Math secondaire 3 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : Fonction de degré 1 : variations directe et partielle (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur la droite, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : le taux qui n'est pas un rapport d'écarts, les deux intersections avec les axes qu'on confond, et la proportionnalité qu'on applique là où elle n'existe pas.

La droite de secondaire 3 devient la géométrie analytique de secondaire 4 et le modèle de tous les problèmes de tarif, de vitesse et de croissance jusqu'au cégep : c'est le chapitre le plus rentable à consolider.

Le fil du chapitre

Le taux de variation dit de combien y change quand x augmente de 1 ; c'est un RAPPORT DE DEUX ÉCARTS, jamais un rapport de deux valeurs, et c'est lui qui décide à long terme.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Trois types de variation, une seule règle

• $y=ax+b$ : $a$ est le TAUX DE VARIATION, $b$ l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, la valeur de $y$ en $x=0$ .
• Variation DIRECTE : $b=0$ , $y=ax$ , la droite passe par l'origine, $y$ est proportionnel à $x$ . Variation PARTIELLE : $b\neq 0$ . Variation NULLE : $a=0$ , droite horizontale.
• Dans une table à pas constant : différences de $y$ constantes, c'est une droite ; rapport $\dfrac{y}{x}$ constant en plus, c'est une variation directe.
• Taux positif : la fonction monte. Négatif : elle descend. Nul : constante.

Trois droites, trois variations :

y=1{,}5x

passe par l'origine (directe),

y=x+3

coupe l'axe vertical en

3

(partielle),

y=7

est horizontale (nulle). Seule la première est une proportionnalité.

Le taux : un écart divisé par un écart

• $a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ : l'écart vertical sur l'écart horizontal, entre deux points quelconques de la droite.
• Même ordre en haut et en bas : $\dfrac{10-4}{3-1}$ ou $\dfrac{4-10}{1-3}$ , jamais $\dfrac{10-4}{1-3}$ .
• $\dfrac{y}{x}$ d'un seul point n'est le taux QUE pour une variation directe.
• En contexte, $a$ porte l'unité de $y$ par unité de $x$ : dollars par kilomètre ; $b$ porte l'unité de $y$ seule, la partie fixe.

(0\,;-2)

(2\,;4)

: on avance de

2

et on monte de

6

, taux

\dfrac{6}{2}=3

. Le triangle en pointillé est le rapport d'écarts ;

b=-2

est simplement la hauteur du départ.

Trois points sont alignés si le taux entre les deux premiers égale le taux entre les deux derniers. C'est le test d'alignement du chapitre.

Règle, tracé, zéro

• Règle par deux points : $a$ par le taux, puis $b$ en remplaçant UN point dans $y=ax+b$ , puis VÉRIFIER avec l'autre point.
• Tracer : placer $(0\,;b)$ , puis pour $a=\dfrac{p}{q}$ avancer de $q$ et monter de $p$ (descendre si $p<0$ ). Un troisième point de contrôle.
• ZÉRO : le $x$ tel que $y=0$ , soit $x=-\dfrac{b}{a}$ ; la droite coupe l'axe HORIZONTAL. L'ordonnée à l'origine coupe l'axe VERTICAL.
• Signe : une droite de taux positif est négative à gauche de son zéro et positive à droite.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Diviser une valeur de y par une valeur de x

toute la question, et la règle qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Taux entre $(2\,;6)$ et $(4\,;8)$ : $\dfrac{6}{2}=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Taux $=\dfrac{8-6}{4-2}=\dfrac{2}{2}=1$ : un écart de $y$ sur un écart de $x$ . »

Pourquoi : $\dfrac{6}{2}$ est le rapport $\dfrac{y}{x}$ d'un point, qui ne dit rien du second point. Il coïncide avec le taux seulement quand $b=0$ .

2. Mélanger l'ordre des points entre le haut et le bas

2 points, et le signe de toute la règle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Taux entre $(1\,;4)$ et $(3\,;10)$ : $\dfrac{10-4}{1-3}=-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{10-4}{3-1}=3$ : le même ordre au numérateur et au dénominateur. La droite monte, le taux est positif. »

Pourquoi : Un ordre croisé change le signe. Contrôle : la droite qui monte de $(1\,;4)$ à $(3\,;10)$ ne peut pas avoir un taux négatif.

