Fiche de révision : les fonctions périodiques (math CST, secondaire 4)
Cette fiche de mathématique CST de quatrième secondaire ne redit pas le cours sur les fonctions périodiques : elle dit ce qui coûte des points à l'examen et le geste précis qui évite chaque perte. Le chapitre demande très peu de calcul, et c'est justement pour cela qu'on y perd : tout se joue sur la lecture du graphique et sur le passage d'un cycle à tous les autres.
Le chapitre est aussi au programme de la SN de cinquième secondaire, qui a désormais sa propre série : celle-ci est écrite pour la CST de quatrième secondaire, avec les outils dont la séquence dispose à ce moment de l'année. C'est la meilleure préparation au bloc trigonométrique, où la sinusoïde n'est qu'un cas particulier de fonction périodique.
Chaque piège est écrit tel qu'un élève l'écrit vraiment, avec le prix qu'il coûte. Gardez la fiche ouverte pendant que vous faites la série d'exercices du chapitre.
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Le fil du chapitre
Une fonction périodique ne contient qu'UN cycle d'information : toute question se ramène au premier cycle par le reste d'une division, s'y résout, puis se renvoie dans tous les autres cycles en ajoutant des périodes.
Les quatre nombres qui décrivent une fonction périodique
•La PÉRIODE p : la largeur du motif qui se répète. Elle se lit à l'horizontale, entre deux points qui SE CORRESPONDENT, deux départs de montée ou deux maximums. Propriété : f(x+p)=f(x) pour toute valeur de x.
•L'AMPLITUDE : 2max−min, la MOITIÉ de l'écart entre les extrêmes. Elle se lit à la verticale, entre l'axe de référence et le maximum.
•L'AXE DE RÉFÉRENCE : la droite y=2max+min, à mi-hauteur entre le creux et le sommet. C'est autour d'elle que la fonction oscille.
•La VALEUR INITIALE : f(0), l'ordonnée à l'origine. Elle ne se déduit d'aucun des trois autres nombres, il faut la lire.
La période se lit à l'HORIZONTALE, entre deux départs de palier haut : 6 h. L'amplitude se lit à la VERTICALE, entre l'axe pointillé y=30 et le maximum : 20 cm, la moitié de l'écart total.
Sur une grande roue, l'amplitude vaut le RAYON et non le diamètre : c'est le contrôle de bon sens qui permet de savoir en une seconde si l'on a divisé par 2 ou non.
Ramener une abscisse dans le premier cycle
•Pour calculer f(a) quand a sort du premier cycle, on retire des périodes entières jusqu'à retomber dans [0,p]. Le raccourci : le RESTE de la division de a par p donne l'abscisse équivalente.
•Exemple : p=6 et a=37. Comme 37=6×6+1, le reste vaut 1, donc f(37)=f(1). Le quotient 6 compte les cycles écoulés et ne sert à rien pour la valeur.
•Pour une abscisse NÉGATIVE, on ajoute des périodes au lieu d'en retirer : f(−5)=f(−5+6)=f(1).
•Si le cycle ne commence pas à l'origine, on compte d'abord le temps écoulé DEPUIS LE DÉPART, puis on réduit. Une pompe lancée à 6 h 20 est à la 47e minute de son cycle à 14 h 07, car il s'est écoulé 467 minutes et 467=60×7+47.
Ajouter une période, 6 h, ramène au même point du motif : f(1)=f(7)=f(13)=30, et de proche en proche f(37)=f(1), puisque 37=6×6+1.
La réduction ne donne pas seulement la VALEUR, elle donne aussi la PHASE : savoir que le reste tombe dans le morceau descendant répond à « le bassin se remplit-il ou se vide-t-il ? » sans calcul supplémentaire.
Résoudre f(x)=k : d'abord un cycle, ensuite tous
•Étape 1, sur le premier cycle : la valeur k est atteinte une fois à la montée et une fois à la descente, donc DEUX solutions en général.
•Étape 2 : chaque solution a du premier cycle en engendre une infinité d'autres, x=a+kp avec k entier. La réponse complète est la réunion des deux familles.
