Exercice 0.1 : Trouver la règle d'une réciproque : dix calculs directs

Pour chaque fonction, déterminez la règle de $f^{-1}$ , puis évaluez $f^{-1}$ au nombre indiqué. Quand la fonction n'est pas bijective, la restriction donnée rend la réciproque possible. Valeur exacte, sauf mention au millième.

Une seule méthode pour les dix lignes : poser $y=f(x)$ , isoler $x$ en défaisant les opérations dans l'ordre INVERSE de celui où elles agissent sur $x$ , puis échanger les noms $x$ et $y$ . Une puissance se défait par une racine, une racine par un carré, une exponentielle par un logarithme de même base et un logarithme par une exponentielle. La restriction de $f$ dit quel signe garder.

a) $f(x)=4x-9$ ; calculez $f^{-1}(11)$ .
b) $f(x)=\frac{2}{3}x+4$ ; calculez $f^{-1}(10)$ .
c) $f(x)=2(x-1)^{2}-3$ , restreinte à $[1\,;+\infty[$ ; calculez $f^{-1}(15)$ .
d) $f(x)=3\sqrt{x+2}-1$ ; calculez $f^{-1}(5)$ .
e) $f(x)=2\sqrt{-(x-5)}+1$ ; calculez $f^{-1}(7)$ .
f) $f(x)=-3|x-2|+6$ , restreinte à $[2\,;+\infty[$ ; calculez $f^{-1}(0)$ .
g) $f(x)=\frac{6}{x-3}+2$ ; calculez $f^{-1}(4)$ .
h) $f(x)=5\cdot 3^{x}-2$ ; calculez $f^{-1}(133)$ .
i) $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}-3$ ; calculez $f^{-1}(5)$ .
j) $f(x)=2\log_{3}(x+1)-4$ ; calculez $f^{-1}(-1)$ au millième.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

f^{-1}(11)

b)

f^{-1}(10)

c)

f^{-1}(15)

d)

f^{-1}(5)

e)

f^{-1}(7)

f)

f^{-1}(0)

g)

f^{-1}(4)

h)

f^{-1}(133)

i)

f^{-1}(5)

j)

f^{-1}(-1)

Voir la correction

Réponses

a) $f^{-1}(x)=\frac{x+9}{4}$ ; $f^{-1}(11)=5$
b) $f^{-1}(x)=\frac{3}{2}(x-4)$ ; $f^{-1}(10)=9$
c) $f^{-1}(x)=1+\sqrt{\frac{x+3}{2}}$ ; $f^{-1}(15)=4$
d) $f^{-1}(x)=\left(\frac{x+1}{3}\right)^{2}-2$ , $x\geq -1$ ; $f^{-1}(5)=2$
e) $f^{-1}(x)=-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+5$ , $x\geq 1$ ; $f^{-1}(7)=-4$
f) $f^{-1}(x)=\frac{6-x}{3}+2$ , $x\leq 6$ ; $f^{-1}(0)=4$
g) $f^{-1}(x)=\frac{6}{x-2}+3$ ; $f^{-1}(4)=6$
h) $f^{-1}(x)=\log_{3}\left(\frac{x+2}{5}\right)$ ; $f^{-1}(133)=3$
i) $f^{-1}(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+3)+4$ ; $f^{-1}(5)=1$
j) $f^{-1}(x)=3^{\frac{x+4}{2}}-1$ ; $f^{-1}(-1)=3\sqrt{3}-1\approx 4{,}196$

Le geste qui décide de tout : défaire les opérations dans l'ordre inverse. Dans $3\sqrt{x+2}-1$ , la machine ajoute $2$ , prend la racine, multiplie par $3$ , retranche $1$ ; pour isoler $x$ , on ajoute $1$ , on divise par $3$ , on élève au carré, on retranche $2$ . Celui qui élève au carré avant d'avoir isolé le radical se trompe à coup sûr.

a)

$y=4x-9$ , donc $x=\frac{y+9}{4}$ , et $f^{-1}(x)=\frac{x+9}{4}$ . Puis $f^{-1}(11)=\frac{20}{4}=5$ . Contrôle : $f(5)=20-9=11$ .

b)

$y=\frac{2}{3}x+4$ , donc $y-4=\frac{2}{3}x$ et $x=\frac{3}{2}(y-4)$ : $f^{-1}(x)=\frac{3}{2}(x-4)$ . Puis $f^{-1}(10)=\frac{3}{2}\times 6=9$ . Piège : prendre $-\frac{2}{3}$ ou $\frac{2}{3}$ pour la pente de la réciproque ; elle vaut l'INVERSE, $\frac{3}{2}$ .

c)

$y=2(x-1)^{2}-3$ , donc $(x-1)^{2}=\frac{y+3}{2}$ et $x-1=\pm\sqrt{\frac{y+3}{2}}$ . La restriction $x\geq 1$ impose $x-1\geq 0$ , donc le signe $+$ : $f^{-1}(x)=1+\sqrt{\frac{x+3}{2}}$ , sur $[-3\,;+\infty[$ . Puis $f^{-1}(15)=1+\sqrt{9}=4$ . Piège : garder le $-$ , qui donne $-2$ , hors du domaine de la restriction.

d)

$y=3\sqrt{x+2}-1$ , donc $\sqrt{x+2}=\frac{y+1}{3}$ , puis $x+2=\left(\frac{y+1}{3}\right)^{2}$ : $f^{-1}(x)=\left(\frac{x+1}{3}\right)^{2}-2$ , sur $[-1\,;+\infty[$ , l'image de $f$ . Puis $f^{-1}(5)=2^{2}-2=2$ . Contrôle : $f(2)=3\sqrt{4}-1=5$ .

e)

$y=2\sqrt{-(x-5)}+1$ , donc $\sqrt{-(x-5)}=\frac{y-1}{2}$ , puis $-(x-5)=\left(\frac{y-1}{2}\right)^{2}$ et $x=5-\left(\frac{y-1}{2}\right)^{2}$ : $f^{-1}(x)=-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+5$ , sur $[1\,;+\infty[$ . Puis $f^{-1}(7)=5-9=-4$ . Piège : perdre le signe moins sous le radical et répondre $14$ . Contrôle : $f(-4)=2\sqrt{9}+1=7$ .

f)

Sur $[2\,;+\infty[$ , $x-2\geq 0$ , donc $|x-2|=x-2$ et $y=-3(x-2)+6$ . On isole : $x-2=\frac{6-y}{3}$ , d'où $f^{-1}(x)=\frac{6-x}{3}+2$ , sur $]-\infty\,;6]$ . Puis $f^{-1}(0)=2+2=4$ . Piège : la branche de gauche, qui donne $0$ , est exclue par la restriction.

g)

$y=\frac{6}{x-3}+2$ , donc $y-2=\frac{6}{x-3}$ , puis $x-3=\frac{6}{y-2}$ : $f^{-1}(x)=\frac{6}{x-2}+3$ . Les rôles de $h$ et de $k$ s'échangent, comme les asymptotes. Puis $f^{-1}(4)=\frac{6}{2}+3=6$ . Piège : retourner la fraction avant d'avoir retranché $2$ .

h)

$y=5\cdot 3^{x}-2$ , donc $3^{x}=\frac{y+2}{5}$ et $x=\log_{3}\frac{y+2}{5}$ : $f^{-1}(x)=\log_{3}\left(\frac{x+2}{5}\right)$ , sur $]-2\,;+\infty[$ . Puis $f^{-1}(133)=\log_{3}27=3$ . Piège : écrire $\log_{3}(y+2)-5$ ; on divise par $5$ AVANT de passer au logarithme.

i)

$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}-3$ , donc $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}=y+3$ et $x-4=\log_{\frac{1}{2}}(y+3)$ : $f^{-1}(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+3)+4$ , sur $]-3\,;+\infty[$ . Puis $f^{-1}(5)=\log_{\frac{1}{2}}8+4=-3+4=1$ , puisque $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=8$ . Piège : $\log_{\frac{1}{2}}8=3$ ; avec une base inférieure à $1$ , le logarithme d'un nombre plus grand que $1$ est négatif.

j)

$y=2\log_{3}(x+1)-4$ , donc $\log_{3}(x+1)=\frac{y+4}{2}$ , puis $x+1=3^{\frac{y+4}{2}}$ : $f^{-1}(x)=3^{\frac{x+4}{2}}-1$ . Puis $f^{-1}(-1)=3^{\frac{3}{2}}-1=3\sqrt{3}-1\approx 4{,}196$ . Piège : passer à l'exponentielle avant d'avoir divisé par $2$ , ce qui donne $3^{3}-1=26$ .

Contrôle : à chaque ligne, $f$ appliquée à la réponse redonne le nombre de départ. En j), $f(3\sqrt{3}-1)=2\log_{3}\left(3^{\frac{3}{2}}\right)-4=3-4=-1$ .

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Exercice 1 : Lire une réciproque sur un graphique

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ , dont on ne donne PAS la règle. La droite $y=x$ est tracée en pointillés.

a) Lisez $f(2)$ et l'antécédent de $6$ par $f$ . Réécrivez ensuite chacune de ces deux lectures avec la notation $f^{-1}$ .
b) Donnez le domaine et l'image de $f$ , puis ceux de $f^{-1}$ .
c) Expliquez comment obtenir la courbe de $f^{-1}$ à partir de celle de $f$ , et donnez les coordonnées de quatre points de $f^{-1}$ .
d) La fonction $f$ est décroissante. La fonction $f^{-1}$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifiez avec deux des points de la question c).

