Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal
Cette fiche ne refait pas le cours sur la programmation linéaire : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la traduction sûre de chaque phrase de l'énoncé, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.
Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.
Le fil du chapitre
L'optimum d'une fonction linéaire se trouve TOUJOURS sur un sommet du polygone de contraintes, jamais à l'intérieur : c'est le théorème qui fait tout le chapitre, et il transforme un problème avec une infinité de possibilités en une simple liste de quelques points à tester. Presque tous les points perdus viennent d'avoir mal traduit une phrase de l'énoncé en inéquation, ou d'avoir lu un sommet sur le dessin au lieu de le calculer par un système : un sommet lu à l'oeil est faux dès qu'il tombe entre deux graduations.
Chacune des cinq étapes vaut ses points au barème, même si la suivante est fausse. Une copie qui définit ses variables et traduit correctement ses contraintes obtient la moitié des points, quel que soit le résultat final.
Test systématique de toute inéquation traduite : choisir un couple qui devrait clairement la satisfaire, un autre qui devrait clairement la violer, et vérifier. Dix secondes par contrainte, et le sens ne se trompe plus.
Pour repérer le bon demi-plan, testez le point dans l'inéquation : s'il la vérifie, le demi-plan valide est celui qui contient l'origine. La méthode échoue seulement si la droite passe par l'origine, auquel cas on teste .
Le théorème dit « en au moins un sommet », pas « en un seul » : c'est précisément ce qui permet le cas des solutions multiples, et l'énoncé qui donne deux sommets de même valeur teste toujours cette lecture fine.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'atelier dispose d'au plus heures : donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Au plus heures signifie qu'on ne peut pas dépasser : donc . »
Pourquoi : Une ressource LIMITÉE donne un , une exigence MINIMALE donne un . Le test qui tranche : le couple , qui n'utilise aucune heure, doit être admissible pour une contrainte de ressource, ce que refuse.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les contraintes sont et , c'est tout ce que dit l'énoncé. »
Ce qu'il faut écrire
« Il faut ajouter et : on ne fabrique pas un nombre négatif de tables. Le polygone est alors borné et possède quatre sommets. »
Pourquoi : Sans ces deux contraintes, le domaine s'étend indéfiniment dans le troisième quadrant et le minimum n'existe plus. Elles sont implicites dans presque tous les énoncés concrets, et le barème les compte comme des contraintes à part entière.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le sommet est à peu près en , je le lis sur le dessin. »
Ce qu'il faut écrire
« On résout le système des deux droites concernées : et donnent et . Le sommet est exactement . »
Pourquoi : Un sommet tombe presque toujours entre deux graduations, et l'erreur de lecture d'un demi-carreau change la valeur optimale. Le graphique sert à IDENTIFIER quelles droites se croisent en un sommet; le système sert à calculer ses coordonnées.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les trois droites se coupent deux à deux, donc j'ai trois sommets à tester. »
Ce qu'il faut écrire
« Chaque point d'intersection doit être VÉRIFIÉ dans toutes les autres contraintes : celui qui en viole une n'appartient pas au polygone et n'est pas un sommet. »
Pourquoi : Les droites frontières se prolongent au-delà du polygone, donc elles se croisent aussi à l'extérieur. Le contrôle est mécanique : substituer les coordonnées du point dans chaque inéquation restante, et exiger que toutes soient satisfaites.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le sommet le plus éloigné de l'origine donne forcément le maximum du profit. »
Ce qu'il faut écrire
« On évalue en CHAQUE sommet et on compare : ici dollars alors que dollars, donc le maximum n'est pas au sommet le plus éloigné. »
Pourquoi : La valeur de dépend des COEFFICIENTS de la fonction, pas de la distance à l'origine : un sommet proche mais aligné avec la direction d'optimisation peut battre un sommet lointain. Il n'y a jamais plus de cinq sommets, donc les évaluer tous coûte moins d'une minute.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il faut au moins deux fois plus de chaises que de tables : donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Deux fois plus de chaises () que de tables () s'écrit : c'est le nombre de CHAISES qui doit être grand. »
Pourquoi : La grandeur qui est « plus nombreuse » se trouve du côté où le coefficient n'apparaît PAS : signifie bien que est au moins le double de . Le test numérique règle tout : quatre chaises pour deux tables doit être admissible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le maximum est atteint en , donc il faut fabriquer chaises. »
Ce qu'il faut écrire
« Le nombre de chaises est entier : on teste , qui est admissible et donne dollars, et c'est la meilleure solution entière de ce sommet. »
Pourquoi : Le théorème s'applique aux variables réelles; le contexte impose souvent des entiers. Il faut alors tester les points entiers VOISINS du sommet optimal, en vérifiant à chaque fois qu'ils appartiennent bien au polygone.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La contrainte est , et le sommet est en qui vérifie : c'est mon optimum. »
Ce qu'il faut écrire
« L'inégalité est STRICTE, donc les points de cette droite sont exclus : le sommet n'appartient pas au polygone et l'optimum n'est pas atteint sur cette frontière. »
Pourquoi : Une inégalité stricte exclut sa frontière, ce qui se dessine en pointillé. Dans un contexte concret, cela signifie qu'il faut rester strictement en dessous : la réponse correcte est alors le meilleur point admissible, souvent le point entier immédiatement voisin.
