Math CST, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la similitude et l'isométrie (math CST, secondaire 4)

En séquence CST, la similitude sert à MESURER ce qu'on ne peut pas atteindre et à JUSTIFIER ce qu'on affirme : la largeur d'une rivière, la hauteur d'un immeuble sur un plan, la taille d'une affiche dans son cadre. Les démonstrations abstraites appartiennent aux autres séquences.

Gardez une question en tête devant chaque paire de triangles : de quelles trois informations est-ce que je dispose, et forment-elles une liste complète ? Un cas n'accepte ni une information de moins, ni une information d'un autre type, et c'est le nom du cas que le correcteur cherche sur la copie.

Le fil du chapitre

Un cas est une LISTE MINIMALE de trois informations : en dire moins ne conclut rien, en dire d'autres ne conclut rien non plus, et la justification qui rapporte les points est celle qui NOMME le cas.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
5Aire et volume des solidesSecondaire 3
6Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3

Notions couvertes

Figures isométriques
Figures semblables
Cas d'isométrie des triangles
Cas de similitude des triangles
Rapport de similitude
Côtés homologues
Correspondance des sommets
Plan à l'échelle
Conditions minimales

L'essentiel

Six cas, et pas un de plus

• ISOMÉTRIQUES : mêmes mesures, figures superposables. SEMBLABLES : mêmes angles et côtés homologues dans un rapport constant $k$ . L'isométrie est le cas particulier $k=1$ .
• TROIS CAS D'ISOMÉTRIE. Côté-côté-côté : les trois côtés égaux deux à deux. Côté-angle-côté : deux côtés égaux et l'angle COMPRIS entre eux. Angle-côté-angle : deux angles égaux et le côté COMPRIS entre eux.
• TROIS CAS DE SIMILITUDE. Angle-angle : deux angles égaux deux à deux. Côté-angle-côté : deux rapports égaux et l'angle compris. Côté-côté-côté : les trois rapports égaux.
• Les deux listes se répondent : ce sont les mêmes conditions, avec des égalités de longueurs remplacées par des égalités de RAPPORTS. Le cas angle-angle n'a pas d'équivalent en isométrie, faute de longueur.

Deux triangles isométriques sont toujours semblables, avec $k=1$ . On annonce cependant toujours le cas le plus FORT : « isométriques », pas « semblables ».

Le mot compris, et ce qu'il évite

• Le cas côté-angle-côté exige que l'angle soit COMPRIS entre les deux côtés connus. Sans ce mot, la règle est fausse.
• Avec deux côtés et un angle OPPOSÉ à l'un d'eux, deux triangles différents portent les mêmes données : la configuration s'appelle côté-côté-angle et elle ne conclut rien.
• La figure le montre sur $AB=8$ cm, un côté de $5$ cm opposé à l'angle $A$ , et $\widehat{A}=30^\circ$ : le troisième côté vaut environ $9{,}9$ cm ou environ $3{,}9$ cm.
• Même prudence pour le cas angle-côté-angle : le côté doit être compris ENTRE les deux angles, sinon on ne conclut qu'à la similitude.

Deux triangles avec exactement les mêmes trois données,

AB=8

cm, un côté de

5

cm et

\widehat{A}=30^\circ

ABC_{1}

ABC_{2}

ne sont pas isométriques.

Sur une copie, écrire « l'angle $\widehat{A}$ est compris entre $AB$ et $AC$ » est la phrase qui distingue la justification complète de la justification approximative.

Le rapport multiplie les longueurs, jamais les angles

• Dans deux triangles semblables, les angles homologues sont ÉGAUX. Si le rapport les multipliait, leur somme ne vaudrait plus $180^\circ$ mais $k\times 180^\circ$ .
• Toutes les LONGUEURS suivent le rapport : les côtés, le périmètre, chaque hauteur, chaque médiane. Du petit vers le grand on multiplie par $k$ , du grand vers le petit on DIVISE.
• La correspondance des sommets dit quelles longueurs sont homologues. Écrire « $ABC$ et $DEF$ sont semblables » affirme que $A$ va avec $D$ , $B$ avec $E$ , $C$ avec $F$ .
• Contrôle de bon sens avant de recopier : une longueur du petit triangle ne peut pas dépasser son homologue du grand.

Deux triangles semblables de rapport

2{,}5

: le côté passe de

4

10

cm, et l'angle de

35^\circ

reste

35^\circ

Le rapport des AIRES vaut $k^{2}$ , mais la question ne le demande presque jamais en CST : quand elle le fait, on calcule les deux aires séparément plutôt que d'invoquer la formule.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Que peut-on conclure de ces trois informations ?

Chaque ligne donne trois informations sur deux triangles. La colonne de droite dit ce qu'on en tire, et deux lignes ne donnent rien du tout.

