Exercices corrigés : les fonctions et leur domaine (201-103)

Aucun interdit : le seul dénominateur est le nombre $5$, qui ne s'annule jamais. Le domaine est $\mathbb{R}=]-\infty\,;+\infty[$. Piège : voir une fraction et chercher une valeur à exclure.

Condition $2x-7\neq 0$, soit $x\neq\frac{7}{2}$. Domaine $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{7}{2}\right\}$ ; la valeur exclue est $\frac{7}{2}=3{,}5$. Le numérateur ne joue aucun rôle : $x=-4$ annule $g$, il ne l'interdit pas.

Condition $x^{2}+x-12\neq 0$. On factorise : $x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)$, nul en $x=-4$ et en $x=3$. Domaine $\mathbb{R}\setminus\{-4\,;3\}$. Piège : exclure $x=0$, qui annule le numérateur $5x$ et non le dénominateur.

Condition $2x-5\ge 0$, soit $x\ge\frac{5}{2}$. Domaine $[2{,}5\,;+\infty[$, crochet FERMÉ en $2{,}5$ puisque $\sqrt{0}=0$ existe.

Condition $9-4x\ge 0$, soit $-4x\ge -9$, donc $x\le\frac{9}{4}$ : on divise par un nombre NÉGATIF, l'inégalité change de sens. Domaine $]-\infty\,;2{,}25]$. Piège : garder le sens et écrire $[2{,}25\,;+\infty[$, c'est-à-dire presque exactement les valeurs interdites.

Deux conditions en une : la racine exige $x+6\ge 0$, la division exige $\sqrt{x+6}\neq 0$, donc $x+6>0$ et $x>-6$. Domaine $]-6\,;+\infty[$, crochet OUVERT en $-6$. Piège : le crochet fermé de la racine seule.

Condition $12+x-x^{2}\ge 0$. On factorise : $12+x-x^{2}=-(x^{2}-x-12)=-(x-4)(x+3)=(4-x)(x+3)$. Les racines sont $-3$ et $4$ ; le coefficient de $x^{2}$ étant négatif, le trinôme est positif ENTRE les racines, ce que confirme $x=0$, où il vaut $12$. Domaine $[-3\,;4]$. Piège : le réflexe « à l'extérieur des racines », qui ne vaut que si le coefficient de $x^{2}$ est positif.

Racine : $x+2\ge 0$, soit $x\ge -2$. Dénominateur : $x\neq 3$, et $3$ est bien dans $[-2\,;+\infty[$, donc il faut le retirer. Domaine $[-2\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ : la plus petite valeur du domaine est $-2$, la valeur exclue est $3$.

Numérateur : $x+1\ge 0$, soit $x\ge -1$. Dénominateur : la racine exige $7-x\ge 0$ et la division $\sqrt{7-x}\neq 0$, donc $7-x>0$, soit $x<7$. On garde les deux : $[-1\,;7[$, fermé à gauche, ouvert à droite. Piège : traiter les deux racines de la même façon, alors que seule celle du bas devient une inégalité stricte.

Condition $8-2x>0$, soit $-2x>-8$, donc $x<4$, l'inégalité changeant de sens à la division par $-2$. Domaine $]-\infty\,;4[$, ouvert en $4$ puisque $\ln 0$ n'existe pas.

Logarithme : $x-1>0$, soit $x>1$. Dénominateur : $\ln(x-1)\neq 0$ ; un logarithme vaut $0$ quand son argument vaut $1$, donc $x-1\neq 1$, soit $x\neq 2$. Domaine $]1\,;2[\,\cup\,]2\,;+\infty[$ : borne gauche $1$, valeur exclue $2$. Piège : exclure seulement $x=1$, en confondant « le logarithme s'annule » et « le logarithme n'existe pas ».