Lisez l'énoncé phrase par phrase, et traduisez-en une à la fois. Chaque phrase qui contient un nombre donne une contrainte, et chaque contrainte se teste ensuite sur un couple évident.
Si « au plus », « au maximum », « ne dépasse pas », « dispose de » → inéquation avec , car la ressource est limitée
Exemple : « au plus heures de travail » :
Le point doit être admissible pour toute contrainte de ressource : c'est le test qui confirme le sens.
Si « au moins », « au minimum », « il faut produire », « la demande est de » → inéquation avec , car un seuil doit être atteint
Exemple : « au moins tables » :
Ici le point n'est PAS admissible, ce qui est normal et confirme le sens.
Si « deux fois plus de que de » → : le coefficient va du côté de la grandeur la MOINS nombreuse
Exemple : au moins deux chaises par table :
Test obligatoire : doit passer, doit échouer. Cinq secondes, et le sens est fixé.
Si « pas plus du tiers », « au maximum la moitié » → écrire la fraction du total, puis multiplier pour supprimer le dénominateur
Exemple : « ne dépasse pas le tiers du total » : , donc , soit
Si aucune phrase ne le dit, mais les variables comptent des objets → ajouter et , qui sont implicites et exigées au barème
Exemple : un nombre de tables ou d'heures ne peut pas être négatif
Si une phrase impose une égalité, « autant de que de » → c'est une DROITE, pas un demi-plan : le domaine admissible se réduit à un segment
Exemple : transforme le polygone en un segment, dont les deux extrémités sont les seuls candidats
Aucune branche ne remplace le test numérique. Après avoir écrit chaque inéquation, choisissez un couple manifestement admissible et un couple manifestement inadmissible, et vérifiez que l'inéquation les traite correctement.
Une fois le polygone construit, la recherche de l'optimum ne demande plus de réflexion : elle suit une procédure fixe, avec quelques cas particuliers à reconnaître.
Si le polygone est borné et les sommets sont calculés → évaluer en chaque sommet, comparer, et conclure par une phrase
Exemple : quatre sommets donnent , , et : le maximum est dollars
Si deux sommets donnent la MÊME valeur optimale → tout le segment entre eux est optimal : le dire explicitement, l'énoncé teste cette lecture
Exemple : si , toutes les combinaisons du segment conviennent
Cela arrive quand la fonction à optimiser est PARALLÈLE à l'une des frontières.
Si le polygone n'est pas borné dans la direction cherchée → le maximum n'existe pas; le minimum peut exister quand même, sur un sommet
Exemple : avec seulement , et , il n'y a pas de maximum
Si les variables doivent être ENTIÈRES → tester les points entiers voisins du sommet optimal, en vérifiant leur admissibilité
Exemple : sommet en : tester , qui est admissible, et , qui ne l'est pas
Si on cherche un MINIMUM de coût plutôt qu'un maximum de profit → même procédure, mais on retient la plus PETITE valeur, et l'optimum est souvent près de l'origine
Exemple : un coût de transport se minimise, généralement sur le sommet le plus bas du polygone
Ne pas se laisser guider par l'intuition « plus loin égale mieux » : elle est valable pour un profit, pas pour un coût.
Le polygone vide est aussi une réponse possible : quand les contraintes sont incompatibles, aucun point ne les satisfait toutes et le problème n'a pas de solution. Le constater et l'écrire vaut le point entier.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une situation avec des ressources limitées et demande de maximiser un profit ou de minimiser un coût.
