Math SN5, secondaire 5 à Montréal • Géométrie analytique

Fiche de révision : les coniques (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les coniques : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la reconnaissance d'une conique en trois secondes, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une conique se reconnaît avant tout calcul, sur les seuls termes du SECOND degré : un seul carré donne une parabole, deux carrés de même signe une ellipse, deux carrés de signes contraires une hyperbole. Le second obstacle est la relation entre $a$ , $b$ et $c$ , qui change de signe d'une conique à l'autre : $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ pour l'ellipse et $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ pour l'hyperbole, et les échanger place les foyers à des endroits impossibles.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
2La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
3Les paramètres et les propriétés des fonctionsSecondaire 4 SN4
4La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
5Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
6Calculs algébriques
7La fonction racine carrée
8Les fonctions quadratiques
9Les paramètres des fonctions
10Les vecteurs et la géométrie vectorielle
11Géométrie analytique et lieux géométriques

L'essentiel

Reconnaître la conique en trois secondes

• On regarde UNIQUEMENT les termes du second degré, $Ax^{2}$ et $Cy^{2}$ , et rien d'autre.
• UN SEUL terme carré, l'autre manque : c'est une PARABOLE.
• Deux termes carrés de MÊME signe : c'est une ELLIPSE, et un CERCLE si les coefficients sont égaux.
• Deux termes carrés de signes CONTRAIRES : c'est une HYPERBOLE.
• Les termes du premier degré ne changent jamais la nature de la conique : ils la translatent seulement.

Cette lecture se fait sur la forme générale, sans aucun calcul et sans compléter les carrés. Elle donne la nature de la courbe et donc la méthode à appliquer, ce qui est la moitié de la question.

Ellipse : la relation $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

• Forme normale centrée à l'origine : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , avec $a>b$ pour un axe focal HORIZONTAL.
• L'axe focal est du côté du PLUS GRAND dénominateur : si $a^{2}$ est sous $y^{2}$ , l'axe focal est vertical.
• Sommets $(\pm a;0)$ et $(0;\pm b)$ ; foyers $(\pm c;0)$ avec $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ , donc une SOUSTRACTION.
• Les foyers sont TOUJOURS sur l'axe focal, donc entre les sommets principaux : $c<a$ nécessairement.
• Somme des distances aux deux foyers $=2a$ , constante : c'est la définition de l'ellipse.

Contrôle imparable : $c$ doit être PLUS PETIT que $a$ , puisque les foyers sont à l'intérieur de l'ellipse. Un $c$ supérieur à $a$ signale que la relation de l'hyperbole a été utilisée.

Hyperbole : la relation $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

• Forme normale : $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ pour un axe focal HORIZONTAL, celui du terme POSITIF.
• Ici l'axe focal ne dépend pas du plus grand dénominateur, mais du terme qui porte le signe PLUS.
• Sommets $(\pm a;0)$ ; foyers $(\pm c;0)$ avec $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , donc une ADDITION.
• Asymptotes $y=\pm\frac{b}{a}x$ quand l'axe focal est horizontal : elles se croisent au centre.
• Différence des distances aux deux foyers $=2a$ , en valeur absolue : c'est la définition de l'hyperbole.

Ici $c$ est PLUS GRAND que $a$ et que $b$ : les foyers sont à l'extérieur des sommets. C'est l'inverse de l'ellipse, et cette différence est le contrôle le plus rapide entre les deux coniques.

Parabole : foyer, directrice et paramètre

• $(x-h)^{2}=4c(y-k)$ : axe VERTICAL, ouverte vers le haut si $c>0$ , vers le bas si $c<0$ .
• $(y-k)^{2}=4c(x-h)$ : axe HORIZONTAL, ouverte vers la droite si $c>0$ , vers la gauche si $c<0$ .
• Le carré porte sur la variable qui NE donne PAS la direction d'ouverture : $(x-h)^{2}$ ouvre verticalement.
• Le FOYER est à distance $|c|$ du sommet $(h;k)$ , vers l'intérieur de la courbe.
• La DIRECTRICE est la droite à distance $|c|$ du sommet, de l'autre côté : foyer et directrice sont donc à $2|c|$ l'un de l'autre.

