Math CST, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction partie entière (math CST, secondaire 4)

En séquence CST, la fonction en escalier est toujours un TARIF : des frais de retard, un envoi postal, une garderie, un billet par tranche d'âge. Le calcul tient en une multiplication ; toute la difficulté est de compter les bonnes tranches et de lire la bonne borne.

Gardez deux réflexes pendant la révision. D'abord, chercher dans l'énoncé le mot qui décide de la fermeture, entamée ou complétée. Ensuite, vérifier qu'un montant annoncé est bien un multiple de la contremarche : une simple division rejette en cinq secondes une réponse impossible.

Le fil du chapitre

Un escalier ne compte pas le temps, il compte les TRANCHES : multiplier une durée par un tarif est toujours faux, et c'est le mot de l'énoncé, entamée ou complétée, qui dit de quel côté de la marche tombe la borne.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les fonctions définies par parties Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
5Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
6Les fonctions définies par parties

Notions couvertes

Fonction en escalier
Palier d'une fonction en escalier
Contremarche
Tranche entamée
Tranche complétée
Point ouvert et point fermé
Tarification par tranches
Plafond d'un tarif
Intervalle des antécédents

L'essentiel

Entamée ou complétée : un mot, deux escaliers

• Une fonction en escalier est constante sur des PALIERS et saute d'un palier au suivant. La hauteur du saut est la CONTREMARCHE, la largeur du palier est la TRANCHE facturée.
• TRANCHE ENTAMÉE : la valeur est atteinte à la FIN du palier, les points pleins sont à droite. Une demi-heure de location coûte alors une heure entière.
• TRANCHE COMPLÉTÉE : la valeur est atteinte dès le DÉBUT du palier, les points pleins sont à gauche. La même demi-heure ne coûte alors rien du tout.
• Les deux escaliers ne coïncident qu'aux valeurs ENTIÈRES, et diffèrent d'une tranche partout ailleurs. Presque tous les tarifs réels sont du type entamé.

Deux escaliers au même tarif de

20

dollars l'heure : celui du haut facture la tranche entamée, celui du bas la tranche complétée. Ils ne se rejoignent qu'aux heures entières.

Sur une copie, écrire « toute heure entamée est due, donc $2{,}3$ h comptent pour $3$ h » rapporte le point de justification que le seul résultat $60$ ne rapporte pas.

On compte des tranches, jamais une durée

• Le nombre de tranches est un ENTIER, et il s'obtient en divisant puis en arrondissant VERS LE HAUT quand les tranches sont entamées. $5{,}2$ tranches en font $6$ , jamais $5$ .
• Le montant vaut ensuite ce nombre entier multiplié par la contremarche. Pour $3{,}5$ jours à $0{,}40$ dollar par jour entamé : $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar.
• Multiplier la durée par le tarif, $3{,}5\times 0{,}40=1{,}40$ , revient à traiter la situation comme une fonction affine : c'est l'erreur centrale du chapitre.
• Une fonction en escalier ne prend que les MULTIPLES de sa contremarche. $1{,}40$ n'est pas un multiple de $0{,}40$ , donc la réponse était impossible avant vérification.

Quand un tarif facture la première tranche plus cher que les suivantes, on écrit $C=\text{(prix de départ)}+t\times(\text{tranches}-1)$ , et non $t$ fois toutes les tranches.

Un escalier n'est pas forcément régulier

• Rien n'oblige les paliers à avoir la même longueur : un tarif par tranches d'âge dure $6$ ans, puis $7$ , puis $5$ , puis $47$ .
• Rien n'oblige les contremarches à être égales : $25$ , puis $20$ , puis $23$ dollars.
• Rien n'oblige les sauts à monter : le dernier palier d'un tarif de ski redescend de $68$ à $40$ dollars pour les aînés.
• Le sens de variation se lit donc palier par palier, et l'on ne conclut jamais « croissante » sur la foi des premiers sauts.

Un billet par tranches d'âge : les paliers durent

6

7

5

puis

47

ans, et le dernier saut descend de

68

40

dollars.

Avec des paliers inégaux, aucune formule ne remplace la lecture : on classe la valeur dans sa tranche, puis on lit le montant.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Combien coûte une demi-heure, selon la fermeture ?

Une salle se loue $20$ dollars l'heure. Les deux colonnes de droite montrent que le même tarif horaire donne deux montants différents selon le mot de l'énoncé, sauf aux durées entières.

