Exercices corrigés : les fonctions et leur domaine (201-103)

a) Oui. Le TEST DE LA DROITE VERTICALE consiste à balayer le graphique avec une droite verticale : si aucune position de cette droite ne rencontre la courbe plus d'une fois, chaque valeur de l'entrée reçoit au plus une sortie, ce qui est exactement la définition d'une fonction. Ici la courbe est une parabole d'axe vertical, donc chaque année reçoit un seul taux. Ce test ne vérifie ni que la courbe est continue, ni qu'elle est croissante : il vérifie l'UNICITÉ de la sortie, rien d'autre.

b) Le domaine ajusté est $[0\,;12]$, les treize années de 2012 à 2024. Pour l'image, il faut le sommet : $t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{0{,}8}{2\times 0{,}05}=8$, et $T(8)=0{,}05\times 64-6{,}4+8=3{,}2-6{,}4+8=4{,}8$. Aux bornes, $T(0)=8$ et $T(12)=0{,}05\times 144-9{,}6+8=7{,}2-9{,}6+8=5{,}6$. Le maximum est donc 8, atteint en $t=0$, et l'image vaut $[4{,}8\,;8]$. Il faut comparer les DEUX bornes au sommet : se contenter de $T(12)$ donnerait une image fausse.

c) On résout $0{,}05t^{2}-0{,}8t+8=5{,}6$, soit $0{,}05t^{2}-0{,}8t+2{,}4=0$. En multipliant par 20 : $t^{2}-16t+48=0$, donc $t=\dfrac{16\pm\sqrt{256-192}}{2}=\dfrac{16\pm 8}{2}$, c'est-à-dire $t=4$ et $t=12$. DEUX années, 2016 et 2024, donnent le même taux. Conséquence directe : $T$ n'est pas injective sur $[0\,;12]$, donc elle n'y admet PAS de réciproque. Connaître le taux ne permet pas de retrouver l'année, ce qui est la situation normale d'un indicateur qui baisse puis remonte.

d) La variable INDÉPENDANTE est $t$, le temps, en années depuis 2012 : c'est elle qu'on choisit. La variable DÉPENDANTE est $T$, le taux de chômage, en pourcentage de la population active : c'est elle qu'on lit. En notation fonctionnelle, l'indépendante est toujours celle qui s'écrit entre parenthèses.

e) $T(30)=0{,}05\times 900-0{,}8\times 30+8=45-24+8=29$. Le modèle annonce 29 % de chômage. Ce nombre ne veut rien dire, pour deux raisons. D'abord $t=30$ est HORS DU DOMAINE d'ajustement : le modèle a été construit sur treize années, il ne dit rien de la trentième. Ensuite sa forme même le condamne, une parabole ouverte vers le haut croissant sans borne : elle finira par prédire un chômage de 200 %, ce qui est impossible. Un modèle a toujours deux domaines, le domaine ALGÉBRIQUE, ici $\mathbb{R}$, et le domaine de VALIDITÉ, ici $[0\,;12]$. Les confondre est l'erreur la plus coûteuse du cours, parce qu'elle ne produit aucun message d'erreur : elle produit un nombre.

a) Le seul risque est au dénominateur. $x^{2}-9=0$ donne $x=3$ ou $x=-3$. Le domaine est donc $\mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}$, c'est-à-dire $]-\infty\,;-3[\,\cup\,]-3\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$. Le numérateur $2x+5$ ne restreint rien : un numérateur nul donne une valeur nulle, pas une valeur interdite. Confondre « le numérateur s'annule » et « la fonction n'existe pas » est le premier piège du chapitre, et il se paie encore à l'étude de fonction, où $x=-2{,}5$ sera un ZÉRO et non une asymptote.

b) La racine carrée exige $12-3x\ge 0$, donc $3x\le 12$ et $x\le 4$. Le domaine est $]-\infty\,;4]$. L'inégalité est LARGE, car $\sqrt{0}=0$ existe. Le sens de l'inégalité ne change pas ici parce qu'on divise par $+3$ ; avec un coefficient négatif, il aurait fallu le retourner.

