Exercices corrigés : la fonction partie entière (math CST, secondaire 4)

Chaque palier s'étend sur $2$ unités en abscisse : la longueur du palier vaut $2$. D'un palier au suivant, la valeur passe de $0$ à $3$, puis de $3$ à $6$ : la contremarche vaut $3$. Ces deux nombres décrivent entièrement un escalier régulier, et ils ont toujours un sens concret dans une situation : la longueur du palier est la TRANCHE facturée, la contremarche est le PRIX de cette tranche.

$3$ se trouve dans le palier qui va de $2$ à $4$, donc $f(3)=3$. $4$ est le début du palier suivant, donc $f(4)=6$. $7{,}9$ se trouve dans le palier qui va de $6$ à $8$, donc $f(7{,}9)=9$. Remarquez que $7{,}9$ est très proche de $8$ sans l'atteindre : la valeur reste celle du palier où l'on est, et elle ne monte qu'une fois la borne franchie.

Les points pleins sont au DÉBUT de chaque palier, à gauche, et les points creux à la fin, à droite. L'escalier est donc fermé à gauche. Cela se lit sur la figure sans aucun calcul, et c'est la première chose à repérer, parce que cela change la valeur à chaque borne.

$f(4)=6$. En $x=4$, deux points sont dessinés : un point creux à la hauteur $3$, qui appartient au palier précédent et signale que cette valeur n'est PAS atteinte en $4$, et un point plein à la hauteur $6$, qui ouvre le nouveau palier. C'est le point plein qui donne la valeur de la fonction. En contexte, cette lecture est exactement celle qui fait basculer une facture : à la borne, on est déjà dans la tranche suivante.

Contrat A : $2{,}3$ heures, c'est deux heures complètes et une troisième ENTAMÉE, donc trois heures facturées : $3\times 20=60$ dollars. Contrat B : seules les heures complétées comptent, il y en a deux, donc $2\times 20=40$ dollars. Vingt dollars d'écart pour la même durée d'occupation.

À exactement $3$ heures, les deux contrats donnent la même chose, $60$ dollars : trois heures sont complétées, et aucune quatrième n'est entamée. Les deux escaliers se rejoignent donc aux durées entières, et c'est le seul endroit où ils coïncident. Entre deux entiers, ils diffèrent toujours d'une tranche.

Contrat A : une heure est entamée, donc $20$ dollars. Contrat B : aucune heure n'est complétée, donc $0$ dollar. Le contrat B laisse donc la demi-heure gratuite, ce qu'aucun propriétaire n'accepterait en pratique. C'est pour cela que presque tous les tarifs réels sont du type A.

Le contrat B avantage le CLIENT, puisqu'il ne paie jamais pour une tranche incomplète : son coût est toujours inférieur ou égal à celui du contrat A. Le contrat A avantage le PROPRIÉTAIRE, et c'est celui qu'on rencontre dans la vie courante, sous les formulations « toute heure commencée est due », « par tranche entamée » ou « à la minute entamée ».

Contrat A, avec des paliers du type $]0\,;1]$, $]1\,;2]$ : la valeur est atteinte à la FIN du palier, donc les points pleins sont à DROITE et les points creux à gauche. Contrat B, avec des paliers du type $[0\,;1[$, $[1\,;2[$ : la valeur est atteinte dès le DÉBUT, donc les points pleins sont à GAUCHE, comme sur la figure de l'exercice 1. Repérer le côté des points pleins revient exactement à savoir si l'énoncé dit entamée ou complétée, et c'est la question qui revient le plus souvent à l'examen sur ce chapitre.

Un jour exactement : un seul jour est entamé, donc $1\times 0{,}40=0{,}40$ dollar. Trois jours et demi : trois jours complets, plus un quatrième entamé, donc quatre jours facturés et $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar. Le geste du chapitre tient ici : on ne multiplie jamais la durée par le tarif, on compte d'abord le nombre de TRANCHES, puis on multiplie ce nombre entier par le tarif.