On traite chaque morceau SUR SA TRANCHE. Pour $x<1$, $\sqrt{x+5}$ exige $x\ge -5$ : on garde $[-5\,;1[$. Pour $x\ge 1$, $\frac{6}{x+3}$ n'interdit que $-3$, qui n'est pas dans cette tranche : on garde $[1\,;+\infty[$. Le domaine est la réunion, $[-5\,;+\infty[$. Piège : retirer $-3$, alors qu'en $x=-3$ c'est la racine qui s'applique, et qu'elle vaut $\sqrt{2}$.

Oui. Le TEST DE LA DROITE VERTICALE consiste à balayer le graphique avec une droite verticale : si aucune position de cette droite ne rencontre la courbe plus d'une fois, chaque valeur de l'entrée reçoit au plus une sortie, ce qui est exactement la définition d'une fonction. Ici la courbe est une parabole d'axe vertical, donc chaque année reçoit un seul taux. Ce test ne vérifie ni que la courbe est continue, ni qu'elle est croissante : il vérifie l'UNICITÉ de la sortie, rien d'autre.

Le domaine ajusté est $[0\,;12]$, les treize années de 2012 à 2024. Pour l'image, il faut le sommet : $t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{0{,}8}{2\times 0{,}05}=8$, et $T(8)=0{,}05\times 64-6{,}4+8=3{,}2-6{,}4+8=4{,}8$. Aux bornes, $T(0)=8$ et $T(12)=0{,}05\times 144-9{,}6+8=7{,}2-9{,}6+8=5{,}6$. Le maximum est donc 8, atteint en $t=0$, et l'image vaut $[4{,}8\,;8]$. Il faut comparer les DEUX bornes au sommet : se contenter de $T(12)$ donnerait une image fausse.

On résout $0{,}05t^{2}-0{,}8t+8=5{,}6$, soit $0{,}05t^{2}-0{,}8t+2{,}4=0$. En multipliant par 20 : $t^{2}-16t+48=0$, donc $t=\dfrac{16\pm\sqrt{256-192}}{2}=\dfrac{16\pm 8}{2}$, c'est-à-dire $t=4$ et $t=12$. DEUX années, 2016 et 2024, donnent le même taux. Conséquence directe : $T$ n'est pas injective sur $[0\,;12]$, donc elle n'y admet PAS de réciproque. Connaître le taux ne permet pas de retrouver l'année, ce qui est la situation normale d'un indicateur qui baisse puis remonte.

La variable INDÉPENDANTE est $t$, le temps, en années depuis 2012 : c'est elle qu'on choisit. La variable DÉPENDANTE est $T$, le taux de chômage, en pourcentage de la population active : c'est elle qu'on lit. En notation fonctionnelle, l'indépendante est toujours celle qui s'écrit entre parenthèses.

$T(30)=0{,}05\times 900-0{,}8\times 30+8=45-24+8=29$. Le modèle annonce 29 % de chômage. Ce nombre ne veut rien dire, pour deux raisons. D'abord $t=30$ est HORS DU DOMAINE d'ajustement : le modèle a été construit sur treize années, il ne dit rien de la trentième. Ensuite sa forme même le condamne, une parabole ouverte vers le haut croissant sans borne : elle finira par prédire un chômage de 200 %, ce qui est impossible. Un modèle a toujours deux domaines, le domaine ALGÉBRIQUE, ici $\mathbb{R}$, et le domaine de VALIDITÉ, ici $[0\,;12]$. Les confondre est l'erreur la plus coûteuse du cours, parce qu'elle ne produit aucun message d'erreur : elle produit un nombre.

Le seul risque est au dénominateur. $x^{2}-9=0$ donne $x=3$ ou $x=-3$. Le domaine est donc $\mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}$, c'est-à-dire $]-\infty\,;-3[\,\cup\,]-3\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$. Le numérateur $2x+5$ ne restreint rien : un numérateur nul donne une valeur nulle, pas une valeur interdite. Confondre « le numérateur s'annule » et « la fonction n'existe pas » est le premier piège du chapitre, et il se paie encore à l'étude de fonction, où $x=-2{,}5$ sera un ZÉRO et non une asymptote.