Le coefficient est $4c$ et non $c$ : dans $x^{2}=8y$ , on a $4c=8$ donc $c=2$ , et le foyer est en $(0;2)$ . Oublier de diviser par $4$ place le foyer quatre fois trop loin.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Utiliser la relation de l'ellipse pour une hyperbole

toute la question, et une racine d'un nombre négatif

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ : $c^{2}=9-16=-7$ , donc les foyers n'existent pas. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour une HYPERBOLE, $c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+16=25$ , donc $c=5$ et les foyers sont $(\pm 5;0)$ . »

Pourquoi : L'ellipse soustrait, l'hyperbole additionne : c'est la conséquence de leurs définitions, somme constante pour l'une, différence constante pour l'autre. Le contrôle est géométrique : les foyers d'une hyperbole sont à l'EXTÉRIEUR des sommets, donc $c>a$ .

2. Déterminer l'axe focal d'une ellipse par l'ordre des termes

2 points, et les foyers sont placés sur le mauvais axe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$ : le terme en $x$ est écrit en premier, donc l'axe focal est horizontal. »

Ce qu'il faut écrire

« L'axe focal est du côté du PLUS GRAND dénominateur : ici $25>9$ , sous $y^{2}$ , donc l'axe focal est VERTICAL et les foyers sont sur l'axe des ordonnées, en $(0;\pm 4)$ . »

Le grand dénominateur,

25

, est sous

y^{2}

: l'ellipse est donc étirée VERTICALEMENT et ses foyers sont sur l'axe des ordonnées, quel que soit l'ordre d'écriture des termes.

Pourquoi : L'ordre d'écriture n'a aucune signification mathématique : c'est la taille des dénominateurs qui dit dans quelle direction l'ellipse est allongée, donc où se trouvent les foyers. On compare donc les deux nombres avant toute conclusion.

3. Oublier de diviser par 4 dans l'équation d'une parabole

2 points, et le foyer est placé quatre fois trop loin

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}=8y$ : le foyer est en $(0;8)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La forme est $x^{2}=4cy$ , donc $4c=8$ et $c=2$ : le foyer est en $(0;2)$ et la directrice est $y=-2$ . »

Pourquoi : Le coefficient $4$ vient de la démonstration par la définition foyer-directrice, et il ne s'oublie pas impunément. Le contrôle est de vérifier la définition sur un point de la courbe : la distance au foyer doit égaler la distance à la directrice.

4. Confondre l'axe du carré avec la direction d'ouverture

toute la question, et le tracé est tourné de 90 degrés

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(y-1)^{2}=8(x-3)$ : le carré porte sur $y$ , donc la parabole ouvre verticalement. »

Ce qu'il faut écrire

« Le carré porte sur $y$ , donc la parabole ouvre HORIZONTALEMENT, vers la droite puisque $4c=8>0$ . C'est la variable NON élevée au carré qui donne la direction. »

Pourquoi : La variable élevée au carré est celle qui varie de part et d'autre de l'axe, donc perpendiculairement à l'ouverture. Le contrôle est de calculer deux points : pour $y=1$ on a $x=3$ , pour $y=3$ on a $x=3{,}5$ , donc la courbe s'étend vers la droite.

5. Oublier de ramener le membre de droite à 1

toute la question, et les demi-axes sont échangés

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $4x^{2}+9y^{2}=36$ : donc $a^{2}=4$ et $b^{2}=9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On divise tout par $36$ : $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ , donc $a^{2}=9$ et $b^{2}=4$ . Les dénominateurs sont les INVERSES des coefficients, à un facteur près. »

Pourquoi : La forme normale exige un $1$ à droite : sans cette normalisation, les nombres lus sont les coefficients, qui varient en sens inverse des demi-axes. Le contrôle est de tester un sommet : $(3;0)$ doit vérifier l'équation de départ, et $4(9)=36$ le confirme.

6. Prendre une parabole d'axe horizontal pour une fonction

1 point de raisonnement, et souvent toute la méthode employée est la mauvaise

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(y-1)^{2}=8(x-3)$ : je calcule son sommet et je la traite comme une fonction quadratique. »

Ce qu'il faut écrire

« Une parabole d'axe HORIZONTAL n'est pas une fonction : à un même $x$ correspondent DEUX valeurs de $y$ . Elle se traite avec les outils des coniques, pas ceux des fonctions. »

Pourquoi : Une fonction associe au plus une image à chaque antécédent, ce que la parabole couchée viole partout sauf au sommet. Le vocabulaire change donc : on parle de sommet et de foyer, jamais de maximum ni de domaine au sens des fonctions.