Deux dixièmes de jour, c'est moins d'une journée, mais un jour est bel et bien ENTAMÉ : les frais s'élèvent donc à $0{,}40$ dollar. Un retard de cinq minutes coûterait exactement la même chose. C'est la caractéristique des escaliers fermés à droite, et c'est ce qui les rend si impopulaires auprès des usagers.

Douze jours entamés, donc $12\times 0{,}40=4{,}80$ dollars. Le graphique ne montre que les huit premiers jours, mais la règle continue de la même façon : un palier de plus par journée, toujours de $0{,}40$ dollar de haut.

L'élève a multiplié la DURÉE par le tarif, comme s'il s'agissait d'une fonction affine. Or un escalier ne compte pas le temps, il compte les tranches entamées, et ce nombre est un ENTIER. Trois jours et demi comptent pour QUATRE jours, donc $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar, soit $0{,}20$ dollar de plus que son calcul. Le contrôle qui l'attrape : une fonction en escalier ne prend que des valeurs multiples de la contremarche, ici des multiples de $0{,}40$. Or $1{,}40$ n'est pas un multiple de $0{,}40$, puisque $1{,}40\div 0{,}40=3{,}5$ n'est pas entier. La réponse était donc impossible avant même d'être vérifiée.

On divise le montant par la contremarche : $\dfrac{2{,}00}{0{,}40}=5$ jours entamés. Cinq jours sont entamés dès qu'on dépasse quatre jours, et tant qu'on n'a pas dépassé cinq jours. L'intervalle des retards est donc $]4\,;5]$ jours. La borne gauche est ouverte, parce qu'à exactement quatre jours seuls quatre jours sont entamés, et la borne droite est fermée, parce qu'à exactement cinq jours on en est encore à cinq.

$\dfrac{3{,}60}{0{,}40}=9$ jours entamés, donc l'intervalle est $]8\,;9]$ jours. La méthode est toujours la même en deux temps : diviser pour obtenir le NOMBRE de tranches, puis traduire ce nombre en intervalle en respectant le sens des bornes.

Non, ce n'est pas possible. Les frais sont toujours un multiple de $0{,}40$ dollar, puisqu'on facture un nombre entier de journées. Or $\dfrac{1{,}50}{0{,}40}=3{,}75$, qui n'est pas entier : aucun retard ne produit ce montant. Les montants voisins possibles sont $1{,}20$ dollar, pour trois jours, et $1{,}60$ dollar, pour quatre. Ce test de divisibilité est la vérification la plus rapide du chapitre.

Parce qu'une fonction en escalier est CONSTANTE sur chaque palier : une infinité de durées différentes donnent exactement le même montant. Un retard de $4$ jours et $1$ heure et un retard de $4$ jours et $23$ heures coûtent tous deux $2{,}00$ dollars. La fonction n'est donc pas réversible valeur par valeur, et c'est ce qui la distingue d'une fonction affine, où chaque montant correspond à une seule durée. Répondre « le retard est de $5$ jours » est donc incomplet : c'est le nombre de jours FACTURÉS, pas le retard réel, qui peut être n'importe quelle valeur de l'intervalle.

On cherche le nombre de jours pour lequel $0{,}40\times n$ atteint $6$ : $n=\dfrac{6}{0{,}40}=15$. Le plafond est donc atteint au quinzième jour entamé, c'est-à-dire dès qu'on dépasse quatorze jours de retard.

L'escalier compte QUINZE paliers avant de plafonner : celui de $0{,}40$ dollar, celui de $0{,}80$, et ainsi de suite jusqu'à celui de $6{,}00$ dollars. Chacun correspond à une journée entamée, et le quinzième est le dernier qui monte.

Vingt jours : sans plafond, on devrait $20\times 0{,}40=8$ dollars, mais le plafond ramène le montant à $6$ dollars. Soixante jours : le calcul brut donnerait $24$ dollars, et le montant reste $6$ dollars. Une fois le plafond atteint, la durée n'a plus aucun effet sur le montant.

