Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : les fonctions et leur domaine (201-103)

Q: Comment trouver le domaine d'une fonction en calcul 201-103 ?

On regarde les symboles, pas le sens. Trois formes seulement imposent une condition : une barre de fraction impose un dénominateur non nul, une racine carrée impose un radicande positif ou nul, un logarithme impose un argument strictement positif. On écrit toutes les conditions, on les résout séparément, puis on prend leur intersection. Tout le reste, polynômes et exponentielles compris, existe partout.

Q: Pourquoi le domaine d'une somme est-il une intersection et pas une réunion ?

Parce qu'une somme a besoin de ses deux termes en même temps. Si la première fonction existe à partir de 2 et la seconde jusqu'à 5, leur somme n'a de valeur qu'entre 2 et 5, là où les deux répondent. Le mot réunion ne sert que pour une fonction définie par morceaux, où chaque morceau est une formule différente sur une zone différente.

Q: Pourquoi la racine donne-t-elle une inégalité large et le logarithme une inégalité stricte ?

Parce que la racine carrée de zéro existe et vaut zéro, alors que le logarithme de zéro n'existe pas. La condition de la racine est donc radicande supérieur ou égal à zéro, avec un crochet fermé, et celle du logarithme est argument strictement supérieur à zéro, avec un crochet ouvert. Ce n'est pas une convention, cela se vérifie sur la calculatrice.

Q: Pourquoi le coût moyen n'existe-t-il pas quand la quantité est nulle ?

Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité produite. En zéro unité, cette division n'est pas définie, même si le coût total y existe très bien et vaut le coût fixe. Le domaine du coût moyen est donc strictement positif. Économiquement, le coût moyen de zéro unité ne veut rien dire : on ne peut pas répartir une dépense sur rien.

Q: Comment reconnaître un modèle linéaire, exponentiel ou logistique dans un tableau ?

On calcule deux colonnes de plus. Si les différences d'une ligne à l'autre sont constantes, le modèle est linéaire. Si ce sont les rapports qui sont constants, il est exponentiel. Si les valeurs montent de plus en plus vite puis ralentissent vers un plafond, il est logistique. Et si les différences des différences sont constantes, le modèle est quadratique, pas exponentiel.

Q: Qu'est-ce que le domaine de validité d'un modèle ?

C'est la fenêtre de données sur laquelle le modèle a été ajusté, et elle est presque toujours plus étroite que le domaine mathématique. Une exponentielle ajustée sur dix ans reste calculable pour deux cents ans, mais le résultat n'a plus aucun sens. En Sciences humaines, énoncer cette fenêtre fait partie de la réponse et vaut des points.

C'est le premier chapitre du cours, et c'est celui dont les erreurs coûtent le plus cher au mois de décembre. Un domaine faux ne fait pas rater la question où il est demandé : il fait rater l'étude de fonction trois chapitres plus loin, quand $x=7$ sera traité comme une asymptote alors que la fonction y est simplement absente.

Cette fiche ne redit pas le cours. Elle prend les trois interdits, les quatre façons de combiner deux fonctions et les trois modèles du programme de Sciences humaines, et elle dit pour chacun quel geste rapporte des points et quelle ligne en fait perdre.

Mis à jour le 31 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Le domaine se construit condition par condition AVANT le moindre calcul : un interdit sauté ne déclenche aucune alarme, il produit un nombre, et un nombre faux traverse ensuite toute la copie.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Fonctions : propriétés et réciproque Secondaire 3
2 Fonction de degré 1 : variations directe et partielle Secondaire 3
3 Variation inverse et proportionnalité Secondaire 3
4 La fonction polynomiale de degré 2 Secondaire 4
5 Calculs algébriques Secondaire 5
6 La fonction racine carrée Secondaire 5
7 La fonction rationnelle, dite homographique Secondaire 5
8 Les fonctions quadratiques Secondaire 5
9 Les paramètres des fonctions Secondaire 5
10 Les opérations sur les fonctions Secondaire 5

