Fiche de révision : la fonction réciproque (math SN5)

Pourquoi : Le $-1$ est collé à la LETTRE $f$, pas à une valeur : il nomme la fonction qui défait $f$, il n'est pas un exposant. Le contrôle qui tranche en cinq secondes : la réponse doit avoir pour image $1$ par $f$. Ici $f(2)=1$ ✓ alors que $f(0{,}25)=6{,}25\neq 1$.

Pourquoi : Passer à la réciproque ÉCHANGE le domaine et l'image, il ne les recopie pas. La condition d'existence de la règle trouvée le confirme toujours : $f^{-1}(x)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{x-4}{3}\right)$ exige $\dfrac{x-4}{3}>0$, soit $x>4$. Quand les deux méthodes ne donnent pas le même ensemble, c'est l'image qui a été mal lue.

Pourquoi : Sans restriction annoncée, l'objet écrit n'est pas une réciproque : $f(1)=0$ et $f(5)=0$, donc $0$ a deux antécédents et rien ne justifie de garder $3+\sqrt{4}=5$ plutôt que $3-\sqrt{4}=1$. La phrase de restriction n'est pas une précaution de style, c'est ce qui rend la règle vraie.

Pourquoi : La racine carrée ne renvoie QUE la valeur positive, donc l'équation $u^{2}=c$ oblige à écrire les deux cas avant d'en éliminer un. C'est la restriction qui choisit le signe, jamais l'habitude. Contrôle : $f(-1)=12$, et $3-\sqrt{16}=-1$ ✓ alors que $3+\sqrt{16}=7$, qui n'appartient même pas à la restriction.

Pourquoi : La symétrie par rapport à $y=x$ échange les deux AXES, elle ne renverse l'ordre des nombres sur aucun des deux. Vérification sur deux valeurs : si $f(1)=6$ et $f(2)=4$, alors $f^{-1}(4)=2$ et $f^{-1}(6)=1$, donc quand la variable augmente de $4$ à $6$, l'image descend de $2$ à $1$.

Pourquoi : La réflexion par rapport à l'axe des $y$ donne la courbe de $x\mapsto f(-x)$, qui n'a rien à voir. Test immédiat sur un point : $(2\,;4)$ doit devenir $(4\,;2)$, alors que la réflexion par rapport à l'axe des $y$ le placerait en $(-2\,;4)$. Si le point image n'est pas de l'autre côté de la diagonale, le tracé est faux.

Pourquoi : On défait les opérations dans l'ordre INVERSE de celui où on les a faites : $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$. L'image qui la rend inoubliable : on met les chaussettes puis les chaussures, on retire les chaussures puis les chaussettes. Contrôle numérique : $c(12)=30$ ✓ alors que $c(13{,}5)=33$.

Pourquoi : Les deux identités de la réciproque ne sont pas vraies partout : $g^{-1}\big(g(x)\big)=x$ ne vaut que sur le domaine de $g$, et $g\big(g^{-1}(x)\big)=x$ que sur le domaine de $g^{-1}$, c'est-à-dire l'image de $g$. Réciter l'identité sans vérifier l'appartenance est exactement ce que la question teste.

Pourquoi : La composition n'est pas symétrique. Dans le sens fonction puis réciproque, $\sin(\arcsin x)=x$ vaut pour tout $x$ de $[-1\ ;\ 1]$. Dans l'autre sens, $\arcsin(\sin x)=x$ ne vaut que si $x$ appartient à l'intervalle de RESTRICTION, parce que la réciproque n'a pas été construite sur toute la fonction mais sur une tranche, et rien de ce qui est hors de la tranche ne peut en ressortir. Le réflexe correct est de calculer de l'intérieur vers l'extérieur au lieu de simplifier d'un trait.

Pourquoi : La fonction $\arccos$ ne renvoie qu'un représentant, celui de $[0\ ;\ \pi]$, précisément parce que c'est le seul intervalle où l'on a rendu $\cos$ inversible. Résoudre une équation, c'est autre chose : on cherche tous les antécédents sur le domaine de l'énoncé. La calculatrice entretient la confusion, puisqu'elle affiche une valeur unique sans jamais signaler qu'il y en a d'autres.

Pourquoi : Le domaine d'une réciproque est l'IMAGE de la fonction de départ, et le cosinus ne prend jamais de valeur hors de $[-1\ ;\ 1]$. Le message d'erreur de la calculatrice est donc une information juste, pas un obstacle à contourner. Même contrôle pour $\arcsin$ ; $\arctan$ fait exception, son domaine est $\mathbb{R}$ tout entier puisque la tangente prend toutes les valeurs réelles.