Math CST, secondaire 4 à Montréal • Fonctions
En séquence CST, une fonction définie par parties est presque toujours un TARIF : un forfait puis un tarif au dépassement, un débit qui change, un plan de rémunération. La difficulté n'est jamais le calcul, qui tient en une multiplication, mais le choix du morceau et la lecture de la borne.
Gardez la question à se poser avant tout calcul : dans quel intervalle tombe la valeur ? Une inégalité stricte exclut la borne, une inégalité large l'inclut, et cette différence d'un seul symbole vaut la question entière dans la moitié des exercices de ce chapitre.
Le fil du chapitre
Un seul morceau s'applique à la fois, et c'est l'INTERVALLE qui dit lequel : presque tout ce qui se perd sur ce chapitre se perd à une borne, ou en appliquant le tarif du dépassement à la totalité de la quantité.
Sur une copie, écrire « pour » rapporte le point d'intervalle que « » tout seul ne rapporte jamais.
Le geste qui évite l'erreur : entourer la borne dans l'énoncé et écrire au-dessus « incluse » ou « exclue » avant de commencer.
Un tarif par tranches est presque toujours construit SANS saut : le client voit le rythme changer, pas la facture bondir. Un saut dans un énoncé est donc un signal, pas un détail.
Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.
On prend deux morceaux qui se rencontrent en , l'un donnant et l'autre . Les deux règles donnent et à la borne : c'est le symbole qui décide laquelle s'applique.
| Intervalles écrits | Morceau qui contient | |
|---|---|---|
| et | le second | |
| Exemple : : la borne appartient au second morceau, qui l'inclut. | ||
| et | le premier | |
| Exemple : : cette fois c'est le premier morceau qui inclut la borne. | ||
| et | les deux | deux valeurs definition fautive |
| Exemple : La borne recevrait ET , ce qu'une fonction interdit : à chaque valeur de départ, une seule image. Même forme, autre résultat : Le chevauchement n'est toléré que si les deux règles coïncident à la borne, par exemple et en , qui donnent des deux côtés. Ce qu'il faut faire : Choisir l'un des deux symboles et rendre l'autre strict : et , ou bien et . | ||
| et | aucun | n'existe pas trou dans la definition |
| Exemple : Aucun intervalle ne contient : la fonction n'est pas définie en ce point. Même forme, autre résultat : À ne pas confondre avec un saut : avec et , la fonction existe en , sa valeur change simplement d'un coup. Ce qu'il faut faire : Rendre l'une des deux inégalités large, de façon que la borne soit couverte exactement une fois. | ||
Deux cases rouges pour deux défauts opposés : le chevauchement donne deux images, le trou n'en donne aucune. Une bonne définition couvre chaque valeur exactement une fois.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« si , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« exclut ; la valeur appartient à , donc . »
Pourquoi : C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre et elle tient à un seul symbole. La valeur trouvée n'est pas absurde, elle est simplement celle d'un morceau qui ne s'applique pas là, donc rien dans le résultat ne signale la faute.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Au-delà de kWh le tarif est , donc dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« dollars. »
Pourquoi : Le tarif supérieur ne porte que sur le DÉPASSEMENT, . C'est le même malentendu que sur les tranches d'impôt : franchir un seuil ne requalifie jamais ce qui est en dessous. Ici l'erreur fait payer dollar de trop, soit .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il y a un saut en , donc n'existe pas en . »
Ce qu'il faut écrire
« , par le morceau . La fonction existe, c'est sa valeur qui change brusquement. »
Pourquoi : Un saut se voit sur le dessin, un trou se voit dans les inégalités. La fonction n'est pas définie en un point uniquement quand AUCUN intervalle ne le contient, par exemple avec et .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Facture de dollars : , donc kWh. »
Ce qu'il faut écrire
« dépasse , donc second morceau : donne kWh. »
Pourquoi : La solution ne respecte pas l'intervalle de la règle utilisée : elle est donc à rejeter. Le trieur est la valeur au point de raccordement, qu'on calcule AVANT de choisir une équation.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Je n'ai utilisé que Go sur les compris, ma facture devrait baisser. »
Ce qu'il faut écrire
« Le premier morceau est constant : de à Go, la facture vaut dollars. »
Pourquoi : Un morceau constant ne dépend pas de la quantité : consommer moins ne change rien, et c'est pour cela qu'il s'appelle un forfait. La même tarification rend donc un gigaoctet gratuit d'un côté du seuil et facturé dollars de l'autre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« si et si . »
Ce qu'il faut écrire
« si et si . »
Pourquoi : La valeur appartiendrait aux deux intervalles, donc recevrait deux images, ce qu'une fonction interdit. Ici les deux règles donnent d'ailleurs et , deux valeurs différentes : la définition est réellement contradictoire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le morceau monte de à , donc sa pente vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« dollars par kilogramme. »
Pourquoi : Une pente est un RAPPORT, la variation verticale divisée par la variation horizontale. Lire la seule montée verticale donne un nombre dix fois trop grand ici, et la règle qui en découle ne passe par aucun des deux points.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le plan B monte de dollars par vente contre pour le plan A, donc le plan B est toujours meilleur. »
Ce qu'il faut écrire
« Sous ventes le plan A garantit dollars, que le plan B n'atteint pas : à ventes, contre . »
Pourquoi : La pente dit ce qui se passe LOIN à droite, pas à la valeur demandée. Un morceau constant peut dominer longtemps une droite plus pentue, et c'est exactement ce qu'un plan garanti est censé faire.