La racine carrée exige $12-3x\ge 0$, donc $3x\le 12$ et $x\le 4$. Le domaine est $]-\infty\,;4]$. L'inégalité est LARGE, car $\sqrt{0}=0$ existe. Le sens de l'inégalité ne change pas ici parce qu'on divise par $+3$ ; avec un coefficient négatif, il aurait fallu le retourner.

Le logarithme exige un argument STRICTEMENT positif : $x-2>0$, donc $x>2$. Le domaine est $]2\,;+\infty[$, crochet ouvert. C'est la différence à tenir avec la racine : $\sqrt{0}$ existe, $\ln 0$ n'existe pas.

Deux conditions à satisfaire EN MÊME TEMPS. La racine du numérateur exige $x-1\ge 0$, donc $x\ge 1$. Le dénominateur exige $x\ne 5$. Le domaine est l'intersection : $[1\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$. L'erreur classique consiste à n'en traiter qu'une : on lit la racine, on oublie le dénominateur, et on dérive ensuite une fonction qui n'existe pas en 5.

Il a tort pour les puissances ENTIÈRES : $(-2)^{3}=-8$ se calcule très bien. Il a raison, et c'est tout l'objet de la remarque, pour les puissances FRACTIONNAIRES de dénominateur pair, puisque $x^{1/2}$ est exactement $\sqrt{x}$ : c'est l'interdit de la racine paire, déjà compté, et non un quatrième. La liste à trois entrées, dénominateur nul, racine paire d'un négatif, logarithme d'un nombre non strictement positif, suffit pour tout le 201-103.

$x=12$ tombe dans la première tranche : $C(12)=45$ dollars. $x=35$ tombe dans la deuxième : $C(35)=45+7\times(35-20)=45+105=150$ dollars. $x=60$ tombe dans la troisième : $C(60)=250$ dollars. Le seul geste à soigner est de LIRE la condition avant de choisir la formule ; appliquer la deuxième formule à $x=60$ donnerait $45+280=325$ dollars, un montant que personne ne paie.

Le domaine est $[0\,;+\infty[$ : on peut consommer n'importe quelle quantité positive. Pour l'image, la première tranche ne donne que la valeur 45 ; la deuxième balaie continûment de $45$ exclu jusqu'à $C(50)=45+7\times 30=255$ inclus ; la troisième ne donne que 250, déjà atteint dans la deuxième. L'image est donc $[45\,;255]$.

En $x=20$ : la limite à gauche vaut 45, la limite à droite vaut $45+7\times 0=45$, et $C(20)=45$. Les trois coïncident, donc $C$ est CONTINUE en 20. En $x=50$ : la limite à gauche vaut $45+7\times 30=255$ et $C(50)=255$, mais la limite à droite vaut 250. Limite à gauche et limite à droite diffèrent, donc $C$ est DISCONTINUE en 50, avec un saut de 5 dollars vers le bas.

Il faut comparer la formule de la deuxième tranche au tarif illimité : $45+7(x-20)>250$ donne $7(x-20)>205$, puis $x-20>\dfrac{205}{7}\approx 29{,}29$, donc $x>49{,}29$ gigaoctets environ. Au-delà de $49{,}29$ Go, l'abonné paierait plus cher à la tranche que l'illimité. C'est précisément la zone où le saut se produit, et c'est pourquoi l'entreprise l'a placé là : au-dessus de ce seuil, le client demanderait de toute façon l'illimité.

Un barème d'impôt est CONTINU par construction, et cette continuité est une décision politique : si le taux s'appliquait à tout le revenu dès le franchissement d'une tranche, gagner un dollar de plus pourrait faire perdre des centaines de dollars nets, ce qui découragerait le travail à la frontière de la tranche. C'est pourquoi un taux marginal ne frappe QUE la part du revenu située dans la tranche. Un forfait commercial, lui, n'a pas cette contrainte : le saut vers le bas AVANTAGE le client et sert d'appel vers l'offre illimitée, personne ne se plaint de payer moins. La continuité d'une fonction par morceaux n'est donc pas une propriété mathématique subie, c'est le reflet d'un choix.