7. Placer la directrice à la même distance que le foyer, du même côté

2 points, et la définition foyer-directrice n'est plus vérifiée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}=8y$ : le foyer est en $(0;2)$ , donc la directrice est $y=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La directrice est de l'AUTRE côté du sommet, à la même distance : $y=-2$ . Foyer et directrice encadrent le sommet, et sont donc distants de $2|c|=4$ . »

Le foyer et la directrice encadrent le sommet, à la même distance

c=2

de part et d'autre : tout point de la parabole est aussi loin de l'un que de l'autre.

Pourquoi : Le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, et il se trouve entre les deux : c'est la définition même de la parabole. Une directrice du même côté que le foyer rendrait la courbe impossible, ce que le test sur un point montre immédiatement.

8. Calculer les asymptotes d'une hyperbole avec le mauvais rapport

1 point, et le tracé est faux dans toutes ses directions

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ : les asymptotes sont $y=\pm\frac{3}{4}x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les asymptotes sont $y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{4}{3}x$ : c'est $b$ au numérateur quand l'axe focal est horizontal. »

Les asymptotes montent de

4

quand on avance de

3

: la pente est

\frac{b}{a}=\frac{4}{3}

, jamais l'inverse. Elles encadrent les deux branches sans jamais les toucher.

Pourquoi : Les asymptotes passent par les coins du rectangle de demi-largeur $a$ et de demi-hauteur $b$ : leur pente vaut donc hauteur sur largeur, soit $\frac{b}{a}$ . Le rectangle dessiné règle définitivement la question du sens du rapport.

Quelle méthode choisir

Reconnaître la conique et trouver ses éléments

Regardez d'abord les seuls termes du second degré : ils donnent la nature. Appliquez ensuite la méthode propre à cette conique, et surtout la bonne relation entre $a$ , $b$ et $c$ .

Si UN SEUL terme carré, l'autre variable n'apparaît qu'au premier degré → PARABOLE : mettre sous la forme $(x-h)^{2}=4c(y-k)$ ou $(y-k)^{2}=4c(x-h)$

Exemple : $x^{2}-6x-8y+25=0$ donne $(x-3)^{2}=8(y-2)$ , donc $c=2$

La variable au carré donne l'axe de symétrie; l'autre donne la direction d'ouverture.
Si deux termes carrés, coefficients ÉGAUX et de même signe → CERCLE : compléter les carrés, centre $(h;k)$ et rayon $r$

Exemple : $x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0$ donne $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16$
Si deux termes carrés, coefficients DIFFÉRENTS mais de même signe → ELLIPSE : diviser pour obtenir $1$ à droite, puis $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

Exemple : $4x^{2}+9y^{2}=36$ donne $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ , donc $c=\sqrt{5}$

L'axe focal est du côté du PLUS GRAND dénominateur, quel que soit l'ordre d'écriture.
Si deux termes carrés de signes CONTRAIRES → HYPERBOLE : diviser pour obtenir $1$ à droite, puis $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Exemple : $16x^{2}-9y^{2}=144$ donne $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ , donc $c=5$

L'axe focal est du côté du terme POSITIF, jamais du plus grand dénominateur.
Si des termes du PREMIER degré accompagnent les carrés → compléter les carrés pour translater : la nature ne change pas, seul le centre se déplace

Exemple : $4x^{2}+9y^{2}-8x=32$ devient $\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ , centre $(1;0)$
Si après division, le membre de droite est NÉGATIF ou nul → la courbe est dégénérée : un point, deux droites, ou l'ensemble vide. Le dire est la réponse

Exemple : $x^{2}+y^{2}=0$ se réduit au seul point $(0;0)$

Un rayon au carré négatif signale un ensemble vide, ce qui est une conclusion valide et complète.

Aucune branche ne demande de calculer avant de reconnaître : la nature se lit sur deux coefficients, en trois secondes, et elle détermine toute la méthode. Se tromper à cette étape rend tout le reste inutile, même parfaitement calculé.

Trouver l'équation d'une conique, selon les données

Identifiez la conique demandée, puis repérez ce que l'énoncé fournit : sommets, foyers, asymptotes ou points. Chaque donnée détermine un paramètre.