Après quinze jours, le graphique cesse de monter : c'est une demi-droite HORIZONTALE à la hauteur $6$, qui se prolonge indéfiniment vers la droite. La fonction n'est donc plus un escalier sur cette partie, elle est constante, et l'on retrouve exactement la notion de plafond vue au chapitre des fonctions définies par parties. Le graphique complet est d'ailleurs une fonction définie par parties dont le premier morceau est un escalier et le second une constante.

C'est faux, et l'erreur consiste à appliquer la règle des paliers au-delà de sa validité. Le calcul $30\times 0{,}40=12$ dollars serait correct SANS plafond, mais la règle s'arrête à $6$ dollars : l'usager doit $6$ dollars, et pas un sou de plus. Le réflexe à prendre en situation d'application : dès qu'un énoncé mentionne un maximum, un plafond ou un montant « au plus », on calcule la valeur du plafond ET le moment où il est atteint, avant de répondre à quoi que ce soit. Sans cela, toutes les réponses au-delà du seuil sont fausses, alors que les calculs sont justes.

Bibliothèque A : $5\times 0{,}40=2{,}00$ dollars, bien en dessous du plafond. Bibliothèque B : $5\times 0{,}25=1{,}25$ dollar. C'est la bibliothèque B qui est la moins chère, de $0{,}75$ dollar.

Bibliothèque A : $15\times 0{,}40=6{,}00$ dollars, ce qui atteint exactement le plafond. Bibliothèque B : $15\times 0{,}25=3{,}75$ dollars. B reste la moins chère, et l'écart s'est même creusé, à $2{,}25$ dollars.

Bibliothèque A : le calcul brut donnerait $12$ dollars, mais le plafond bloque à $6{,}00$ dollars. Bibliothèque B : $30\times 0{,}25=7{,}50$ dollars, sans plafond pour la retenir. Cette fois c'est A qui est la moins chère, de $1{,}50$ dollar : la situation s'est inversée.

Le montant de A ne bouge plus au-delà de $6$ dollars. On cherche donc quand B dépasse $6$ : $0{,}25\times n>6$ donne $n>24$, donc à partir de $25$ jours entamés. Vérification : à $24$ jours, B facture exactement $6{,}00$ dollars, comme A, et à $25$ jours B facture $6{,}25$ dollars contre $6{,}00$ pour A. La bibliothèque A devient donc la moins chère à partir du vingt-cinquième jour entamé.

Le plafond transforme une pénalité qui croît sans fin en une pénalité BORNÉE : au-delà de quinze jours, un usager de la bibliothèque A ne risque plus rien de plus, quel que soit son retard. C'est un choix de politique, pas de mathématiques : il protège l'usager distrait, mais il supprime aussi toute incitation à rendre le livre une fois le plafond atteint. La bibliothèque B fait l'inverse, et c'est pourquoi elle finit par coûter plus cher aux retards extrêmes tout en étant plus douce sur les petits retards.

$200$ g : une seule tranche est entamée, donc $2{,}50$ dollars. $250$ g : toujours une seule tranche, puisque $250$ est la borne de la première, donc encore $2{,}50$ dollars. $260$ g : une deuxième tranche est entamée, donc $2{,}50+1{,}20=3{,}70$ dollars. Dix grammes de plus coûtent $1{,}20$ dollar : c'est exactement la brutalité d'un escalier, et c'est ce que l'énoncé demande de comprendre.

$\dfrac{1000}{250}=4$ tranches exactement, donc trois tranches SUPPLÉMENTAIRES après la première : $2{,}50+3\times 1{,}20=2{,}50+3{,}60=6{,}10$ dollars. L'erreur à éviter est de multiplier $4$ par $1{,}20$ : la première tranche est facturée $2{,}50$ dollars, pas $1{,}20$ dollar, et seules les suivantes le sont.