Durée	Heure entamée	Heure complétée
$0{,}5$ h	$20$ dollars	$0$ dollar
Exemple : $1 imes 20=20$ dollars d'un côté, $0 imes 20=0$ dollar de l'autre : un écart d'une tranche entière.
$2{,}3$ h	$60$ dollars	$40$ dollars
Exemple : Trois heures entamées contre deux complétées : $3\times 20$ et $2\times 20$ .
$3$ h	$60$ dollars	$60$ dollars
Exemple : $3 imes 20=60$ dollars des deux côtés : trois heures sont à la fois entamées et complétées.
$2{,}3$ h	$46$ dollars	$46$ dollars calcul proportionnel
Exemple : $2{,}3\times 20=46$ dollars : ce montant n'existe dans aucun des deux tarifs, car il n'est pas un multiple de $20$ . Même forme, autre résultat : Comparez : $60$ et $40$ dollars sont tous deux des multiples de $20$ , $46$ ne l'est pas. La division $46\div 20=2{,}3$ le prouve en une seconde. Ce qu'il faut faire : Ne jamais multiplier la durée par le tarif : compter les tranches, arrondir selon le mot de l'énoncé, puis multiplier par la contremarche.

La dernière ligne est l'erreur du chapitre : elle traite l'escalier comme une fonction affine, et le montant obtenu est toujours coincé entre deux paliers réels.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer un montant à partir d'une durée

la question entière, et l'erreur se répète à chaque calcul du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3{,}5$ jours de retard à $0{,}40$ dollar par jour : $3{,}5\times 0{,}40=1{,}40$ dollar. »

Ce qu'il faut écrire

« $3{,}5$ jours comptent pour $4$ jours entamés, donc $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar. »

Pourquoi : Un escalier compte des TRANCHES, en nombre entier, pas du temps. Contrôle immédiat : $1{,}40\div 0{,}40=3{,}5$ n'est pas entier, donc ce montant n'existe pas dans ce tarif.

2. Arrondir le nombre de tranches

2 à 4 points, et le résultat reste plausible donc jamais relu

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1300$ g à $250$ g la tranche : $1300\div 250=5{,}2$ , donc $5$ tranches. »

Ce qu'il faut écrire

« $5{,}2$ tranches sont entamées, donc $6$ tranches : on arrondit VERS LE HAUT. »

Pourquoi : Une tranche entamée est due en entier, même à un gramme près. L'arrondi au plus proche, celui de la calculatrice, donne systématiquement une tranche de moins quand la partie décimale est inférieure à un demi.

3. Lire la valeur à une borne

1 à 2 points par lecture, et il y en a plusieurs par exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le palier précédent va jusqu'à $4$ , donc $f(4)=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En $x=4$ le point plein est à la hauteur $6$ : $f(4)=6$ . »

Pourquoi : À une borne, deux points sont dessinés : un creux, qui signale une valeur NON atteinte, et un plein, qui donne la valeur. Seul le point plein compte, et sa position dit du même coup si l'escalier est fermé à gauche ou à droite.

4. Confondre entamée et complétée

toute la situation d'application, car les deux escaliers diffèrent partout

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une demi-heure de location à $20$ dollars l'heure ne coûte rien, puisque l'heure n'est pas finie. »

Ce qu'il faut écrire

« Le contrat facture l'heure ENTAMÉE : une demi-heure coûte $20$ dollars. »

Pourquoi : Le mot de l'énoncé décide de la fermeture, donc de la valeur à chaque borne. Les deux lectures ne donnent le même résultat qu'aux valeurs entières, ce qui est exactement l'endroit où l'on ne pense pas à vérifier.

5. Répondre à « quelle durée » par un nombre

la moitié des points de la question, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Des frais de $2{,}00$ dollars correspondent à un retard de $5$ jours. »

Ce qu'il faut écrire

« $5$ jours sont FACTURÉS, donc le retard réel est dans $]4\,;5]$ jours. »

Pourquoi : La fonction est constante sur chaque palier : une infinité de durées donnent le même montant. Un retard de $4$ jours et une heure et un retard de $4$ jours et $23$ heures coûtent tous deux $2{,}00$ dollars.

6. Dépasser un plafond

la question entière, alors que le calcul brut est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $30$ jours de retard à $0{,}40$ dollar par jour : $30\times 0{,}40=12$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« Le plafond est de $6$ dollars, atteint au quinzième jour : l'usager doit $6$ dollars. »

Quinze marches de

0{,}40

dollar, puis plus rien : à partir du quinzième jour le tracé devient une demi-droite horizontale à

6

dollars.

Pourquoi : Un plafond borne le MONTANT, pas la durée. Dès qu'un énoncé mentionne un maximum, on calcule le seuil auquel il est atteint AVANT de répondre à quoi que ce soit, sinon toutes les réponses au-delà sont fausses.