•Cas particuliers : si k est atteinte sur un palier horizontal, la solution est un INTERVALLE entier, répété de période en période. Si k dépasse le maximum ou tombe sous le minimum, il n'y a AUCUNE solution.
•Pour compter les solutions sur un intervalle donné, on compte chaque famille séparément : a+kp≤ borne donne le plus grand k admissible.
La droite y=50 touche les paliers hauts : les solutions sont les intervalles [2;3], [8;9], en vert. La droite y=60, au-dessus du maximum, ne rencontre rien.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Confondre l'amplitude et l'écart entre le maximum et le minimum
2 points, et toutes les questions qui réutilisent l'amplitude
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le maximum vaut 50 et le minimum 10, donc l'amplitude vaut 40. »
Ce qu'il faut écrire
« L'amplitude vaut 250−10=20 : c'est la MOITIÉ de l'écart, l'écart de la fonction à son axe de référence y=30. »
Pourquoi : L'amplitude mesure l'oscillation autour de l'axe, vers le haut comme vers le bas. C'est pour cela qu'elle vaut le rayon d'une grande roue, jamais son diamètre.
2.Mesurer la période d'un maximum au creux suivant
toute la question, car la période fausse contamine chaque calcul suivant
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le sommet est en x=2 et le creux en x=5, donc la période vaut 3. »
Ce qu'il faut écrire
« Le motif recommence en x=8 comme en x=2, donc la période vaut 8−2=6. Du sommet au creux, on ne parcourt qu'une DEMI-période. »
La mesure du haut relie deux départs de palier haut, deux points qui se correspondent : la période vaut 6 h. Celle du bas relie un sommet au creux suivant et ne donne qu'une demi-période, 3 h.
Pourquoi : Une période se mesure entre deux points qui occupent la MÊME position dans le motif. Un sommet et un creux sont deux positions différentes.
3.Ne donner qu'une seule solution à une équation
la moitié des points de la question, à tous les coups
Ce qu'il ne faut pas écrire
« 10+20x=30 donne x=1, donc la hauteur vaut 30 cm au bout de 1 heure. »
Ce qu'il faut écrire
« La valeur 30 est atteinte à la montée en x=1 ET à la descente en x=4, puis toutes les 6 heures : x=1+6k ou x=4+6k. »
La droite y=30 coupe chaque cycle DEUX fois, une fois à la montée et une fois à la descente : x=1 et x=4, puis x=7 et x=10 au cycle suivant.
Pourquoi : Un cycle monte puis descend : il croise donc une droite horizontale deux fois, sauf exactement au maximum et au minimum. Résoudre une seule équation, c'est n'explorer qu'un des deux morceaux.
4.Garder le quotient au lieu du reste
2 points, et l'erreur est indétectable à la relecture
Ce qu'il ne faut pas écrire
« 37 divisé par 6 donne 6, donc f(37)=f(6)=10. »
Ce qu'il faut écrire
« 37=6×6+1, le reste vaut 1, donc f(37)=f(1)=30. »
37 contient 6 cycles complets, en bleu, c'est le quotient ; la position dans le cycle est le RESTE, 1, en vert : f(37)=f(1).
Pourquoi : Le quotient compte les cycles ÉCOULÉS, le reste donne la position DANS le cycle. Comme le quotient est lui aussi une abscisse valide, la réponse fausse a l'air d'une vraie réponse.
5.Oublier que le cycle ne commence pas à l'origine
toute la question, et la réponse fausse est exactement l'inverse de la bonne
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il est 14 h 07, donc on est à la 7e minute du cycle : la pompe fonctionne. »
Ce qu'il faut écrire
« La pompe a démarré à 6 h 20, il s'est donc écoulé 467 minutes. Comme 467=60×7+47, on est à la 47e minute : la pompe est arrêtée. »
Pourquoi : La réduction modulo la période ne se fait jamais sur l'heure affichée, mais sur le temps écoulé DEPUIS LE DÉPART. Un décalage de départ décale toutes les réponses.