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Réponses

a) $f(2)=4$ , antécédent de $6$ : $1$ ; $f^{-1}(4)=2$ , $f^{-1}(6)=1$
b) $f$ : $[0\,;3]\to[0\,;7]$ ; $f^{-1}$ : $[0\,;7]\to[0\,;3]$
c) Réflexion par rapport à $y=x$ ; $(7\,;0)$ , $(6\,;1)$ , $(4\,;2)$ , $(0\,;3)$
d) Décroissante : la réciproque conserve le sens de variation

a)

On lit $f(2)=4$ : on part de $2$ sur l'axe des $x$ , on monte jusqu'à la courbe, on lit $4$ sur l'axe des $y$ . Pour l'antécédent de $6$ , on fait le trajet INVERSE : on part de $6$ sur l'axe des $y$ , on va horizontalement jusqu'à la courbe, on descend et on lit $1$ . Donc $f(1)=6$ . La notation $f^{-1}$ ne fait qu'écrire ces deux lectures dans l'autre sens : $f(2)=4$ s'écrit $f^{-1}(4)=2$ , et $f(1)=6$ s'écrit $f^{-1}(6)=1$ . Attention au piège de notation qui coûte des points à chaque évaluation : $f^{-1}(6)=1$ et non $\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$ . Le $-1$ n'est pas un exposant, c'est le symbole de la réciproque.

b)

Le domaine de $f$ se lit sur l'axe horizontal : $[0\,;3]$ . L'image se lit sur l'axe vertical, entre la plus petite et la plus grande valeur atteinte : $f(3)=0$ et $f(0)=7$ , donc l'image est $[0\,;7]$ . Pour la réciproque, les deux ensembles s'ÉCHANGENT : le domaine de $f^{-1}$ est $[0\,;7]$ , son image est $[0\,;3]$ . C'est la propriété la plus rentable du chapitre, parce qu'elle donne le domaine de la réciproque SANS calculer sa règle. Contrôle de cohérence : $f^{-1}(6)=1$ suppose que $6$ soit dans le domaine de $f^{-1}$ , et $6$ appartient bien à $[0\,;7]$ .

c)

On réfléchit la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=x$ , celle qui est tracée en pointillés. Concrètement, chaque point $(a\,;b)$ de $f$ donne le point $(b\,;a)$ de $f^{-1}$ : on échange les deux coordonnées. Les quatre points marqués sur la figure sont $(0\,;7)$ , $(1\,;6)$ , $(2\,;4)$ et $(3\,;0)$ , ils donnent donc $(7\,;0)$ , $(6\,;1)$ , $(4\,;2)$ et $(0\,;3)$ . Remarquez au passage que le zéro de $f$ , en $x=3$ , devient l'ordonnée à l'origine de $f^{-1}$ , en $y=3$ : la symétrie échange les axes, donc elle échange aussi ce qui se lit sur chacun.

d)

Elle est DÉCROISSANTE elle aussi. Prenons les deux points $(4\,;2)$ et $(6\,;1)$ de $f^{-1}$ : quand $x$ passe de $4$ à $6$ , donc augmente, $f^{-1}(x)$ passe de $2$ à $1$ , donc diminue. La réciproque CONSERVE le sens de variation, elle ne le retourne jamais. L'erreur classique est de confondre cette symétrie avec celle par rapport à l'axe des $x$ , qui elle retournerait la courbe : la symétrie par rapport à $y=x$ échange les rôles des deux axes sans inverser l'ordre des nombres sur aucun d'eux. Si $a<b$ et que $f$ est décroissante, alors $f(a)>f(b)$ , et en relisant cette inégalité dans l'autre sens on obtient exactement que $f^{-1}$ renverse aussi l'ordre.

Exercice 2 : La réciproque d'une fonction affine

On considère la fonction affine $f(x)=-3x+7$ .

a) Déterminez $f^{-1}$ par la méthode : poser $y=f(x)$ , isoler $x$ , échanger les noms des variables.
b) Vérifiez que $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ et que $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ .
c) Un élève écrit $f^{-1}(1)=\dfrac{1}{f(1)}$ . Calculez les deux nombres et expliquez l'erreur.
d) Cas général : pour $f(x)=ax+b$ avec $a\neq 0$ , donnez $f^{-1}$ et sa pente. Que se passe-t-il si $a=0$ ?

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Réponses

a) $f^{-1}(x)=\dfrac{7-x}{3}$
b) $f(f^{-1}(x))=x$ et $f^{-1}(f(x))=x$
c) $f^{-1}(1)=2$ contre $\dfrac{1}{f(1)}=0{,}25$ : le $-1$ n'est pas un exposant
d) $f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}$ , pente $\dfrac{1}{a}$ ; si $a=0$ , pas de réciproque

a)

On pose $y=-3x+7$ , puis on isole $x$ en défaisant les opérations dans l'ordre inverse : $f$ multiplie d'abord par $-3$ puis ajoute $7$ , donc on retire $7$ puis on divise par $-3$ . Cela donne $y-7=-3x$ , donc $x=\dfrac{y-7}{-3}=\dfrac{7-y}{3}$ . Il reste à échanger les noms des variables, ce qui traduit l'échange des rôles entre le départ et l'arrivée : $f^{-1}(x)=\dfrac{7-x}{3}$ , soit sous forme développée $f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3}$ . Domaine et image : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et atteint tout réel, donc $f^{-1}$ aussi. Aucune restriction n'est nécessaire ici, et c'est justement ce qui rend le cas affine facile.

b)

Premier sens : $f\big(f^{-1}(x)\big)=-3\times\dfrac{7-x}{3}+7=-(7-x)+7=-7+x+7=x$ ✓. Second sens : $f^{-1}\big(f(x)\big)=\dfrac{7-(-3x+7)}{3}=\dfrac{7+3x-7}{3}=\dfrac{3x}{3}=x$ ✓. Les deux vérifications sont exigées au barème, parce qu'elles ne disent pas la même chose : la première se fait sur le domaine de $f^{-1}$ , la seconde sur celui de $f$ . Pour une affine ces deux domaines valent $\mathbb{R}$ , mais dès qu'une racine ou un logarithme entre en jeu, ils diffèrent et une seule des deux identités peut être vraie partout.

c)

$f(1)=-3+7=4$ , donc $\dfrac{1}{f(1)}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ . Et $f^{-1}(1)=\dfrac{7-1}{3}=\dfrac{6}{3}=2$ . Les deux nombres, $2$ et $0{,}25$ , n'ont rien à voir. L'erreur est de lire le $-1$ comme un exposant, comme dans $x^{-1}=\dfrac{1}{x}$ . Ici le $-1$ est collé à la LETTRE $f$ , pas à une valeur : il désigne la fonction qui défait $f$ , pas l'inverse d'un nombre. Contrôle qui tranche à coup sûr : $f^{-1}(1)$ doit renvoyer un nombre dont l'image par $f$ vaut $1$ , et $f(2)=-6+7=1$ ✓, alors que $f(0{,}25)=-0{,}75+7=6{,}25\neq 1$ .

d)

On pose $y=ax+b$ , donc $x=\dfrac{y-b}{a}$ et $f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{b}{a}$ . La pente de $f^{-1}$ est $\dfrac{1}{a}$ , l'INVERSE de la pente de $f$ , et non son opposé. Sur l'exemple : $f$ a la pente $-3$ et $f^{-1}$ la pente $-\dfrac{1}{3}$ , et le produit des deux vaut $1$ , pas $-1$ : deux droites réciproques ne sont donc PAS perpendiculaires en général, contrairement à ce qu'on suppose souvent. Si $a=0$ , la fonction est constante, $f(x)=b$ pour tout $x$ : tous les réels ont la même image, donc en partant de $b$ on ne saurait pas à qui revenir, et aucune réciproque n'existe. Enfin, une remarque utile au tracé : $f$ et $f^{-1}$ se coupent sur la droite $y=x$ , ici en résolvant $-3x+7=x$ , ce qui donne $x=\dfrac{7}{4}=1{,}75$ .

Exercice 3 : Réciproque à partir d'une table de valeurs

Deux fonctions $g$ et $h$ sont définies par la table ci-dessous, sur le domaine $\{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\}$ .

x	-2	-1	0	1	2
g(x)	5	3	1	-1	-3
h(x)	4	1	0	1	4

a) Dressez la table de valeurs de $g^{-1}$ . Quelles lignes de la table de $g$ a-t-on échangées ?
b) Donnez $g^{-1}(3)$ , puis calculez $g\big(g^{-1}(3)\big)$ et $g^{-1}\big(g(3)\big)$ . Attention au domaine.
c) Montrez que $h^{-1}$ n'est PAS une fonction. Donnez une valeur qui le prouve et ses deux antécédents.
d) On restreint $h$ aux $x\geq 0$ . Dressez la table de la réciproque obtenue et donnez son domaine.

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Réponses

a) $g^{-1}$ : $-3\mapsto 2$ , $-1\mapsto 1$ , $1\mapsto 0$ , $3\mapsto -1$ , $5\mapsto -2$ (lignes échangées)
b) $g^{-1}(3)=-1$ ; $g(g^{-1}(3))=3$ ; $g^{-1}(g(3))$ n'existe pas
c) $h(-1)=h(1)=1$ : deux antécédents
d) $0\mapsto 0$ , $1\mapsto 1$ , $4\mapsto 2$ ; domaine $\{0\,;1\,;4\}$

a)

Passer à la réciproque revient à ÉCHANGER les deux lignes de la table : la ligne des images devient celle des $x$ , et la ligne des $x$ devient celle des images. On obtient, en rangeant les nouvelles entrées dans l'ordre croissant : pour $x=-3\,;-1\,;1\,;3\,;5$ , les valeurs $g^{-1}(x)=2\,;1\,;0\,;-1\,;-2$ . Le domaine de $g^{-1}$ est donc $\{-3\,;-1\,;1\,;3\,;5\}$ , c'est-à-dire l'IMAGE de $g$ , et son image est $\{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\}$ , le domaine de $g$ . Remarquez que $g$ est décroissante d'un bout à l'autre de la table, et que $g^{-1}$ l'est aussi : la réciproque conserve le sens de variation. Au passage, la table de $g$ est celle de la fonction affine $g(x)=-2x+1$ , ce qui donne $g^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{2}$ , en accord avec les cinq couples trouvés.

b)

