Exercices corrigés : la fonction réciproque (math SN5)

a) On lit $f(2)=4$ : on part de $2$ sur l'axe des $x$, on monte jusqu'à la courbe, on lit $4$ sur l'axe des $y$. Pour l'antécédent de $6$, on fait le trajet INVERSE : on part de $6$ sur l'axe des $y$, on va horizontalement jusqu'à la courbe, on descend et on lit $1$. Donc $f(1)=6$. La notation $f^{-1}$ ne fait qu'écrire ces deux lectures dans l'autre sens : $f(2)=4$ s'écrit $f^{-1}(4)=2$, et $f(1)=6$ s'écrit $f^{-1}(6)=1$. Attention au piège de notation qui coûte des points à chaque évaluation : $f^{-1}(6)=1$ et non $\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$. Le $-1$ n'est pas un exposant, c'est le symbole de la réciproque.

b) Le domaine de $f$ se lit sur l'axe horizontal : $[0\,;3]$. L'image se lit sur l'axe vertical, entre la plus petite et la plus grande valeur atteinte : $f(3)=0$ et $f(0)=7$, donc l'image est $[0\,;7]$. Pour la réciproque, les deux ensembles s'ÉCHANGENT : le domaine de $f^{-1}$ est $[0\,;7]$, son image est $[0\,;3]$. C'est la propriété la plus rentable du chapitre, parce qu'elle donne le domaine de la réciproque SANS calculer sa règle. Contrôle de cohérence : $f^{-1}(6)=1$ suppose que $6$ soit dans le domaine de $f^{-1}$, et $6$ appartient bien à $[0\,;7]$.

c) On réfléchit la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=x$, celle qui est tracée en pointillés. Concrètement, chaque point $(a\,;b)$ de $f$ donne le point $(b\,;a)$ de $f^{-1}$ : on échange les deux coordonnées. Les quatre points marqués sur la figure sont $(0\,;7)$, $(1\,;6)$, $(2\,;4)$ et $(3\,;0)$, ils donnent donc $(7\,;0)$, $(6\,;1)$, $(4\,;2)$ et $(0\,;3)$. Remarquez au passage que le zéro de $f$, en $x=3$, devient l'ordonnée à l'origine de $f^{-1}$, en $y=3$ : la symétrie échange les axes, donc elle échange aussi ce qui se lit sur chacun.

d) Elle est DÉCROISSANTE elle aussi. Prenons les deux points $(4\,;2)$ et $(6\,;1)$ de $f^{-1}$ : quand $x$ passe de $4$ à $6$, donc augmente, $f^{-1}(x)$ passe de $2$ à $1$, donc diminue. La réciproque CONSERVE le sens de variation, elle ne le retourne jamais. L'erreur classique est de confondre cette symétrie avec celle par rapport à l'axe des $x$, qui elle retournerait la courbe : la symétrie par rapport à $y=x$ échange les rôles des deux axes sans inverser l'ordre des nombres sur aucun d'eux. Si $a<b$ et que $f$ est décroissante, alors $f(a)>f(b)$, et en relisant cette inégalité dans l'autre sens on obtient exactement que $f^{-1}$ renverse aussi l'ordre.

a) On pose $y=-3x+7$, puis on isole $x$ en défaisant les opérations dans l'ordre inverse : $f$ multiplie d'abord par $-3$ puis ajoute $7$, donc on retire $7$ puis on divise par $-3$. Cela donne $y-7=-3x$, donc $x=\dfrac{y-7}{-3}=\dfrac{7-y}{3}$. Il reste à échanger les noms des variables, ce qui traduit l'échange des rôles entre le départ et l'arrivée : $f^{-1}(x)=\dfrac{7-x}{3}$, soit sous forme développée $f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3}$. Domaine et image : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et atteint tout réel, donc $f^{-1}$ aussi. Aucune restriction n'est nécessaire ici, et c'est justement ce qui rend le cas affine facile.

b) Premier sens : $f\big(f^{-1}(x)\big)=-3\times\dfrac{7-x}{3}+7=-(7-x)+7=-7+x+7=x$ ✓. Second sens : $f^{-1}\big(f(x)\big)=\dfrac{7-(-3x+7)}{3}=\dfrac{7+3x-7}{3}=\dfrac{3x}{3}=x$ ✓. Les deux vérifications sont exigées au barème, parce qu'elles ne disent pas la même chose : la première se fait sur le domaine de $f^{-1}$, la seconde sur celui de $f$. Pour une affine ces deux domaines valent $\mathbb{R}$, mais dès qu'une racine ou un logarithme entre en jeu, ils diffèrent et une seule des deux identités peut être vraie partout.