Phrase de conclusion
« Soit le nombre de tables et le nombre de chaises produites. Les contraintes sont pour le temps, pour le bois, ainsi que et . On maximise . Les sommets du polygone sont , , et , où vaut respectivement , , et environ dollars. Le profit maximal est donc de dollars, atteint en produisant tables et chaises. »
Le piège : Conclure par une valeur sans dire OÙ elle est atteinte. La question demande presque toujours la production optimale, pas seulement le profit : une réponse complète donne le couple de valeurs et la valeur de la fonction, dans une phrase rédigée.
Barème : 1 point les variables définies, 2 points les contraintes correctement traduites, 1 point le polygone, 2 points les sommets calculés, 1 point l'évaluation et la conclusion rédigée.
Quand l'utiliser : Deux frontières se croisent en un point du polygone, et il faut ses coordonnées exactes pour évaluer la fonction.
Phrase de conclusion
« Le sommet est à l'intersection des droites et . De la seconde, ; en substituant, , donc et , d'où . Le point vérifie bien et : c'est un sommet du polygone. »
Le piège : Résoudre le système à partir des inéquations plutôt que des égalités. Un sommet se trouve exactement SUR les deux frontières, donc les deux relations y sont des égalités : c'est ce qui permet de résoudre un système et d'obtenir un point unique.
Barème : 1 point les deux équations écrites, 1 point la résolution du système, 1 point la vérification dans les autres contraintes.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Tester chaque contrainte sur deux couples évidents
Après avoir écrit une inéquation, choisir un couple qui doit manifestement la satisfaire et un autre qui doit manifestement la violer, puis substituer. Toute inversion de sens apparaît immédiatement, avant que le polygone ne soit tracé.
Pour « au moins deux chaises par table », vous écrivez . Test avec : , correct. Test avec : , satisfait aussi, alors que ce couple devrait échouer. L'inéquation est retournée.
Substituer chaque sommet dans toutes les contraintes
Pour chaque sommet calculé, remplacer ses coordonnées dans CHAQUE inéquation du problème, y compris celles qui ne l'ont pas produit. Toutes doivent être satisfaites, sans exception. Un sommet qui en viole une n'est pas dans le polygone.
Le point vient de l'intersection de avec une frontière, mais seulement si la contrainte le permet : ici passe, tandis que échoue. Ce n'est donc pas un sommet.
Confronter le sommet calculé à sa lecture graphique
Le système donne les coordonnées exactes, le graphique donne un ordre de grandeur. Les deux doivent coïncider à un carreau près. Un écart important signale une erreur de résolution du système, ou une confusion sur les droites concernées.
Vous calculez alors que le dessin montre le sommet près de : les deux ne peuvent pas être le même point, et il faut reprendre le système avant d'aller plus loin.
Comparer la valeur optimale à un point intérieur
Choisir un point manifestement à l'intérieur du polygone et y calculer . La valeur obtenue doit être STRICTEMENT comprise entre le minimum et le maximum annoncés. Si elle les dépasse, l'optimum n'a pas été trouvé.
Vous annoncez un maximum de dollars. Le point intérieur donne dollars, ce qui est cohérent; mais donne dollars, ce qui contredit votre maximum et révèle qu'un sommet a été oublié.
Un atelier de Montréal fabrique des tables et des chaises. Une table demande heures de travail et unité de bois; une chaise demande heures et unité de bois. L'atelier dispose d'au plus heures de travail et de unités de bois par semaine.
Le profit est de dollars par table et de dollars par chaise. a) Traduire les contraintes. b) Déterminer les sommets du polygone. c) Trouver la production qui maximise le profit. d) Que devient la réponse si le nombre de chaises doit être au moins le double du nombre de tables ?
Étape 1
Soit le nombre de tables et le nombre de chaises produites par semaine. Contraintes : pour le temps, pour le bois, et . Fonction à maximiser : .
Pourquoi
Définir les variables avec leur unité et leur période est le premier point du barème, et cela évite l'ambiguïté sur ce que représente la réponse finale. Les deux contraintes de non-négativité s'écrivent même si l'énoncé ne les mentionne pas : sans elles le polygone n'est pas borné.
Étape 2
Test du sens : le couple n'utilise ni temps ni bois, il doit donc être admissible. On vérifie et : les deux inéquations sont dans le bon sens.
Pourquoi
Ce test de dix secondes élimine l'erreur la plus fréquente du chapitre, l'inversion du symbole. Il fonctionne pour toute contrainte de ressource, puisque ne rien produire ne consomme rien et doit toujours être permis.