6.Répondre pour un cycle quand la question porte sur la journée
2 points, et la réponse est deux fois trop petite
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La hauteur dépasse 4 m de 3 h à 9 h, donc pendant 6 heures par jour. »
Ce qu'il faut écrire
« La hauteur dépasse 4 m pendant 6 heures PAR CYCLE. La journée contient 1224=2 cycles, donc 12 heures par jour. »
La hauteur dépasse 4 m pendant 6 heures par cycle, mais la journée contient deux cycles : deux fenêtres vertes, 12 heures en tout.
Pourquoi : Résoudre sur un cycle est la bonne méthode, mais ce n'est que la première moitié du travail. Il reste à multiplier par le nombre de cycles que contient la durée demandée.
7.Croire qu'une fonction n'a qu'une seule période
1 point, et la période trop grande fait rater les questions de comptage
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La fonction se répète tous les 12, donc sa période vaut 12. »
Ce qu'il faut écrire
« Elle se répète aussi tous les 6, et 6 est le plus petit : la période est 6. Les nombres 12, 18, 24 sont bien des périodes, mais pas LA période. »
Le motif se répète tous les 6, en vert, donc aussi tous les 12, en orange : la période est la PLUS PETITE, 6.
Pourquoi : Si f(x+6)=f(x), alors f(x+12)=f(x) aussi : tout multiple d'une période est une période. Ce qu'on demande est toujours la PLUS PETITE, appelée période fondamentale.
8.Additionner ou multiplier deux périodes pour trouver le retour en phase
toute la question, et l'erreur passe inaperçue car 30 est un nombre plausible
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La machine A repart toutes les 12 min et B toutes les 18 min, donc elles se retrouvent après 12+18=30 min. »
Ce qu'il faut écrire
« Un instant commun est un multiple de 12 ET de 18 : c'est le plus petit commun multiple, ppcm(12;18)=36 minutes. »
Les deux machines repartent ensemble à 36 min, premier instant commun aux deux frises, en vert ; à 30 min, en rouge, aucune des deux ne redémarre.
Pourquoi : La somme ne veut rien dire. Le produit, 216, est bien un multiple commun mais pas le plus petit : il donne la sixième retrouvaille au lieu de la première.
Quelle méthode choisir
Quelle question, quel geste
Regardez ce que la question DEMANDE, pas de quoi elle parle.
Si on demande f(a) et a sort du premier cycle → prendre le RESTE de la division de a par p, puis lire l'image de ce reste
Exemple : p=6, f(37)=f(1)
pour a négatif, on ajoute des périodes : f(−5)=f(1)
Si on demande TOUS les x tels que f(x)=k → résoudre sur le premier cycle, il y a en général deux solutions, puis ajouter kp à chacune
Exemple : x=1+6k ou x=4+6k
si k tombe sur un palier, la solution est un intervalle répété
Si on demande une DURÉE sur une journée ou une semaine → résoudre sur UN cycle, puis multiplier par le nombre de cycles que contient la durée
Exemple : 6 h par cycle ×2 cycles =12 h par jour
le nombre de cycles vaut pdureˊe, à ne garder en entier que s'il est question de cycles COMPLETS
Si deux phénomènes partent ensemble et ont des périodes différentes → chercher le ppcm des deux périodes
Exemple : ppcm(12;18)=36 min
ppcm(a,b)=pgcd(a,b)a×b quand la décomposition est longue
Si le cycle ne commence pas à l'origine → calculer d'abord le temps écoulé depuis le DÉPART, puis appliquer la branche voulue
Exemple : départ à 6 h 20, question à 14 h 07 : 467 min écoulées
c'est la branche la plus oubliée, et elle inverse souvent la réponse
Si aucune branche ne s'applique, c'est que la question porte sur la LECTURE du graphique : reportez-vous aux quatre nombres de l'essentiel.
Trouver la période selon ce qu'on vous donne
Regardez sous quelle forme la fonction est fournie.