3. Prendre l'ordonnée à l'origine pour le zéro

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le zéro de $y=4x-10$ est $-10$ , c'est là que la droite coupe l'axe. »

Ce qu'il faut écrire

« $4x-10=0$ donne $x=2{,}5$ : le zéro coupe l'axe HORIZONTAL en $(2{,}5\,;0)$ . Le $-10$ coupe l'axe VERTICAL en $(0\,;-10)$ . »

La droite

y=4x-10

coupe l'axe horizontal en

(2{,}5\,;0)

, c'est le zéro, et l'axe vertical en

(0\,;-10)

, c'est l'ordonnée à l'origine. Deux points, deux axes, deux noms.

Pourquoi : Les deux sont des intersections avec un axe, mais pas le même. Le zéro est un $x$ , l'ordonnée à l'origine un $y$ .

4. Tracer un taux fractionnaire à l'envers

2 points, la droite est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Taux $\dfrac{3}{4}$ : j'avance de $3$ et je monte de $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Taux $\dfrac{3}{4}=\dfrac{\text{écart vertical}}{\text{écart horizontal}}$ : j'avance de $4$ et je monte de $3$ . »

Pourquoi : Le numérateur est l'écart de $y$ , le dénominateur l'écart de $x$ . Inverser donne une droite de taux $\dfrac{4}{3}$ , plus raide.

5. Appliquer la règle de trois à un tarif avec frais fixes

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3$ heures de plombier coûtent $260$ dollars, donc $6$ heures coûtent $520$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $C=60h+80$ : $C(6)=440$ dollars. Les $80$ dollars de déplacement ne doublent pas. »

Pourquoi : Doubler $x$ double $y$ seulement dans une variation DIRECTE. Une partie fixe casse la proportionnalité, et la question à se poser est « y a-t-il un $b$ ? ».

6. Conclure « directe » sur des différences constantes

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les $y$ augmentent de $3$ à chaque fois, donc c'est une variation directe. »

Ce qu'il faut écrire

« Différences constantes : degré $1$ . Directe seulement si $\dfrac{y}{x}$ est constant aussi ; ici $\dfrac{5}{1}\neq\dfrac{8}{2}$ , c'est $y=3x+2$ , partielle. »

Pourquoi : Les tables de $y=3x$ et de $y=3x+2$ ont toutes deux des différences de $3$ . Seul le rapport les sépare.

7. Interpréter le taux sans unité

1 point par interprétation manquante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux est $1{,}75$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux est $1{,}75$ dollar PAR KILOMÈTRE : chaque kilomètre de plus coûte $1{,}75$ dollar. L'ordonnée à l'origine, $3{,}50$ dollars, est le prix de départ. »

Pourquoi : Un taux porte toujours l'unité de $y$ par unité de $x$ ; sans elle, l'interprétation n'a pas de sens et le correcteur ne peut pas la valider.

Quelle méthode choisir

Quel type de variation ? Décider sur la table ou sur la règle

Calculez les différences de $y$ à pas constant, puis le rapport $\dfrac{y}{x}$ .

Si différences de $y$ constantes ET rapport $\dfrac{y}{x}$ constant → variation DIRECTE, $y=ax$ , proportionnalité

Exemple : $3$ , $6$ , $9$ , $12$ : $y=3x$
Si différences constantes, rapport variable → variation PARTIELLE, $y=ax+b$ avec $b\neq 0$

Exemple : $5$ , $8$ , $11$ , $14$ : $y=3x+2$
Si différences nulles → variation NULLE, $y=b$

Exemple : $7$ , $7$ , $7$ : $y=7$
Si différences non constantes → pas une fonction de degré $1$

Exemple : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ : une parabole
Si la règle est donnée → regarder $b$ : $b=0$ directe, $b\neq 0$ partielle, $a=0$ nulle

Exemple : $y=2{,}25d$ directe, $y=1{,}75d+3{,}5$ partielle

La règle de trois et « doubler $x$ double $y$ » ne s'appliquent qu'à la première branche.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Trouver la règle d'une droite par deux points, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux points, ou deux valeurs d'un tarif, et demande la règle.