Si on donne les SOMMETS d'une ellipse ou d'une hyperbole → ils donnent directement $a$ , et la direction de l'axe focal

Exemple : sommets $(\pm 5;0)$ : $a=5$ et l'axe focal est horizontal
Si on donne les FOYERS → ils donnent $c$ , puis on trouve le paramètre manquant par la relation propre à la conique

Exemple : ellipse de sommets $(\pm 5;0)$ et de foyers $(\pm 3;0)$ : $b^{2}=25-9=16$

Vérifier la cohérence : $c<a$ pour une ellipse, $c>a$ pour une hyperbole.
Si on donne les ASYMPTOTES d'une hyperbole → leur pente vaut $\frac{b}{a}$ , ce qui donne le rapport et non les valeurs

Exemple : asymptotes $y=\pm\frac{4}{3}x$ : $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ , et il faut une seconde donnée pour trancher
Si on donne le FOYER et la DIRECTRICE d'une parabole → le sommet est à mi-chemin, et $|c|$ est la moitié de leur distance

Exemple : foyer $(0;2)$ et directrice $y=-2$ : sommet $(0;0)$ , $c=2$ , donc $x^{2}=8y$
Si on donne un contexte concret : arche, antenne, orbite → placer le repère au centre ou au sommet, ce qui simplifie l'équation, puis traduire les mesures

Exemple : arche elliptique de $20$ mètres de large et $6$ mètres de haut : $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$

Le choix du repère est libre et doit être ÉCRIT : c'est lui qui rend l'équation simple ou compliquée.
Si on demande une INTERSECTION avec une droite ou une autre conique → substituer, obtenir une équation du second degré, et le discriminant donne le nombre de points

Exemple : $\Delta>0$ donne deux points, $\Delta=0$ une tangente, $\Delta<0$ aucun point

Dans un problème concret, le repère se place TOUJOURS de la façon qui simplifie le plus : au centre pour une ellipse ou une hyperbole, au sommet pour une parabole. Un repère mal choisi triple la longueur du calcul sans rien apporter.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Identifier une conique et donner tous ses éléments

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une équation et demande la nature de la courbe, son centre, ses sommets, ses foyers, ses asymptotes ou sa directrice.

1 Regarder les termes du second degré et ANNONCER la nature : « deux carrés de signes contraires, c'est une hyperbole ».
2 Compléter les carrés s'il y a des termes du premier degré, pour trouver le centre.
3 Diviser pour obtenir $1$ à droite, ce qui donne la forme normale et les dénominateurs $a^{2}$ et $b^{2}$ .
4 Identifier l'axe focal : plus grand dénominateur pour une ellipse, terme positif pour une hyperbole.
5 Appliquer la relation propre à la conique : $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ pour l'ellipse, $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ pour l'hyperbole.
6 Donner les sommets, les foyers et, pour une hyperbole, les asymptotes, en tenant compte de la translation du centre.
7 VÉRIFIER la cohérence : $c<a$ pour une ellipse, $c>a$ pour une hyperbole, et tester un sommet dans l'équation de départ.

Phrase de conclusion

« L'équation $16x^{2}-9y^{2}=144$ comporte deux termes carrés de signes contraires : c'est une hyperbole. En divisant par $144$ , on obtient $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ , donc $a=3$ et $b=4$ , avec un axe focal horizontal puisque le terme en $x$ est positif. Alors $c^{2}=9+16=25$ et $c=5$ : les sommets sont $(\pm 3;0)$ , les foyers $(\pm 5;0)$ et les asymptotes $y=\pm\frac{4}{3}x$ . »

Le piège : Lire $a^{2}$ et $b^{2}$ sur les coefficients au lieu des dénominateurs. Tant que le membre de droite n'est pas $1$ , les nombres visibles ne sont pas les demi-axes : la division est obligatoire et doit apparaître sur la copie.

Barème : 1 point la nature annoncée, 1 point la forme normale obtenue, 1 point la relation correcte entre $a$ , $b$ et $c$ , 1 point les éléments donnés avec l'axe focal correct.

Résoudre un problème concret modélisé par une conique

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une arche, une antenne, un pont, une orbite, et demande une hauteur, une largeur ou la position d'un foyer.

1 Choisir le repère et l'ÉCRIRE : « plaçons l'origine au centre de l'arche, l'axe des $x$ au niveau du sol ».
2 Traduire chaque mesure de l'énoncé en coordonnées d'un point ou en valeur d'un demi-axe.
3 Écrire l'équation de la conique dans ce repère, en utilisant la forme normale.
4 Vérifier l'équation sur un point donné par l'énoncé, avant d'aller plus loin.
5 Traduire la question posée en calcul : une hauteur est une ordonnée, une largeur une différence d'abscisses.
6 Résoudre, en gardant les valeurs exactes jusqu'à la dernière ligne.
7 Répondre par une phrase avec les unités, et vérifier que l'ordre de grandeur est physiquement plausible.