7. Croire qu'un escalier prend toutes les valeurs

1 point, mais surtout une occasion manquée de détecter une erreur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'usager a payé $1{,}50$ dollar de frais. »

Ce qu'il faut écrire

« Impossible : les frais sont des multiples de $0{,}40$ , donc $1{,}20$ ou $1{,}60$ dollar. »

Pourquoi : Un escalier SAUTE : il ne prend aucune valeur entre deux paliers. La division du montant par la contremarche est le test le plus rapide du chapitre, et il valide ou rejette une réponse en cinq secondes.

8. Diviser un envoi pour payer moins cher

2 à 3 points sur la question d'interprétation, celle qui vaut le plus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux colis de $500$ g coûtent la même chose qu'un colis de $1000$ g. »

Ce qu'il faut écrire

« $2\times 3{,}70=7{,}40$ dollars contre $6{,}10$ dollars : un seul colis économise $1{,}30$ dollar. »

Pourquoi : Chaque colis repaie la première tranche, facturée plus cher que les suivantes. Diviser un envoi paie donc deux fois ce supplément de départ, et c'est vrai de tous les tarifs construits sur ce modèle.

Quelle méthode choisir

De quel côté sont les points pleins ?

On cherche dans l'énoncé le mot qui décrit la facturation. Il décide de la fermeture des paliers, donc de la valeur à chaque borne.

Si L'énoncé dit « entamée », « commencée », « toute tranche est due » → paliers du type $]a\,;b]$ , points PLEINS à DROITE

Exemple : Une demi-heure à $20$ dollars l'heure entamée coûte $20$ dollars
Si L'énoncé dit « complétée », « terminée », « par tranche pleine » → paliers du type $[a\,;b[$ , points PLEINS à GAUCHE

Exemple : La même demi-heure ne coûte rien, aucune heure n'étant complétée
Si L'énoncé donne des tranches nommées, comme des âges ou des masses → on lit directement les bornes annoncées, sans formule

Exemple : « de $6$ à $12$ ans » donne le palier $[6\,;13[$ , donc $25$ dollars à $12$ ans

Sur un graphique, la lecture est immédiate : le point plein donne la valeur, le point creux marque une valeur approchée mais jamais atteinte.

Calculer un montant ou remonter à une durée ?

Les deux sens du chapitre n'ont pas la même réponse : un montant est un NOMBRE, une durée retrouvée est un INTERVALLE.

Si On connaît la durée et l'on cherche le montant → compter les tranches, arrondir vers le haut, multiplier par la contremarche

Exemple : $3{,}5$ jours donnent $4$ tranches, donc $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar
Si On connaît le montant et l'on cherche la durée → diviser par la contremarche pour obtenir le nombre de tranches, puis écrire l'intervalle

Exemple : $2{,}00\div 0{,}40=5$ tranches, donc un retard dans $]4\,;5]$ jours
Si Le montant n'est pas un multiple de la contremarche → aucune durée ne convient : le montant est impossible

Exemple : $1{,}50\div 0{,}40=3{,}75$ n'est pas entier, donc ce montant n'existe pas

Quand un plafond existe, on vérifie d'abord si le montant cherché l'atteint : au plafond, l'intervalle des durées est infini vers la droite.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un tarif en escalier

Quand l'utiliser : L'énoncé annonce un prix « par tranche », « par jour entamé », « par demi-heure » ou « par $250$ grammes ».

1 Nommer la variable avec son unité et repérer la longueur de la tranche.
2 Compter le nombre de tranches ENTAMÉES, en arrondissant vers le haut, et l'écrire : « $3{,}5$ jours, donc $4$ jours entamés ».
3 Multiplier ce nombre entier par la contremarche.
4 Si la première tranche a un prix différent, l'ajouter à part : « $2{,}50+1{,}20\times(\text{tranches}-1)$ ».
5 Vérifier s'il existe un plafond, et le cas échéant comparer le résultat à ce plafond.

Phrase de conclusion

« Trois jours et demi de retard comptent pour quatre jours entamés, donc les frais s'élèvent à $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar. »

Le piège : Écrire la multiplication avec la durée réelle. Le correcteur repère l'erreur immédiatement, parce que le résultat n'est pas un multiple de la contremarche.

Barème : 1 point pour le nombre de tranches, 1 point pour le calcul, 1 point pour la prise en compte du plafond quand il existe

Donner l'intervalle des durées correspondant à un montant

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « quel retard », « quelle durée » ou « quelles masses » à partir d'un montant payé.

