Fiche de révision : la géométrie analytique (math SN5)

Si « équidistant de deux POINTS $A$ et $B$ » → $PA=PB$, puis on élève au carré : le lieu est la MÉDIATRICE de $[AB]$, une droite

Exemple : $A(1;2)$ et $B(5;6)$ donnent $x+y-7=0$

Les termes en $x^{2}$ et $y^{2}$ se simplifient au développement : c'est ce qui fait que le lieu est une droite.

Si « à distance fixe $r$ d'un POINT $C$ » → $PC=r$, donc $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ : le lieu est un CERCLE

Exemple : à $5$ unités de $(2;-1)$ : $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25$

Si « équidistant de deux DROITES » → égalité des deux distances avec valeurs absolues : le lieu est constitué des deux BISSECTRICES

Exemple : $\frac{|a_{1}x+b_{1}y+c_{1}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\frac{|a_{2}x+b_{2}y+c_{2}|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

La valeur absolue donne DEUX équations, donc deux bissectrices perpendiculaires entre elles.

Si « équidistant d'un POINT et d'une DROITE » → $PF=d(P;\text{droite})$ : le lieu est une PARABOLE, de foyer le point et de directrice la droite

Exemple : équidistant de $(0;2)$ et de $y=-2$ donne $x^{2}=8y$

Si « la somme des distances à deux points est constante » → le lieu est une ELLIPSE, de foyers ces deux points

Exemple : somme égale à $10$ pour des foyers distants de $6$ donne une ellipse d'axes $10$ et $8$

La différence constante donnerait une hyperbole : c'est le chapitre des coniques.

Si l'énoncé impose une condition d'ANGLE, comme « voit $[AB]$ sous un angle droit » → traduire par un produit scalaire nul : $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0$, ce qui donne un cercle de diamètre $[AB]$

Exemple : $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0$ développé donne l'équation du cercle de diamètre $[AB]$

Si « quelle est la LONGUEUR », « quelle sorte de triangle » → formule de la DISTANCE, appliquée à chaque côté, puis on compare

Exemple : trois côtés égaux donnent un triangle équilatéral; deux égaux, un isocèle

Pour tester si le triangle est rectangle, comparer les carrés des longueurs par Pythagore, ou calculer les pentes.

Si « trouver l'ÉQUATION d'une droite » → calculer la pente, puis substituer un point dans $y=mx+b$ pour trouver $b$

Exemple : pente $2$ et passage par $(1;2)$ : $2=2(1)+b$, donc $b=0$ et $y=2x$

Si « trouver la PERPENDICULAIRE » ou la HAUTEUR d'un triangle → pente inverse et opposée, puis substituer le point par lequel elle passe

Exemple : perpendiculaire de pente $-\frac{1}{2}$ à une droite de pente $2$

Si « quelle est la DISTANCE d'un point à une droite », « la hauteur du triangle » → réécrire la droite sous forme générale, puis appliquer $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Exemple : distance de $(1;1)$ à $2x-y+3=0$ : $\frac{4}{\sqrt{5}}\approx 1{,}79$

Cette formule évite de chercher le pied de la perpendiculaire, ce qui prend cinq lignes de plus.

Si « trouver le CENTRE et le RAYON » d'un cercle donné en forme générale → compléter les carrés en $x$ et en $y$ séparément, puis lire la forme canonique

Exemple : $x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0$ devient $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16$

Si « le point qui partage dans le rapport $k:1$ » → $P=A+\frac{k}{k+1}\vec{AB}$, en calculant chaque coordonnée séparément

Exemple : rapport $2:1$ de $A(0;0)$ à $B(9;6)$ : $P=\left(6;4\right)$

Vérification : le point doit être plus proche de $B$ quand $k>1$, et le milieu correspond à $k=1$.