Phrase de conclusion

« Plaçons l'origine au centre de l'arche, au niveau du sol. L'arche mesure $20$ mètres de large et $6$ mètres de haut, donc $a=10$ et $b=6$ , et son équation est $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$ . À $4$ mètres du centre, la hauteur vérifie $\frac{16}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$ , donc $y^{2}=36\times 0{,}84=30{,}24$ et $y\approx 5{,}5$ mètres. »

Le piège : Prendre la largeur totale pour le demi-axe. Une arche de $20$ mètres de large a un demi-axe de $10$ mètres : la forme normale utilise les DEMI-axes, et l'oublier double toutes les dimensions.

Barème : 1 point le repère choisi et écrit, 1 point les demi-axes correctement identifiés, 1 point l'équation, 1 point la résolution avec unités et vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La position de $c$ par rapport à $a$

Pour une ELLIPSE, $c$ doit être strictement inférieur à $a$ : les foyers sont à l'intérieur. Pour une HYPERBOLE, $c$ doit être strictement supérieur à $a$ : les foyers sont au-delà des sommets. Une comparaison, et la relation employée est validée.

Vous trouvez $c=5$ pour une ellipse de demi-grand axe $a=3$ : impossible, les foyers seraient hors de la courbe. La relation de l'hyperbole a été utilisée par erreur.
Substituer un sommet dans l'équation de départ

Chaque sommet annoncé doit vérifier l'équation ORIGINALE, avant division. Une substitution suffit, et elle valide à la fois la normalisation et la lecture des demi-axes.

Vous annoncez $a=2$ pour $4x^{2}+9y^{2}=36$ : le point $(2;0)$ donne $16\neq 36$ . Le vrai sommet est $(3;0)$ , car $4(9)=36$ : les coefficients avaient été pris pour les dénominateurs.
La définition foyer-directrice sur un point de la parabole

Choisir un point de la parabole autre que le sommet, calculer sa distance au foyer et sa distance à la directrice. Les deux doivent être égales. C'est le contrôle complet du chapitre parabole, en deux calculs.

Pour $x^{2}=8y$ avec le foyer $(0;2)$ et la directrice $y=-2$ , le point $(4;2)$ donne une distance au foyer de $4$ et une distance à la directrice de $4$ : la parabole est correctement décrite.
Le rectangle des asymptotes

Dessiner le rectangle de demi-largeur $a$ et de demi-hauteur $b$ centré sur le centre de l'hyperbole : les asymptotes passent par ses coins. Leur pente vaut donc $\frac{b}{a}$ , et le dessin lève tout doute sur le sens du rapport.

Avec $a=3$ et $b=4$ , le rectangle est plus haut que large, donc les asymptotes sont raides : leur pente vaut $\frac{4}{3}>1$ . Une pente de $\frac{3}{4}$ donnerait des asymptotes trop plates pour toucher les coins.

L'exercice type décortiqué

L'antenne parabolique : repère, foyer et profondeur

Une antenne parabolique a une ouverture de $2$ mètres de diamètre et une profondeur de $0{,}25$ mètre en son centre. Le récepteur doit être placé au foyer.

a) Choisir un repère et écrire l'équation de la parabole. b) À quelle distance du fond de l'antenne faut-il placer le récepteur ? c) Le récepteur dépasse-t-il le plan de l'ouverture ? d) Quelle est l'équation de la directrice ?

Étape 1

Plaçons l'origine au SOMMET de la parabole, c'est-à-dire au fond de l'antenne, avec l'axe des $y$ vers le haut, le long de l'axe de symétrie. L'équation est alors de la forme $x^{2}=4cy$ .

Pourquoi

Le repère au sommet supprime $h$ et $k$ , ce qui laisse l'équation la plus simple possible. Ce choix est libre mais doit être écrit : sans lui, les coordonnées données ensuite n'auraient aucun sens pour le correcteur.

Étape 2

Le diamètre étant de $2$ mètres, le bord de l'antenne est à $1$ mètre de l'axe. La profondeur étant de $0{,}25$ mètre, le point du bord a pour coordonnées $(1;0{,}25)$ .