Étape 3
Sommets : ; intersection de et , soit ; intersection de et , qui donne puis , donc et ; intersection de et , soit .
Pourquoi
Chaque sommet vient d'un système de deux ÉGALITÉS, jamais d'une lecture graphique. Et il faut vérifier que satisfait , ce qui est le cas : sans cette vérification, on garderait parfois un point extérieur au polygone.
Étape 4
Évaluation : ; ; ; dollars. Le maximum est dollars, en .
Pourquoi
Les quatre sommets sont évalués, sans en présumer aucun : le sommet le plus éloigné de l'origine n'est pas celui qui gagne, et le sommet à coordonnées fractionnaires arrive deuxième. C'est exactement ce que teste ce type d'énoncé.
Étape 5
Question d) : on ajoute . Le sommet ne convient plus, car . Les nouveaux sommets sont , et l'intersection de avec , soit , donc et .
Pourquoi
Une contrainte supplémentaire coupe le polygone et fait disparaître certains sommets tout en en créant de nouveaux. Il faut donc recalculer, pas ajuster : le sommet précédent est simplement devenu inadmissible, ce qui se vérifie en une substitution.
Étape 6
On vérifie que satisfait aussi : oui. Évaluation : dollars, contre dollars en et à l'origine. Le nouveau maximum est dollars.
Pourquoi
Le sommet issu des deux contraintes actives doit encore être testé dans la troisième, celle du bois, qui n'a pas servi à le construire. Et la comparaison montre que le profit maximal baisse de à dollars : une contrainte supplémentaire ne peut jamais améliorer l'optimum.
Étape 7
Vérification finale : consomme heures, soit toute la ressource, et unités de bois, soit toute la ressource également. Les deux contraintes sont saturées, ce qui est typique d'un sommet optimal. Le point intérieur donne dollars, bien en dessous de .
Pourquoi
Un optimum qui sature deux ressources est cohérent : il ne resterait rien à réallouer pour gagner davantage. Et le test d'un point intérieur confirme qu'aucun sommet n'a été oublié, puisque sa valeur reste inférieure au maximum annoncé.
Conclusion rédigée
« Soit le nombre de tables et le nombre de chaises. Les contraintes sont , , et , et l'on maximise . Les sommets du polygone sont , , et , où vaut respectivement , , et environ dollars. Le profit maximal est donc de dollars par semaine, obtenu en fabriquant tables et chaises. Avec la contrainte supplémentaire , le sommet devient inadmissible et le nouvel optimum est dollars, en fabriquant tables et chaises. »
L'erreur classique sur cet exercice : Traduire « au plus heures » par : le polygone devient non borné et le maximum n'existe plus, ce que le test de aurait révélé en dix secondes. Le second travers est de ne pas recalculer les sommets à la question d) et de conserver : ce point viole la nouvelle contrainte, puisque n'est pas supérieur ou égal à , et il donnerait un profit impossible à réaliser.
Parce que la fonction à optimiser est linéaire : ses lignes de niveau sont des droites parallèles, et en les déplaçant dans la direction qui augmente la valeur, la dernière position qui touche encore le polygone passe forcément par un sommet ou par une arête entière. Il suffit donc d'évaluer la fonction aux sommets, dont le nombre est fini.
Au plus, au maximum et ne dépasse pas donnent un symbole inférieur ou égal, car la ressource est limitée. Au moins, au minimum et pas moins de donnent un symbole supérieur ou égal, car un seuil doit être atteint. Le test le plus sûr consiste à vérifier que le couple zéro zéro satisfait bien toute contrainte de ressource.
Chaque sommet est l'intersection de deux droites frontières. On remplace les symboles d'inégalité par des signes égal dans les deux contraintes concernées, puis on résout le système par substitution ou par élimination. On vérifie ensuite que le point obtenu satisfait toutes les autres contraintes, sinon ce n'est pas un sommet du polygone.
Cela signifie que la fonction à optimiser est parallèle à l'arête qui relie ces deux sommets, et que tous les points de cette arête sont également optimaux. La réponse ne se limite donc pas à deux solutions : il faut préciser que tout le segment convient, et donner ses deux extrémités. C'est un cas que les examens testent régulièrement.
Dans un contexte concret où les quantités sont entières, on teste les points entiers voisins du sommet, en vérifiant à chaque fois qu'ils appartiennent bien au polygone. On retient celui qui donne la meilleure valeur admissible. Le sommet décimal reste la réponse mathématique, mais il ne peut pas être la réponse au problème posé.