Notions couvertes

Domaine de définition
Test de la droite verticale
Fonction définie par morceaux
Opérations sur les fonctions
Composition de fonctions
Fonction réciproque
Coût moyen
Modèle exponentiel
Modèle logistique
Asymptote horizontale
Domaine de validité d'un modèle

L'essentiel

Ce qu'une fonction est, et ce qu'elle n'est pas

• Une fonction associe à chaque entrée AU PLUS une sortie. Une entrée sans sortie est permise, elle est simplement hors du domaine ; une entrée avec deux sorties est interdite.
• Sur un graphique, le test tient en une droite verticale : si une verticale coupe la courbe deux fois, ce n'est pas une fonction.
• Le domaine est l'ensemble des entrées qui ONT une sortie. L'image est l'ensemble des sorties effectivement atteintes.
• Une fonction définie par morceaux reste UNE fonction : son domaine est la réunion des morceaux, et c'est le seul endroit du chapitre où le mot réunion est juste.

La même droite verticale rencontre la courbe de gauche en un seul point et la figure de droite en deux : à droite, une entrée aurait deux sorties, ce qu'aucune fonction ne fait.

Écrire « $D_f=$ » avant l'intervalle, et non « $x\ge 2$ » seul : le correcteur cherche un ENSEMBLE, pas une condition.

Les trois seuls interdits

• Un dénominateur ne s'annule pas : condition $\neq 0$ , à RÉSOUDRE, pas à recopier.
• Une racine d'indice pair ne prend pas de négatif : condition $\ge 0$ , inégalité LARGE, puisque $\sqrt{0}=0$ existe.
• Un logarithme ne prend que du strictement positif : condition $>0$ , inégalité STRICTE, puisque $\ln 0$ n'existe pas.
• Tout le reste existe partout : un polynôme, une exponentielle $b^{x}$ , un sinus, une valeur absolue n'ont aucun interdit.
• Une racine AU DÉNOMINATEUR cumule deux interdits qui fusionnent en un seul, strict : $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ exige $x>2$ , pas $x\ge 2$ .

Trois interdits, trois bornes :

\frac{1}{x}

saute

0

;

\sqrt{x}

PART de

0

(point plein,

\sqrt{0}=0

) ;

\ln x

n'atteint jamais

0

et plonge le long de l'axe vertical.

Trois interdits, pas quatre. Chercher un interdit à une exponentielle ou à un polynôme fait perdre du temps et introduit des conditions fausses.

Les trois familles de modèles du cours

• Accroissement CONSTANT d'une période à l'autre : modèle linéaire $ax+b$ .
• Taux d'accroissement constant, donc rapport constant d'une période à l'autre : modèle exponentiel $a\,b^{t}$ .
• Croissance qui accélère puis ralentit vers un plafond : modèle logistique.
• Une exponentielle $a\,b^{t}$ avec $a>0$ ne s'annule JAMAIS : son asymptote est $y=0$ et elle ne la touche pas.
• Une logistique de plafond $M$ a DEUX asymptotes horizontales, $y=0$ et $y=M$ . C'est ce qui la distingue d'une exponentielle sur un graphique.

Ces trois modèles ont $\mathbb{R}$ pour domaine mathématique et une fenêtre bien plus étroite pour domaine de VALIDITÉ. Les deux se rédigent.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Le domaine d'une combinaison, opération par opération

À lire dès que la fonction de l'énoncé est construite à partir de deux autres. Ici $f(x)=\sqrt{x-2}$ , définie sur $[2\,;+\infty[$ , et $g(x)=\ln(5-x)$ , définie sur $]-\infty\,;5[$ . La dernière colonne donne le domaine obtenu ; la case rouge signale une règle qui n'existe pas.