On compare la valeur de aux bornes, une par une, en lisant le symbole d'inégalité avant tout calcul.
Si La valeur est strictement à l'intérieur d'un intervalle → on applique la règle de cet intervalle, sans hésitation
Exemple : avec le morceau donne
Si La valeur tombe exactement sur une borne INCLUSE, avec ou → on applique la règle de CE morceau, pas celle du voisin
Exemple : avec donne , et non
Si La valeur tombe sur une borne EXCLUE, avec ou → on cherche le morceau voisin, celui dont l'intervalle la contient
Exemple : n'est pas donnée par mais par , donc
Si aucun intervalle ne contient la valeur, la fonction n'est pas définie en ce point : c'est un trou, et la réponse attendue est « n'existe pas en ce point ».
On repère le SEUIL annoncé par l'énoncé, puis on écrit ce qui se passe avant, et ce qui s'ajoute après.
Si Le prix ne dépend pas de la quantité jusqu'au seuil → premier morceau CONSTANT, pour
Exemple : Forfait de dollars comprenant Go : pour
Si Le prix est proportionnel jusqu'au seuil → premier morceau en , où est le prix unitaire
Exemple : dollar par kWh jusqu'à : pour
Si Au-delà du seuil, un nouveau tarif s'applique → , jamais
Exemple : pour , et non
On vérifie toujours le raccordement après écriture : les deux morceaux évalués au seuil doivent donner la même valeur, sauf si l'énoncé annonce un supplément fixe.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un prix pour une première quantité, puis un autre prix « au-delà », « pour chaque unité supplémentaire » ou « à partir de ».
Phrase de conclusion
« pour , et pour . Les deux morceaux donnent dollars en : le tarif se raccorde. »
Le piège : Écrire pour le second morceau. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle donne un résultat plausible et qu'aucun calcul ne la signale.
Barème : 1 point par morceau correctement écrit, 1 point pour les deux intervalles, 1 point pour la vérification du raccordement
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une facture, un salaire ou un volume et demande la quantité correspondante.
Phrase de conclusion
« Au seuil, la facture vaut dollars. Comme , on utilise le second morceau : donne kWh, et , la solution est valide. »
Le piège : Résoudre dans le mauvais morceau et garder la réponse sans la tester. La vérification d'appartenance est ce qui distingue une réponse juste d'une réponse qui ressemble à une réponse juste.
Barème : 1 point pour le trieur, 2 points pour l'équation et sa résolution, 1 point pour la vérification d'appartenance
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le symbole de la borne, avant tout calcul
Avant de remplacer , regardez si l'inégalité est stricte ou large. Entourez la borne et écrivez « incluse » ou « exclue » à côté.
exclut , donc ne se calcule pas avec cette règle : on passe au morceau .
Le raccordement, en deux calculs
Évaluez les deux règles à la borne. Elles doivent donner la même valeur si l'énoncé ne parle d'aucun supplément fixe.
et : le tarif se raccorde, l'écriture est bonne.
L'appartenance de la solution
Toute valeur trouvée en résolvant dans un morceau doit appartenir à l'intervalle de ce morceau. Sinon elle est à rejeter et il faut changer de morceau.
donne , or l'intervalle était : la solution est à rejeter.
Le dépassement, dans le second morceau
Relisez le second morceau et cherchez la parenthèse . Si elle est absente, le tarif supérieur s'applique à tort à la totalité.
est correct ; facturerait les premiers kWh au tarif fort.