$\dfrac{1300}{250}=5{,}2$, donc SIX tranches sont entamées. Cinq d'entre elles sont supplémentaires : $2{,}50+5\times 1{,}20=2{,}50+6=8{,}50$ dollars. Comme toujours, on arrondit le nombre de tranches vers le HAUT, jamais au plus proche : cinq virgule deux tranches entamées, cela fait six tranches.

$6{,}10$ dollars correspond à quatre tranches, comme en b). Quatre tranches sont entamées dès qu'on dépasse $750$ g, et tant qu'on ne dépasse pas $1000$ g. L'intervalle des masses est donc $]750\,;1000]$ grammes. Un colis de $751$ g et un colis de $1000$ g coûtent donc exactement le même prix, ce qui est une bonne raison de remplir une tranche jusqu'au bout plutôt que de la gaspiller.

Un colis de $1000$ g coûte $6{,}10$ dollars, calculé en b). Un colis de $500$ g entame deux tranches, donc $2{,}50+1{,}20=3{,}70$ dollars, et deux tels colis coûtent $7{,}40$ dollars. Il vaut donc mieux un seul colis, qui économise $1{,}30$ dollar. La raison est structurelle : chaque colis paie une première tranche à $2{,}50$ dollars, plus du double du tarif des tranches suivantes. Diviser un envoi fait donc payer deux fois ce supplément de départ, et c'est vrai de tous les tarifs construits sur ce modèle.

FAUX. Pour une demi-heure de location à $20$ dollars l'heure, un escalier fermé à droite, du type « heure entamée », facture $20$ dollars, tandis qu'un escalier fermé à gauche, du type « heure complétée », facture $0$ dollar. Énoncé correct : les deux escaliers ne coïncident qu'aux valeurs entières, et diffèrent d'une tranche partout ailleurs.

FAUX. Un escalier ne multiplie pas la durée par le tarif : il compte les TRANCHES entamées, qui sont en nombre entier. Trois jours et demi comptent pour quatre jours, donc $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar. Énoncé correct : on arrondit d'abord le nombre de tranches vers le haut, puis on multiplie. Contrôle immédiat : $1{,}40$ n'est pas un multiple de $0{,}40$.

FAUX. Une fonction en escalier SAUTE d'un palier au suivant sans prendre les valeurs intermédiaires. Avec une contremarche de $0{,}40$ dollar, les frais valent $1{,}20$ ou $1{,}60$ dollar, jamais $1{,}50$. Énoncé correct : les valeurs prises sont exactement les multiples de la contremarche, et c'est ce qui permet de rejeter un montant impossible en une division.

FAUX, et la confusion est entre deux choses différentes. Le PLAFOND porte sur le MONTANT, pas sur le retard : après quinze jours, l'usager doit toujours le livre, et il est toujours en retard. Seule la pénalité cesse d'augmenter. Énoncé correct : le plafond borne les frais à $6$ dollars, et n'a aucun effet sur la durée du retard.

FAUX. Un colis de $500$ g entame deux tranches et coûte $2{,}50+1{,}20=3{,}70$ dollars, donc deux colis coûtent $7{,}40$ dollars, contre $6{,}10$ dollars pour un colis unique de $1000$ g. Énoncé correct : chaque colis paie une première tranche plus chère que les suivantes, donc diviser un envoi coûte toujours davantage, ici $1{,}30$ dollar de plus.

$5$ ans : gratuit, donc $0$ dollar. $6$ ans : on entre dans la tranche suivante, donc $25$ dollars. $12$ ans : toujours dans cette tranche, donc $25$ dollars. $13$ ans : tranche suivante, donc $45$ dollars. Un anniversaire fait donc passer d'un palier à l'autre du jour au lendemain, et c'est la définition même d'un saut.

$17$ ans : $45$ dollars. $18$ ans : $68$ dollars. $64$ ans : $68$ dollars. $65$ ans : $40$ dollars. Le passage de $64$ à $65$ ans fait BAISSER le prix de $28$ dollars, ce qui est le seul saut descendant de tout le tarif.