Combinaison	Condition à écrire	Domaine obtenu
$f+g$	$x\in D_f$ ET $x\in D_g$	$[2\,;5[$
Exemple : $\sqrt{x-2}+\ln(5-x)$ vaut $1+\ln 2\approx 1{,}693$ en $x=3$ , et rien du tout en $x=7$ .
$f\times g$	la même intersection	$[2\,;5[$
Exemple : $\sqrt{x-2}\,\ln(5-x)$ vaut $\sqrt{2}\times 0=0$ en $x=4$ , car $\ln 1=0$ .
$\dfrac{f}{g}$	l'intersection, PUIS $g(x)\neq 0$	$[2\,;4[\,\cup\,]4\,;5[$
Exemple : $\dfrac{\sqrt{x-2}}{\ln(5-x)}$ perd en plus $x=4$ , puisque $\ln 1=0$ y annule le dénominateur.
$f\circ g$	$x\in D_g$ ET $g(x)\in D_f$	$]-\infty\,;-2{,}389]$
Exemple : $\sqrt{\ln(5-x)-2}$ exige $\ln(5-x)\ge 2$ , donc $x\le 5-e^{2}\approx -2{,}389$ .
$D_{f+g}=D_f\cup D_g$	la réunion des domaines	n'existe pas règle inexistante
Exemple : En $x=7$ : $\sqrt{5}\approx 2{,}236$ existe, $\ln(-2)$ n'existe pas, donc la somme n'existe pas. Ce qu'il faut faire : Intersecter les deux domaines, jamais les réunir. Une somme a besoin de ses DEUX termes.

La ligne de la composition est la seule à demander deux conditions de nature différente : une sur $x$ , une sur $g(x)$ . C'est aussi la seule que la copie traite à moitié.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre la réunion des domaines au lieu de leur intersection

2 points, et le domaine faux se propage à toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f$ existe pour $x\ge 2$ et $g$ pour $x<5$ , donc $f+g$ existe pour tout $x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f+g$ existe là où les DEUX existent : $D_{f+g}=D_f\cap D_g=[2\,;5[$ . »

Le trait du bas ne dépasse ni à gauche ni à droite : il s'arrête là où le plus court des deux s'arrête, et c'est exactement ce que veut dire intersection.

Pourquoi : Une somme a besoin de ses deux termes. Le mot réunion ne sert qu'aux fonctions définies par morceaux, où les morceaux sont des formules différentes sur des zones différentes.

2. Donner la même inégalité à la racine et au logarithme

1 point par borne, et deux bornes fausses par copie en moyenne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x-2}$ existe pour $x>2$ et $\ln(5-x)$ pour $5-x\ge 0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x-2}$ existe pour $x\ge 2$ , car $\sqrt{0}=0$ ; $\ln(5-x)$ exige $5-x>0$ , car $\ln 0$ n'existe pas. »

La racine accepte sa borne : crochet FERMÉ en

2

, puisque

\sqrt{0}=0

. Le logarithme la refuse : crochet OUVERT en

5

, puisque

\ln 0

n'existe pas.

Pourquoi : La différence n'est pas une convention : $0$ a une racine carrée et n'a pas de logarithme. Chaque borne se justifie donc par une valeur, pas par une habitude.

3. N'appliquer qu'un seul interdit quand l'expression en contient deux

toute la question, puisque le domaine annoncé contient un point où la fonction n'existe pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ : il faut $x\ge 2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut $x\ge 2$ pour la racine ET $x\neq 5$ pour le dénominateur, donc $D_f=[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$ . »

La racine impose

x\ge 2

, le dénominateur retire

5

: le domaine est

[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[

, un intervalle percé en

5

(rouge).

Pourquoi : Chaque FORME apporte sa condition, indépendamment des autres. On recense les formes avant de résoudre quoi que ce soit, sinon la première trouvée fait oublier la seconde.

4. Simplifier avant de poser le domaine

1 point ici, et l'erreur revient à l'étude de fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=x+3$ , donc le domaine est $\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=x+3$ pour $x\neq 3$ : le domaine se lit sur l'écriture de DÉPART, $D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}$ . »

\frac{x^{2}-9}{x-3}

se confond avec la droite

y=x+3

, sauf en

x=3

, où la fraction n'existe pas : un TROU (rond vide), que la simplification a fait disparaître de l'écriture.

Pourquoi : La simplification fait disparaître le facteur, pas l'interdit. C'est le même geste qui, plus tard, fait annoncer une asymptote verticale là où il n'y a qu'un trou.

