Exercices corrigés : les fonctions définies par parties (math CST, secondaire 4)

$-3\le 2$, donc premier morceau : $f(-3)=3\times(-3)-1=-9-1=-10$.

$x=2$ vérifie $x\le 2$, inégalité LARGE : c'est le premier morceau, $f(2)=3\times 2-1=5$. Piège : prendre le second morceau, $2+6=8$, alors que son intervalle $x>2$ exclut $2$.

$x=-2$ vérifie $-2\le x\le 4$ : c'est le morceau du milieu, fermé à gauche, et $g(-2)=2\times(-2)+1=-3$. Piège : répondre $-1$, la valeur du premier morceau, dont l'intervalle $x<-2$ exclut la borne.

$-5<-2$ : premier morceau, qui est CONSTANT, donc $g(-5)=-1$ sans aucun calcul. Piège : appliquer la règle du milieu, $2\times(-5)+1=-9$, parce qu'elle « contient un $x$ ».

$1{,}5$ est entre $-2$ et $4$ : morceau du milieu, $g(1{,}5)=2\times 1{,}5+1=3+1=4$.

Premier morceau : $3x-1=-7$ donne $3x=-6$ et $x=-2$ ; or $-2\le 2$, la solution est RETENUE. Second morceau : $x+6=-7$ donne $x=-13$ ; or $-13$ ne vérifie pas $x>2$, la solution est REJETÉE. L'équation a donc une seule solution, $x=-2$.

Morceau constant : $-1\ne 10$, aucune solution. Morceau du milieu : $2x+1=10$ donne $x=4{,}5$, qui n'est PAS dans $[-2\,;4]$ : rejetée. Dernier morceau : $-x+15=10$ donne $x=5$, et $5>4$ : retenue. La seule solution est $x=5$. Piège : garder $x=4{,}5$, trouvée la première, sans vérifier son intervalle.

Morceau constant : $-1\ne 7$, rien. Milieu : $2x+1=7$ donne $x=3$, dans $[-2\,;4]$ : retenue. Dernier : $-x+15=7$ donne $x=8$, et $8>4$ : retenue. L'équation a deux solutions, $3$ et $8$, et la plus grande est $8$. Piège : s'arrêter à la première solution valide, comme si une fonction par parties ne pouvait atteindre une valeur qu'une fois.

Sur le premier morceau, $g(x)=-1$ pour TOUT $x<-2$ : chacun de ces nombres est solution, il y en a donc une infinité. Les deux autres morceaux ajoutent $x=-1$ (milieu, $2x+1=-1$) et $x=16$ (dernier, $-x+15=-1$), sans rien changer à la réponse. Piège : répondre « aucune », parce que l'égalité $-1=-1$ ne contient pas de $x$ à isoler.

En $x=4$, la règle du milieu donne $2\times 4+1=9$, et la règle de droite, évaluée à cette borne pour comparer, donne $-4+15=11$. Le saut vaut $11-9=2$. La valeur de $g$ en $4$ reste $g(4)=9$, puisque la borne appartient au morceau du milieu.

$-2$ et $0$ sont tous deux strictement plus petits que $1$, donc c'est le PREMIER morceau qui s'applique : $f(-2)=2\times(-2)+3=-4+3=-1$ et $f(0)=2\times 0+3=3$. Le réflexe à prendre est toujours le même : on regarde d'abord dans quel intervalle tombe $x$, et seulement ensuite on calcule.

$1$ et $3$ appartiennent tous deux à l'intervalle $[1\,;4[$, donc c'est le DEUXIÈME morceau, qui vaut $4$ quelle que soit la valeur de $x$ : $f(1)=4$ et $f(3)=4$. Un morceau constant surprend souvent, parce qu'il n'y a rien à calculer. C'est pourtant la situation la plus fréquente en contexte : un tarif forfaitaire ne dépend pas de la quantité.

$4$ et $7$ sont supérieurs ou égaux à $4$, donc c'est le TROISIÈME morceau : $f(4)=-4+9=5$ et $f(7)=-7+9=2$. Remarquez ce qui se passe en $x=4$ : le deuxième morceau donnerait $4$, le troisième donne $5$. La fonction fait donc un SAUT de une unité à cet endroit, et c'est le morceau de droite qui l'emporte, puisque l'inégalité $x\ge 4$ inclut $4$.

