Fiche de révision : les vecteurs et la géométrie vectorielle (math SN5)

Si « montrer que deux droites sont PARALLÈLES », « que trois points sont ALIGNÉS » → test de colinéarité : $ad-bc=0$

Exemple : $\vec{AB}=(2;3)$ et $\vec{AC}=(4;6)$ : $2(6)-3(4)=0$, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés

On peut aussi montrer qu'un vecteur est un multiple de l'autre, ce qui revient au même.

Si « montrer que deux droites sont PERPENDICULAIRES », « que le triangle est rectangle » → produit scalaire nul : $ac+bd=0$

Exemple : $\vec{AB}=(2;1)$ et $\vec{AC}=(3;-6)$ : $2(3)+1(-6)=0$, donc l'angle en $A$ est droit

Si « calculer un ANGLE entre deux vecteurs » → $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$, puis la fonction inverse du cosinus

Exemple : $\vec{u}=(3;4)$ et $\vec{v}=(5;0)$ : $\cos\theta=\frac{15}{5\times 5}=0{,}6$, donc $\theta\approx 53{,}13°$

Le signe du produit scalaire annonce déjà la réponse : aigu, droit ou obtus.

Si « calculer une LONGUEUR », « montrer que le triangle est isocèle » → norme des vecteurs concernés, $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Exemple : $\|\vec{AB}\|=\|\vec{AC}\|$ montre que le triangle est isocèle en $A$

Si « trouver la RÉSULTANTE de forces », « la vitesse effective » → décomposer chaque vecteur en composantes, les additionner, puis calculer norme et orientation

Exemple : $(30;0)+(0;40)=(30;40)$, de norme $50$ newtons

L'équilibrant est l'opposé de la résultante, donc $(-30;-40)$.

Si « calculer un TRAVAIL », « la composante d'une force dans une direction » → produit scalaire, ou projection scalaire $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$

Exemple : $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$, en joules, et le signe dit si la force aide ou freine

Si il faut montrer un PARALLÉLISME → exprimer les deux vecteurs concernés dans une même base et montrer que l'un est multiple de l'autre

Exemple : $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ prouve que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, et donne le rapport des longueurs

Le coefficient trouvé donne en prime le rapport des longueurs, souvent demandé dans la même question.

Si il faut montrer une PERPENDICULARITÉ → calculer le produit scalaire des deux vecteurs et montrer qu'il est nul

Exemple : dans un losange, $\vec{AC}\cdot\vec{BD}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{v}-\vec{u}\right)=\|\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}=0$ car les côtés sont égaux

Si il faut montrer une ÉGALITÉ DE LONGUEURS → comparer les carrés des normes, ce qui évite les racines

Exemple : $\|\vec{AB}\|^{2}=\|\vec{AC}\|^{2}$ suffit, puisque les normes sont positives

Si il faut montrer un ALIGNEMENT ou un MILIEU → exprimer un vecteur comme multiple d'un autre, ou montrer $\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$

Exemple : $\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$ prouve que $M$ est le milieu de $[AB]$

Si la figure a des points nommés mais aucune coordonnée → choisir DEUX vecteurs de base, par exemple $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AD}$, et tout exprimer avec eux

Exemple : dans un parallélogramme $ABCD$, $\vec{AC}=\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{BD}=\vec{v}-\vec{u}$

Cette méthode démontre la propriété pour TOUTE figure de ce type, ce qu'un calcul sur des coordonnées particulières ne fait pas.