On cherche le $x$ dont l'image vaut $3$ : la table donne $g(-1)=3$ , donc $g^{-1}(3)=-1$ . Ensuite $g\big(g^{-1}(3)\big)=g(-1)=3$ : on revient exactement au point de départ, et c'est la propriété qui DÉFINIT la réciproque. La seconde expression est un piège : $g^{-1}\big(g(3)\big)$ demande d'abord $g(3)$ , or $3$ n'est PAS dans le domaine de $g$ , qui s'arrête à $2$ . L'expression n'existe donc pas. La leçon est que l'identité $g^{-1}\big(g(x)\big)=x$ n'est vraie que sur le domaine de $g$ , et $g\big(g^{-1}(x)\big)=x$ que sur celui de $g^{-1}$ : hors de ces ensembles, l'écriture n'a aucun sens.

c)

La table de $h$ donne $h(-1)=1$ et $h(1)=1$ : la valeur $1$ possède DEUX antécédents, $-1$ et $1$ . Or une fonction doit associer à chaque nombre de son domaine une seule image. En partant de $1$ , la réciproque devrait renvoyer à la fois $-1$ et $1$ , ce qu'aucune fonction ne fait. Donc $h^{-1}$ n'est pas une fonction. La valeur $4$ fournit le même argument, avec les antécédents $-2$ et $2$ . On reconnaît d'ailleurs $h(x)=x^{2}$ , dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ : c'est exactement cette symétrie qui produit les paires d'antécédents et qui interdit la réciproque.

d)

En gardant seulement $x\in\{0\,;1\,;2\}$ , la table de $h$ devient $0\mapsto 0$ , $1\mapsto 1$ , $2\mapsto 4$ : plus aucune image n'est atteinte deux fois. La réciproque existe alors, avec la table $0\mapsto 0$ , $1\mapsto 1$ , $4\mapsto 2$ . Son domaine est $\{0\,;1\,;4\}$ , c'est-à-dire l'image de $h$ restreinte, et son image est $\{0\,;1\,;2\}$ . On reconnaît trois valeurs de la fonction racine carrée, ce qui est cohérent : sur $x\geq 0$ , la réciproque de $x^{2}$ est $\sqrt{x}$ . Retenez la démarche générale, car c'est le fil de toute la série : quand la réciproque n'existe pas, on ne renonce pas, on RESTREINT le domaine jusqu'à ce que chaque image n'ait plus qu'un seul antécédent.

Exercice 4 : Le test de la droite horizontale

La courbe ci-dessous est celle de $f(x)=|x-2|-1$ . Une droite horizontale y a été tracée.

a) Combien de fois la droite $y=2$ coupe-t-elle la courbe ? Résolvez $|x-2|-1=2$ pour le confirmer.
b) Qu'en conclut-on sur $f^{-1}(2)$ , et donc sur l'existence de $f^{-1}$ ?
c) Énoncez le test de la droite horizontale. Existe-t-il ici une horizontale qui ne coupe la courbe qu'une seule fois ? Cela suffit-il ?
d) Parmi $\sqrt{x}$ , $\lfloor x\rfloor$ , $2^{x}$ et $x^{2}$ , dites lesquelles admettent une réciproque sur leur domaine entier. Justifiez chacune par le test.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Nombre d'intersections

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

f^{-1}

est une fonction ?

c)

Une seule horizontale à une intersection suffit-elle ?

d)

√x

⌊x⌋

2^x

x²

Voir la correction

Réponses

a) Deux fois : $x=-1$ et $x=5$
b) $f^{-1}(2)$ aurait deux valeurs : $f^{-1}$ n'est pas une fonction
c) Toutes les horizontales doivent passer le test ; une seule ne suffit pas
d) $\sqrt{x}$ et $2^{x}$ oui (strictement croissantes) ; $\lfloor x\rfloor$ et $x^{2}$ non

a)

Elle la coupe DEUX fois, une fois sur chaque branche du V. Le calcul le confirme : $|x-2|-1=2$ donne $|x-2|=3$ , donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , soit $x=5$ ou $x=-1$ . Les deux points d'intersection sont $(-1\,;2)$ et $(5\,;2)$ . Contrôle : $f(-1)=|-3|-1=3-1=2$ ✓ et $f(5)=|3|-1=2$ ✓. Le réflexe à prendre est de traduire toute équation à valeur absolue en DEUX cas, sans quoi on ne trouve qu'une des deux solutions et on manque précisément le phénomène que la question veut faire voir.

b)

$f^{-1}(2)$ devrait désigner UN nombre, celui dont l'image vaut $2$ . Ici il y en a deux, $-1$ et $5$ , et rien ne permet de choisir. La réciproque de $f$ n'est donc pas une fonction sur le domaine $\mathbb{R}$ . Attention à ne pas dire que la réciproque « n'existe pas » : la symétrique de la courbe par rapport à $y=x$ existe bel et bien, c'est un V couché, mais ce n'est pas le graphe d'une fonction puisqu'une verticale y rencontrerait deux points.

c)

Test de la droite horizontale : si une droite horizontale coupe la courbe de $f$ en plus d'un point, alors $f^{-1}$ n'est pas une fonction. Ici, la seule horizontale qui ne coupe qu'une fois est $y=-1$ , celle qui passe par le sommet $(2\,;-1)$ ; les horizontales $y=k$ avec $k>-1$ coupent deux fois, et celles avec $k<-1$ ne coupent pas du tout. Cela ne suffit PAS : le test doit être réussi par TOUTES les horizontales, pas par une seule. Une seule horizontale à deux intersections condamne la réciproque, exactement comme une seule verticale à deux intersections condamne le fait d'être une fonction.

d)

$\sqrt{x}$ : elle passe le test, car elle est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc chaque valeur $y\geq 0$ est atteinte une seule fois ; sa réciproque est $x^{2}$ restreinte aux $x\geq 0$ . $\lfloor x\rfloor$ : elle échoue, et de la pire façon, car l'horizontale $y=2$ rencontre tout le palier $[2\,;3[$ , ce qui fait une INFINITÉ d'antécédents et non deux. $2^{x}$ : elle passe le test, strictement croissante, chaque $y>0$ atteint une seule fois ; sa réciproque est $\log_{2}(x)$ . $x^{2}$ : elle échoue, puisque $y=9$ est atteinte en $x=3$ et en $x=-3$ . La règle générale à retenir tient en une ligne : une fonction strictement croissante ou strictement décroissante sur son domaine passe toujours le test, et c'est le critère le plus rapide à invoquer en évaluation.

Exercice 5 : Restreindre le domaine d'une quadratique

On considère la fonction $f(x)=x^{2}-6x+5$ .

a) Écrivez $f$ sous la forme canonique et donnez les coordonnées de son sommet.
b) Justifiez que $f$ n'admet pas de réciproque sur $\mathbb{R}$ , puis restreignez $f$ à $[3\,;+\infty[$ et déterminez $f^{-1}$ avec son domaine.
c) Faites de même sur $]-\infty\,;3]$ , et comparez les deux règles obtenues.
d) Vérifiez chacune des deux réciproques sur une valeur numérique, puis expliquez d'où vient le signe $\pm$ et pourquoi il disparaît.

Voir la correction

Réponses

a) $f(x)=(x-3)^{2}-4$ , sommet $(3\,;-4)$
b) $f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+4}$ sur $[-4\,;+\infty[$
c) $f^{-1}(x)=3-\sqrt{x+4}$ , même domaine
d) $f^{-1}(12)=7$ et $-1$ ; le $\pm$ vient de $u^{2}=c$ , la restriction en élimine un

a)

On complète le carré : $x^{2}-6x+5=(x^{2}-6x+9)-9+5=(x-3)^{2}-4$ . Le sommet est donc $(3\,;-4)$ . Contrôle par les formules : $h=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3$ et $k=f(3)=9-18+5=-4$ ✓. Cette forme canonique n'est pas un ornement : c'est elle qui rend l'isolation de $x$ possible à la question suivante, parce qu'elle ne contient plus qu'UNE seule occurrence de $x$ . Tant qu'on garde $x^{2}-6x+5$ , avec deux occurrences, aucune manipulation ne permet d'isoler $x$ .

b)

La parabole est symétrique par rapport à la verticale $x=3$ , donc chaque valeur strictement supérieure à $-4$ est atteinte deux fois. Exemple explicite : $f(1)=1-6+5=0$ et $f(5)=25-30+5=0$ , la valeur $0$ a deux antécédents. Sur $[3\,;+\infty[$ , en revanche, $f$ est strictement croissante donc injective, et son image est $[-4\,;+\infty[$ . On isole : $y=(x-3)^{2}-4$ donne $(x-3)^{2}=y+4$ , donc $x-3=\pm\sqrt{y+4}$ . Comme $x\geq 3$ , on a $x-3\geq 0$ et on garde le signe $+$ : $x=3+\sqrt{y+4}$ . En échangeant les noms : $f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+4}$ , de domaine $[-4\,;+\infty[$ et d'image $[3\,;+\infty[$ .

c)

Sur $]-\infty\,;3]$ , la fonction est strictement décroissante, donc injective elle aussi, et son image est encore $[-4\,;+\infty[$ . Le calcul est identique jusqu'à $x-3=\pm\sqrt{y+4}$ , mais cette fois $x\leq 3$ donne $x-3\leq 0$ , donc on garde le signe $-$ : $f^{-1}(x)=3-\sqrt{x+4}$ , de domaine $[-4\,;+\infty[$ et d'image $]-\infty\,;3]$ . Les deux réciproques ont donc le MÊME domaine et des règles qui ne diffèrent que par un signe. Graphiquement, ce sont les deux moitiés de la parabole couchée obtenue en réfléchissant $f$ par rapport à $y=x$ : la branche du haut et celle du bas.

d)

Sur la première : $f(7)=49-42+5=12$ , et $f^{-1}(12)=3+\sqrt{16}=3+4=7$ ✓, on est revenu au point de départ. Sur la seconde : $f(-1)=1+6+5=12$ , et $3-\sqrt{16}=3-4=-1$ ✓. Le même nombre $12$ possède bien les deux antécédents $7$ et $-1$ , symétriques par rapport à $3$ , ce qui confirme la question b). Le $\pm$ vient de ce qu'une équation du type $u^{2}=c$ avec $c>0$ a toujours deux solutions opposées : la racine carrée, elle, ne renvoie que la positive, d'où l'obligation d'écrire les deux cas. Il ne disparaît pas par magie à la ligne suivante : c'est la RESTRICTION du domaine qui en élimine une, en fixant le signe de $x-3$ . Sans restriction, les deux réponses coexistent, et l'objet obtenu n'est pas une fonction.