c) $f(1)=-3+7=4$, donc $\dfrac{1}{f(1)}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$. Et $f^{-1}(1)=\dfrac{7-1}{3}=\dfrac{6}{3}=2$. Les deux nombres, $2$ et $0{,}25$, n'ont rien à voir. L'erreur est de lire le $-1$ comme un exposant, comme dans $x^{-1}=\dfrac{1}{x}$. Ici le $-1$ est collé à la LETTRE $f$, pas à une valeur : il désigne la fonction qui défait $f$, pas l'inverse d'un nombre. Contrôle qui tranche à coup sûr : $f^{-1}(1)$ doit renvoyer un nombre dont l'image par $f$ vaut $1$, et $f(2)=-6+7=1$ ✓, alors que $f(0{,}25)=-0{,}75+7=6{,}25\neq 1$.

d) On pose $y=ax+b$, donc $x=\dfrac{y-b}{a}$ et $f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{b}{a}$. La pente de $f^{-1}$ est $\dfrac{1}{a}$, l'INVERSE de la pente de $f$, et non son opposé. Sur l'exemple : $f$ a la pente $-3$ et $f^{-1}$ la pente $-\dfrac{1}{3}$, et le produit des deux vaut $1$, pas $-1$ : deux droites réciproques ne sont donc PAS perpendiculaires en général, contrairement à ce qu'on suppose souvent. Si $a=0$, la fonction est constante, $f(x)=b$ pour tout $x$ : tous les réels ont la même image, donc en partant de $b$ on ne saurait pas à qui revenir, et aucune réciproque n'existe. Enfin, une remarque utile au tracé : $f$ et $f^{-1}$ se coupent sur la droite $y=x$, ici en résolvant $-3x+7=x$, ce qui donne $x=\dfrac{7}{4}=1{,}75$.

a) Passer à la réciproque revient à ÉCHANGER les deux lignes de la table : la ligne des images devient celle des $x$, et la ligne des $x$ devient celle des images. On obtient, en rangeant les nouvelles entrées dans l'ordre croissant : pour $x=-3\,;-1\,;1\,;3\,;5$, les valeurs $g^{-1}(x)=2\,;1\,;0\,;-1\,;-2$. Le domaine de $g^{-1}$ est donc $\{-3\,;-1\,;1\,;3\,;5\}$, c'est-à-dire l'IMAGE de $g$, et son image est $\{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\}$, le domaine de $g$. Remarquez que $g$ est décroissante d'un bout à l'autre de la table, et que $g^{-1}$ l'est aussi : la réciproque conserve le sens de variation. Au passage, la table de $g$ est celle de la fonction affine $g(x)=-2x+1$, ce qui donne $g^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{2}$, en accord avec les cinq couples trouvés.

b) On cherche le $x$ dont l'image vaut $3$ : la table donne $g(-1)=3$, donc $g^{-1}(3)=-1$. Ensuite $g\big(g^{-1}(3)\big)=g(-1)=3$ : on revient exactement au point de départ, et c'est la propriété qui DÉFINIT la réciproque. La seconde expression est un piège : $g^{-1}\big(g(3)\big)$ demande d'abord $g(3)$, or $3$ n'est PAS dans le domaine de $g$, qui s'arrête à $2$. L'expression n'existe donc pas. La leçon est que l'identité $g^{-1}\big(g(x)\big)=x$ n'est vraie que sur le domaine de $g$, et $g\big(g^{-1}(x)\big)=x$ que sur celui de $g^{-1}$ : hors de ces ensembles, l'écriture n'a aucun sens.

c) La table de $h$ donne $h(-1)=1$ et $h(1)=1$ : la valeur $1$ possède DEUX antécédents, $-1$ et $1$. Or une fonction doit associer à chaque nombre de son domaine une seule image. En partant de $1$, la réciproque devrait renvoyer à la fois $-1$ et $1$, ce qu'aucune fonction ne fait. Donc $h^{-1}$ n'est pas une fonction. La valeur $4$ fournit le même argument, avec les antécédents $-2$ et $2$. On reconnaît d'ailleurs $h(x)=x^{2}$, dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ : c'est exactement cette symétrie qui produit les paires d'antécédents et qui interdit la réciproque.

d) En gardant seulement $x\in\{0\,;1\,;2\}$, la table de $h$ devient $0\mapsto 0$, $1\mapsto 1$, $2\mapsto 4$ : plus aucune image n'est atteinte deux fois. La réciproque existe alors, avec la table $0\mapsto 0$, $1\mapsto 1$, $4\mapsto 2$. Son domaine est $\{0\,;1\,;4\}$, c'est-à-dire l'image de $h$ restreinte, et son image est $\{0\,;1\,;2\}$. On reconnaît trois valeurs de la fonction racine carrée, ce qui est cohérent : sur $x\geq 0$, la réciproque de $x^{2}$ est $\sqrt{x}$. Retenez la démarche générale, car c'est le fil de toute la série : quand la réciproque n'existe pas, on ne renonce pas, on RESTREINT le domaine jusqu'à ce que chaque image n'ait plus qu'un seul antécédent.