c) Le logarithme exige un argument STRICTEMENT positif : $x-2>0$, donc $x>2$. Le domaine est $]2\,;+\infty[$, crochet ouvert. C'est la différence à tenir avec la racine : $\sqrt{0}$ existe, $\ln 0$ n'existe pas.

d) Deux conditions à satisfaire EN MÊME TEMPS. La racine du numérateur exige $x-1\ge 0$, donc $x\ge 1$. Le dénominateur exige $x\ne 5$. Le domaine est l'intersection : $[1\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$. L'erreur classique consiste à n'en traiter qu'une : on lit la racine, on oublie le dénominateur, et on dérive ensuite une fonction qui n'existe pas en 5.

e) Il a tort pour les puissances ENTIÈRES : $(-2)^{3}=-8$ se calcule très bien. Il a raison, et c'est tout l'objet de la remarque, pour les puissances FRACTIONNAIRES de dénominateur pair, puisque $x^{1/2}$ est exactement $\sqrt{x}$ : c'est l'interdit de la racine paire, déjà compté, et non un quatrième. La liste à trois entrées, dénominateur nul, racine paire d'un négatif, logarithme d'un nombre non strictement positif, suffit pour tout le 201-103.

a) $x=12$ tombe dans la première tranche : $C(12)=45$ dollars. $x=35$ tombe dans la deuxième : $C(35)=45+7\times(35-20)=45+105=150$ dollars. $x=60$ tombe dans la troisième : $C(60)=250$ dollars. Le seul geste à soigner est de LIRE la condition avant de choisir la formule ; appliquer la deuxième formule à $x=60$ donnerait $45+280=325$ dollars, un montant que personne ne paie.

b) Le domaine est $[0\,;+\infty[$ : on peut consommer n'importe quelle quantité positive. Pour l'image, la première tranche ne donne que la valeur 45 ; la deuxième balaie continûment de $45$ exclu jusqu'à $C(50)=45+7\times 30=255$ inclus ; la troisième ne donne que 250, déjà atteint dans la deuxième. L'image est donc $[45\,;255]$.

c) En $x=20$ : la limite à gauche vaut 45, la limite à droite vaut $45+7\times 0=45$, et $C(20)=45$. Les trois coïncident, donc $C$ est CONTINUE en 20. En $x=50$ : la limite à gauche vaut $45+7\times 30=255$ et $C(50)=255$, mais la limite à droite vaut 250. Limite à gauche et limite à droite diffèrent, donc $C$ est DISCONTINUE en 50, avec un saut de 5 dollars vers le bas.

d) Il faut comparer la formule de la deuxième tranche au tarif illimité : $45+7(x-20)>250$ donne $7(x-20)>205$, puis $x-20>\dfrac{205}{7}\approx 29{,}29$, donc $x>49{,}29$ gigaoctets environ. Au-delà de $49{,}29$ Go, l'abonné paierait plus cher à la tranche que l'illimité. C'est précisément la zone où le saut se produit, et c'est pourquoi l'entreprise l'a placé là : au-dessus de ce seuil, le client demanderait de toute façon l'illimité.

e) Un barème d'impôt est CONTINU par construction, et cette continuité est une décision politique : si le taux s'appliquait à tout le revenu dès le franchissement d'une tranche, gagner un dollar de plus pourrait faire perdre des centaines de dollars nets, ce qui découragerait le travail à la frontière de la tranche. C'est pourquoi un taux marginal ne frappe QUE la part du revenu située dans la tranche. Un forfait commercial, lui, n'a pas cette contrainte : le saut vers le bas AVANTAGE le client et sert d'appel vers l'offre illimitée, personne ne se plaint de payer moins. La continuité d'une fonction par morceaux n'est donc pas une propriété mathématique subie, c'est le reflet d'un choix.

a) $P(q)=R(q)-C(q)=60q-0{,}1q^{2}-(0{,}2q^{2}+18q+500)$. En distribuant le signe moins sur les TROIS termes, ce que l'on oublie une fois sur deux : $P(q)=60q-0{,}1q^{2}-0{,}2q^{2}-18q-500=-0{,}3q^{2}+42q-500$. La vérification la moins chère consiste à évaluer en $q=0$ : $P(0)=-500$, et l'on retrouve bien la perte égale au coût fixe quand rien n'est vendu.