L'élève a utilisé le premier morceau, dont l'intervalle est $x<1$, une inégalité STRICTE : elle exclut $1$. La valeur $1$ appartient au deuxième intervalle, $1\le x<4$, donc $f(1)=4$. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et elle se joue à un seul symbole. La méthode qui l'évite : entourer la borne dans l'énoncé et se demander « est-elle incluse ? ». Un crochet fermé, $\le$ ou $\ge$, inclut la borne ; un crochet ouvert, $<$ ou $>$, l'exclut. Notez enfin que la valeur $5$ trouvée par l'élève n'est pas absurde en soi : c'est la valeur vers laquelle tend le premier morceau quand on s'approche de $1$, mais ce n'est pas une valeur de $f$.

De $0$ à $5$ kg, le tracé est HORIZONTAL à la hauteur $20$ : le coût ne dépend pas de la masse. La règle est donc $C(x)=20$ pour $0\le x\le 5$. C'est un forfait de base.

De $5$ à $15$ kg, le tracé monte de $20$ à $50$ dollars, soit $30$ dollars gagnés sur $10$ kg : la pente vaut $\dfrac{50-20}{15-5}=3$ dollars par kilogramme. En partant du point $(5\,;20)$, la règle s'écrit $C(x)=20+3(x-5)$ pour $5<x\le 15$. On peut aussi la développer en $C(x)=3x+5$, et les deux écritures sont acceptées. La première est préférable en contexte, parce qu'elle se lit : forfait de $20$ dollars, plus $3$ dollars par kilogramme AU-DELÀ de $5$ kg.

À partir de $15$ kg, le tracé redevient horizontal à la hauteur $50$ : la règle est $C(x)=50$ pour $x>15$. C'est un plafond, un tarif maximal au-delà duquel la commande ne coûte pas plus cher.

Aucun saut. En $x=5$ : le premier morceau donne $20$ et le second donne $20+3\times 0=20$, les deux valeurs coïncident. En $x=15$ : le second donne $20+3\times 10=50$ et le troisième donne $50$, elles coïncident encore. Le tracé est donc d'un seul trait, sans interruption. Cela se voyait sur le graphique, mais la question demande de le JUSTIFIER par le calcul : on évalue les deux morceaux à la borne et on constate qu'ils donnent la même valeur. Un tarif sans saut est le cas normal ; un saut signifierait qu'un gramme de plus fait bondir la facture.

On évalue les deux règles en $x=2$. Première règle : $3\times 2+2=8$. Seconde règle : $2+6=8$. Les deux donnent $8$, donc il n'y a PAS de saut : la courbe se raccorde et se trace d'un seul trait. Le premier morceau ne s'applique pourtant pas en $2$, mais on l'évalue quand même en cette borne, uniquement pour comparer.

Première règle en $x=3$ : $4\times 3=12$. Seconde règle : $2\times 3+5=11$. Les deux valeurs diffèrent, donc il y a un SAUT, et il vaut $12-11=1$ unité VERS LE BAS : la courbe descend brusquement d'une unité en arrivant à $3$. On précise toujours le sens du saut, parce que c'est lui qui a un sens dans la situation.

$g(3)=11$, parce que l'intervalle qui contient $3$ est $x\ge 3$, celui de la seconde règle. La valeur $12$ n'est PAS une valeur de $g$ : c'est celle vers laquelle tend le premier morceau sans jamais l'atteindre. Pour $f$, les deux morceaux donnent la même chose, donc la question ne se pose pas : $f(2)=8$.

Un saut de $1$ dollar signifierait qu'un client qui consomme juste un peu plus paie $1$ dollar de plus d'un seul coup, sans contrepartie. C'est le cas quand un fournisseur ajoute des frais fixes à partir d'un certain seuil. À l'inverse, un saut VERS LE BAS, comme celui de $g$, voudrait dire qu'on paie moins cher en consommant plus, ce qui existe aussi : c'est exactement le principe d'un tarif dégressif mal construit, où il devient avantageux de commander une quantité un peu supérieure à ce dont on a besoin.