1 Calculer le taux $a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ , même ordre en haut et en bas.
2 Remplacer UN des points dans $y=ax+b$ et résoudre en $b$ .
3 Écrire la règle $y=ax+b$ .
4 Vérifier avec l'AUTRE point, celui qui n'a pas servi.
5 En contexte, interpréter $a$ et $b$ avec leurs unités.

Phrase de conclusion

« Points $(1\,;7)$ et $(4\,;-2)$ . Taux : $a=\dfrac{-2-7}{4-1}=\dfrac{-9}{3}=-3$ . Avec $(1\,;7)$ : $7=-3\times 1+b$ , donc $b=10$ . Règle : $y=-3x+10$ . Vérification avec $(4\,;-2)$ : $-3\times 4+10=-2$ . »

Le piège : Vérifier avec le point qui a servi à trouver $b$ ne détecte rien : c'est l'autre point qui teste le taux.

Barème : 1 point pour le taux, 1 pour $b$ , 1 pour la règle vérifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'autre point dans la règle

Après avoir trouvé $y=ax+b$ , remplacez le point qui n'a PAS servi à calculer $b$ : il doit vérifier la règle.

$y=-3x+10$ avec $(4\,;-2)$ : $-12+10=-2$ . Bon. Un taux faux, $a=3$ , aurait donné $b=4$ et $3\times 4+4=16\neq-2$ .
Le signe du taux contre l'allure

Une droite qui monte a un taux positif, une droite qui descend un taux négatif. Comparez avec les deux points : si $y$ augmente quand $x$ augmente, $a>0$ .

De $(1\,;4)$ à $(3\,;10)$ , $y$ monte : $a$ doit être positif. Un $-3$ vient d'un ordre croisé.
Le troisième point sur le tracé

Après avoir tracé une droite par deux points, calculez-en un troisième et placez-le : s'il n'est pas sur la droite, un des deux premiers est faux.

$y=0{,}75x-1$ : $(0\,;-1)$ , $(4\,;2)$ , contrôle $(8\,;5)$ . Si $(8\,;5)$ tombe à côté, le taux a été tracé à l'envers.
Le test « y a-t-il un $b$ ? »

Avant toute règle de trois, cherchez une partie fixe dans l'énoncé : dépôt, frais, hauteur initiale. S'il y en a une, la proportionnalité est interdite.

Taxi à $3{,}50$ dollars de départ : $12$ km ne coûtent pas le double de $6$ km. Cycliste à vitesse constante : $6$ h font bien le double de $3$ h.

L'exercice type décortiqué

La location de patins, du tarif à la règle

Une patinoire loue des patins : $2$ heures coûtent $11$ dollars et $5$ heures coûtent $23$ dollars. Le tarif est une fonction de degré $1$ de la durée $h$ .

Trouvez la règle, interprétez le taux et l'ordonnée à l'origine, puis dites combien coûtent $8$ heures et combien d'heures on a pour $35$ dollars.

Étape 1

Taux : $a=\dfrac{23-11}{5-2}=\dfrac{12}{3}=4$ dollars par heure.

Pourquoi

Un écart de coût sur un écart de durée, dans le même ordre. Diviser $11$ par $2$ donnerait $5{,}5$ , le prix moyen des deux premières heures, pas le taux.

Étape 2

Ordonnée à l'origine : $11=4\times 2+b$ , donc $b=3$ . Règle : $C=4h+3$ .

Pourquoi

Un des deux points suffit pour $b$ ; l'autre servira à vérifier. Le $3$ est ce qu'on paie sans patiner du tout : des frais fixes.

Étape 3

Vérification avec $(5\,;23)$ : $4\times 5+3=23$ .

Pourquoi

Le point qui n'a pas servi confirme le taux ET l'ordonnée à l'origine. Sans cette ligne, une erreur de taux passe inaperçue.

