Fiche de révision : les opérations sur les fonctions (math SN5)

Si somme, différence ou produit → INTERSECTION des deux domaines, sans condition supplémentaire

Exemple : $f$ sur $[0;+\infty[$ et $g$ sur $]-\infty;5]$ : le domaine de $f+g$ est $[0;5]$

Si quotient $\frac{f}{g}$ → intersection des domaines, PRIVÉE des zéros de $g$

Exemple : $\frac{x^{2}-4}{x-2}$ : domaine $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, même après simplification

Les zéros de $g$ se cherchent sur $g$ elle-même, avant toute simplification de la fraction.

Si composée $f\circ g$ → DEUX conditions : $x$ dans le domaine de $g$, ET $g(x)$ dans le domaine de $f$

Exemple : $\sqrt{\frac{1}{x}}$ exige $x\neq 0$ et $\frac{1}{x}\ge 0$, donc $x>0$

La seconde condition est une inéquation en $x$, à résoudre : elle ne se lit pas, elle se calcule.

Si la fonction extérieure est une racine PAIRE → condition $g(x)\ge 0$, à résoudre comme une inéquation

Exemple : $\sqrt{x^{2}-9}$ exige $x^{2}-9\ge 0$, donc $x\le -3$ ou $x\ge 3$

Si la fonction extérieure est un logarithme → condition $g(x)>0$, strictement, sans le cas d'égalité

Exemple : $\log(4-x)$ exige $4-x>0$, donc $x<4$

Si la fonction extérieure est un inverse → condition $g(x)\neq 0$, ce qui exclut des points isolés

Exemple : $\frac{1}{x^{2}-1}$ exige $x\neq 1$ et $x\neq -1$

Si on demande $(f\circ g)(a)$ pour une valeur $a$ précise → calculer $g(a)$, puis $f$ de ce nombre. Ne pas chercher la formule générale

Exemple : $f(x)=x^{2}$, $g(x)=x+3$ : $(f\circ g)(1)=f(4)=16$

Deux calculs numériques valent mieux qu'une composition algébrique, surtout dans une table de valeurs.

Si on demande la RÈGLE de $f\circ g$ → remplacer chaque $x$ de la formule de $f$ par l'expression entière de $g(x)$, entre parenthèses

Exemple : $f(x)=2x^{2}-1$ et $g(x)=x+3$ : $(f\circ g)(x)=2(x+3)^{2}-1$

Les parenthèses sont obligatoires : sans elles, $2\cdot x+3^{2}-1$ n'a rien à voir avec la composée.

Si on demande de DÉCOMPOSER une formule → la fonction intérieure est ce qui est sous le radical, dans la parenthèse ou à la base; l'extérieure est l'opération faite en dernier

Exemple : $h(x)=\sqrt{2x+1}$ : $g(x)=2x+1$ et $f(x)=\sqrt{x}$

La décomposition n'est pas unique, mais toute proposition doit se recomposer exactement en $h$.

Si on demande de résoudre $(f\circ g)(x)=c$ → résoudre d'abord $f(u)=c$, puis $g(x)=u$ pour chaque $u$ trouvé

Exemple : $f(u)=u^{2}$ et $g(x)=x+3$ : $(f\circ g)(x)=25$ donne $u=\pm 5$, donc $x=2$ ou $x=-8$

Cette méthode en deux temps évite de développer, et elle n'oublie jamais la seconde solution.

Si on demande une modélisation où une grandeur dépend d'une autre → identifier la chaîne de dépendance, et composer dans l'ordre de la chaîne

Exemple : le coût dépend de la production, la production dépend du temps : $C\circ P$ donne le coût en fonction du temps