C'est faux. La fonction existe bel et bien en $x=3$, et elle y vaut $11$. Un saut ne signifie pas une absence de valeur : il signifie que la valeur change brusquement. Ce qui déciderait de l'existence, ce serait qu'AUCUN intervalle ne contienne $3$, par exemple avec $x<3$ et $x>3$ : dans ce cas la fonction n'est effectivement pas définie en $3$, et c'est un trou dans la définition, pas un saut. Retenez la différence : un saut se voit sur le dessin, un trou se voit dans les inégalités.

Les $40$ premiers kilowattheures coûtent $0{,}06\times 40=2{,}40$ dollars. Tant qu'on ne dépasse pas $40$, chaque kilowattheure est facturé $0{,}06$ dollar, donc le premier morceau est $C(x)=0{,}06x$ pour $0\le x\le 40$.

Au-delà de $40$, on paie les $2{,}40$ dollars de la première tranche, plus $0{,}09$ dollar par kilowattheure de DÉPASSEMENT. Le dépassement vaut $x-40$, donc le second morceau est $C(x)=2{,}40+0{,}09(x-40)$ pour $x>40$. L'expression $x-40$ est le coeur du chapitre en contexte : elle compte ce qui dépasse le seuil, et c'est elle qu'on oublie quand on écrit $0{,}09x$.

$30$ est inférieur à $40$, donc premier morceau : $C(30)=0{,}06\times 30=1{,}80$ dollar. $60$ dépasse $40$, donc second morceau : le dépassement vaut $60-40=20$ kilowattheures, et $C(60)=2{,}40+0{,}09\times 20=2{,}40+1{,}80=4{,}20$ dollars.

On évalue les deux morceaux en $x=40$. Premier : $0{,}06\times 40=2{,}40$. Second : $2{,}40+0{,}09\times(40-40)=2{,}40+0=2{,}40$. Les deux donnent $2{,}40$ dollars, donc il n'y a pas de saut. C'est normal et voulu : un tarif par tranches est construit pour que le client ne voie pas sa facture bondir au franchissement du seuil, seulement le rythme d'augmentation changer.

L'élève a appliqué le tarif supérieur à TOUTE la consommation, alors qu'il ne s'applique qu'au dépassement. Le calcul correct est $C(60)=4{,}20$ dollars, et son erreur lui fait donc payer $5{,}40-4{,}20=1{,}20$ dollar de trop, soit près de $29\,\%$ de la facture. C'est exactement le malentendu qu'on entend sur les tranches d'impôt : franchir un seuil ne fait jamais requalifier ce qui est en dessous. Le contrôle de bon sens qui l'attrape : la facture de $60$ kilowattheures ne peut pas être plus du double de celle de $30$, puisque le tarif n'a même pas doublé.

Au point de raccordement, $x=40$ et la facture vaut $2{,}40$ dollars. Cette valeur sert de TRIEUR : toute facture inférieure à $2{,}40$ dollars vient du premier morceau, toute facture supérieure vient du second. C'est la première chose à calculer dans ce genre de question, avant même de poser une équation, et c'est elle qui évite de résoudre deux fois.

$3{,}30$ dollars dépassent $2{,}40$, donc c'est le second morceau : $2{,}40+0{,}09(x-40)=3{,}30$. On isole : $0{,}09(x-40)=0{,}90$, donc $x-40=\dfrac{0{,}90}{0{,}09}=10$ et $x=50$ kilowattheures. Notez qu'on divise par $0{,}09$ à l'avant-dernière ligne : diviser par un nombre plus petit que $1$ augmente le résultat, ce qui est cohérent avec les $10$ kilowattheures de dépassement attendus.

$1{,}50$ dollar est inférieur à $2{,}40$, donc c'est le premier morceau : $0{,}06x=1{,}50$, d'où $x=\dfrac{1{,}50}{0{,}06}=25$ kilowattheures.