b) $\overline{C}(q)=\dfrac{0{,}2q^{2}+18q+500}{q}=0{,}2q+18+\dfrac{500}{q}$. Le domaine algébrique est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, et le domaine du contexte $]0\,;+\infty[$. Voilà le point du chapitre : $C$ existe en $q=0$, elle y vaut 500 dollars, mais son coût MOYEN n'existe pas en 0. La division a retiré une valeur que ni le numérateur ni le dénominateur ne posaient comme problème avant l'opération.

c) $P(50)=-0{,}3\times 2\,500+42\times 50-500=-750+2\,100-500=850$ dollars. $C(50)=0{,}2\times 2\,500+18\times 50+500=500+900+500=1\,900$ dollars, donc $\overline{C}(50)=\dfrac{1\,900}{50}=38$ dollars par unité. Enfin $R(50)=60\times 50-0{,}1\times 2\,500=3\,000-250=2\,750$ dollars, et le ratio vaut $\dfrac{2\,750}{1\,900}\approx 1{,}45$ : chaque dollar dépensé rapporte environ 1,45 dollar. On peut recouper : $R(50)-C(50)=2\,750-1\,900=850$, ce qui confirme $P(50)$.

d) $R-C$ est le PROFIT, la plus utile des quatre. $\dfrac{R}{C}$ est un ratio de rentabilité sans unité, parfaitement interprétable. $R+C$ n'a pas de sens direct, on n'additionne pas ce qui entre et ce qui sort, mais la somme apparaît quand même dans certains calculs de flux bruts. $R\times C$ n'a AUCUN sens : son unité serait le dollar carré. L'algèbre autorise les quatre opérations, le contexte n'en retient que deux ou trois ; savoir lequel des deux commande est exactement ce que le cours enseigne.

e) Pour la somme, la différence et le produit, le domaine est l'INTERSECTION des deux domaines : la valeur doit être licite pour les deux fonctions à la fois. Pour le quotient $\dfrac{f}{g}$, c'est cette même intersection PRIVÉE des valeurs où $g$ s'annule. La règle ne dit jamais « réunion » : une valeur interdite pour l'une reste interdite pour l'opération, même si l'autre s'en accommode.

a) $(f\circ g)(x)=f\!\left(\dfrac{1}{x-7}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{x-7}-3}$. Deux conditions s'empilent : d'abord $x\ne 7$ pour que l'intérieur existe, ensuite $\dfrac{1}{x-7}-3\ge 0$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{x-7}\ge 3$. Si $x<7$, le quotient est négatif et ne peut pas dépasser 3 : aucune solution. Si $x>7$, on peut multiplier par $x-7>0$ sans retourner l'inégalité : $1\ge 3(x-7)$, donc $x-7\le \dfrac{1}{3}$ et $x\le \dfrac{22}{3}$. Le domaine est $\left]7\,;\dfrac{22}{3}\right]$, soit environ $]7\,;7{,}33]$. Il faut séparer les deux cas de signe : multiplier en croix sans regarder le signe du dénominateur est l'erreur qui donne un domaine faux.

b) $(g\circ f)(x)=g\!\left(\sqrt{x-3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}-7}$. Conditions : $x-3\ge 0$, donc $x\ge 3$, et $\sqrt{x-3}\ne 7$, donc $x-3\ne 49$ et $x\ne 52$. Le domaine est $[3\,;52[\,\cup\,]52\,;+\infty[$. Les deux compositions n'ont ni la même formule ni le même domaine : la composition n'est pas commutative, et c'est visible ici du premier coup d'oeil.

c) $D(R(s))=0{,}08\times 1\,800s-400=144s-400$. Le coefficient 144 se lit : chaque dollar de salaire horaire supplémentaire ajoute 144 dollars de loisirs par an, parce qu'il ajoute 1 800 dollars de revenu dont 8 % partent en loisirs. C'est la règle de la chaîne, vue ici sur des fonctions affines, avant de la revoir comme règle de dérivation en chaîne au chapitre de la dérivée.