5. Le coût moyen évalué en $q=0$

2 points, et une phrase d'interprétation absurde en prime

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coût moyen de départ est $\overline{C}(0)=\dfrac{C(0)}{0}$ , c'est-à-dire le coût fixe. »

Ce qu'il faut écrire

« $C(0)=300$ dollars est le coût fixe, mais $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ n'est pas définie en $q=0$ : $D_{\overline{C}}=\,]0\,;+\infty[$ . »

Le point plein sur l'axe vertical est

C(0)=300

, le coût fixe. La seconde courbe, elle, monte sans fin quand

q

approche

0

\overline{C}

n'y existe pas.

Pourquoi : Diviser par la quantité produite retire le zéro du domaine, même quand la fonction de départ y est parfaitement définie. Économiquement, le coût moyen de zéro unité ne veut rien dire.

6. Composer en n'exigeant qu'une seule des deux conditions

3 points, et un domaine qui contient presque tout alors qu'il ne contient presque rien

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(f\circ g)(x)=\sqrt{\ln(5-x)-2}$ existe dès que $x<5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut $x<5$ pour que $g(x)$ existe, ET $\ln(5-x)\ge 2$ pour que la racine existe, donc $x\le 5-e^{2}\approx -2{,}389$ . »

La condition

x<5

(orange) ne fait que laisser entrer

x

dans

g

. La racine exige en plus

\ln(5-x)\ge 2

: il ne reste que

x\le 5-e^{2}\approx -2{,}39

(vert), une petite partie du premier intervalle.

Pourquoi : Composer, c'est faire passer une sortie dans une seconde machine : il faut que l'entrée soit acceptée par la première et que sa sortie soit acceptée par la seconde.

7. Échanger $x$ et $y$ sans échanger le domaine et l'image

la moitié des points de la question, et l'erreur revient chaque session

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\sqrt{x-2}$ a pour réciproque $f^{-1}(x)=x^{2}+2$ , définie sur $\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f^{-1}(x)=x^{2}+2$ sur $[0\,;+\infty[$ seulement : le domaine de $f^{-1}$ est l'IMAGE de $f$ , qui est $[0\,;+\infty[$ . »

f

(bleu) et

f^{-1}

(vert) sont symétriques par rapport à

y=x

, à condition de garder

x\ge 0

pour

f^{-1}

. La branche rouge,

x<0

, renverrait des valeurs que

f

ne prend jamais.

Pourquoi : Une réciproque n'est pas une formule, c'est une formule AVEC son domaine. Sans restriction, $x^{2}+2$ renverrait $6$ pour $x=-2$ , une entrée que $f$ n'a jamais produite.

8. Prolonger un modèle au-delà de la fenêtre où il a été ajusté

1 à 2 points d'interprétation, systématiquement retirés en Sciences humaines

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le modèle $P(t)=1200\times 1{,}04^{t}$ ajusté sur dix ans donne $P(200)\approx 3{,}1$ millions d'habitants. »

Ce qu'il faut écrire

« Le modèle a été ajusté sur $0\le t\le 10$ . Au-delà, il reste calculable mais n'est plus valide : son domaine mathématique est $\mathbb{R}$ , son domaine de validité est $[0\,;10]$ . »

Le modèle a été ajusté sur

[0\,;10]

(vert). La formule continue de donner des nombres au-delà (rouge), mais rien ne garantit qu'ils décrivent encore la population.

Pourquoi : C'est le point de méthode propre au programme : un modèle est un ajustement sur des données, pas une loi. Énoncer sa fenêtre de validité fait partie de la réponse attendue.

Quelle méthode choisir

Quelle condition poser, selon la FORME de l'expression

On ne lit pas le sens de la fonction, on regarde les symboles présents. Une forme repérée, une condition écrite.