Pour b), on a trouvé $x=50$, et l'intervalle du second morceau est $x>40$ : $50$ en fait bien partie, la solution est valide. Pour c), on a trouvé $x=25$, et l'intervalle du premier morceau est $0\le x\le 40$ : $25$ en fait bien partie également. Cette vérification n'est pas une formalité. Si l'on avait résolu $0{,}06x=3{,}30$ par erreur, on aurait trouvé $x=55$, un nombre qui ne respecte PAS l'intervalle $x\le 40$ : la vérification aurait signalé la faute avant qu'elle ne coûte la question.

Oui pour $2{,}40$ dollars : c'est exactement la facture de $40$ kilowattheures, le point de raccordement, et c'est la seule consommation qui donne ce montant. Oui également pour $12$ dollars, par le second morceau : $2{,}40+0{,}09(x-40)=12$ donne $0{,}09(x-40)=9{,}60$, donc $x-40=\dfrac{9{,}60}{0{,}09}\approx 106{,}67$ et $x\approx 146{,}67$ kilowattheures. Toute facture positive est atteignable ici, parce que les deux morceaux se raccordent et que le second monte indéfiniment : il n'y a ni trou ni plafond dans cette tarification.

Pendant la première heure, le coût est la prise en charge plus $0{,}10$ dollar par minute : $C(t)=5+0{,}10t$ pour $0\le t\le 60$. À $60$ minutes, ce coût vaut $5+6=11$ dollars. Au-delà, on ajoute $0{,}06$ dollar par minute de DÉPASSEMENT, donc $C(t)=11+0{,}06(t-60)$ pour $t>60$.

$45$ minutes est dans la première heure : $C(45)=5+0{,}10\times 45=5+4{,}50=9{,}50$ dollars. $90$ minutes dépasse $60$ : le dépassement vaut $30$ minutes, donc $C(90)=11+0{,}06\times 30=11+1{,}80=12{,}80$ dollars.

Premier morceau en $t=60$ : $5+0{,}10\times 60=11$ dollars. Second morceau : $11+0{,}06\times 0=11$ dollars. Les deux donnent $11$, donc aucun saut. Le tarif est construit ainsi exprès : le client ne voit pas le prix bondir à la soixantième minute, il voit seulement le compteur ralentir.

$14$ dollars dépassent les $11$ dollars du raccordement, donc c'est le second morceau : $11+0{,}06(t-60)=14$, d'où $0{,}06(t-60)=3$ et $t-60=\dfrac{3}{0{,}06}=50$. La durée est donc $t=110$ minutes, soit une heure cinquante. Vérification : $110$ dépasse bien $60$, la solution appartient à son intervalle.

À $58$ minutes, on est dans le premier morceau : la minute suivante coûte $0{,}10$ dollar. À $65$ minutes, on est dans le second : la minute suivante ne coûte que $0{,}06$ dollar, soit $40\,\%$ de moins. C'est tout le sens de ce genre de tarification, et c'est la question que pose vraiment un problème de CST : ce n'est pas le coût TOTAL qui change de nature à la soixantième minute, c'est le coût de la minute SUIVANTE. Le total, lui, continue de monter sans à-coup, seulement plus lentement. Un client qui roule une heure vingt paie $12{,}20$ dollars, alors qu'au tarif de la première heure il aurait payé $13$ dollars.

Jusqu'à $10$ Go, le coût ne dépend pas de la consommation : $C(g)=25$ pour $0\le g\le 10$. Au-delà, on ajoute $8$ dollars par gigaoctet de dépassement : $C(g)=25+8(g-10)$ pour $g>10$. Le graphique montre bien les deux allures, un palier horizontal puis une montée.

$7$ Go et $9{,}5$ Go sont tous deux dans la partie comprise : la facture vaut $25$ dollars dans les deux cas. $13$ Go dépasse de $3$ Go, donc $C(13)=25+8\times 3=25+24=49$ dollars.

$65$ dollars dépassent $25$ dollars, donc c'est le second morceau : $25+8(g-10)=65$, d'où $8(g-10)=40$, puis $g-10=5$ et $g=15$ gigaoctets. Vérification : $15$ dépasse bien $10$, la solution est dans son intervalle.