d) $D=144\times 16{,}50-400=2\,376-400=1\,976$ dollars par an. On peut recouper en passant par l'étape intermédiaire : $R=1\,800\times 16{,}50=29\,700$ dollars, puis $D=0{,}08\times 29\,700-400=2\,376-400=1\,976$ dollars. Le contrôle par la voie longue vaut la minute qu'il coûte.

e) $144s-400>0$ donne $s>\dfrac{400}{144}\approx 2{,}78$ dollars de l'heure. Le calcul est juste et sans utilité : aucun salaire horaire légal n'est inférieur à 2,78 dollars, donc ce seuil est situé HORS du domaine de validité du modèle, qui commence au salaire minimum. Le domaine algébrique de $s\mapsto 144s-400$ est $\mathbb{R}$ tout entier, le domaine du contexte est $[15{,}75\,;+\infty[$ environ. Répondre 2,78 dollars sans cette phrase, c'est répondre à une question que personne ne pose.

a) Le modèle exige $q\ge 0$ et $p\ge 0$. De $90-1{,}5p\ge 0$ on tire $p\le 60$. Le domaine du contexte est donc $[0\,;60]$ : au-delà de 60 dollars, le modèle annoncerait un nombre négatif de repas, ce qui n'existe pas. Le domaine algébrique, lui, serait $\mathbb{R}$ tout entier ; c'est encore la distinction du chapitre.

b) $q$ est affine de pente $-1{,}5$, strictement négative, donc strictement DÉCROISSANTE sur $[0\,;60]$, donc injective : deux prix différents ne peuvent pas donner la même quantité. On peut alors isoler $p$ dans $q=90-1{,}5p$ : $1{,}5p=90-q$, donc $p(q)=\dfrac{90-q}{1{,}5}=60-\dfrac{2q}{3}$. Vérifier l'injectivité AVANT d'isoler n'est pas une formalité : sans elle, l'expression obtenue ne serait pas une fonction, comme on l'a vu à l'exercice 1 avec le taux de chômage.

c) $q$ a pour domaine $[0\,;60]$, les prix, et pour image $[0\,;90]$, les quantités : $q(0)=90$ et $q(60)=0$. $p$ a pour domaine $[0\,;90]$ et pour image $[0\,;60]$. Le domaine de l'une est exactement l'image de l'autre, et réciproquement : c'est la propriété qui définit une paire de fonctions réciproques, et c'est elle que l'on contrôle en premier quand une réciproque semble fausse.

d) $q(24)=90-1{,}5\times 24=90-36=54$ repas. Puis $p(54)=60-\dfrac{2\times 54}{3}=60-36=24$ dollars. On retombe sur le prix de départ. Cette égalité contrôle que l'on a bien isolé $p$ et non commis une erreur de signe ou de division : une réciproque fausse échoue presque toujours sur ce test, alors qu'elle peut très bien passer un simple contrôle de cohérence des unités.

e) En économie, le prix est porté en ordonnée depuis Alfred Marshall, à la fin du XIXe siècle, et l'usage est resté : toutes les courbes d'offre et de demande des cours d'économie sont tracées ainsi, et changer d'axes rendrait les figures illisibles pour ceux qui les lisent. Mathématiquement, cela revient à tracer la RÉCIPROQUE $p(q)$ plutôt que $q(p)$. La symétrie par rapport à la première bissectrice $y=x$ reste vraie, mais elle n'est pas visible sur la figure, pour deux raisons : une seule des deux courbes y est tracée, et les deux axes n'ont ni la même unité ni la même échelle, alors que la symétrie ne se voit qu'en repère orthonormé. Une propriété peut être exacte et invisible ; c'est le graphique qui ment, pas la propriété.