Exercice 6 : Exponentielle et logarithme : le couple réciproque

On considère la fonction $f(x)=3\cdot 2^{\,x-1}+4$ .

a) Donnez le domaine et l'image de $f$ , ainsi que l'équation de son asymptote.
b) Déterminez la règle de $f^{-1}$ et son domaine.
c) Vérifiez votre réponse sur trois valeurs, dont une qui donne une puissance négative.
d) Quelle est l'asymptote de $f^{-1}$ ? Expliquez le lien avec celle de $f$ .

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Réponses

a) Domaine $\mathbb{R}$ , image $]4\,;+\infty[$ , asymptote $y=4$
b) $f^{-1}(x)=1+\log_{2}\left(\dfrac{x-4}{3}\right)$ sur $]4\,;+\infty[$
c) $f^{-1}(10)=2$ , $f^{-1}(7)=1$ , $f^{-1}(5{,}5)=0$
d) $x=4$ : l'asymptote horizontale de $f$ devient verticale

a)

Une exponentielle est définie pour tout réel, donc le domaine de $f$ est $\mathbb{R}$ . Pour l'image : $2^{\,x-1}>0$ pour tout $x$ , donc $3\cdot 2^{\,x-1}>0$ et $f(x)>4$ . La valeur $4$ n'est jamais atteinte, seulement approchée quand $x\to-\infty$ : l'image est $]4\,;+\infty[$ et la droite $y=4$ est asymptote horizontale. C'est le paramètre $k$ de la forme $a\cdot b^{\,x-h}+k$ qui donne directement cette asymptote, et c'est aussi lui qui va décider du domaine de la réciproque, donc il ne faut surtout pas le perdre en route.

b)

On pose $y=3\cdot 2^{\,x-1}+4$ et on défait les opérations dans l'ordre inverse. D'abord $y-4=3\cdot 2^{\,x-1}$ , puis $\dfrac{y-4}{3}=2^{\,x-1}$ . À ce stade l'inconnue est en EXPOSANT, et le seul outil qui l'en fait descendre est le logarithme de base $2$ : $x-1=\log_{2}\!\left(\dfrac{y-4}{3}\right)$ , donc $x=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{y-4}{3}\right)$ . En échangeant les noms : $f^{-1}(x)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{x-4}{3}\right)$ . Son domaine s'obtient par la condition d'existence du logarithme, $\dfrac{x-4}{3}>0$ , soit $x>4$ : le domaine est $]4\,;+\infty[$ , exactement l'image de $f$ trouvée en a). Cette coïncidence n'en est pas une, c'est le contrôle qui valide toute la question.

c)

Première valeur : $f(2)=3\cdot 2^{1}+4=6+4=10$ , et $f^{-1}(10)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{6}{3}\right)=1+\log_{2}(2)=1+1=2$ ✓. Deuxième : $f(1)=3\cdot 2^{0}+4=3+4=7$ , et $f^{-1}(7)=1+\log_{2}(1)=1+0=1$ ✓. Troisième, avec une puissance négative : $f(0)=3\cdot 2^{-1}+4=1{,}5+4=5{,}5$ , et $f^{-1}(5{,}5)=1+\log_{2}\!\left(\dfrac{1{,}5}{3}\right)=1+\log_{2}(0{,}5)=1-1=0$ ✓. Rappel utile pour la troisième : $\log_{2}(0{,}5)=-1$ parce que $2^{-1}=0{,}5$ , et à la calculatrice on l'obtient par le changement de base $\dfrac{\log(0{,}5)}{\log(2)}$ .

d)

Quand $x$ tend vers $4$ par valeurs supérieures, $\dfrac{x-4}{3}$ tend vers $0^{+}$ et son logarithme vers $-\infty$ : la droite VERTICALE $x=4$ est asymptote de $f^{-1}$ . C'est l'image miroir de l'asymptote horizontale $y=4$ de $f$ par la symétrie d'axe $y=x$ . La règle générale mérite d'être retenue telle quelle, car elle fait gagner du temps en évaluation : la symétrie par rapport à $y=x$ échange les deux axes, donc elle transforme toute asymptote horizontale en asymptote verticale de même valeur, et réciproquement. C'est le même mécanisme qui, à l'exercice 1, transformait un zéro en ordonnée à l'origine.

Exercice 7 : Problème : l'enclos rectangulaire

Un éleveur dispose de $40$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. Si $x$ désigne la largeur en mètres, la longueur vaut $20-x$ et l'aire est $A(x)=x(20-x)$ .

a) Donnez le domaine réaliste de $x$ , la forme canonique de $A$ et l'aire maximale.
b) Résolvez $A(x)=96$ . Pourquoi y a-t-il deux réponses, et que représentent-elles concrètement ?
c) Exprimez $x$ en fonction de l'aire sur $[0\,;10]$ , et vérifiez avec $A=96$ .
d) Donnez l'autre expression, valable sur $[10\,;20]$ , puis expliquez pourquoi restreindre à $[0\,;10]$ ne fait perdre AUCUN enclos possible.

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Réponses

a) $]0\,;20[$ ; $A(x)=-(x-10)^{2}+100$ ; maximum $100$ m²
b) $x=8$ ou $x=12$ : le même enclos décrit par sa largeur ou sa longueur
c) $x=10-\sqrt{100-A}$ ; $A=96$ donne $8$
d) $x=10+\sqrt{100-A}$ ; chaque enclos est déjà décrit une fois par sa petite dimension

a)

La largeur et la longueur doivent être strictement positives : $x>0$ et $20-x>0$ , donc le domaine réaliste est $]0\,;20[$ . Forme canonique : $A(x)=-x^{2}+20x=-\big(x^{2}-20x\big)=-\big((x-10)^{2}-100\big)=-(x-10)^{2}+100$ . Le sommet est $(10\,;100)$ : l'aire maximale vaut $100$ m $^2$ et elle est atteinte pour $x=10$ , c'est-à-dire pour un CARRÉ de $10$ m de côté. C'est un résultat classique qu'il faut savoir citer : à périmètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré.

b)

$-(x-10)^{2}+100=96$ donne $(x-10)^{2}=4$ , donc $x-10=\pm 2$ , soit $x=8$ ou $x=12$ . Il y a deux réponses parce que $A$ n'est pas injective : sa courbe est symétrique par rapport à la verticale $x=10$ , et $8$ et $12$ sont symétriques par rapport à $10$ . Concrètement, $x=8$ décrit un enclos de $8$ m sur $12$ m et $x=12$ un enclos de $12$ m sur $8$ m : c'est le MÊME enclos, décrit une fois par sa largeur et une fois par sa longueur. Les deux solutions mathématiques ne correspondent donc pas à deux situations différentes, et c'est cette remarque qui va rendre la restriction indolore à la question d).

c)

On isole $x$ dans la forme canonique : $A=-(x-10)^{2}+100$ donne $(x-10)^{2}=100-A$ , donc $x-10=\pm\sqrt{100-A}$ . Sur $[0\,;10]$ , on a $x-10\leq 0$ , donc on garde le signe $-$ : $x=10-\sqrt{100-A}$ . Vérification avec $A=96$ : $10-\sqrt{4}=10-2=8$ ✓, c'est bien la petite des deux dimensions. Le domaine de cette réciproque est $[0\,;100]$ , l'ensemble des aires réalisables : au-delà de $100$ m $^2$ la racine deviendrait celle d'un nombre négatif, ce qui traduit exactement le fait qu'aucun enclos de $40$ m de clôture ne dépasse $100$ m $^2$ .

d)

Sur $[10\,;20]$ , on a $x-10\geq 0$ et on garde le signe $+$ : $x=10+\sqrt{100-A}$ . Vérification : $10+\sqrt{4}=12$ ✓. Restreindre à $[0\,;10]$ ne perd aucun enclos parce que chaque enclos possible y est DÉJÀ décrit une fois, par sa plus petite dimension. Convenir que $x$ désigne la plus petite des deux dimensions rend le modèle injectif sans retirer une seule situation au problème. C'est le cas le plus fréquent en situation, et c'est le point à retenir de tout le chapitre : la restriction n'est presque jamais une amputation mathématique, c'est le choix d'une convention de description que la situation suggérait déjà.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « $f^{-1}(x)$ est un autre nom pour $\dfrac{1}{f(x)}$ . »
2) « Toute fonction admet une réciproque. »
3) « Le domaine de $f^{-1}$ est le domaine de $f$ . »
4) « Si $f$ est décroissante, alors $f^{-1}$ est croissante. »
5) « La courbe de $f^{-1}$ s'obtient en réfléchissant celle de $f$ par rapport à l'axe des $y$ . »

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Réponses

1) Faux : $f^{-1}$ est la réciproque, $f^{-1}(1)=2\neq\dfrac{1}{4}$
2) Faux : il faut l'injectivité ( $x^{2}$ n'en a pas)
3) Faux : le domaine de $f^{-1}$ est l'image de $f$
4) Faux : la réciproque conserve le sens de variation
5) Faux : l'axe de symétrie est $y=x$

1)

FAUX. Le $-1$ est collé à la LETTRE $f$ , pas à un nombre : il désigne la fonction qui défait $f$ , jamais l'inverse multiplicatif. Contre-exemple net avec $f(x)=-3x+7$ : $f^{-1}(1)=2$ alors que $\dfrac{1}{f(1)}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ . Énoncé correct : $f^{-1}$ est la réciproque de $f$ , caractérisée par $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ ; l'inverse multiplicatif s'écrirait $\dfrac{1}{f}$ ou $\big(f(x)\big)^{-1}$ , avec l'exposant sur la VALEUR.