a) Elle la coupe DEUX fois, une fois sur chaque branche du V. Le calcul le confirme : $|x-2|-1=2$ donne $|x-2|=3$, donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$, soit $x=5$ ou $x=-1$. Les deux points d'intersection sont $(-1\,;2)$ et $(5\,;2)$. Contrôle : $f(-1)=|-3|-1=3-1=2$ ✓ et $f(5)=|3|-1=2$ ✓. Le réflexe à prendre est de traduire toute équation à valeur absolue en DEUX cas, sans quoi on ne trouve qu'une des deux solutions et on manque précisément le phénomène que la question veut faire voir.

b) $f^{-1}(2)$ devrait désigner UN nombre, celui dont l'image vaut $2$. Ici il y en a deux, $-1$ et $5$, et rien ne permet de choisir. La réciproque de $f$ n'est donc pas une fonction sur le domaine $\mathbb{R}$. Attention à ne pas dire que la réciproque « n'existe pas » : la symétrique de la courbe par rapport à $y=x$ existe bel et bien, c'est un V couché, mais ce n'est pas le graphe d'une fonction puisqu'une verticale y rencontrerait deux points.

c) Test de la droite horizontale : si une droite horizontale coupe la courbe de $f$ en plus d'un point, alors $f^{-1}$ n'est pas une fonction. Ici, la seule horizontale qui ne coupe qu'une fois est $y=-1$, celle qui passe par le sommet $(2\,;-1)$ ; les horizontales $y=k$ avec $k>-1$ coupent deux fois, et celles avec $k<-1$ ne coupent pas du tout. Cela ne suffit PAS : le test doit être réussi par TOUTES les horizontales, pas par une seule. Une seule horizontale à deux intersections condamne la réciproque, exactement comme une seule verticale à deux intersections condamne le fait d'être une fonction.

d) $\sqrt{x}$ : elle passe le test, car elle est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc chaque valeur $y\geq 0$ est atteinte une seule fois ; sa réciproque est $x^{2}$ restreinte aux $x\geq 0$. $\lfloor x\rfloor$ : elle échoue, et de la pire façon, car l'horizontale $y=2$ rencontre tout le palier $[2\,;3[$, ce qui fait une INFINITÉ d'antécédents et non deux. $2^{x}$ : elle passe le test, strictement croissante, chaque $y>0$ atteint une seule fois ; sa réciproque est $\log_{2}(x)$. $x^{2}$ : elle échoue, puisque $y=9$ est atteinte en $x=3$ et en $x=-3$. La règle générale à retenir tient en une ligne : une fonction strictement croissante ou strictement décroissante sur son domaine passe toujours le test, et c'est le critère le plus rapide à invoquer en évaluation.

a) On complète le carré : $x^{2}-6x+5=(x^{2}-6x+9)-9+5=(x-3)^{2}-4$. Le sommet est donc $(3\,;-4)$. Contrôle par les formules : $h=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3$ et $k=f(3)=9-18+5=-4$ ✓. Cette forme canonique n'est pas un ornement : c'est elle qui rend l'isolation de $x$ possible à la question suivante, parce qu'elle ne contient plus qu'UNE seule occurrence de $x$. Tant qu'on garde $x^{2}-6x+5$, avec deux occurrences, aucune manipulation ne permet d'isoler $x$.

b) La parabole est symétrique par rapport à la verticale $x=3$, donc chaque valeur strictement supérieure à $-4$ est atteinte deux fois. Exemple explicite : $f(1)=1-6+5=0$ et $f(5)=25-30+5=0$, la valeur $0$ a deux antécédents. Sur $[3\,;+\infty[$, en revanche, $f$ est strictement croissante donc injective, et son image est $[-4\,;+\infty[$. On isole : $y=(x-3)^{2}-4$ donne $(x-3)^{2}=y+4$, donc $x-3=\pm\sqrt{y+4}$. Comme $x\geq 3$, on a $x-3\geq 0$ et on garde le signe $+$ : $x=3+\sqrt{y+4}$. En échangeant les noms : $f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+4}$, de domaine $[-4\,;+\infty[$ et d'image $[3\,;+\infty[$.