Si une barre de fraction → poser dénominateur $\neq 0$ , puis RÉSOUDRE l'équation dénominateur $=0$

Exemple : $\dfrac{3}{x^{2}-9}$ : on retire $-3$ et $3$

l'erreur la plus fréquente est de recopier la condition sans la résoudre
Si une racine carrée, ou toute racine d'indice pair → poser le radicande $\ge 0$ , inégalité LARGE

Exemple : $\sqrt{2x-6}$ : $x\ge 3$
Si un $\ln$ ou un $\log$ → poser l'argument $>0$ , inégalité STRICTE

Exemple : $\ln(2x-6)$ : $x>3$
Si une racine AU dénominateur → les deux conditions fusionnent en une seule, stricte

Exemple : $\dfrac{1}{\sqrt{2x-6}}$ : $x>3$ , et non $x\ge 3$
Si un logarithme AU dénominateur → argument $>0$ , ET argument $\neq 1$ , puisque $\ln 1=0$

Exemple : $\dfrac{1}{\ln(8-x)}$ : $x<8$ et $x\neq 7$

c'est la condition la plus oubliée de tout le chapitre
Si plusieurs de ces formes dans la même expression → une condition par forme, résolues séparément, puis INTERSECTION

Exemple : $\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ : $[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$
Si un polynôme, une exponentielle $b^{x}$ , un sinus, une valeur absolue → aucune condition, le domaine est $\mathbb{R}$

Exemple : $3^{x}-x^{2}$ : $D=\mathbb{R}$

Si aucune branche ne s'applique, c'est qu'il n'y a pas d'interdit : le domaine est $\mathbb{R}$ , et il faut l'écrire plutôt que de laisser la case vide. Reste ensuite à intersecter avec le domaine du contexte, qui n'est pas une affaire de symboles.

Quel modèle, selon ce que montre le tableau de données

On calcule deux colonnes de plus avant de choisir : les DIFFÉRENCES successives et les RAPPORTS successifs.

La logistique est la seule des trois à s'aplatir sous la ligne pointillée : c'est ce plafond, et non la vitesse de montée, qui la distingue de l'exponentielle.

Si les différences successives sont constantes → modèle linéaire $ax+b$ , avec $a$ la différence commune

Exemple : $12$ , $17$ , $22$ , $27$ : différence $5$ , donc $5t+12$
Si les rapports successifs sont constants → modèle exponentiel $a\,b^{t}$ , avec $b$ le rapport commun

Exemple : $400$ , $440$ , $484$ : rapport $1{,}1$ , donc $400\times 1{,}1^{t}$
Si les différences croissent puis décroissent, et les valeurs plafonnent → modèle logistique, le plafond se lit sur la dernière valeur atteinte

Exemple : une diffusion qui passe de $2$ à $50$ puis stagne vers $60$
Si les différences DES différences sont constantes → modèle quadratique, pas exponentiel

Exemple : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ : différences $3$ , $5$ , $7$ , donc $t^{2}$

c'est la confusion la plus coûteuse : une parabole monte vite sans être une exponentielle

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un domaine, condition par condition

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé écrit « déterminer le domaine » ou « pour quelles valeurs ce modèle a-t-il un sens ».

1 Recenser les FORMES présentes : barre de fraction, racine paire, logarithme. Une forme, une condition, et on les écrit toutes avant d'en résoudre une seule.
2 Poser chaque condition avec la bonne inégalité : LARGE pour la racine, STRICTE pour le logarithme, $\neq$ pour le dénominateur.
3 Résoudre chaque condition séparément, sur sa propre ligne.
4 Prendre l'INTERSECTION des solutions et l'écrire en intervalles, avec les bons crochets.
5 Retirer enfin les valeurs qui annulent un dénominateur, y compris quand ce dénominateur est un logarithme, qui s'annule en $1$ .
6 Intersecter avec le domaine du CONTEXTE quand il y en a un : une quantité, un effectif, une durée ne sont pas négatifs.

Phrase de conclusion

« Les conditions $x-2\ge 0$ , $8-x>0$ et $\ln(8-x)\neq 0$ donnent respectivement $x\ge 2$ , $x<8$ et $x\neq 7$ . Donc $D_f=[2\,;7[\,\cup\,]7\,;8[$ . »

Le piège : Sauter la ligne des conditions et donner directement l'intervalle. Un domaine juste sans ses conditions écrites perd la moitié des points, parce que le barème paie le raisonnement.

Barème : 1 point par condition posée et résolue, 1 point pour l'intersection, 1 point pour l'écriture en intervalles.