2)

FAUX. Il faut que $f$ soit injective, c'est-à-dire que chaque valeur atteinte le soit par un seul antécédent. La fonction $f(x)=x^{2}$ ne l'est pas : $9$ est atteint en $3$ et en $-3$ , et en partant de $9$ on ne saurait pas à qui revenir. Énoncé correct : une fonction admet une réciproque si et seulement si elle passe le test de la droite horizontale ; sinon on restreint son domaine à un intervalle où elle est strictement monotone, et la réciproque existe SUR CETTE RESTRICTION.

3)

FAUX, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle fait perdre les points de domaine à chaque question. Le domaine de $f^{-1}$ est l'IMAGE de $f$ . Exemple : pour $f(x)=2\sqrt{x}$ de domaine $[0\,;+\infty[$ et d'image $[0\,;+\infty[$ , les deux coïncident par hasard ; mais pour $f(x)=3\cdot 2^{\,x-1}+4$ , le domaine est $\mathbb{R}$ et l'image $]4\,;+\infty[$ , et c'est bien $]4\,;+\infty[$ qui est le domaine de $f^{-1}$ . Énoncé correct : domaine et image s'ÉCHANGENT en passant à la réciproque.

4)

FAUX. La réciproque CONSERVE le sens de variation. Si $f$ est décroissante, $f^{-1}$ l'est aussi. Preuve rapide sur des nombres : avec $f(1)=6$ et $f(2)=4$ , on a $f^{-1}(4)=2$ et $f^{-1}(6)=1$ , donc quand la variable passe de $4$ à $6$ l'image passe de $2$ à $1$ , elle diminue. Énoncé correct : la réciproque d'une fonction croissante est croissante, celle d'une fonction décroissante est décroissante. La confusion vient de la pente : une droite de pente $-3$ a bien une réciproque de pente $-\dfrac{1}{3}$ , un nombre plus proche de zéro mais toujours NÉGATIF.

5)

FAUX. L'axe de symétrie est la droite $y=x$ , la première bissectrice, et non l'axe des $y$ . La réflexion par rapport à l'axe des $y$ donnerait la courbe de $x\mapsto f(-x)$ , ce qui n'a rien à voir. Test immédiat : le point $(2\,;4)$ de $f$ donne $(4\,;2)$ sur la réciproque, alors que la réflexion par rapport à l'axe des $y$ donnerait $(-2\,;4)$ . Énoncé correct : les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ , ce qui revient à échanger les deux coordonnées de chaque point, et explique au passage que les asymptotes horizontales deviennent verticales.

Exercice 9 : Problème : la machine à coder

Une machine code un nombre en deux étapes : elle lui ajoute d'abord $3$ , puis multiplie le résultat par $2$ . On pose $g(x)=x+3$ et $f(x)=2x$ , de sorte que le code est $c(x)=(f\circ g)(x)$ . Le schéma ci-dessous représente la machine.

a) Donnez la règle de $c$ et codez le nombre $5$ .
b) Déterminez $c^{-1}$ , puis décodez le nombre $30$ .
c) Calculez $g^{-1}\big(f^{-1}(30)\big)$ et $f^{-1}\big(g^{-1}(30)\big)$ . Laquelle des deux est la machine à décoder ? Énoncez la règle générale.
d) On ajoute une troisième étape : élever au carré, soit $m(x)=h\big(c(x)\big)$ avec $h(x)=x^{2}$ . Expliquez pourquoi le décodage devient impossible, et donnez la convention qui le rend possible.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

c(x)=2x+k

avec

k=

Code de

5

b)

Décodage de

30

c)

g^{-1}(f^{-1}(30))

f^{-1}(g^{-1}(30))

La machine à décoder

d)

m^{-1}(64)

avec la convention

x\geq -3

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Réponses

a) $c(x)=2x+6$ ; $c(5)=16$
b) $c^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{2}$ ; $c^{-1}(30)=12$
c) $12$ et $13{,}5$ : la bonne machine est $g^{-1}\circ f^{-1}$
d) Le carré n'est pas injectif ( $m(1)=m(-7)=64$ ) ; restreindre à $x\geq -3$

a)

$c(x)=f\big(g(x)\big)=2(x+3)=2x+6$ . On applique $g$ d'abord et $f$ ensuite, c'est l'ordre de lecture de $f\circ g$ , qui est l'inverse de l'ordre d'écriture. Codage de $5$ : $c(5)=2\times 5+6=16$ , ou en suivant les étapes, $5+3=8$ puis $8\times 2=16$ ✓. Les deux calculs doivent donner le même nombre, et les faire tous les deux est le contrôle le plus rapide sur une composition.

b)

On pose $y=2x+6$ , on retire $6$ puis on divise par $2$ : $x=\dfrac{y-6}{2}$ , donc $c^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{2}$ . Décodage de $30$ : $c^{-1}(30)=\dfrac{24}{2}=12$ . Vérification obligatoire dans l'autre sens : $c(12)=2\times 12+6=30$ ✓. Remarquez l'ordre dans lequel on a défait les opérations : le $+6$ , qui était la DERNIÈRE étape du codage, est le PREMIER à être annulé. C'est exactement ce que la question suivante généralise.

c)

Les deux réciproques élémentaires sont $f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2}$ et $g^{-1}(x)=x-3$ . Premier calcul : $f^{-1}(30)=15$ , puis $g^{-1}(15)=12$ ✓, c'est bien le résultat de la question b). Second calcul : $g^{-1}(30)=27$ , puis $f^{-1}(27)=13{,}5$ ✗, et $c(13{,}5)=33$ , pas $30$ . La machine à décoder est donc $g^{-1}\circ f^{-1}$ , et la règle générale s'écrit $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ : l'ordre s'INVERSE. L'image qui la rend inoubliable : on met les chaussettes puis les chaussures, et pour se déchausser on retire les chaussures d'abord, les chaussettes ensuite.

d)

La machine complète est $m(x)=(2x+6)^{2}$ . Or $m(1)=8^{2}=64$ et $m(-7)=(-8)^{2}=64$ : deux nombres différents produisent le même code, donc en recevant $64$ on ne sait pas lequel des deux était le message. Le carré détruit l'information du signe, et c'est précisément l'échec du test de la droite horizontale. La convention qui rétablit le décodage est de restreindre les messages aux $x\geq -3$ , c'est-à-dire à ceux pour lesquels $2x+6\geq 0$ . Sur cette restriction, $m^{-1}(y)=\dfrac{\sqrt{y}-6}{2}$ , puisque la racine ne renvoie que la valeur positive. Vérification : $m(1)=64$ et $\dfrac{\sqrt{64}-6}{2}=\dfrac{8-6}{2}=1$ ✓. On retrouve la leçon des exercices 5 et 7 : une étape non injective dans une chaîne suffit à condamner la réciproque de toute la chaîne, et le remède est toujours une restriction du domaine de DÉPART.

Exercice 10 : Problème : la distance de freinage

Sur chaussée sèche, la distance de freinage $d$ d'une voiture, en mètres, est modélisée par $d(v)=\dfrac{v^{2}}{150}$ , où $v$ est la vitesse en kilomètres par heure au moment du freinage.

a) Calculez $d(60)$ et $d(90)$ , et donnez le domaine réaliste du modèle.
b) Un enquêteur mesure $54$ m de traces de freinage. Exprimez $v$ en fonction de $d$ , puis retrouvez la vitesse.
c) La parabole complète $y=\dfrac{x^{2}}{150}$ n'a pas de réciproque. Pourquoi ce modèle en a-t-il une ?
d) Si la distance de freinage DOUBLE, par combien la vitesse est-elle multipliée ? Vérifiez avec $d=108$ m et commentez.

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Réponses

a) $24$ m ; $54$ m ; $v\geq 0$
b) $v=\sqrt{150d}$ ; $90$ km/h
c) Sur $v\geq 0$ , la fonction est strictement croissante donc injective
d) Par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ ; $v(108)\approx 127{,}3$ km/h

a)

$d(60)=\dfrac{60^{2}}{150}=\dfrac{3600}{150}=24$ m, et $d(90)=\dfrac{8100}{150}=54$ m. Le domaine réaliste est $v\geq 0$ : une vitesse négative n'a pas de sens ici, et la voiture à l'arrêt a bien une distance de freinage nulle, $d(0)=0$ . On note déjà le fait le plus important du modèle : une vitesse une fois et demie plus grande, de $60$ à $90$ , ne donne pas une distance une fois et demie plus grande mais $2{,}25$ fois plus grande, car le carré amplifie tout écart de vitesse.

b)

On isole $v$ : $d=\dfrac{v^{2}}{150}$ donne $v^{2}=150d$ , donc $v=\pm\sqrt{150d}$ , et comme $v\geq 0$ on garde $v=\sqrt{150\,d}$ . Avec $d=54$ : $v=\sqrt{150\times 54}=\sqrt{8100}=90$ km/h. Contrôle dans l'autre sens : $d(90)=54$ ✓. Le domaine de cette réciproque est $d\geq 0$ , l'image du modèle, et son image est $v\geq 0$ , le domaine du modèle : les deux ensembles se sont échangés comme toujours. C'est cette réciproque que l'enquêteur utilise réellement, puisqu'il mesure la distance et cherche la vitesse, soit exactement le sens inverse de la modélisation.

c)

La parabole complète n'est pas injective : $v=60$ et $v=-60$ donnent tous deux $24$ , et l'horizontale $y=24$ la coupe deux fois. Le modèle, lui, ne s'applique qu'aux $v\geq 0$ , et sur cette moitié la fonction est strictement croissante donc injective. La restriction n'a pas été ajoutée après coup pour sauver les mathématiques : elle était imposée par la situation dès la première ligne de l'énoncé. C'est le cas le plus fréquent en problème, et c'est pourquoi on ne rencontre presque jamais le signe $\pm$ dans une réponse contextualisée : le contexte a déjà tranché lequel des deux garder.

d)

$v(2d)=\sqrt{150\times 2d}=\sqrt{2}\times\sqrt{150d}=\sqrt{2}\;v(d)$ . La vitesse est donc multipliée par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ , et non par $2$ . Vérification : $108=2\times 54$ , et $v=\sqrt{150\times 108}=\sqrt{16\,200}\approx 127{,}3$ km/h, tandis que $90\times\sqrt{2}\approx 127{,}3$ ✓. La lecture concrète vaut d'être écrite en toutes lettres dans une réponse de compétence 2 : il suffit d'augmenter la vitesse d'environ $41$ pour cent pour doubler la distance de freinage, ce qui explique qu'un petit excès de vitesse coûte beaucoup de mètres. Réciproquement, passer de $110$ à $100$ km/h réduit la distance de freinage d'environ $17$ pour cent, alors que la vitesse n'a baissé que de $9$ pour cent.