Si un GRAPHIQUE → repérer deux points qui se correspondent et soustraire leurs abscisses
Exemple : deux départs de montée en x=0 et x=6 : p=6
les deux départs de montée sont les repères les plus sûrs, les sommets plats sont ambigus
Si un TABLEAU de valeurs → chercher au bout de combien de temps la SUITE des valeurs recommence, pas seulement une valeur
Exemple : 2, 8, 14, 20, 14, 8, 2, puis 8 de nouveau : p=180 s
une valeur seule peut réapparaître à la descente sans que le cycle soit fini
Si une DESCRIPTION en mots → additionner les durées de toutes les phases d'un cycle
Exemple : 10 min de marche +15 min d'arrêt : p=25 min
vérifier que la dernière phase ramène bien à l'état de départ
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Calculer une image hors du premier cycle
Quand l'utiliser : L'énoncé demande la valeur de la fonction à un instant qui dépasse le graphique fourni.
1Annoncer la période et l'intervalle du premier cycle : « la fonction est périodique de période p=6 h, décrite sur [0;6] ».
2Poser la division euclidienne en toutes lettres : 37=6×6+1.
3Nommer le reste et écrire l'égalité de périodicité : f(37)=f(1).
4Lire ou calculer l'image du reste dans le bon morceau du motif : sur [0;2], f(x)=10+20x, donc f(1)=30.
5Contrôler que le résultat est compris entre le minimum et le maximum de la fonction.
Phrase de conclusion
« Comme 37=6×6+1, la périodicité donne f(37)=f(1)=30 : la hauteur vaut 30 cm après 37 heures. »
Le piège : Sauter l'écriture de la division et annoncer directement f(1) : le correcteur ne peut pas voir d'où vient le 1, et l'étape vaut souvent un point à elle seule.
Barème : 1 point pour la division, 1 point pour l'égalité f(37)=f(1), 1 point pour la valeur.
Donner toutes les solutions de f(x)=k
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « à quels moments », « déterminez tous les instants » ou « pour quelles valeurs de x ».
1Repérer sur le graphique combien de fois la droite horizontale y=k coupe UN cycle, et dans quels morceaux.
2Résoudre une équation par morceau concerné, en précisant chaque fois l'intervalle : « sur [0;2], 10+20x=30 donne x=1 ».
3Écrire les familles de solutions avec le paramètre entier : x=1+6k et x=4+6k, k∈Z.
4Si l'énoncé impose un intervalle, lister les valeurs de k admissibles famille par famille.
5Vérifier en réinjectant une solution de chaque famille dans la fonction.
Phrase de conclusion
« La hauteur vaut 30 cm aux instants x=1+6k et x=4+6k, avec k entier, c'est-à-dire toutes les 6 heures à partir de la première heure et de la quatrième heure. »
Le piège : Écrire une seule famille. Dès qu'un cycle monte puis descend, il y a deux familles, et n'en donner qu'une coûte la moitié des points même si le calcul est juste.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le résultat tient-il entre le minimum et le maximum ?
Toute image d'une fonction périodique est comprise entre son minimum et son maximum. Comparez votre réponse à ces deux bornes avant toute autre chose.
Une hauteur de 62 cm sur une fonction qui plafonne à 50 cm signale une réduction ratée : on a lu le motif au mauvais endroit.
Le reste est-il bien plus petit que la période ?
Après réduction, l'abscisse obtenue doit tomber dans [0,p[. Si elle dépasse la période, c'est qu'il reste des périodes à retirer.
Sur p=6, trouver un reste de 8 veut dire qu'on a retiré une période de trop peu : 8−6=2.
Le test de périodicité sur une valeur connue
Prenez une abscisse dont vous lisez l'image sur le graphique, ajoutez-lui une période, et vérifiez que votre méthode redonne la même image. C'est un contrôle en cinq secondes qui valide la période elle-même.
f(2)=50 se lit sur le dessin ; votre méthode doit donner f(8)=50. Si elle donne autre chose, la période est fausse.
L'ordre de grandeur du nombre de solutions
Sur un intervalle de longueur L, une valeur atteinte deux fois par cycle a environ p2L préimages. Comparez à votre comptage : un écart de plus de 2 signale une famille oubliée.