1 Vérifier que le montant est un multiple de la contremarche, sinon conclure qu'il est impossible.
2 Diviser le montant par la contremarche pour obtenir le nombre $n$ de tranches facturées.
3 Écrire l'intervalle en respectant la fermeture : $]n-1\,;n]$ pour une tranche entamée, $[n\,;n+1[$ pour une tranche complétée.
4 Traduire l'intervalle dans l'unité de l'énoncé, en multipliant par la longueur de la tranche si elle ne vaut pas $1$ .
5 Conclure par une phrase, en distinguant les tranches FACTURÉES de la durée RÉELLE.

Phrase de conclusion

« Des frais de $2{,}00$ dollars correspondent à cinq jours facturés, donc à un retard compris dans $]4\,;5]$ jours. »

Le piège : Répondre « le retard est de cinq jours ». C'est le nombre de jours facturés, pas le retard, et la question portait justement sur la différence entre les deux.

Barème : 1 point pour le nombre de tranches, 2 points pour l'intervalle avec ses bornes correctes

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le montant est-il un multiple de la contremarche ?

Divisez votre montant par la contremarche. Le quotient doit être un ENTIER, sinon la réponse est impossible dans ce tarif.

$1{,}40\div 0{,}40=3{,}5$ : pas entier, donc le calcul est faux. $1{,}60\div 0{,}40=4$ : correct.
Le sens de l'arrondi

Relisez le nombre de tranches : pour une tranche entamée, il s'arrondit toujours vers le HAUT, jamais au plus proche.

$1300\div 250=5{,}2$ donne $6$ tranches, pas $5$ . La calculatrice n'arrondit pas dans le bon sens toute seule.
Le mot de l'énoncé

Cherchez « entamée » ou « complétée » et vérifiez que votre valeur à la borne correspond. Une demi-tranche coûte tout ou rien selon le cas.

« Toute heure commencée est due » : une demi-heure coûte une heure pleine, donc $20$ dollars et non $10$ .
Le plafond, s'il existe

Repérez dans l'énoncé les mots maximum, plafond ou « au plus », et comparez votre résultat à cette valeur avant de le recopier.

$30\times 0{,}40=12$ dollars dépasse le plafond de $6$ dollars : la réponse est $6$ dollars.
La forme de la réponse

Une durée demandée à partir d'un montant est un INTERVALLE. Si votre réponse est un nombre unique, il manque la moitié de la question.

$2{,}00$ dollars donnent un retard dans $]4\,;5]$ jours, et non « un retard de $5$ jours ».

L'exercice type décortiqué

Un tarif complet : les frais de retard d'une bibliothèque

Une bibliothèque facture $0{,}40$ dollar par jour de retard entamé, avec un plafond de $6$ dollars.

Calculez les frais pour un retard de $3{,}5$ jours, puis pour $30$ jours, et déterminez quels retards correspondent à des frais de $2{,}00$ dollars.

Étape 1

Tranche : $1$ jour. Contremarche : $0{,}40$ dollar. Plafond : $6$ dollars.

Pourquoi

Les trois nombres du tarif se notent avant tout calcul. Le plafond surtout : c'est lui qu'on oublie, et son oubli rend fausses toutes les réponses au-delà du seuil.

Étape 2

Seuil du plafond : $\dfrac{6}{0{,}40}=15$ jours entamés.

Pourquoi

On sait désormais que la règle des paliers ne vaut que jusqu'à quinze jours. Ce calcul prend cinq secondes et il protège toutes les questions suivantes.

Étape 3

$3{,}5$ jours : quatre jours sont entamés, donc $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar.

Pourquoi

On compte les tranches, on n'échelonne pas la durée. Quatre est en dessous de quinze, donc le plafond ne s'applique pas. Contrôle : $1{,}60$ est bien un multiple de $0{,}40$ .

Étape 4

$30$ jours : le calcul brut donnerait $12$ dollars, mais le plafond limite à $6$ dollars.

Pourquoi

Trente dépasse le seuil de quinze, donc on plafonne. C'est ici que la deuxième étape paie : sans elle, on aurait écrit $12$ dollars avec un calcul parfaitement exact et une réponse fausse.

Étape 5

$2{,}00\div 0{,}40=5$ tranches facturées.

Pourquoi

Le montant est bien un multiple de la contremarche, donc il est atteignable. Il est aussi inférieur au plafond, donc il correspond à un seul palier et non à toute la partie plate du graphique.

Étape 6

Cinq jours sont entamés dès qu'on dépasse $4$ et tant qu'on n'a pas dépassé $5$ : le retard est dans $]4\,;5]$ jours.