Exercice 11 : Arcsinus, arccosinus et arctangente : trois domaines restreints

Aucune des fonctions $\sin$ , $\cos$ et $\tan$ n'admet de réciproque sur $\mathbb{R}$ . On en construit une en restreignant le domaine, exactement comme on l'a fait pour la fonction quadratique à l'exercice $5$ .

Les restrictions retenues sont universelles : $\sin$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ , $\cos$ sur $[0\ ;\ \pi]$ et $\tan$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ .

a) Expliquez, avec le test de la droite horizontale, pourquoi $\cos$ n'est pas inversible sur $\mathbb{R}$ .
b) Donnez le domaine et l'image de $\arcsin$ , de $\arccos$ et de $\arctan$ .
c) Calculez $\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , $\arctan(-1)$ et $\arccos(2)$ .
d) Pourquoi la restriction de $\cos$ est-elle $[0\ ;\ \pi]$ et non $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ comme pour $\sin$ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

b)

Domaine de

\arcsin

;

Image de

\arctan

;

c)

\arcsin\frac{1}{2}

(en multiples de

\pi

)

\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

(en multiples de

\pi

)

\arctan(-1)

(en multiples de

\pi

)

\arccos(2)

Voir la correction

Réponses

a) $y=\dfrac{1}{2}$ coupe la courbe une infinité de fois (période $2\pi$ )
b) $\arcsin$ : $[-1\,;1]\to\left[-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]$ ; $\arccos$ : $[-1\,;1]\to[0\,;\pi]$ ; $\arctan$ : $\mathbb{R}\to\left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$
c) $\dfrac{\pi}{6}$ ; $\dfrac{5\pi}{6}$ ; $-\dfrac{\pi}{4}$ ; $\arccos(2)$ n'existe pas
d) Sur $[0\,;\pi]$ le cosinus est monotone et prend toutes ses valeurs ; pas sur $\left[-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]$

a)

Le test de la droite horizontale demande qu'aucune horizontale ne coupe la courbe plus d'une fois. La droite $y=\dfrac{1}{2}$ coupe la courbe de $\cos$ en $x=\dfrac{\pi}{3}$ , en $x=-\dfrac{\pi}{3}$ , en $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi$ , et ainsi de suite : elle la coupe une INFINITÉ de fois, parce que $\cos$ est périodique de période $2\pi$ . Une valeur $y$ possède donc une infinité de préimages, et la réciproque, qui doit associer UN antécédent à chaque image, ne peut pas exister. C'est exactement l'obstacle rencontré à l'exercice $5$ avec la quadratique, à ceci près que la parabole ne donnait que deux préimages et que la périodicité en donne ici une infinité.

b)

La fonction $\arcsin$ a pour domaine $[-1\ ;\ 1]$ , puisque c'est l'image de $\sin$ , et pour image $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ , qui est le domaine restreint de départ. La fonction $\arccos$ a le même domaine $[-1\ ;\ 1]$ mais son image est $[0\ ;\ \pi]$ . La fonction $\arctan$ a pour domaine $\mathbb{R}$ tout entier, parce que $\tan$ prend toutes les valeurs réelles, et pour image l'intervalle OUVERT $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ , les deux bornes étant exclues puisque $\tan$ n'y est pas définie. La règle générale du chapitre s'applique sans exception : le domaine de la réciproque est l'image de la fonction, et son image est le domaine de la fonction. Une réponse qui donne $\mathbb{R}$ comme domaine de $\arcsin$ contredit cette règle et se repère immédiatement.

c)

Pour $\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , on cherche l'angle de $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ dont le sinus vaut $\dfrac{1}{2}$ : c'est $\dfrac{\pi}{6}$ . Pour $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , on cherche l'angle de $[0\ ;\ \pi]$ dont le cosinus vaut $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : le cosinus est négatif, donc l'angle est dans le deuxième quadrant, et c'est $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ . Attention, la réponse n'est PAS $-\dfrac{\pi}{6}$ : cet angle a bien le bon cosinus au signe près, mais il est hors de $[0\ ;\ \pi]$ . Pour $\arctan(-1)$ , on cherche l'angle de $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ de tangente $-1$ : c'est $-\dfrac{\pi}{4}$ . Enfin $\arccos(2)$ N'EXISTE PAS : $2$ n'appartient pas à $[-1\ ;\ 1]$ , donc aucun angle n'a un cosinus égal à $2$ . La calculatrice affiche un message d'erreur, et la bonne réponse en examen est d'écrire que l'expression n'est pas définie, jamais de recopier l'erreur de la machine.

d)

Une restriction acceptable doit remplir deux conditions à la fois : la fonction doit y être injective, c'est-à-dire passer le test de la droite horizontale, et elle doit y prendre TOUTES ses valeurs, ici tout l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$ . Sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ , le cosinus est bien défini mais il n'est pas injectif, puisque $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ : la fonction descend puis remonte, elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Sur $[0\ ;\ \pi]$ au contraire, le cosinus décroît strictement de $1$ à $-1$ , donc il est injectif ET il balaie tout l'intervalle des valeurs possibles. C'est la raison de fond, et elle vaut d'être retenue : on ne choisit pas la restriction par convention arbitraire, on la choisit comme le plus grand intervalle où la fonction est MONOTONE et où elle prend toutes ses valeurs.

Exercice 12 : Composer une fonction trigonométrique et sa réciproque

Une fonction et sa réciproque se défont l'une l'autre, mais seulement là où la réciproque a été définie. C'est la source d'erreur numéro un du chapitre, et elle est invisible à la calculatrice, qui répond toujours quelque chose.

On travaille avec les restrictions de l'exercice précédent.

a) Simplifiez $\sin(\arcsin(0{,}4))$ , $\arcsin\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)$ , $\arcsin\left(\sin\dfrac{4\pi}{5}\right)$ et $\arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$ .
b) Énoncez la règle : dans quel cas la composition redonne-t-elle exactement le nombre de départ ?
c) Démontrez que $\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$ pour tout $x$ de $[-1\ ;\ 1]$ , puis vérifiez avec $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $x=-\dfrac{1}{2}$ .
d) Un élève écrit : « $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ , donc $x=\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$ , l'équation a une solution. » Corrigez sans résoudre l'équation.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/5

a)

\sin(\arcsin 0{,}4)

\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{5}\right)

(multiples de

\pi

)

\arcsin\left(\sin\frac{4\pi}{5}\right)

(multiples de

\pi

)

\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

(multiples de

\pi

)

d)

L'équation

\cos x=-\frac{1}{2}

a

Voir la correction

Réponses

a) $0{,}4$ ; $\dfrac{\pi}{5}$ ; $\dfrac{\pi}{5}$ ; $\dfrac{\pi}{3}$
b) Fonction puis réciproque : toujours $x$ (dans le domaine) ; réciproque puis fonction : $x$ seulement dans l'intervalle de restriction
c) $\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x\in[0\,;\pi]$ et a pour cosinus $x$ : c'est $\arccos x$
d) $\dfrac{2\pi}{3}$ est UNE solution ; l'équation en a une infinité

a)

Premier calcul : $\sin(\arcsin(0{,}4))=0{,}4$ . Celui-là marche toujours, parce que $0{,}4$ appartient à $[-1\ ;\ 1]$ , le domaine de $\arcsin$ . Deuxième calcul : $\dfrac{\pi}{5}$ appartient à $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ , puisque $\dfrac{\pi}{5}$ vaut $36$ degrés et que la borne vaut $90$ degrés, donc $\arcsin\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{\pi}{5}$ . Troisième calcul, et c'est le piège : $\dfrac{4\pi}{5}$ , soit $144$ degrés, n'appartient PAS à $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ . On calcule donc de l'intérieur vers l'extérieur : $\sin\dfrac{4\pi}{5}=\sin\left(\pi-\dfrac{4\pi}{5}\right)=\sin\dfrac{\pi}{5}$ , et $\arcsin$ de ce nombre vaut $\dfrac{\pi}{5}$ . La composition a donc renvoyé $\dfrac{\pi}{5}$ et non $\dfrac{4\pi}{5}$ . Quatrième calcul : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ , donc le résultat vaut $\dfrac{\pi}{3}$ , et non $-\dfrac{\pi}{3}$ , parce que $-\dfrac{\pi}{3}$ est hors de $[0\ ;\ \pi]$ .

b)

La règle tient en deux lignes et elle n'est pas symétrique. Dans le sens FONCTION puis RÉCIPROQUE, c'est-à-dire $\sin(\arcsin x)$ , $\cos(\arccos x)$ et $\tan(\arctan x)$ , le résultat vaut toujours $x$ , à la seule condition que $x$ soit dans le domaine de la réciproque, donc $[-1\ ;\ 1]$ pour les deux premières et $\mathbb{R}$ pour la troisième. Dans le sens RÉCIPROQUE puis FONCTION, c'est-à-dire $\arcsin(\sin x)$ , $\arccos(\cos x)$ et $\arctan(\tan x)$ , le résultat vaut $x$ SEULEMENT si $x$ appartient à l'intervalle de restriction ; sinon on obtient l'unique angle de cet intervalle qui a la même image. La raison de fond a déjà été vue à l'exercice $5$ : la réciproque n'a pas été construite sur toute la fonction, mais sur une tranche, et rien de ce qui est hors de la tranche ne peut en ressortir.

c)