Les paliers mesurent respectivement $6$ ans, de $0$ à $5$ ; $7$ ans, de $6$ à $12$ ; $5$ ans, de $13$ à $17$ ; $47$ ans, de $18$ à $64$ ; et le dernier n'a pas de fin. Les longueurs sont donc toutes différentes, ce qui distingue cet escalier de ceux des exercices précédents, où toutes les marches avaient la même largeur. Un escalier n'a pas besoin d'être régulier : il lui suffit d'être constant par morceaux et de sauter. Les contremarches sont d'ailleurs inégales elles aussi, $25$, $20$, $23$ puis $-28$ dollars.

Les deux adultes de $42$ et $38$ ans paient $68$ dollars chacun, soit $136$ dollars. L'adolescent de $14$ ans paie $45$ dollars. L'enfant de $9$ ans paie $25$ dollars, et celui de $4$ ans ne paie rien. Le total s'élève donc à $136+45+25+0=206$ dollars. Notez qu'aucun calcul n'a porté sur l'âge lui-même : on n'a fait que classer chaque personne dans son palier, puis additionner. C'est le geste attendu.

Non, la fonction n'est PAS croissante sur tout son domaine. Elle monte de palier en palier jusqu'à $68$ dollars, puis elle REDESCEND à $40$ dollars au passage de $65$ ans. Un escalier peut donc parfaitement descendre, et une station de ski a une bonne raison de le faire : le tarif réduit pour les aînés est une politique commerciale, pas une propriété mathématique. La leçon vaut pour tout le chapitre : le sens de variation d'un escalier se lit palier par palier, et rien n'oblige tous les sauts à aller dans le même sens.

Garderie A : $20$ minutes entament la deuxième tranche de quinze minutes, donc $2\times 4=8$ dollars. Garderie B : $20$ minutes n'entament que la première demi-heure, donc $1\times 7=7$ dollars. La garderie B est moins chère de $1$ dollar.

Garderie A : $35$ minutes entament la troisième tranche, donc $3\times 4=12$ dollars. Garderie B : $35$ minutes entament la deuxième demi-heure, donc $2\times 7=14$ dollars. Cette fois c'est la garderie A qui est moins chère, de $2$ dollars. La comparaison s'est donc inversée entre vingt et trente-cinq minutes.

À $60$ minutes : A facture $4\times 4=16$ dollars, B facture $2\times 7=14$ dollars, donc B est moins chère de $2$ dollars. À $70$ minutes : A facture $5\times 4=20$ dollars, B facture $3\times 7=21$ dollars, donc A est moins chère de $1$ dollar. L'avantage change encore de camp, et c'est la troisième fois en une heure.

Non, aucune des deux n'est toujours moins chère : l'avantage ALTERNE selon l'endroit où l'on tombe dans les tranches. La raison se lit sur les deux escaliers : celui de A monte par petites marches fréquentes, celui de B par grandes marches espacées. Juste après une borne de trente minutes, B vient de sauter de $7$ dollars alors que A n'a sauté que de $4$ : A est alors moins chère. Juste avant la borne suivante, A a eu le temps de sauter deux fois et repasse au-dessus. C'est exactement ce que montre le graphique, où les deux tracés se croisent plusieurs fois.

À $50$ minutes : garderie A, $4$ tranches de quinze minutes entamées, donc $16$ dollars ; garderie B, $2$ demi-heures entamées, donc $14$ dollars. La garderie B est moins chère, de $2$ dollars par jour, soit $10$ dollars par semaine de cinq jours. Une réponse complète ajoute la nuance qui compte pour un parent : à $50$ minutes, on est en plein milieu de la deuxième demi-heure de B, donc dix minutes de plus ne coûteraient rien chez B, alors qu'elles feraient sauter A de $4$ dollars. Le conseil est donc doublement bon : B est moins chère aujourd'hui, et plus tolérante aux retards.