$P(q)=R(q)-C(q)=60q-0{,}1q^{2}-(0{,}2q^{2}+18q+500)$. En distribuant le signe moins sur les TROIS termes, ce que l'on oublie une fois sur deux : $P(q)=60q-0{,}1q^{2}-0{,}2q^{2}-18q-500=-0{,}3q^{2}+42q-500$. La vérification la moins chère consiste à évaluer en $q=0$ : $P(0)=-500$, et l'on retrouve bien la perte égale au coût fixe quand rien n'est vendu.

$\overline{C}(q)=\dfrac{0{,}2q^{2}+18q+500}{q}=0{,}2q+18+\dfrac{500}{q}$. Le domaine algébrique est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, et le domaine du contexte $]0\,;+\infty[$. Voilà le point du chapitre : $C$ existe en $q=0$, elle y vaut 500 dollars, mais son coût MOYEN n'existe pas en 0. La division a retiré une valeur que ni le numérateur ni le dénominateur ne posaient comme problème avant l'opération.

$P(50)=-0{,}3\times 2\,500+42\times 50-500=-750+2\,100-500=850$ dollars. $C(50)=0{,}2\times 2\,500+18\times 50+500=500+900+500=1\,900$ dollars, donc $\overline{C}(50)=\dfrac{1\,900}{50}=38$ dollars par unité. Enfin $R(50)=60\times 50-0{,}1\times 2\,500=3\,000-250=2\,750$ dollars, et le ratio vaut $\dfrac{2\,750}{1\,900}\approx 1{,}45$ : chaque dollar dépensé rapporte environ 1,45 dollar. On peut recouper : $R(50)-C(50)=2\,750-1\,900=850$, ce qui confirme $P(50)$.

$R-C$ est le PROFIT, la plus utile des quatre. $\dfrac{R}{C}$ est un ratio de rentabilité sans unité, parfaitement interprétable. $R+C$ n'a pas de sens direct, on n'additionne pas ce qui entre et ce qui sort, mais la somme apparaît quand même dans certains calculs de flux bruts. $R\times C$ n'a AUCUN sens : son unité serait le dollar carré. L'algèbre autorise les quatre opérations, le contexte n'en retient que deux ou trois ; savoir lequel des deux commande est exactement ce que le cours enseigne.

Pour la somme, la différence et le produit, le domaine est l'INTERSECTION des deux domaines : la valeur doit être licite pour les deux fonctions à la fois. Pour le quotient $\dfrac{f}{g}$, c'est cette même intersection PRIVÉE des valeurs où $g$ s'annule. La règle ne dit jamais « réunion » : une valeur interdite pour l'une reste interdite pour l'opération, même si l'autre s'en accommode.

$(f\circ g)(x)=f\!\left(\dfrac{1}{x-7}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{x-7}-3}$. Deux conditions s'empilent : d'abord $x\ne 7$ pour que l'intérieur existe, ensuite $\dfrac{1}{x-7}-3\ge 0$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{x-7}\ge 3$. Si $x<7$, le quotient est négatif et ne peut pas dépasser 3 : aucune solution. Si $x>7$, on peut multiplier par $x-7>0$ sans retourner l'inégalité : $1\ge 3(x-7)$, donc $x-7\le \dfrac{1}{3}$ et $x\le \dfrac{22}{3}$. Le domaine est $\left]7\,;\dfrac{22}{3}\right]$, soit environ $]7\,;7{,}33]$. Il faut séparer les deux cas de signe : multiplier en croix sans regarder le signe du dénominateur est l'erreur qui donne un domaine faux.

$(g\circ f)(x)=g\!\left(\sqrt{x-3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}-7}$. Conditions : $x-3\ge 0$, donc $x\ge 3$, et $\sqrt{x-3}\ne 7$, donc $x-3\ne 49$ et $x\ne 52$. Le domaine est $[3\,;52[\,\cup\,]52\,;+\infty[$. Les deux compositions n'ont ni la même formule ni le même domaine : la composition n'est pas commutative, et c'est visible ici du premier coup d'oeil.