Posons $\theta=\arcsin x$ . Par définition, $\theta$ appartient à $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ et $\sin\theta=x$ . Considérons alors $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ . D'une part, son cosinus vaut $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta=x$ , par l'identité des angles complémentaires. D'autre part, comme $-\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ , on obtient en changeant de signe puis en ajoutant $\dfrac{\pi}{2}$ que $0\le\dfrac{\pi}{2}-\theta\le\pi$ . Le nombre $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ est donc un angle de $[0\ ;\ \pi]$ dont le cosinus vaut $x$ , et il n'y en a qu'un : c'est $\arccos x$ . Ainsi $\arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ , ce qui est l'identité demandée. Le deuxième point de la démonstration est celui qu'on oublie et qui vaut la moitié des points : sans lui on aurait seulement montré que $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ a le bon cosinus, pas qu'il est dans le bon intervalle. Vérifications : pour $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\arcsin x=\dfrac{\pi}{4}$ et $\arccos x=\dfrac{\pi}{4}$ , dont la somme vaut $\dfrac{\pi}{2}$ ✓. Pour $x=-\dfrac{1}{2}$ , $\arcsin x=-\dfrac{\pi}{6}$ et $\arccos x=\dfrac{2\pi}{3}$ , dont la somme vaut $-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ ✓.

d)

Le calcul de l'élève est juste, sa conclusion est fausse. La valeur $\dfrac{2\pi}{3}$ est correcte : c'est bien l'unique angle de $[0\ ;\ \pi]$ dont le cosinus vaut $-\dfrac{1}{2}$ . Mais $\arccos$ ne renvoie qu'un représentant, celui de l'intervalle de restriction, et l'équation $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ , elle, est posée sur $\mathbb{R}$ , où $\cos$ est périodique et n'est plus injective. Une valeur principale n'est donc jamais un ensemble-solution : elle en est un élément, et il faut ensuite retrouver les autres par la symétrie du cercle et par la période, ce que la série sur les fonctions trigonométriques travaille en détail. La rédaction correcte s'arrête ici : « $\dfrac{2\pi}{3}$ est UNE solution, obtenue comme valeur principale ; l'équation en admet une infinité, car $\cos$ est périodique. » La figure de la correction montre d'où vient cette unicité forcée : le graphe de $\arccos$ est le symétrique, par rapport à la droite $y=x$ , du SEUL morceau de la courbe du cosinus compris entre $0$ et $\pi$ , et il passe par $(-1\ ;\ \pi)$ , $(0\ ;\ \dfrac{\pi}{2})$ et $(1\ ;\ 0)$ .

Exercice 13 : Trouver la réciproque : racine, rationnelle (homographique), exponentielle

Pour chaque fonction, déterminez la règle de la réciproque par la méthode habituelle : poser $y=f(x)$ , isoler $x$ , puis échanger les noms des variables.

a) $f(x)=\sqrt{x-2}+1$
b) $g(x)=\dfrac{x+4}{x-1}$
c) $h(x)=3\cdot 2^{x}$
d) Que remarquez-vous d'inhabituel pour $g$ ?

Voir la correction

Réponses

a) $f^{-1}(x)=(x-1)^{2}+2$ sur $[1\,;+\infty[$
b) $g^{-1}(x)=\dfrac{x+4}{x-1}$
c) $h^{-1}(x)=\log_{2}\left(\dfrac{x}{3}\right)$
d) $g^{-1}=g$ : une involution

a)

On pose $y=\sqrt{x-2}+1$ , puis on isole le radical : $y-1=\sqrt{x-2}$ . On élève au carré : $(y-1)^{2}=x-2$ , donc $x=(y-1)^{2}+2$ . En échangeant les noms : $f^{-1}(x)=(x-1)^{2}+2$ . Le domaine de $f^{-1}$ est l'image de $f$ , c'est-à-dire $[1\,;+\infty[$ , et il faut l'écrire : la parabole $(x-1)^{2}+2$ existe partout, mais seule sa moitié droite est la réciproque de $f$ . Contrôle : $f(6)=\sqrt{4}+1=3$ et $f^{-1}(3)=4+2=6$ ✓.

b)

On pose $y=\frac{x+4}{x-1}$ et on multiplie par $(x-1)$ : $y(x-1)=x+4$ , soit $yx-y=x+4$ . On rassemble les termes en $x$ d'un même côté : $yx-x=y+4$ , donc $x(y-1)=y+4$ et $x=\frac{y+4}{y-1}$ . En échangeant : $g^{-1}(x)=\frac{x+4}{x-1}$ . La mise en évidence de $x$ est le geste central, et c'est le seul endroit délicat du calcul.

c)

On pose $y=3\cdot 2^{x}$ et on isole la puissance : $2^{x}=\frac{y}{3}$ . On passe au logarithme de base $2$ : $x=\log_{2}\left(\frac{y}{3}\right)$ . En échangeant : $h^{-1}(x)=\log_{2}\left(\frac{x}{3}\right)$ , de domaine $]0\,;+\infty[$ , ce qui est bien l'image de $h$ . Contrôle : $h(3)=24$ et $h^{-1}(24)=\log_{2}(8)=3$ ✓.

d)

La fonction $g$ est sa PROPRE réciproque : $g^{-1}=g$ . On dit qu'elle est une involution. Cela signifie que sa courbe est symétrique par rapport à la droite $y=x$ , et qu'appliquer $g$ deux fois de suite redonne le nombre de départ. Vérification : $g(2)=\frac{6}{1}=6$ , puis $g(6)=\frac{10}{5}=2$ ✓, et de même $g(0)=-4$ puis $g(-4)=\frac{0}{-5}=0$ ✓.

Le phénomène n'est pas propre à cet exemple : toute fonction homographique $\frac{ax+b}{cx-a}$ , dont les deux coefficients extrêmes sont opposés, est une involution. C'est le cas ici avec $\frac{x+4}{x-1}$ . Une involution est le seul type de fonction pour lequel « coder » et « décoder » sont la même opération, ce qui en fait un chiffrement très simple et très fragile.

Exercice 14 : Domaine et image échangés

Pour chaque fonction, donnez le domaine et l'image de $f$ , puis déduisez-en le domaine et l'image de $f^{-1}$ SANS calculer la règle de la réciproque.

a) $f(x)=\sqrt{x-2}+1$
b) $g(x)=3\cdot 2^{x}$
c) $h(x)=\dfrac{5}{x-1}+1$
d) $k(x)=-2x+7$

Voir la correction

Réponses

a) $f^{-1}$ : domaine $[1\,;+\infty[$ , image $[2\,;+\infty[$
b) $g^{-1}$ : domaine $]0\,;+\infty[$ , image $\mathbb{R}$
c) $h^{-1}$ : domaine et image $\mathbb{R}\setminus\{1\}$
d) $k^{-1}$ : domaine et image $\mathbb{R}$

Le principe tient en une phrase, et il dispense de tout calcul : le domaine de $f^{-1}$ est l'IMAGE de $f$ , et l'image de $f^{-1}$ est le DOMAINE de $f$ . Les deux ensembles s'échangent, parce que la réciproque lit la correspondance à l'envers.

a)

Domaine de $f$ : $x\ge 2$ , donc $[2\,;+\infty[$ . Image : la racine prend toutes les valeurs positives ou nulles, auxquelles on ajoute $1$ , donc $[1\,;+\infty[$ . Par conséquent, $f^{-1}$ a pour domaine $[1\,;+\infty[$ et pour image $[2\,;+\infty[$ . C'est exactement la restriction qu'on trouve en calculant la règle $(x-1)^{2}+2$ : cette parabole existe partout, mais la réciproque de $f$ ne vit que sur $[1\,;+\infty[$ .

b)

Domaine de $g$ : $\mathbb{R}$ . Image : une exponentielle est toujours strictement positive, et $3\cdot 2^{x}$ prend toutes les valeurs de $]0\,;+\infty[$ . Donc $g^{-1}$ a pour domaine $]0\,;+\infty[$ et pour image $\mathbb{R}$ . On reconnaît là le domaine et l'image d'une fonction logarithmique, ce qui était prévisible.

c)

Domaine de $h$ : $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , la valeur $1$ annulant le dénominateur. Image : $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ également, car $\frac{5}{x-1}$ ne s'annule jamais et l'asymptote horizontale est $y=1$ . Donc $h^{-1}$ a pour domaine $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et pour image $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ : les deux ensembles coïncident ici, ce qui est une coïncidence propre à cet exemple et non une règle.

d)

Domaine de $k$ : $\mathbb{R}$ . Image : une fonction affine de pente non nulle prend toutes les valeurs réelles, donc $\mathbb{R}$ . La réciproque a donc pour domaine et pour image $\mathbb{R}$ tout entier. C'est le seul cas du chapitre où l'on n'a aucune restriction à surveiller, et c'est pourquoi les fonctions affines servent d'exemple d'introduction.

Le contrôle qui vaut pour les quatre : l'asymptote VERTICALE de $f$ devient l'asymptote HORIZONTALE de $f^{-1}$ , et inversement. En c), l'asymptote $x=1$ de $h$ devient l'asymptote $y=1$ de $h^{-1}$ , ce qui traduit géométriquement l'échange du domaine et de l'image par la symétrie autour de la droite $y=x$ .

Exercice 15 : Vérifier que deux fonctions sont réciproques

Deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre si et seulement si $f\big(g(x)\big)=x$ ET $g\big(f(x)\big)=x$ sur les domaines convenables. Vérifiez chaque couple.

a) $f(x)=3x-6$ et $g(x)=\dfrac{x+6}{3}$
b) $f(x)=x^{2}+1$ sur $[0\,;+\infty[$ et $g(x)=\sqrt{x-1}$
c) $f(x)=2x+3$ et $g(x)=\dfrac{x+3}{2}$
d) Corrigez le couple fautif.

