande AUCUN tableau de signes : on compare quatre nombres, et c'est tout.

d) Sur $[5\,;11]$, les candidats sont les bornes 5 et 11 et les deux points critiques, qui appartiennent toujours à l'intervalle. $V(5)=125-600+900+400=825$ et $V(11)=1\,331-2\,904+1\,980+400=807$. En comparant 825, 832, 800 et 807 : le maximum absolu vaut 832 en $t=6$ et le minimum absolu vaut 800 en $t=10$. Le même problème sur un autre intervalle donne donc une autre réponse, et cette fois ce sont les points critiques qui l'emportent.

e) NON. Sur $]0\,;16[$, la borne 16 est exclue, or $V$ est strictement croissante sur $[10\,;16]$ : on peut donc s'approcher de $1\,232$ autant qu'on veut sans jamais l'atteindre. La valeur $V(6)=832$ est bien le plus grand maximum LOCAL, mais elle est inférieure à $V(15)=1\,075$, donc ce n'est pas un maximum absolu. Aucun maximum absolu n'existe sur l'intervalle ouvert. C'est pourquoi le théorème garantissant l'existence des extremums exige un intervalle FERMÉ et BORNÉ, et une fonction CONTINUE : trois hypothèses dont aucune n'est décorative, comme pour le théorème des valeurs intermédiaires du chapitre 2.

a) FAUX. $f(x)=x^{3}$ a $f'(0)=0$ et aucun extremum en 0, puisqu'elle est strictement croissante. Un point où la dérivée s'annule s'appelle un POINT CRITIQUE ou point stationnaire, et il est seulement CANDIDAT. Énoncé correct : si $f$ admet un extremum en un point intérieur où elle est dérivable, alors $f'(a)=0$ ; la réciproque est fausse.

b) FAUX, et c'est impossible du même côté. Une asymptote horizontale suppose $\lim f=L$ finie ; une asymptote oblique de pente non nulle suppose $\lim f=\pm\infty$. Les deux limites ne peuvent pas coexister en $+\infty$. Énoncé correct : une courbe a au plus UNE asymptote de ce genre de chaque côté, horizontale ou oblique, jamais les deux. Elle peut en revanche avoir une horizontale en $-\infty$ et une oblique en $+\infty$.

c) FAUX, il manque la condition décisive. Il faut que $f''$ s'annule ET CHANGE DE SIGNE. Contre-exemple : $f(x)=x^{4}$ a $f''(x)=12x^{2}$, qui s'annule en 0 sans changer de signe, et la courbe y reste convexe de part et d'autre : ce n'est pas une inflexion. Énoncé correct : un point d'inflexion est un point où la CONCAVITÉ change, ce que signale un changement de signe de $f''$.

d) FAUX. L'exercice 7 en donne le contre-exemple : sur $[0\,;16]$, le maximum local $V(6)=832$ est largement dépassé par $V(16)=1\,232$. Énoncé correct : un maximum local n'est comparé qu'à ses voisins immédiats ; pour un maximum absolu, il faut comparer tous les candidats de l'intervalle, bornes comprises.

e) FAUX, et c'est la raison d'être de tout le chapitre. Un tableau de valeurs ne montre ni les asymptotes, ni les points d'inflexion, ni les extremums exacts, et il peut manquer entièrement une variation rapide entre deux points calculés. Pour $g(d)=\dfrac{4\,000}{d}+0{,}9d+120$, une dizaine de points ne révélerait ni l'asymptote verticale en $d=0$, ni l'asymptote oblique, ni le minimum exact à $\sqrt{4\,000/0{,}9}$. Énoncé correct : on trace une courbe à partir de son ÉTUDE, domaine, limites, asymptotes, signe de $f'$, signe de $f''$, et les points calculés ne servent qu'à placer la courbe une fois sa forme connue.

a) $R(\tau)=90\tau\,(1-\tau)^{2}=90\tau\,(1-2\tau+\tau^{2})=90\tau-180\tau^{2}+90\tau^{3}$ milliards de dollars. $R(0)=0$ : un taux nul ne rapporte rien. $R(1)=90-180+90=0$ : un taux de 100 % ne rapporte rien non plus, parce que la base taxable s'effondre à zéro. Les deux bouts valent zéro, donc il existe nécessairement un maximum entre les deux.

b) $R'(\tau)=90-360\tau+270\tau^{2}$. On peut factoriser directement par la règle du produit : $R'(\tau)=90\,(1-\tau)^{2}+90\tau\times 2(1-\tau)(-1)=90\,(1-\tau)\bigl[(1-\tau)-2\tau\bigr]=90\,(1-\tau)(1-3\tau)$. La forme factorisée donne les racines sans discriminant : $\tau=1$ et $\tau=\dfrac{1}{3}$.