Pourquoi

La borne gauche est ouverte et la droite fermée, parce que le tarif facture la tranche ENTAMÉE. Répondre « cinq jours » confondrait les jours facturés avec le retard réel, qui peut valoir n'importe quelle valeur de cet intervalle.

Conclusion rédigée

$3{,}5$ jours coûtent $1{,}60$ dollar, $30$ jours coûtent $6$ dollars à cause du plafond, et des frais de $2{,}00$ dollars correspondent à un retard compris dans $]4\,;5]$ jours.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $30\times 0{,}40=12$ dollars. Le calcul est juste, la réponse est fausse : le plafond de $6$ dollars est atteint dès le quinzième jour, et c'est pour cela qu'on le calcule en deuxième étape plutôt qu'à la fin.

À savoir par cœur

• Palier : la tranche facturée. Contremarche : le prix de cette tranche, donc la hauteur du saut.
• Point PLEIN : valeur atteinte. Point CREUX : valeur approchée mais jamais atteinte.
• Tranche ENTAMÉE : points pleins à droite. Tranche COMPLÉTÉE : points pleins à gauche.
• Les deux escaliers ne coïncident qu'aux valeurs entières, et diffèrent d'une tranche ailleurs.
• Nombre de tranches : on divise, puis on arrondit VERS LE HAUT. $5{,}2$ tranches en font $6$ .
• Montant : nombre ENTIER de tranches multiplié par la contremarche. Jamais la durée fois le tarif.
• Un montant doit être un multiple de la contremarche : sinon il est impossible, et une division le prouve.
• Une durée cherchée à partir d'un montant est un INTERVALLE, jamais un nombre.
• Un plafond borne le MONTANT, pas la durée : au-delà, le graphique devient horizontal.
• Paliers, contremarches et sens des sauts peuvent tous être inégaux : on lit, on ne déduit pas.

Questions fréquentes

Comment calculer un tarif par tranche entamée ?

On compte les tranches, on ne multiplie jamais la durée par le tarif. Divisez la durée par la longueur de la tranche, arrondissez vers le haut, puis multipliez ce nombre entier par le prix d'une tranche. Pour trois jours et demi de retard à 40 cents le jour entamé, cela fait quatre jours facturés, donc 1,60 dollar, et non 1,40. Un contrôle rapide : le montant doit être un multiple du prix d'une tranche.

Quelle est la différence entre une tranche entamée et une tranche complétée ?

Une tranche entamée est due dès qu'on y met un pied : une demi-heure de location coûte une heure entière. Une tranche complétée n'est due qu'une fois terminée : la même demi-heure ne coûte rien. Sur le graphique, les points pleins sont à droite des paliers dans le premier cas, à gauche dans le second. Les deux tarifs ne donnent le même montant qu'aux valeurs entières.

Pourquoi la réponse est-elle un intervalle quand on cherche une durée ?

Parce qu'une fonction en escalier est constante sur chaque palier : une infinité de durées différentes donnent exactement le même montant. Des frais de 2 dollars à 40 cents le jour entamé correspondent à cinq jours facturés, donc à tout retard supérieur à quatre jours et inférieur ou égal à cinq. Répondre cinq jours donne le nombre de jours facturés, pas le retard réel.

Que change un plafond dans un tarif en escalier ?

Il borne le montant. On calcule d'abord le moment où le plafond est atteint, en divisant le plafond par le prix d'une tranche : 6 dollars à 40 cents la journée donnent quinze jours. Avant ce seuil, le tarif monte marche par marche ; après, le graphique devient une demi-droite horizontale. Attention, le plafond limite les frais, pas le retard : l'usager doit toujours le livre.

Un montant peut-il tomber entre deux paliers ?

Non. Une fonction en escalier saute d'un palier au suivant sans prendre les valeurs intermédiaires. Avec une contremarche de 40 cents, les frais valent 1,20 ou 1,60 dollar, jamais 1,50. Pour vérifier une réponse en cinq secondes, divisez-la par la contremarche : si le quotient n'est pas un nombre entier, le montant est impossible et il y a une erreur de calcul.

Est-ce qu'une fonction en escalier monte toujours ?

Non. Rien n'oblige les sauts à aller vers le haut, ni les paliers à avoir la même largeur. Un tarif de billet par tranches d'âge monte de 0 à 25, puis 45, puis 68 dollars, et redescend à 40 dollars pour les aînés. Les paliers y durent 6, 7, 5 puis 47 ans. Le sens de variation se lit donc palier par palier, et l'on ne conclut jamais d'après les premiers sauts.

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Exercices corrigés : La fonction partie entière

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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