Voir la correction

Réponses

a) Oui
b) Oui, grâce à la restriction $x\geq 0$
c) Non : $f(g(x))=x+6$
d) $g(x)=\dfrac{x-3}{2}$

a)

$f\left(g(x)\right)=3\times\frac{x+6}{3}-6=(x+6)-6=x$ ✓. Dans l'autre sens : $g\left(f(x)\right)=\frac{(3x-6)+6}{3}=\frac{3x}{3}=x$ ✓. Les deux compositions redonnent l'identité, les deux fonctions sont donc réciproques. Une seule des deux vérifications ne suffirait pas en toute rigueur, même si pour des fonctions affines l'une entraîne l'autre.

b)

$f\left(g(x)\right)=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}+1=(x-1)+1=x$ ✓, valable pour $x\ge 1$ , qui est le domaine de $g$ . Dans l'autre sens : $g\left(f(x)\right)=\sqrt{\left(x^{2}+1\right)-1}=\sqrt{x^{2}}=|x|$ , qui vaut $x$ SEULEMENT si $x\ge 0$ . Or l'énoncé restreint justement $f$ à $[0\,;+\infty[$ , donc l'égalité est vérifiée sur ce domaine ✓. Les deux fonctions sont bien réciproques, et l'apparition de la valeur absolue montre exactement pourquoi la restriction était nécessaire : sans elle, $g\left(f(-3)\right)=\sqrt{9}=3\ne -3$ .

c)

$f\left(g(x)\right)=2\times\frac{x+3}{2}+3=(x+3)+3=x+6$ , ce qui n'est PAS $x$ . Le couple est donc fautif. Contrôle numérique : $g(1)=2$ et $f(2)=7\ne 1$ .

d)

L'erreur vient d'un signe. Pour inverser $y=2x+3$ , on isole $x$ : $y-3=2x$ , donc $x=\frac{y-3}{2}$ . La bonne réciproque est $g(x)=\frac{x-3}{2}$ , et non $\frac{x+3}{2}$ . Vérification : $f\left(\frac{x-3}{2}\right)=(x-3)+3=x$ ✓ et $g\left(2x+3\right)=\frac{2x}{2}=x$ ✓.

L'erreur du c) est la plus courante du chapitre : on inverse les opérations mais on oublie d'en inverser aussi les signes. Le contrôle à faire systématiquement tient en dix secondes : prendre un nombre, l'envoyer par $f$ , renvoyer le résultat par $g$ , et vérifier qu'on retombe sur le nombre de départ. Ici $0\to 3\to 3$ pour le couple fautif, contre $0\to 3\to 0$ pour le couple corrigé.

Exercice 16 : Problème : Celsius et Fahrenheit

La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit se fait par $F(C)=1{,}8\,C+32$ .

a) Convertissez 25 degrés Celsius et $-10$ degrés Celsius.
b) Déterminez la fonction réciproque $C(F)$ , puis convertissez 98,6 degrés Fahrenheit et 5 degrés Fahrenheit.
c) Existe-t-il une température qui s'écrit avec le même nombre dans les deux échelles ? Déterminez-la.
d) Comparez la pente de $F$ et celle de sa réciproque. Que signifie concrètement chacune ?

Voir la correction

Réponses

a) $77$ °F ; $14$ °F
b) $C(F)=\dfrac{F-32}{1{,}8}$ ; $37$ °C ; $-15$ °C
c) $-40$ degrés
d) $1{,}8$ et $\dfrac{1}{1{,}8}\approx 0{,}556$ : inverses

a)

$F(25)=1{,}8\times 25+32=45+32=77$ degrés Fahrenheit. $F(-10)=-18+32=14$ degrés Fahrenheit. On remarque qu'une température négative en Celsius peut rester positive en Fahrenheit, l'échelle Fahrenheit plaçant son zéro bien plus bas.

b)

On pose $F=1{,}8C+32$ et on isole $C$ : $F-32=1{,}8C$ , donc $C=\frac{F-32}{1{,}8}$ . La réciproque est $C(F)=\frac{F-32}{1{,}8}$ . Application : $C(98{,}6)=\frac{66{,}6}{1{,}8}=37$ degrés Celsius, la température du corps humain. Et $C(5)=\frac{-27}{1{,}8}=-15$ degrés Celsius. L'ordre des opérations inversées est l'essentiel : $F$ multiplie PUIS ajoute, donc $C$ soustrait PUIS divise. Diviser avant de soustraire donnerait $\frac{98{,}6}{1{,}8}-32\approx 22{,}8$ , une réponse fausse et pourtant plausible.

c)

On cherche la température $T$ telle que $F(T)=T$ , c'est-à-dire un POINT FIXE. On résout $1{,}8T+32=T$ , donc $0{,}8T=-32$ et $T=-40$ . La réponse est $-40$ degrés : c'est la seule température qui porte le même nombre dans les deux échelles. Vérification : $F(-40)=-72+32=-40$ ✓. Géométriquement, ce point est l'intersection de la droite $F(C)$ avec la droite $y=x$ , et comme la courbe de la réciproque est le symétrique de celle de $F$ par rapport à cette même droite, les trois droites se croisent au même point.

d)

La pente de $F$ est $1{,}8$ : une augmentation de $1$ degré Celsius correspond à une augmentation de $1{,}8$ degré Fahrenheit. La pente de la réciproque est $\frac{1}{1{,}8}\approx 0{,}556$ : une augmentation de $1$ degré Fahrenheit correspond à un peu plus d'un demi-degré Celsius.

Les deux pentes sont INVERSES l'une de l'autre, et c'est une propriété générale des fonctions affines réciproques : si $f(x)=ax+b$ avec $a\ne 0$ , alors $f^{-1}$ a pour pente $\frac{1}{a}$ . Concrètement, cela dit que le degré Fahrenheit est une unité plus fine que le degré Celsius, ce qui explique pourquoi les prévisions météo américaines annoncent des écarts en nombres plus grands pour les mêmes variations réelles.

Exercice 17 : Problème : la fusée et la hauteur atteinte

Une petite fusée est lancée du sol. Sa hauteur en mètres après $t$ secondes est $h(t)=-5t^{2}+40t$ .

a) Calculez la hauteur après 2 s, puis la hauteur maximale et l'instant où elle est atteinte.
b) Sur la phase de MONTÉE, exprimez $t$ en fonction de la hauteur $h$ .
c) Donnez le domaine de cette réciproque. Vérifiez votre formule avec $h=60$ m.
d) Pourquoi ne peut-on pas inverser $h$ sur toute la durée du vol ? Donnez la formule valable sur la DESCENTE et vérifiez-la avec $h=60$ m.

Voir la correction

Réponses

a) $60$ m ; maximum $80$ m à $t=4$ s
b) $t=4-\dfrac{\sqrt{1600-20h}}{10}$
c) $[0\,;80]$ ; $h=60$ donne $t=2$ s
d) Non injective sur $[0\,;8]$ ; descente : $t=4+\dfrac{\sqrt{1600-20h}}{10}$ , $h=60$ donne $6$ s

a)

$h(2)=-20+80=60$ m. La courbe est une parabole ouverte vers le bas, son sommet est donc un maximum : $t=-\frac{40}{2\times(-5)}=4$ s, et $h(4)=-80+160=80$ m. La fusée culmine à $80$ m au bout de $4$ secondes, puis redescend et touche le sol à $t=8$ s, puisque $h(t)=-5t(t-8)$ s'annule en $0$ et en $8$ .

b)

On résout $-5t^{2}+40t=h$ en $t$ , soit $5t^{2}-40t+h=0$ . Discriminant : $\Delta=1600-20h$ . Les solutions sont $t=\frac{40\pm\sqrt{1600-20h}}{10}=4\pm\frac{\sqrt{1600-20h}}{10}$ . Sur la montée, $t\le 4$ , on garde donc le signe MOINS : $t=4-\frac{\sqrt{1600-20h}}{10}$ .

c)

Le domaine de cette réciproque est l'image de $h$ sur la montée, c'est-à-dire $[0\,;80]$ : la hauteur va de $0$ m au décollage à $80$ m au sommet. On peut aussi le lire dans la formule : il faut $1600-20h\ge 0$ , donc $h\le 80$ , et une hauteur ne peut être négative. Vérification avec $h=60$ : $\sqrt{1600-1200}=\sqrt{400}=20$ , donc $t=4-\frac{20}{10}=2$ s ✓, ce qui correspond bien à la question a).

d)

Parce que $h$ n'est pas injective sur $[0\,;8]$ : la fusée passe DEUX fois par presque chaque hauteur, une fois en montant et une fois en descendant. Une droite horizontale coupe donc la parabole en deux points, et le test de la droite horizontale échoue. Il faut restreindre le domaine, exactement comme pour n'importe quelle quadratique.

Sur la descente, $t\ge 4$ , on garde le signe PLUS : $t=4+\frac{\sqrt{1600-20h}}{10}$ . Avec $h=60$ : $t=4+2=6$ s. Vérification directe : $h(6)=-180+240=60$ m ✓. Les deux instants, $2$ s et $6$ s, sont symétriques par rapport au sommet $t=4$ , ce qui est la signature de la parabole et fournit un contrôle immédiat. Le signe $\pm$ du discriminant n'est donc pas une gêne : il porte l'information « montée ou descente », et c'est le contexte qui choisit.

Exercices corrigés : la fonction réciproque (math SN5)

Rappel de cours

Calculs : les réciproques à calculer

Exercice 0.1 : Trouver la règle d'une réciproque : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Lire une réciproque sur un graphique

Exercice 2 : La réciproque d'une fonction affine

Exercice 3 : Réciproque à partir d'une table de valeurs

Exercice 4 : Le test de la droite horizontale

Exercice 5 : Restreindre le domaine d'une quadratique

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Exponentielle et logarithme : le couple réciproque

Exercice 7 : Problème : l'enclos rectangulaire

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : la machine à coder

Exercice 10 : Problème : la distance de freinage

Partie C : Les réciproques trigonométriques (/20)

Exercice 11 : Arcsinus, arccosinus et arctangente : trois domaines restreints

Exercice 12 : Composer une fonction trigonométrique et sa réciproque

Partie D : les classiques (/50)

Exercice 13 : Trouver la réciproque : racine, rationnelle (homographique), exponentielle

Exercice 14 : Domaine et image échangés

Exercice 15 : Vérifier que deux fonctions sont réciproques

Exercice 16 : Problème : Celsius et Fahrenheit

Exercice 17 : Problème : la fusée et la hauteur atteinte

Voir aussi

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