a) $L$ a un ACCROISSEMENT constant : chaque année ajoute 35 unités, quel que soit le niveau atteint. $E$ a un TAUX d'accroissement constant : chaque année multiplie par $1{,}08$, soit 8 % de plus, donc l'accroissement absolu grandit avec le niveau. $G$ n'a ni l'un ni l'autre : elle accélère au début, puis ralentit en approchant son plafond. Le test de terrain tient en une soustraction et une division : si les différences successives sont constantes, c'est linéaire ; si ce sont les quotients successifs qui le sont, c'est exponentiel.

b) $L$ a pour image $\mathbb{R}$ et AUCUNE asymptote horizontale : une droite non horizontale n'en a jamais. $E$ a pour image $]0\,;+\infty[$ et une asymptote horizontale $y=0$ quand $t\to-\infty$ ; elle ne s'annule jamais, ce qui est la propriété la plus utile de l'exponentielle. $G$ a pour image $]0\,;1\,200[$ et DEUX asymptotes horizontales, $y=0$ en $-\infty$ et $y=1\,200$ en $+\infty$. Ce 1 200 est la capacité du milieu, et c'est lui qui fait tout l'intérêt du modèle logistique.

c) $L(10)=200+350=550$. $E(10)=200\times 1{,}08^{10}=200\times 2{,}158\,9\approx 431{,}78$. Pour $G(10)$ : $e^{-4}\approx 0{,}018\,316$, donc $24e^{-4}\approx 0{,}439\,58$, et $G(10)=\dfrac{1\,200}{1{,}439\,58}\approx 833{,}58$. Enfin $G(0)=\dfrac{1\,200}{1+24}=\dfrac{1\,200}{25}=48$. À dix ans, l'ordre est déjà inversé par rapport au départ : partie de 48, la logistique dépasse les deux autres.

d) Le compte d'épargne à intérêt composé est EXPONENTIEL : le rendement s'applique au capital accumulé, donc le taux est constant. La diffusion d'un téléphone intelligent est LOGISTIQUE : elle démarre lentement, s'emballe par imitation, puis sature quand presque tout le monde est équipé, le plafond étant la taille du marché. Le salaire augmenté d'un montant fixe est LINÉAIRE ; s'il était augmenté d'un POURCENTAGE fixe, il deviendrait exponentiel, et c'est exactement le sens d'une indexation.

e) Parce qu'une exponentielle croissante n'a pas de borne supérieure, alors qu'une population en a toujours une : la terre arable, l'eau, le logement, l'emploi. Un modèle à 2 % l'an double la population en 35 ans environ ; prolongé sur trois siècles, il en donnerait plus de 250 fois l'effectif initial. La question n'est donc jamais de savoir SI le modèle exponentiel cessera d'être valable, mais QUAND. C'est pour cette raison que la démographie travaille en logistique, ou en exponentielle sur une fenêtre courte dont on énonce les bornes : le domaine de validité fait partie du modèle, il n'est pas un commentaire ajouté après coup.

a) FAUX. C'est l'INTERSECTION : $\mathrm{dom}(f+g)=\mathrm{dom}(f)\cap\mathrm{dom}(g)$. Pour additionner deux nombres, il faut que les deux existent, donc une valeur interdite pour l'une reste interdite pour la somme. Avec $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=\sqrt{-x}$, la réunion donnerait $\mathbb{R}$ alors que la somme n'existe qu'en $x=0$.

b) FAUX. La division par $q$ retire $q=0$, que $C$ y soit définie ou non. C'est même le cas le plus fréquent en gestion : $C(0)$ est le coût FIXE, un nombre parfaitement réel, alors que le coût moyen en zéro reviendrait à répartir ce coût fixe sur aucune unité. Énoncé correct : le domaine de $\overline{C}$ est celui de $C$ privé des valeurs qui annulent $q$.

c) FAUX, et le mot juste est échangé, pas identique : le domaine de $f$ est l'IMAGE de $f^{-1}$, et l'image de $f$ est le DOMAINE de $f^{-1}$. L'exercice 6 le montre : la demande a pour domaine $[0\,;60]$, des dollars, et sa réciproque a pour domaine $[0\,;90]$, des repas. Deux ensembles qui n'ont même pas la même unité ne peuvent pas être égaux.