Construire une réciproque et l'interpréter

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé retourne la question : on connaît la sortie, on cherche l'entrée. « Quel prix faut-il fixer pour vendre 300 unités ? »

1 Vérifier d'abord que la fonction est injective sur le domaine considéré, et le DIRE : une quantité qui baisse puis remonte n'a pas de réciproque sur toute sa période.
2 Poser $y=f(x)$ , puis isoler $x$ en fonction de $y$ , une opération inverse à la fois.
3 Échanger les noms des variables pour écrire $f^{-1}(x)$ , et pas avant : échanger trop tôt est la source des erreurs de signe.
4 Donner le DOMAINE de $f^{-1}$ , qui est l'image de $f$ , et non $\mathbb{R}$ par défaut.
5 Contrôler sur une valeur : $f^{-1}(f(a))=a$ .
6 Traduire en mots ce que la réciproque calcule, dans les unités de l'énoncé.

Phrase de conclusion

« La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;50]$ , donc injective : elle admet une réciproque. De $y=100-2x$ on tire $x=\dfrac{100-y}{2}$ , donc $f^{-1}(x)=\dfrac{100-x}{2}$ , définie sur $[0\,;100]$ , l'image de $f$ . Elle donne la quantité vendue à partir du prix. »

Le piège : Annoncer une réciproque sans avoir justifié l'injectivité. C'est la ligne que le correcteur cherche en premier, parce que c'est celle qui prouve qu'on sait à quelle condition une réciproque existe.

Barème : 1 point pour l'injectivité, 2 points pour l'isolement de $x$ , 1 point pour le domaine, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester une valeur exclue

Prendre une valeur que le domaine trouvé rejette et l'entrer dans la calculatrice. Elle DOIT renvoyer une erreur de domaine. Si elle renvoie un nombre, la condition posée était trop large.

Pour $D_f=[2\,;7[\,\cup\,]7\,;8[$ , entrer $x=7$ : la TI affiche « DIVIDE BY 0 », la Casio « Ma ERROR ». Un nombre affiché signifie que la condition $\ln(8-x)\neq 0$ a été oubliée.
Tester une valeur intérieure

Prendre une valeur bien à l'intérieur du domaine trouvé. Elle doit renvoyer un nombre. Le contrôle attrape l'erreur inverse, celle d'un domaine trop étroit.

En $x=5$ , $\dfrac{\sqrt{5-2}}{\ln(8-5)}=\dfrac{\sqrt{3}}{\ln 3}\approx 1{,}577$ . Une erreur ici dirait qu'une borne a été posée du mauvais côté.
Les deux bornes, une par une

Chaque borne du domaine se teste à la valeur elle-même, pas à côté : c'est ce qui décide entre crochet ouvert et crochet fermé.

$\sqrt{2-2}=0$ existe, donc $2$ est DANS le domaine, crochet fermé. $\ln(8-8)$ n'existe pas, donc $8$ est dehors, crochet ouvert.
Le contrôle de la réciproque

Appliquer $f$ puis $f^{-1}$ à une valeur quelconque du domaine : on doit retomber sur elle. C'est le contrôle le moins cher du chapitre et il attrape presque toutes les erreurs de signe.

Avec $f(x)=100-2x$ et $f^{-1}(x)=\dfrac{100-x}{2}$ : $f(17)=66$ , puis $\dfrac{100-66}{2}=17$ . Retomber sur $-17$ ou sur $34$ signale une opération inversée dans le mauvais ordre.
Le domaine du contexte

Relire l'énoncé et se demander ce que la variable représente. Une quantité, un effectif, une durée, un prix ne sont pas négatifs, et le domaine final est l'intersection avec cette contrainte.

Un domaine mathématique $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ pour un coût moyen devient $]0\,;+\infty[$ une fois le contexte lu. Annoncer $-5$ unités produites coûte le point d'interprétation.

L'exercice type décortiqué

Le domaine d'un indice composé, les trois interdits à la fois

Un rapport de recherche modélise un indice de tension sociale par $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\ln(8-x)}$ , où $x$ est un indicateur de densité mesuré entre $2$ et $8$ .

Déterminer le domaine de définition de $f$ , puis calculer $f(5)$ .