Le bon sens du résultat
Comparez votre réponse à une valeur voisine que vous pouvez estimer. Une facture ne peut pas plus que doubler quand le tarif n'a même pas doublé.
dollar, donc doit rester proche de dollars : serait trop élevé et signale l'erreur de dépassement.
Un fournisseur facture dollar par kilowattheure pour les premiers kilowattheures consommés dans la journée, et dollar par kilowattheure au-delà.
Écrivez la fonction coût, calculez la facture de kWh, puis trouvez la consommation correspondant à une facture de dollars.
Étape 1
Soit la consommation en kWh et la facture en dollars.
Pourquoi
Nommer les variables avec leur unité est ce qui permet ensuite de dire qu'une équation compte des dollars et l'autre des kilowattheures. Sans cette ligne, les points de mise en équation ne sont pas attribués.
Étape 2
Les premiers kWh coûtent dollars.
Pourquoi
Ce nombre sert deux fois : il est le point de départ du second morceau, et il sera le trieur quand on remontera d'une facture à une consommation. On le calcule donc avant tout le reste.
Étape 3
pour , et pour .
Pourquoi
Le second morceau s'écrit prix au seuil plus tarif fois DÉPASSEMENT. La parenthèse est le coeur de l'écriture : c'est elle qui empêche de facturer les quarante premiers kilowattheures au tarif fort.
Étape 4
Raccordement : et .
Pourquoi
Les deux morceaux donnent la même valeur au seuil, donc la facture ne bondit pas. Cette vérification confirme l'écriture avant qu'on ne s'en serve, et elle rapporte un point à elle seule.
Étape 5
dollars.
Pourquoi
Le dépassement vaut kWh. Contrôle de bon sens : vaut dollar, donc doit rester dans les quatre dollars. La réponse de l'erreur classique aurait échoué à ce test.
Étape 6
, donc second morceau : donne et kWh, avec .
Pourquoi
On trie AVANT de poser l'équation, puis on vérifie l'appartenance APRÈS l'avoir résolue. Sans le trieur, on aurait pu écrire et trouver , une valeur qui ne respecte pas son propre intervalle.
Conclusion rédigée
pour et pour ; une consommation de kWh coûte dollars, et une facture de dollars correspond à kWh.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire le second morceau . La facture de kWh passerait à dollars, soit dollar de trop, et le raccordement échouerait : au lieu de .
On regarde dans quel intervalle tombe la valeur de départ, avant tout calcul. Attention au symbole d'inégalité : plus petit que, sans le trait, exclut la borne, tandis que plus petit ou égal l'inclut. Si la valeur tombe exactement sur une borne, c'est le morceau dont l'intervalle la contient qui s'applique, jamais le voisin. Et si aucun intervalle ne la contient, la fonction n'est pas définie en ce point.
Calculez d'abord le prix atteint au seuil, puis écrivez le second morceau comme ce prix plus le nouveau tarif multiplié par le dépassement. Pour une électricité à 6 cents le kilowattheure jusqu'à 40, puis 9 cents au-delà, cela donne 2,40 dollars plus 0,09 fois la quantité moins 40. Le tarif supérieur ne porte jamais sur la totalité : les 40 premiers restent facturés au premier prix.
C'est un changement brusque de valeur au point où deux morceaux se rencontrent. On le détecte en évaluant les deux règles à cette borne : si elles donnent des résultats différents, il y a un saut, dont on précise la hauteur et le sens. La fonction existe quand même en ce point, et sa valeur est celle du morceau dont l'intervalle contient la borne. Un saut n'est donc pas un trou.
Parce que vous êtes dans un morceau constant, autrement dit un forfait. Sur cet intervalle, la fonction donne la même valeur quelle que soit la quantité : un forfait de 25 dollars comprenant 10 gigaoctets coûte 25 dollars que l'on en utilise 1 ou 10. Le prix ne se met à varier qu'au-delà du seuil, où chaque unité supplémentaire est facturée séparément.
Calculez d'abord le prix au point de raccordement : il sert de trieur. Si le prix payé est inférieur, la quantité vient du premier morceau ; s'il est supérieur, du second. Posez ensuite l'équation avec cette règle-là seulement, résolvez, puis vérifiez que la solution appartient bien à l'intervalle du morceau choisi. Une solution hors de son intervalle est à rejeter, même si le calcul est juste.