Pourquoi

On prend le DEMI-diamètre, car l'axe passe par le milieu : prendre $2$ au lieu de $1$ est l'erreur la plus fréquente des problèmes concrets et fausse le foyer d'un facteur quatre. Le point du bord est le seul que l'énoncé fournit, donc c'est lui qui déterminera $c$ .

Étape 3

En substituant dans $x^{2}=4cy$ : $1^{2}=4c(0{,}25)$ , donc $1=c$ et $c=1$ . L'équation est $x^{2}=4y$ .

Pourquoi

Un seul point suffit ici parce que le sommet est déjà fixé par le choix du repère : l'équation n'a qu'un paramètre inconnu. Et le résultat, $c=1$ , est un nombre simple, ce qui est un bon signe pour un problème conçu pour l'examen.

Étape 4

Le foyer est à distance $|c|=1$ mètre du sommet, vers l'intérieur de la courbe, donc en $(0;1)$ . Le récepteur doit être placé à $1$ mètre du fond de l'antenne.

Pourquoi

Le foyer est toujours DANS la concavité, jamais derrière le sommet : le signe positif de $c$ le confirme, puisque la parabole ouvre vers le haut. Et la réponse doit être exprimée en langage du problème, « à un mètre du fond », pas seulement en coordonnées.

Étape 5

Le plan de l'ouverture est à la hauteur $y=0{,}25$ mètre. Le foyer étant à $y=1$ mètre, il dépasse largement ce plan : le récepteur se trouve à $0{,}75$ mètre au-dessus du bord de l'antenne.

Pourquoi

Cette question teste la lecture concrète du résultat : une antenne peu profonde a un foyer éloigné, ce qui est une propriété réelle des paraboles très ouvertes. La comparaison est immédiate une fois les deux hauteurs exprimées dans le même repère.

Étape 6

La directrice est de l'autre côté du sommet, à la même distance : son équation est $y=-1$ . Foyer et directrice sont donc distants de $2$ mètres.

Pourquoi

Le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, et il se trouve entre eux : c'est la définition même de la parabole. Placer la directrice du même côté que le foyer rendrait la courbe impossible.

Étape 7

Vérification par la définition : le point du bord $(1;0{,}25)$ est à distance $\sqrt{1^{2}+(0{,}25-1)^{2}}=\sqrt{1+0{,}5625}=1{,}25$ mètre du foyer, et à distance $0{,}25-(-1)=1{,}25$ mètre de la directrice. Les deux coïncident.

Pourquoi

C'est le contrôle complet du chapitre parabole : la définition foyer-directrice doit être vérifiée par n'importe quel point de la courbe. Deux distances égales à $1{,}25$ mètre valident d'un coup l'équation, le foyer et la directrice.

Conclusion rédigée

« Plaçons l'origine au sommet de la parabole, au fond de l'antenne, avec l'axe des $y$ le long de l'axe de symétrie. Le point du bord a pour coordonnées $(1;0{,}25)$ , et en substituant dans $x^{2}=4cy$ on obtient $c=1$ : l'équation est $x^{2}=4y$ . Le récepteur doit donc être placé au foyer $(0;1)$ , soit à $1$ mètre du fond de l'antenne, ce qui le situe $0{,}75$ mètre AU-DESSUS du plan de l'ouverture. Enfin la directrice a pour équation $y=-1$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser le diamètre entier et poser le point $(2;0{,}25)$ : on obtiendrait $4=4c(0{,}25)$ , donc $c=4$ mètres, un foyer absurdement éloigné pour une antenne de deux mètres. Le second travers est d'oublier le facteur $4$ et d'écrire $x^{2}=cy$ : le foyer serait alors annoncé à $4$ mètres au lieu de $1$ , et la vérification par la définition foyer-directrice échouerait.