Étape 4

$8$ heures : $C=4\times 8+3=35$ dollars. Pour $35$ dollars : $4h+3=35$ , donc $h=8$ heures.

Pourquoi

Les deux questions sont réciproques et se confirment. Le second calcul isole $h$ : c'est la réciproque de la règle, $h=\dfrac{C-3}{4}$ .

Étape 5

Interprétation : $4$ dollars par heure de patinage, $3$ dollars de frais fixes ; variation partielle, pas de règle de trois.

Pourquoi

Le taux porte l'unité « dollars par heure », l'ordonnée à l'origine « dollars ». Avec $b=3$ , $4$ heures ne coûtent pas le double de $2$ heures : $19$ contre $11$ .

Conclusion rédigée

Règle $C=4h+3$ : $4$ dollars par heure plus $3$ dollars fixes ; $8$ heures coûtent $35$ dollars, et $35$ dollars paient exactement $8$ heures.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $a=\dfrac{11}{2}=5{,}5$ : c'est un rapport de valeurs, pas d'écarts, et la règle $C=5{,}5h$ donne $27{,}5$ pour $5$ heures au lieu de $23$ .

À savoir par cœur

• $y=ax+b$ . $a$ : taux, un ÉCART sur un écart. $b$ : la valeur de $y$ en $x=0$ .
• Directe : $b=0$ , proportionnalité, doubler $x$ double $y$ . Partielle : $b\neq 0$ , pas de règle de trois. Nulle : $a=0$ .
• $a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ , même ordre en haut et en bas. Jamais $\dfrac{y}{x}$ , sauf directe.
• Règle par deux points : $a$ , puis $b$ avec un point, puis VÉRIFIER avec l'autre.
• Tracer $a=\dfrac{p}{q}$ : avancer de $q$ , monter de $p$ .
• Zéro : $x=-\dfrac{b}{a}$ , sur l'axe horizontal. $b$ : sur l'axe vertical.
• En contexte : $a$ en unité de $y$ par unité de $x$ , $b$ en unité de $y$ .

Questions fréquentes

Comment calculer le taux de variation entre deux points ?

On divise l'écart des y par l'écart des x, dans le même ordre : entre (1 ; 4) et (3 ; 10), le taux vaut 10 moins 4 sur 3 moins 1, soit 3. Il ne faut jamais diviser un y par un x, ce qui ne donne le taux que si la droite passe par l'origine. Un taux positif signifie que la droite monte, un taux négatif qu'elle descend.

Quelle est la différence entre une variation directe et une variation partielle ?

Dans une variation directe, la règle est y égale a x : pas de terme constant, la droite passe par l'origine et y est proportionnel à x, doubler x double y. Dans une variation partielle, la règle est y égale a x plus b avec b différent de zéro : il y a une partie fixe, comme des frais de déplacement, et la proportionnalité ne s'applique plus. Les deux ont un taux constant.

Comment trouver la règle d'une droite à partir de deux points ?

On calcule d'abord le taux, écart des y sur écart des x. On remplace ensuite les coordonnées d'un des deux points dans y égale a x plus b pour trouver b. On écrit la règle, puis on vérifie avec l'autre point, celui qui n'a pas servi : il doit satisfaire la règle. Si ce n'est pas le cas, le taux est faux.

Quelle est la différence entre le zéro et l'ordonnée à l'origine ?

Le zéro est la valeur de x pour laquelle y vaut 0 : c'est là que la droite coupe l'axe horizontal, et il se calcule en résolvant a x plus b égale 0. L'ordonnée à l'origine est la valeur de y quand x vaut 0 : c'est le b de la règle, là où la droite coupe l'axe vertical. Pour y égale 4x moins 10, le zéro est 2,5 et l'ordonnée à l'origine est moins 10.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Fonction de degré 1 : variations directe et partielle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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Variation inverse et proportionnalité La géométrie analytique : droites et distancesSecondaire 4 SN4 Les fonctions définies par partiesSecondaire 4 CST La géométrie analytiqueSecondaire 4 CST Les fonctions définies par partiesSecondaire 4 TS

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