$D(R(s))=0{,}08\times 1\,800s-400=144s-400$. Le coefficient 144 se lit : chaque dollar de salaire horaire supplémentaire ajoute 144 dollars de loisirs par an, parce qu'il ajoute 1 800 dollars de revenu dont 8 % partent en loisirs. C'est la règle de la chaîne, vue ici sur des fonctions affines, avant de la revoir comme règle de dérivation en chaîne au chapitre de la dérivée.

$D=144\times 16{,}50-400=2\,376-400=1\,976$ dollars par an. On peut recouper en passant par l'étape intermédiaire : $R=1\,800\times 16{,}50=29\,700$ dollars, puis $D=0{,}08\times 29\,700-400=2\,376-400=1\,976$ dollars. Le contrôle par la voie longue vaut la minute qu'il coûte.

$144s-400>0$ donne $s>\dfrac{400}{144}\approx 2{,}78$ dollars de l'heure. Le calcul est juste et sans utilité : aucun salaire horaire légal n'est inférieur à 2,78 dollars, donc ce seuil est situé HORS du domaine de validité du modèle, qui commence au salaire minimum. Le domaine algébrique de $s\mapsto 144s-400$ est $\mathbb{R}$ tout entier, le domaine du contexte est $[15{,}75\,;+\infty[$ environ. Répondre 2,78 dollars sans cette phrase, c'est répondre à une question que personne ne pose.

Le modèle exige $q\ge 0$ et $p\ge 0$. De $90-1{,}5p\ge 0$ on tire $p\le 60$. Le domaine du contexte est donc $[0\,;60]$ : au-delà de 60 dollars, le modèle annoncerait un nombre négatif de repas, ce qui n'existe pas. Le domaine algébrique, lui, serait $\mathbb{R}$ tout entier ; c'est encore la distinction du chapitre.

$q$ est affine de pente $-1{,}5$, strictement négative, donc strictement DÉCROISSANTE sur $[0\,;60]$, donc injective : deux prix différents ne peuvent pas donner la même quantité. On peut alors isoler $p$ dans $q=90-1{,}5p$ : $1{,}5p=90-q$, donc $p(q)=\dfrac{90-q}{1{,}5}=60-\dfrac{2q}{3}$. Vérifier l'injectivité AVANT d'isoler n'est pas une formalité : sans elle, l'expression obtenue ne serait pas une fonction, comme on l'a vu à l'exercice 1 avec le taux de chômage.

$q$ a pour domaine $[0\,;60]$, les prix, et pour image $[0\,;90]$, les quantités : $q(0)=90$ et $q(60)=0$. $p$ a pour domaine $[0\,;90]$ et pour image $[0\,;60]$. Le domaine de l'une est exactement l'image de l'autre, et réciproquement : c'est la propriété qui définit une paire de fonctions réciproques, et c'est elle que l'on contrôle en premier quand une réciproque semble fausse.

$q(24)=90-1{,}5\times 24=90-36=54$ repas. Puis $p(54)=60-\dfrac{2\times 54}{3}=60-36=24$ dollars. On retombe sur le prix de départ. Cette égalité contrôle que l'on a bien isolé $p$ et non commis une erreur de signe ou de division : une réciproque fausse échoue presque toujours sur ce test, alors qu'elle peut très bien passer un simple contrôle de cohérence des unités.

En économie, le prix est porté en ordonnée depuis Alfred Marshall, à la fin du XIXe siècle, et l'usage est resté : toutes les courbes d'offre et de demande des cours d'économie sont tracées ainsi, et changer d'axes rendrait les figures illisibles pour ceux qui les lisent. Mathématiquement, cela revient à tracer la RÉCIPROQUE $p(q)$ plutôt que $q(p)$. La symétrie par rapport à la première bissectrice $y=x$ reste vraie, mais elle n'est pas visible sur la figure, pour deux raisons : une seule des deux courbes y est tracée, et les deux axes n'ont ni la même unité ni la même échelle, alors que la symétrie ne se voit qu'en repère orthonormé. Une propriété peut être exacte et invisible ; c'est le graphique qui ment, pas la propriété.