Sur [0;50] avec p=6 : 62×50≈16,7, et le comptage exact donne 17. Une réponse de 9 dit qu'on n'a compté qu'une famille.
L'amplitude est positive et vaut la moitié
Une amplitude négative est impossible, et une amplitude égale à l'écart max moins min est presque toujours le signe d'une division oubliée.
Sur une grande roue de 18 m de diamètre, l'amplitude vaut 9 m : si vous trouvez 18, vous avez donné le diamètre.
L'exercice type décortiqué
La marée et la fenêtre d'entrée du port
La hauteur d'eau à l'entrée d'un port suit la fonction périodique du graphique : montée régulière de 1 m à 5 m entre 0 h et 4 h, étale à 5 m jusqu'à 8 h, descente régulière jusqu'à 1 m à 12 h, puis le cycle recommence.
Un bateau ne peut franchir l'entrée que si la hauteur atteint au moins 4 mètres.
Pendant combien d'heures par jour le passage est-il possible, et un bateau qui se présente à 13 h 30 doit-il attendre ?
Le motif « montée, étale, descente » occupe 12 heures et se répète deux fois dans la journée. La droite pointillée y=4 est le seuil de l'énoncé : le passage est possible tant que la courbe est au-dessus.
Étape 1
La fonction est périodique de période p=12 h, car le motif recommence en x=12 comme en x=0. La journée contient donc 1224=2 cycles.
Pourquoi
On annonce la période AVANT tout calcul : c'est elle qui autorise à ne travailler que sur un cycle, et c'est le facteur par lequel on multipliera à la fin. L'oublier ici, c'est diviser la réponse par deux à l'étape 5.
Étape 2
Sur la montée [0;4], la pente vaut 4−05−1=1, donc h(t)=1+t. Sur la descente [8;12], la pente vaut −1 et la droite passe par (8;5), donc h(t)=5−(t−8).
Pourquoi
Le seuil sera franchi une fois à la montée et une fois à la descente : il faut donc DEUX règles, une par morceau oblique. Le palier, lui, est entièrement au-dessus du seuil et ne demande aucune équation.
Étape 3
Montée : 1+t=4 donne t=3. Descente : 5−(t−8)=4 donne t−8=1, soit t=9. Sur le premier cycle, le passage est possible pour t∈[3;9].
Pourquoi
Deux équations, deux solutions : c'est le geste qui distingue une copie complète d'une copie à moitié juste. Ne résoudre que la montée donnerait t=3 sans borne de fin, donc aucune durée.
Étape 4
Sur le deuxième cycle, on ajoute la période : [3+12;9+12]=[15;21]. Les deux fenêtres de la journée sont donc [3;9] et [15;21], soit de 3 h à 9 h et de 15 h à 21 h.
Pourquoi
C'est le passage du cycle à la journée. On n'a rien recalculé : ajouter une période à chaque borne suffit, et c'est exactement la propriété h(t+p)=h(t) utilisée dans le bon sens.
Étape 5
Chaque fenêtre dure 9−3=6 heures, et il y en a deux : le passage est possible 6×2=12 heures par jour.
Pourquoi
La question portait sur la JOURNÉE, pas sur le cycle. Répondre 6 heures est l'erreur la plus fréquente sur ce type de problème, et elle coûte deux points alors que tout le raisonnement était juste.
Étape 6
À 13 h 30 : 13,5−12=1,5, donc h(13,5)=h(1,5)=1+1,5=2,5 m, en dessous du seuil. La fenêtre suivante commence à 15 h : le bateau attend 15−13,5=1,5 heure, soit 1 h 30.
Pourquoi
Il suffisait de situer 13 h 30 entre les deux fenêtres trouvées à l'étape 4, sans recalculer. Le calcul de h(13,5) ne sert qu'à justifier la réponse par écrit, et il vaut son demi-point.
Étape 7
Vérification : 2,5 m est bien compris entre le minimum 1 m et le maximum 5 m, et 12 heures est bien la moitié de la journée, ce que le graphique confirme à l'œil.
Pourquoi
Les deux contrôles portent sur des choses différentes, l'un sur la valeur, l'autre sur la durée. Un résultat hors de l'intervalle [1;5] aurait signalé une réduction ratée.