Étape 1

L'expression contient une racine carrée, un logarithme et une barre de fraction : trois formes, donc trois conditions à poser.

Pourquoi

Recenser AVANT de résoudre est le geste qui rapporte : une fois qu'on a résolu la première condition, on oublie systématiquement de chercher les autres.

Étape 2

Racine : $x-2\ge 0$ , donc $x\ge 2$ . L'inégalité est large, puisque $\sqrt{0}=0$ existe.

Pourquoi

Justifier la largeur de l'inégalité par une valeur, et non par une habitude, sécurise le crochet fermé en $2$ .

Étape 3

Logarithme : $8-x>0$ , donc $x<8$ . L'inégalité est stricte, puisque $\ln 0$ n'existe pas.

Pourquoi

C'est la seconde borne, et elle est d'une autre nature que la première. Deux interdits voisins n'ont aucune raison de donner le même type de crochet.

Étape 4

Dénominateur : $\ln(8-x)\neq 0$ . Or $\ln u=0$ équivaut à $u=1$ , donc $8-x\neq 1$ , c'est-à-dire $x\neq 7$ .

Pourquoi

C'est l'étape que la copie saute. Le réflexe écrit $8-x\neq 0$ , qui redonne la condition du logarithme et laisse passer $x=7$ , où la fonction n'existe pas.

Étape 5

Intersection : $x\ge 2$ et $x<8$ donnent $[2\,;8[$ , dont on retire $7$ . Donc $D_f=[2\,;7[\,\cup\,]7\,;8[$ .

Pourquoi

Le trou n'apparaît qu'ici, après l'intersection. Retirer $7$ trop tôt, avant d'avoir les deux bornes, donne une écriture fausse une fois sur deux.

Étape 6

En $x=5$ : $f(5)=\dfrac{\sqrt{3}}{\ln 3}\approx\dfrac{1{,}732}{1{,}099}\approx 1{,}577$ .

Pourquoi

La valeur demandée se calcule seulement après avoir vérifié que $5$ appartient bien au domaine. Calculer d'abord et vérifier ensuite, c'est accepter de rendre un nombre qui n'existe pas.

Étape 7

Contrôle : en $x=7$ , la calculatrice renvoie une erreur ; en $x=8$ aussi ; en $x=2$ elle renvoie $0$ .

Pourquoi

Les trois tests confirment chacun une borne différente, et le $0$ obtenu en $2$ confirme que le crochet y est bien fermé.

Conclusion rédigée

« Le domaine de $f$ est $D_f=[2\,;7[\,\cup\,]7\,;8[$ , et $f(5)=\dfrac{\sqrt{3}}{\ln 3}\approx 1{,}577$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $8-x\neq 0$ pour le dénominateur au lieu de $8-x\neq 1$ . Le domaine annoncé est alors $[2\,;8[$ tout entier, il contient $x=7$ , et la fonction n'y existe pas.

À savoir par cœur

• TROIS interdits, pas quatre : dénominateur nul, racine paire d'un négatif, logarithme d'un nombre qui n'est pas strictement positif.
• La racine donne une inégalité LARGE, le logarithme une inégalité STRICTE. $\sqrt{0}$ existe, $\ln 0$ n'existe pas.
• $\ln u=0$ équivaut à $u=1$ : un logarithme au dénominateur interdit aussi la valeur qui rend son argument égal à $1$ .
• Somme, différence, produit : INTERSECTION des domaines. Quotient : cette intersection, privée des zéros du dénominateur.
• Composition : DEUX conditions, $x\in D_g$ et $g(x)\in D_f$ . Jamais une seule.
• Réciproque : domaine et image s'ÉCHANGENT, et elle n'existe que là où la fonction est injective.
• Le coût moyen $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ n'est JAMAIS défini en $q=0$ , même quand $C$ l'est.
• Domaine mathématique et domaine de VALIDITÉ sont deux réponses différentes, et l'énoncé attend souvent les deux.

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction en calcul 201-103 ?