Aucun saut. En $g=10$, le premier morceau donne $25$ et le second donne $25+8\times 0=25$ : les deux valeurs coïncident, et le graphique se trace d'un seul trait. Un saut signifierait qu'un tout petit dépassement déclenche un supplément fixe, ce que certains forfaits font d'ailleurs, mais pas celui-ci.

C'est faux, et c'est la vraie leçon du palier. Sur l'intervalle $[0\,;10]$, la fonction est CONSTANTE : que le client utilise $1$ Go ou $10$ Go, il paie $25$ dollars. Consommer moins ne fait donc rien baisser, parce que ces gigaoctets sont déjà payés dans le forfait. C'est exactement l'inverse de la situation du client à $13$ Go, pour qui chaque gigaoctet supplémentaire coûte $8$ dollars. Une même tarification peut donc rendre un gigaoctet gratuit d'un côté du seuil et cher de l'autre, et c'est cette asymétrie qu'un problème de CST demande d'expliquer en toutes lettres.

FAUX. L'inégalité $x<1$ est STRICTE : la valeur $1$ n'appartient pas à cet intervalle, donc cette règle ne s'applique pas en $x=1$. Il faut chercher l'intervalle qui CONTIENT $1$ et utiliser la règle correspondante. Énoncé correct : on repère d'abord l'intervalle auquel appartient la valeur, et seulement ensuite on calcule.

FAUX. Le tarif supérieur ne porte que sur le DÉPASSEMENT. Pour $60$ kilowattheures, la facture vaut $2{,}40+0{,}09\times 20=4{,}20$ dollars, et non $0{,}09\times 60=5{,}40$ dollars. Énoncé correct : les $40$ premiers kilowattheures restent facturés au premier tarif, et seuls les $x-40$ suivants passent au second. C'est le même malentendu que sur les tranches d'impôt.

FAUX. Un saut signifie que la valeur change brusquement, pas qu'elle manque. Avec $g(x)=4x$ si $x<3$ et $g(x)=2x+5$ si $x\ge 3$, on a bien $g(3)=11$. Énoncé correct : la fonction n'existe pas en un point seulement quand AUCUN intervalle ne le contient, par exemple avec $x<3$ et $x>3$, ce qui est un trou et non un saut.

FAUX, et ce serait grave : une fonction associe à chaque valeur de départ UNE SEULE image. Les intervalles d'une définition par parties sont choisis pour ne pas se chevaucher, précisément pour qu'un seul morceau s'applique. Énoncé correct : à chaque $x$ correspond un et un seul morceau, donc une seule valeur.

FAUX. Les deux intervalles se CHEVAUCHENT en $x=5$, qui appartient aux deux : la définition attribuerait deux règles à la même valeur, ce que l'affirmation 4 vient d'interdire. Énoncé correct : il faut $x<5$ et $x\ge 5$, ou bien $x\le 5$ et $x>5$, de façon que la borne n'appartienne qu'à un seul intervalle. Le seul cas où le chevauchement est toléré est celui où les deux règles donnent la même valeur en $5$, mais on l'écrit quand même proprement.

Pendant les dix premières minutes, le réservoir gagne $20$ litres par minute en partant de zéro : $V(t)=20t$ pour $0\le t\le 10$. À $t=10$, il contient donc $200$ litres. Ensuite il gagne $5$ litres par minute de plus : $V(t)=200+5(t-10)$ pour $t>10$. Ici encore, c'est le $t-10$ qui compte le temps écoulé DEPUIS le changement de débit.

$6$ minutes est dans la première phase : $V(6)=20\times 6=120$ litres. $20$ minutes est dans la seconde : le temps écoulé depuis le changement vaut $10$ minutes, donc $V(20)=200+5\times 10=250$ litres.

Le réservoir est plein quand $V(t)=300$. Ce volume dépasse les $200$ litres du raccordement, donc c'est le second morceau : $200+5(t-10)=300$, d'où $5(t-10)=100$, puis $t-10=20$ et $t=30$ minutes. Le graphique s'arrête d'ailleurs à ce point, puisque le réservoir ne peut pas contenir davantage.