Math secondaire 3 à Montréal • Fonctions
Cette fiche ne refait pas le cours sur les fonctions, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : l'erreur d'axe, qui coûte plus de points que tout le reste du chapitre réuni, la confusion entre signe et variation, et le test qui dit si une réciproque est une fonction.
Les sept propriétés reviennent dans chaque chapitre de SN4 et de SN5, de la parabole aux fonctions trigonométriques, et au cégep dans l'étude complète d'une fonction. On les installe une fois, en secondaire 3.
Le fil du chapitre
Chaque propriété est une question sur des x OU sur des y, jamais les deux : domaine, zéros et variation se lisent sur l'axe horizontal, image, ordonnée à l'origine et extremums sur l'axe vertical.
La copie type de secondaire 3 répond « image : » et perd la question : est le domaine, l'ensemble des heures.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'image de la fonction est . »
Ce qu'il faut écrire
« L'image est degrés, lue sur l'axe vertical ; heures est le domaine. »
Pourquoi : L'image est l'ensemble des valeurs prises par . Écrire l'unité, degrés, à côté de la réponse suffit à voir qu'on lisait le mauvais axe.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le maximum est . »
Ce qu'il faut écrire
« Le maximum est degrés, atteint à h. »
Pourquoi : Le maximum est une valeur de ; est l'abscisse où il est atteint. Les deux nombres doivent apparaître, dans cet ordre, avec leurs unités.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« De h à h la température est négative, donc la fonction est décroissante. »
Ce qu'il faut écrire
« De h à h la fonction est négative ET croissante : la courbe est sous l'axe, et elle monte de à . »
Pourquoi : Le signe dit où est la courbe, la variation dit où elle va. Deux questions différentes, deux réponses indépendantes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La courbe passe deux fois par , donc ce n'est pas une fonction. »
Ce qu'il faut écrire
« Deux avec le même est permis. Ce qui est interdit, c'est deux pour un même : le test est la VERTICALE, pas l'horizontale. »
Pourquoi : La définition est asymétrique parce qu'une fonction sert à prédire à partir de : la prédiction doit être unique, pas l'antécédent.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les zéros sont et . »
Ce qu'il faut écrire
« Les zéros sont et , les heures où la courbe traverse l'axe horizontal. et sont le minimum et le maximum. »
Pourquoi : Un zéro est un pour lequel . Il se lit là où la courbe coupe l'axe des .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Réciproque de : , , , en changeant les signes. »
Ce qu'il faut écrire
« Réciproque : , , , , chaque couple retourné, reflet par rapport à . »
Pourquoi : La réciproque inverse les RÔLES de et , pas leurs signes. Le domaine de devient l'image de la réciproque.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La réciproque d'une fonction est toujours une fonction. »
Ce qu'il faut écrire
« donne à la réciproque les couples et : deux pour , pas une fonction. »
Pourquoi : Dès que répète un , sa réciproque répète un . Une fonction qui monte puis redescend n'a jamais une réciproque qui soit une fonction.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Zéros : … » (rien d'écrit) pour la montagne russe.
Ce qu'il faut écrire
« Zéros : aucun, la hauteur ne vaut jamais , le rail est toujours au-dessus du sol. »
Pourquoi : « Aucun » est une réponse qui se justifie ; une case vide ne dit pas si l'élève a cherché.
Repérez le mot de la question, et allez sur l'axe qu'il désigne. C'est l'arbre entier du chapitre.
Si domaine, « pour quelles valeurs de », « pendant combien de temps » → axe HORIZONTAL, un intervalle de
Exemple : domaine heures
Si zéro, « quand la fonction vaut », « quand la courbe coupe l'axe » → axe HORIZONTAL, des valeurs de
Exemple : zéros et
Si croissante, décroissante, constante → axe HORIZONTAL, des intervalles de
Exemple : croissante sur
Si positive, négative → axe HORIZONTAL, des intervalles de , bornés par les zéros
Exemple : positive sur
Si image, codomaine, « quelles valeurs prend la fonction » → axe VERTICAL, un intervalle de
Exemple : image degrés
Si ordonnée à l'origine, « valeur de départ » → axe VERTICAL, le en
Exemple : degrés à minuit
Si maximum, minimum → axe VERTICAL pour la valeur, puis axe horizontal pour l'endroit
Exemple : maximum , atteint en
Signe et variation portent tous deux sur des intervalles de , mais répondent à deux questions différentes : où est la courbe, et où elle va.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un graphique et demande « les propriétés de la fonction », ou une liste précise.