À savoir par cœur

• Nature d'une conique : UN carré donne une parabole, deux carrés de MÊME signe une ellipse, de signes CONTRAIRES une hyperbole.
• ELLIPSE : $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ , une SOUSTRACTION, et $c<a$ . Axe focal du côté du PLUS GRAND dénominateur.
• HYPERBOLE : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , une ADDITION, et $c>a$ . Axe focal du côté du terme POSITIF.
• Asymptotes d'une hyperbole d'axe horizontal : $y=\pm\frac{b}{a}x$ , la pente vaut hauteur sur largeur.
• PARABOLE : le coefficient est $4c$ , jamais $c$ . Dans $x^{2}=8y$ , on a $c=2$ .
• Le carré porte sur la variable perpendiculaire à l'ouverture : $(x-h)^{2}$ ouvre VERTICALEMENT.
• Foyer et directrice encadrent le sommet, chacun à distance $|c|$ , donc distants de $2|c|$ .
• La forme normale exige un $1$ à droite : les DÉNOMINATEURS sont $a^{2}$ et $b^{2}$ , jamais les coefficients.
• Dans un problème concret, on utilise les DEMI-axes : une arche de $20$ mètres de large donne $a=10$ .

Questions fréquentes

Comment reconnaître une conique à partir de son équation ?

On ne regarde que les termes du second degré. S'il n'y en a qu'un, c'est une parabole. S'il y en a deux de même signe, c'est une ellipse, et un cercle si leurs coefficients sont égaux. S'ils sont de signes contraires, c'est une hyperbole. Les termes du premier degré ne changent jamais la nature, ils déplacent seulement le centre.

Quelle est la différence entre les relations de l'ellipse et de l'hyperbole ?

Pour une ellipse, le carré de la distance focale vaut le carré du demi-grand axe moins celui du demi-petit axe : c'est une soustraction, et les foyers sont à l'intérieur. Pour une hyperbole, c'est une addition, et les foyers sont au-delà des sommets. Le contrôle rapide consiste à vérifier que c est plus petit que a pour une ellipse, plus grand pour une hyperbole.

Comment savoir si l'axe focal est horizontal ou vertical ?

Pour une ellipse, l'axe focal est du côté du plus grand dénominateur, quel que soit l'ordre d'écriture des termes. Pour une hyperbole, la règle est différente : l'axe focal est du côté du terme portant le signe plus, et la taille des dénominateurs n'a aucune importance. Confondre les deux règles place les foyers sur le mauvais axe.

Où se trouve le foyer d'une parabole ?

À l'intérieur de la concavité, sur l'axe de symétrie, à une distance du sommet égale à la valeur absolue du paramètre c. Attention, dans l'équation le coefficient vaut quatre fois c : pour x au carré égale huit y, on a c égal deux et le foyer à deux unités du sommet. La directrice est de l'autre côté, à la même distance.

Pourquoi faut-il diviser pour obtenir un dans une équation de conique ?

Parce que la forme normale, celle où l'on lit les demi-axes, exige un membre de droite égal à un. Tant que ce n'est pas le cas, les nombres visibles sont des coefficients, qui varient en sens inverse des demi-axes. Après division, ce sont les dénominateurs qui donnent directement les carrés des demi-axes.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les coniques : cercle, ellipse, hyperbole, parabole

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : les coniques (math SN5)

L'essentiel

Reconnaître la conique en trois secondes

Ellipse : la relation c2=a2−b2c^{2}=a^{2}-b^{2}c2=a2−b2

Hyperbole : la relation c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}c2=a2+b2

Parabole : foyer, directrice et paramètre

Les pièges qui coûtent des points

1. Utiliser la relation de l'ellipse pour une hyperbole

2. Déterminer l'axe focal d'une ellipse par l'ordre des termes

3. Oublier de diviser par 4 dans l'équation d'une parabole

4. Confondre l'axe du carré avec la direction d'ouverture

5. Oublier de ramener le membre de droite à 1

6. Prendre une parabole d'axe horizontal pour une fonction

7. Placer la directrice à la même distance que le foyer, du même côté

8. Calculer les asymptotes d'une hyperbole avec le mauvais rapport

Quelle méthode choisir

Reconnaître la conique et trouver ses éléments

Trouver l'équation d'une conique, selon les données

La rédaction attendue

Identifier une conique et donner tous ses éléments

Résoudre un problème concret modélisé par une conique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

L'antenne parabolique : repère, foyer et profondeur

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment reconnaître une conique à partir de son équation ?

Quelle est la différence entre les relations de l'ellipse et de l'hyperbole ?

Comment savoir si l'axe focal est horizontal ou vertical ?

Où se trouve le foyer d'une parabole ?

Pourquoi faut-il diviser pour obtenir un dans une équation de conique ?

Exercices corrigés : Les coniques : cercle, ellipse, hyperbole, parabole

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Ellipse : la relation $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

Hyperbole : la relation $c^{2}=a^{2}+b^{2}$