Conclusion rédigée
« Le passage est possible de 3 h à 9 h et de 15 h à 21 h, soit 12 heures par jour. Le bateau qui se présente à 13 h 30 trouve une hauteur de 2,5 m, insuffisante : il doit attendre 1 h 30, jusqu'à 15 h. »
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre 6 heures parce qu'on s'est arrêté au premier cycle, et annoncer que le bateau peut entrer parce qu'on a comparé 13 h 30 à la fenêtre [3;9] sans lui ajouter la période.
À savoir par cœur
•f(x+p)=f(x) pour TOUTE valeur de x : c'est la définition, et c'est elle qu'on cite pour justifier un décalage.
•Amplitude =2max−min, axe de référence y=2max+min. La MOITIÉ, toujours.
•La période se mesure entre deux points qui se correspondent. D'un sommet au creux suivant, on n'a qu'une DEMI-période.
•Pour f(a) : le RESTE de a divisé par p, jamais le quotient. Abscisse négative : on ajoute des périodes.
•Une équation f(x)=k a en général DEUX solutions par cycle, une à la montée et une à la descente, puis +kp.
•Tout multiple d'une période est une période. La période demandée est la plus PETITE.
•Deux phénomènes de périodes a et b lancés ensemble se retrouvent au ppcm(a,b), ni à a+b ni à a×b.
•Cycle décalé : on compte le temps écoulé depuis le DÉPART avant de réduire.
Questions fréquentes
Comment trouver la période d'une fonction périodique sur un graphique ?
Repérez deux points qui occupent la même position dans le motif, par exemple deux départs de montée ou deux sommets consécutifs, puis soustrayez leurs abscisses. Ne mesurez jamais d'un sommet au creux suivant : cela ne donne que la moitié de la période. Les deux départs de montée sont les repères les plus sûrs, car un sommet plat est ambigu.
Comment calculer une image quand la valeur dépasse le graphique ?
Divisez la valeur par la période et gardez le RESTE, jamais le quotient. Le reste vous donne l'abscisse équivalente dans le premier cycle, et son image est la réponse. Par exemple avec une période de 6, la valeur 37 donne un reste de 1, donc l'image de 37 est celle de 1. Pour une valeur négative, ajoutez des périodes au lieu d'en retirer.
Pourquoi y a-t-il deux solutions quand on résout une équation périodique ?
Parce qu'un cycle monte puis redescend : une droite horizontale le traverse donc deux fois, une fois pendant la montée et une fois pendant la descente. Il faut résoudre une équation dans chaque morceau, puis ajouter un multiple de la période à chacune des deux solutions. N'en donner qu'une coûte la moitié des points.
Quelle est la différence entre l'amplitude et l'écart entre le maximum et le minimum ?
L'amplitude est la MOITIÉ de cet écart. Elle mesure de combien la fonction s'éloigne de son axe de référence, vers le haut comme vers le bas. Sur une grande roue de 18 mètres de diamètre, l'amplitude vaut donc 9 mètres, soit le rayon. Trouver le diamètre comme amplitude est le signe qu'on a oublié de diviser par deux.
Quand deux machines de cycles différents repartent-elles en même temps ?
Au plus petit commun multiple de leurs deux périodes, et non à leur somme ni à leur produit. Deux machines de 12 et 18 minutes lancées ensemble se retrouvent après 36 minutes, puis toutes les 36 minutes. Une méthode rapide quand la décomposition est longue : multiplier les deux périodes et diviser par leur plus grand commun diviseur.
Comment faire si le cycle ne commence pas au début du graphique ?
Comptez d'abord le temps écoulé depuis le DÉPART du phénomène, puis réduisez ce temps par la période. Une pompe lancée à 6 h 20 et interrogée à 14 h 07 a fonctionné 467 minutes ; avec un cycle d'une heure, elle est à la 47e minute de son cycle. Réduire l'heure affichée au lieu du temps écoulé inverse souvent la réponse.
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Exercices corrigés : Les fonctions périodiques
Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.
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