Phrase de conclusion
« Domaine : h. Image : degrés. Ordonnée à l'origine : . Zéros : et . Positive sur , négative sur . Croissante sur , décroissante sur et . Maximum atteint en , minimum atteint en . »
Le piège : Écrire les intervalles de variation avec des , « croissante de à » : la variation se décrit en , « croissante sur ».
Barème : 1 point par propriété, moins un demi-point par unité manquante ou par axe confondu.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'unité à côté de chaque réponse
Écrivez « heures » ou « degrés » après chaque nombre. Une image en heures ou un zéro en degrés saute aux yeux.
« Image : heures » : impossible, l'image se mesure en degrés. C'était le domaine.
Le maximum en deux nombres
Un extremum se donne toujours par sa valeur ET son endroit : « degrés, atteint à h ». S'il manque un des deux, la réponse est incomplète.
« Maximum : » ne dit ni la température ni si est une heure ou un degré.
Le test de la verticale sur la réciproque
Avant de dire que la réciproque est une fonction, cherchez deux de qui ont le même . S'il y en a, la réciproque échoue.
: la réciproque contient et , ce n'est pas une fonction.
Aller-retour par la réciproque
Prenez un , appliquez la règle, puis la règle réciproque : vous devez retrouver . Sinon la réciproque est fausse.
, , puis . Une réciproque aurait donné .
L'altitude d'un skieur, en mètres au-dessus du chalet, est donnée en fonction du temps en minutes par les points , , , , , , reliés par des segments.
Donnez les sept propriétés de la fonction, puis dites si sa réciproque est une fonction.
Étape 1
Domaine : minutes. Image : mètres.
Pourquoi
Le domaine sur l'axe horizontal, l'image sur l'axe vertical, chacun avec son unité. Le minimum est sous le chalet : l'image contient des négatifs.
Étape 2
Ordonnée à l'origine : , l'altitude au départ. Zéros : et , les deux passages au niveau du chalet.
Pourquoi
L'ordonnée à l'origine est un ; les zéros sont des . Le segment de à passe sous zéro puis remonte à en : deux zéros.
Étape 3
Signe : positive sur , négative sur , nulle en et . Variation : décroissante sur , croissante sur , décroissante sur , croissante sur .
Pourquoi
Les intervalles de signe sont bornés par les zéros, ceux de variation par les extremums locaux. Entre et , la fonction est négative ET décroissante ; entre et , négative ET croissante : le signe ne dit rien de la variation.
Étape 4
Maximum : m, atteint en . Minimum : m, atteint en .
Pourquoi
Valeur puis endroit, avec les unités. Le maximum est au bord du domaine : un extremum n'est pas forcément un sommet de la courbe.
Étape 5
Réciproque : pas une fonction, car l'altitude m est atteinte en et à nouveau vers pendant la descente.
Pourquoi
Deux pour un même dans deviennent deux pour un même dans la réciproque. On ne peut pas retrouver l'instant à partir de l'altitude.
Conclusion rédigée
Domaine min, image m, ordonnée à l'origine , zéros et , positive avant et négative entre et , deux montées et deux descentes, maximum en , minimum en ; la réciproque n'est pas une fonction.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire « image : » ou « maximum : » : la première confond les axes, la seconde donne l'endroit du maximum pour sa valeur.
Le domaine se lit sur l'axe horizontal : c'est l'intervalle des x couverts par la courbe, de son point le plus à gauche à son point le plus à droite. L'image se lit sur l'axe vertical : c'est l'intervalle des y, du point le plus bas au point le plus haut. On écrit chacun avec son unité, heures pour le domaine et degrés pour l'image par exemple, ce qui empêche de confondre les deux axes.
Le signe dit où est la courbe par rapport à l'axe horizontal : positive au-dessus, négative en dessous, avec les zéros comme frontières. La variation dit dans quel sens elle va quand x augmente : croissante si elle monte, décroissante si elle descend. Les deux sont indépendants : une température qui passe de moins 6 à 0 degré est négative et croissante en même temps.
On cherche dans la fonction de départ deux valeurs de x qui donnent le même y. S'il en existe, la réciproque aura deux y pour ce x et ne sera pas une fonction. Si la fonction ne fait que monter ou que descendre sur tout son domaine, elle ne répète jamais un y et sa réciproque est une fonction. Une courbe qui monte puis redescend échoue toujours au test.
On échange les deux colonnes : chaque couple (a ; b) devient (b ; a). Sur un graphique, chaque point se reflète par rapport à la diagonale y égale x. Le domaine de la fonction devient l'image de la réciproque, et son image devient le domaine. Pour une règle, on isole x : de C égale 0,5 t plus 2, on tire t égale 2 C moins 4, et on vérifie qu'appliquer les deux règles à la suite ramène au point de départ.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sec3-fonctions-proprietes-reciproque. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