d) FAUX. Un ajustement ne garantit rien hors de la fenêtre où il a été fait : c'est l'EXTRAPOLATION, et elle est d'autant plus dangereuse que le modèle est bien ajusté, parce que la qualité de l'ajustement inspire une confiance qu'elle ne justifie pas. L'exercice 1 en donne la mesure : le modèle de chômage, excellent sur treize ans, annonce 29 % pour 2042. Énoncé correct : un modèle n'est valable que sur son domaine de validité, qui doit être énoncé avec lui.

e) FAUX, et le piège est dans le domaine, pas dans l'algèbre. $\ln(x^{2})$ existe pour tout $x\ne 0$, y compris les négatifs, puisque $x^{2}>0$. $2\ln x$ n'existe que pour $x>0$. Sur $]0\,;+\infty[$ les deux expressions coïncident, mais sur $]-\infty\,;0[$ seule la première a un sens. Énoncé correct : $\ln(x^{2})=2\ln|x|$ pour tout $x\ne 0$. C'est l'erreur qui fait perdre la moitié d'un domaine à l'étude de fonction, et elle revient chaque session.

a) $R=40$ est dans la première tranche : $F(40)=8{,}85$ dollars. $R=80$ est dans la deuxième : $F(80)=8{,}85+0{,}11\times(80-55)=8{,}85+2{,}75=11{,}60$ dollars. $R=130$ est dans la troisième : $F(130)=14{,}35$ dollars. Le $(R-55)$ est le point de vigilance : le taux de 11 % ne frappe que la part du revenu SITUÉE DANS la tranche, pas le revenu entier, exactement comme un taux marginal d'impôt.

b) En $R=55$ : la première tranche donne $8{,}85$ et la deuxième donne $8{,}85+0{,}11\times 0=8{,}85$. Les deux coïncident, donc $F$ est continue. En $R=105$ : la deuxième donne $8{,}85+0{,}11\times 50=8{,}85+5{,}50=14{,}35$ et la troisième donne $14{,}35$. Elles coïncident aussi. La grille a donc été CONSTRUITE pour être continue, en choisissant le plafond égal à la valeur atteinte en fin de deuxième tranche : sans cette précaution, gagner un dollar de plus aurait pu coûter plusieurs centaines de dollars de garde par an.

c) $A(R)=260\times F(R)$, en dollars par an. En $R=80$ : $A(80)=260\times 11{,}60=3\,016$ dollars par an. Multiplier une fonction par une constante ne change pas son domaine ni ses points de raccord : $A$ est continue exactement là où $F$ l'est.

d) $T(40)=\dfrac{260\times 8{,}85}{40\,000}\times 100=\dfrac{2\,301}{40\,000}\times 100\approx 5{,}75$ %. $T(80)=\dfrac{3\,016}{80\,000}\times 100=3{,}77$ %. $T(130)=\dfrac{260\times 14{,}35}{130\,000}\times 100=\dfrac{3\,731}{130\,000}\times 100\approx 2{,}87$ %. Le MONTANT payé augmente avec le revenu, mais le taux d'effort DIMINUE : de 5,75 % à 2,87 %, il est divisé par deux. Le barème est donc régressif en pourcentage du revenu, alors qu'il est progressif en dollars. Les deux phrases sont vraies en même temps et ne parlent pas de la même fonction : c'est exactement pourquoi un débat sur un barème tourne court quand personne ne précise laquelle des deux il commente.

e) $T$ est définie pour $R>0$, soit $]0\,;+\infty[$. $F$, elle, est parfaitement définie en $R=0$ : un ménage sans revenu paie 8,85 dollars par jour. Mais $T$ est un QUOTIENT par le revenu, et diviser par zéro est interdit. On retrouve, sur une politique publique, la règle de l'exercice 4 : la division retire du domaine une valeur que rien n'interdisait avant elle. Du reste l'interprétation confirme l'algèbre, puisque la contribution représenterait une part infinie d'un revenu nul ; la limite de $T(R)$ quand $R$ tend vers 0 par valeurs positives vaut $+\infty$, ce que le chapitre suivant permettra d'écrire proprement.