On regarde les symboles, pas le sens. Trois formes seulement imposent une condition : une barre de fraction impose un dénominateur non nul, une racine carrée impose un radicande positif ou nul, un logarithme impose un argument strictement positif. On écrit toutes les conditions, on les résout séparément, puis on prend leur intersection. Tout le reste, polynômes et exponentielles compris, existe partout.

Pourquoi le domaine d'une somme est-il une intersection et pas une réunion ?

Parce qu'une somme a besoin de ses deux termes en même temps. Si la première fonction existe à partir de 2 et la seconde jusqu'à 5, leur somme n'a de valeur qu'entre 2 et 5, là où les deux répondent. Le mot réunion ne sert que pour une fonction définie par morceaux, où chaque morceau est une formule différente sur une zone différente.

Pourquoi la racine donne-t-elle une inégalité large et le logarithme une inégalité stricte ?

Parce que la racine carrée de zéro existe et vaut zéro, alors que le logarithme de zéro n'existe pas. La condition de la racine est donc radicande supérieur ou égal à zéro, avec un crochet fermé, et celle du logarithme est argument strictement supérieur à zéro, avec un crochet ouvert. Ce n'est pas une convention, cela se vérifie sur la calculatrice.

Pourquoi le coût moyen n'existe-t-il pas quand la quantité est nulle ?

Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité produite. En zéro unité, cette division n'est pas définie, même si le coût total y existe très bien et vaut le coût fixe. Le domaine du coût moyen est donc strictement positif. Économiquement, le coût moyen de zéro unité ne veut rien dire : on ne peut pas répartir une dépense sur rien.

Comment reconnaître un modèle linéaire, exponentiel ou logistique dans un tableau ?

On calcule deux colonnes de plus. Si les différences d'une ligne à l'autre sont constantes, le modèle est linéaire. Si ce sont les rapports qui sont constants, il est exponentiel. Si les valeurs montent de plus en plus vite puis ralentissent vers un plafond, il est logistique. Et si les différences des différences sont constantes, le modèle est quadratique, pas exponentiel.

Qu'est-ce que le domaine de validité d'un modèle ?

C'est la fenêtre de données sur laquelle le modèle a été ajusté, et elle est presque toujours plus étroite que le domaine mathématique. Une exponentielle ajustée sur dix ans reste calculable pour deux cents ans, mais le résultat n'a plus aucun sens. En Sciences humaines, énoncer cette fenêtre fait partie de la réponse et vaut des points.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions et leur domaine

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

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Les limites et la continuité

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sh103-fonctions-domaine. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les fonctions et leur domaine (201-103)

L'essentiel

Ce qu'une fonction est, et ce qu'elle n'est pas

Les trois seuls interdits

Les trois familles de modèles du cours

Les règles de calcul en tableau

Le domaine d'une combinaison, opération par opération

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre la réunion des domaines au lieu de leur intersection

2. Donner la même inégalité à la racine et au logarithme

3. N'appliquer qu'un seul interdit quand l'expression en contient deux

4. Simplifier avant de poser le domaine

5. Le coût moyen évalué en q=0q=0q=0

6. Composer en n'exigeant qu'une seule des deux conditions

7. Échanger xxx et yyy sans échanger le domaine et l'image

8. Prolonger un modèle au-delà de la fenêtre où il a été ajusté

Quelle méthode choisir

Quelle condition poser, selon la FORME de l'expression

Quel modèle, selon ce que montre le tableau de données

La rédaction attendue

Rédiger un domaine, condition par condition

Construire une réciproque et l'interpréter

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le domaine d'un indice composé, les trois interdits à la fois

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction en calcul 201-103 ?

Pourquoi le domaine d'une somme est-il une intersection et pas une réunion ?

Pourquoi la racine donne-t-elle une inégalité large et le logarithme une inégalité stricte ?

Pourquoi le coût moyen n'existe-t-il pas quand la quantité est nulle ?

Comment reconnaître un modèle linéaire, exponentiel ou logistique dans un tableau ?

Qu'est-ce que le domaine de validité d'un modèle ?

Exercices corrigés : Les fonctions et leur domaine

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5. Le coût moyen évalué en $q=0$

7. Échanger $x$ et $y$ sans échanger le domaine et l'image