c) Sur $]0\,;1[$, le facteur $(1-\tau)$ est positif, donc le signe de $R'$ est celui de $(1-3\tau)$ : positif pour $\tau<\dfrac{1}{3}$, négatif au-delà. La recette croît puis décroît : le maximum est en $\tau=\dfrac{1}{3}\approx 33{,}3$ %. Sa valeur vaut $R\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=90\times\dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=90\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{360}{27}\approx 13{,}33$ milliards de dollars.

d) $R''(\tau)=-360+540\tau$. En $\tau=\dfrac{1}{3}$ : $R''=-360+180=-180<0$, donc il s'agit bien d'un maximum. $R''$ s'annule en $\tau=\dfrac{360}{540}=\dfrac{2}{3}\approx 66{,}7$ %, et y change de signe : c'est le point d'INFLEXION, d'ordonnée $R\!\left(\dfrac{2}{3}\right)=90\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{9}=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$ milliards. Au-delà de ce taux, la recette continue de baisser mais la baisse ralentit.

e) À 55 %, le taux est au-dessus de $33{,}3$ % : la recette est sur la branche DÉCROISSANTE, donc baisser le taux l'augmenterait. On peut le chiffrer : $R(0{,}55)=90\times 0{,}55\times 0{,}45^{2}\approx 10{,}02$ milliards, contre $13{,}33$ à $33{,}3$ %. À 20 %, en revanche, le taux est au-dessous du maximum : baisser encore ferait BAISSER la recette, $R(0{,}20)=90\times 0{,}20\times 0{,}64=11{,}52$ milliards contre $13{,}33$ au sommet. La même phrase, « baisser les impôts augmente les recettes », est donc vraie d'un côté du sommet et fausse de l'autre, et tout le débat consiste à savoir de quel côté on se trouve. Il faut enfin rappeler que le modèle de base taxable, $90\,(1-\tau)^{2}$, est une HYPOTHÈSE : changer son exposant déplace le sommet, et aucune donnée n'est fournie ici pour le justifier. Une étude de fonction impeccable sur un modèle non vérifié reste une étude de fonction impeccable, rien de plus.

a) Non. Une dérivée qui passe du POSITIF au NÉGATIF signale un MAXIMUM, pas un minimum : la fonction monte jusqu'en $t=8$ puis redescend. Le rédacteur a inversé le test de la dérivée première. La phrase correcte est : $f$ admet un maximum en $t=8$.

b) Non, et la confusion porte sur l'ordre de dérivation. $f''<0$ dit que $f'$ DÉCROÎT, c'est-à-dire que la courbe est concave vers le bas ; le sens de variation de $f$ se lit sur le signe de $f'$, pas sur celui de $f''$. D'ailleurs le paragraphe annonce lui-même $f'>0$ sur $[0\,;8[$, donc $f$ y CROÎT. La phrase correcte est : $f''<0$ sur $[0\,;20]$, donc $f$ est concave vers le bas sur tout l'intervalle. Au passage, cette concavité est parfaitement cohérente avec le reste : une dérivée qui décroît en changeant de signe une seule fois est exactement ce que décrit le paragraphe, et c'est la seule affirmation juste qu'il contienne.

c) Non, elles sont incompatibles. Si $f'<0$ sur $]8\,;20]$, alors $f$ décroît strictement sur cet intervalle, donc $f(20)<f(8)=140$. Or le rapport annonce $f(20)=165$, une valeur SUPÉRIEURE. Deux affirmations du paragraphe se contredisent, et aucune donnée supplémentaire ne peut les réconcilier : l'une des deux est fausse, et il faut retourner aux données pour savoir laquelle.

d) On peut affirmer que $f(20)<140$, et rien de plus précis sans connaître $f'$ en détail. C'est déjà une information utile : elle suffit à rejeter la valeur 165, et elle donne une borne supérieure à toute prévision. On peut y ajouter une conséquence de la concavité : $f'$ décroissant sur $]8\,;20]$, la baisse s'ACCÉLÈRE, donc $f(20)$ est probablement nettement inférieure à 140, et non juste en dessous.

e) Voici un paragraphe correct : « La fonction $f$ est définie et dérivable sur $[0\,;20]$. Elle croît sur $[0\,;8]$ et décroît sur $[8\,;20]$, donc elle admet un maximum en $t=8$, où $f(8)=140$. Comme $f''<0$ sur tout l'intervalle, la courbe est concave vers le bas : la croissance ralentit avant le sommet et la décroissance s'accentue après, de sorte que $f(20)<140$. » Trois phrases, aucune contradiction, et chaque affirmation rattachée à la bonne dérivée. C'est le format attendu de toute annexe méthodologique, et c'est le produit fini du chapitre.