c) Sur $]-\infty\,;3]$, la fonction est strictement décroissante, donc injective elle aussi, et son image est encore $[-4\,;+\infty[$. Le calcul est identique jusqu'à $x-3=\pm\sqrt{y+4}$, mais cette fois $x\leq 3$ donne $x-3\leq 0$, donc on garde le signe $-$ : $f^{-1}(x)=3-\sqrt{x+4}$, de domaine $[-4\,;+\infty[$ et d'image $]-\infty\,;3]$. Les deux réciproques ont donc le MÊME domaine et des règles qui ne diffèrent que par un signe. Graphiquement, ce sont les deux moitiés de la parabole couchée obtenue en réfléchissant $f$ par rapport à $y=x$ : la branche du haut et celle du bas.

d) Sur la première : $f(7)=49-42+5=12$, et $f^{-1}(12)=3+\sqrt{16}=3+4=7$ ✓, on est revenu au point de départ. Sur la seconde : $f(-1)=1+6+5=12$, et $3-\sqrt{16}=3-4=-1$ ✓. Le même nombre $12$ possède bien les deux antécédents $7$ et $-1$, symétriques par rapport à $3$, ce qui confirme la question b). Le $\pm$ vient de ce qu'une équation du type $u^{2}=c$ avec $c>0$ a toujours deux solutions opposées : la racine carrée, elle, ne renvoie que la positive, d'où l'obligation d'écrire les deux cas. Il ne disparaît pas par magie à la ligne suivante : c'est la RESTRICTION du domaine qui en élimine une, en fixant le signe de $x-3$. Sans restriction, les deux réponses coexistent, et l'objet obtenu n'est pas une fonction.

a) Une exponentielle est définie pour tout réel, donc le domaine de $f$ est $\mathbb{R}$. Pour l'image : $2^{\,x-1}>0$ pour tout $x$, donc $3\cdot 2^{\,x-1}>0$ et $f(x)>4$. La valeur $4$ n'est jamais atteinte, seulement approchée quand $x\to-\infty$ : l'image est $]4\,;+\infty[$ et la droite $y=4$ est asymptote horizontale. C'est le paramètre $k$ de la forme $a\cdot b^{\,x-h}+k$ qui donne directement cette asymptote, et c'est aussi lui qui va décider du domaine de la réciproque, donc il ne faut surtout pas le perdre en route.

b) On pose $y=3\cdot 2^{\,x-1}+4$ et on défait les opérations dans l'ordre inverse. D'abord $y-4=3\cdot 2^{\,x-1}$, puis $\dfrac{y-4}{3}=2^{\,x-1}$. À ce stade l'inconnue est en EXPOSANT, et le seul outil qui l'en fait descendre est le logarithme de base $2$ : $x-1=\log_{2}\!\left(\dfrac{y-4}{3}\right)$, donc $x=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{y-4}{3}\right)$. En échangeant les noms : $f^{-1}(x)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{x-4}{3}\right)$. Son domaine s'obtient par la condition d'existence du logarithme, $\dfrac{x-4}{3}>0$, soit $x>4$ : le domaine est $]4\,;+\infty[$, exactement l'image de $f$ trouvée en a). Cette coïncidence n'en est pas une, c'est le contrôle qui valide toute la question.

c) Première valeur : $f(2)=3\cdot 2^{1}+4=6+4=10$, et $f^{-1}(10)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{6}{3}\right)=1+\log_{2}(2)=1+1=2$ ✓. Deuxième : $f(1)=3\cdot 2^{0}+4=3+4=7$, et $f^{-1}(7)=1+\log_{2}(1)=1+0=1$ ✓. Troisième, avec une puissance négative : $f(0)=3\cdot 2^{-1}+4=1{,}5+4=5{,}5$, et $f^{-1}(5{,}5)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{1{,}5}{3}\right)=1+\log_{2}(0{,}5)=1-1=0$ ✓. Rappel utile pour la troisième : $\log_{2}(0{,}5)=-1$ parce que $2^{-1}=0{,}5$, et à la calculatrice on l'obtient par le changement de base $\dfrac{\log(0{,}5)}{\log(2)}$.

d) Quand $x$ tend vers $4$ par valeurs supérieures, $\dfrac{x-4}{3}$ tend vers $0^{+}$ et son logarithme vers $-\infty$ : la droite VERTICALE $x=4$ est asymptote de $f^{-1}$. C'est l'image miroir de l'asymptote horizontale $y=4$ de $f$ par la symétrie d'axe $y=x$. La règle générale mérite d'être retenue telle quelle, car elle fait gagner du temps en évaluation : la symétrie par rapport à $y=x$ échange les deux axes, donc elle transforme toute asymptote horizontale en asymptote verticale de même valeur, et réciproquement. C'est le même mécanisme qui, à l'exercice 1, transformait un zéro en ordonnée à l'origine.