Ce qu'on connaît	Cas	Conclusion
trois côtés égaux	côté-côté-côté	isométriques
Exemple : $5$ , $6$ , $7$ contre $7$ , $5$ , $6$ : mêmes mesures dans un autre ordre.
deux côtés et l'angle compris	côté-angle-côté	isométriques
Exemple : $AB=DE=6$ , $BC=EF=8$ et $\widehat{B}=\widehat{E}$ : l'angle est bien entre les deux.
trois rapports égaux	côté-côté-côté	semblables
Exemple : $3$ , $4$ , $5$ contre $6$ , $8$ , $10$ : les trois rapports valent $2$ .
deux angles égaux	angle-angle	semblables seulement
Exemple : $50^\circ$ et $70^\circ$ des deux côtés : le troisième vaut $60^\circ$ , mais aucune longueur n'est connue.
trois angles égaux	angle-angle	semblables, pas isométriques
Exemple : Le triangle $3$ , $4$ , $5$ et le triangle $6$ , $8$ , $10$ ont des aires de $6$ et $24$ cm $^{2}$ .
deux côtés et un angle NON compris	aucun	rien cas inexistant
Exemple : $AB=8$ , un côté de $5$ et $\widehat{A}=30^\circ$ donnent deux triangles, de troisièmes côtés environ $9{,}9$ cm et $3{,}9$ cm. Même forme, autre résultat : Avec l'angle COMPRIS, les mêmes longueurs ne donneraient qu'un seul triangle : c'est la présence de deux solutions qui invalide le cas. Ce qu'il faut faire : Écrire « ces données ne permettent pas de conclure », puis dire quelle information manquerait, par exemple l'angle compris entre les deux côtés.
deux rapports égaux sur trois	aucun	rien condition incomplete
Exemple : $\dfrac{6}{4}=\dfrac{9}{6}=1{,}5$ mais $\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$ : les triangles ne sont pas semblables. Même forme, autre résultat : Avec un troisième côté de $13{,}5$ au lieu de $12$ , le rapport vaudrait $1{,}5$ partout et les triangles seraient semblables. Ce qu'il faut faire : Calculer le troisième rapport AVANT de conclure, même quand les deux premiers coïncident.

Les deux cases rouges sont les deux erreurs qui coûtent le plus cher, parce qu'elles ressemblent à des cas valides et se nomment avec assurance.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à partir des angles seuls

la conclusion entière, soit 2 à 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les trois angles sont égaux, donc les triangles sont isométriques. »

Ce qu'il faut écrire

« Les trois angles sont égaux, donc les triangles sont SEMBLABLES, par le cas angle-angle. »

Pourquoi : Les angles fixent la FORME, pas la TAILLE. Un triangle $3$ , $4$ , $5$ et un triangle $6$ , $8$ , $10$ ont exactement les mêmes angles et des aires de $6$ et $24$ cm $^{2}$ . C'est pourquoi tout cas d'isométrie contient au moins un côté.

2. Oublier le mot compris

la question entière, car la conclusion est peut-être fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AB=DE$ , $BC=EF$ et $\widehat{A}=\widehat{D}$ , donc les triangles sont isométriques par côté-angle-côté. »

Ce qu'il faut écrire

« $\widehat{A}$ n'est pas compris entre $AB$ et $BC$ : ces données ne permettent aucune conclusion. Il faudrait $\widehat{B}=\widehat{E}$ . »

Pourquoi : Deux côtés et un angle non compris laissent DEUX triangles possibles, comme le montre la figure de l'essentiel. Le cas n'existe pas, et le nommer quand même est plus grave que de ne rien conclure.

3. S'arrêter à deux rapports sur trois

2 à 3 points, et une conclusion fausse annoncée avec assurance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ et $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ , donc les triangles sont semblables. »

Ce qu'il faut écrire

« Le troisième rapport vaut $\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$ : les triangles ne sont pas semblables. »

Pourquoi : Le cas côté-côté-côté exige les TROIS rapports. Deux égalités donnent envie de conclure avant d'avoir fait le troisième calcul, et c'est exactement sur cette impatience que la question est construite.

4. Appliquer le rapport aux angles

1 à 2 points, et souvent une figure impossible à tracer ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $k=2{,}5$ , donc l'angle $\widehat{F}$ vaut $2{,}5$ fois l'angle $\widehat{C}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les angles homologues sont ÉGAUX : $\widehat{F}=\widehat{C}$ . Seules les longueurs sont multipliées par $2{,}5$ . »

Pourquoi : Si les angles étaient multipliés, leur somme vaudrait $2{,}5\times 180=450^\circ$ , ce qui est impossible pour un triangle. Ce contre-argument par la somme des angles est le plus rapide à écrire en examen.

5. Inverser le sens du rapport

2 points, et un résultat absurde qui n'est pas relu

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La hauteur du grand vaut $12$ cm et $k=2{,}5$ , donc celle du petit vaut $12\times 2{,}5=30$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« On passe du GRAND au PETIT, donc on divise : $\dfrac{12}{2{,}5}=4{,}8$ cm. »

Pourquoi : Une hauteur de $30$ cm dans un triangle dont le plus grand côté mesure $7$ cm est impossible. Le contrôle de bon sens attrape l'erreur plus vite que la relecture du calcul.

6. Rédiger sans nommer le cas

1 point de justification par question, à chaque question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les côtés sont proportionnels, donc les triangles sont semblables. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{FD}{CA}=3$ , donc $ABC$ et $DEF$ sont semblables, par le cas côté-côté-côté, avec $k=3$ . »

Pourquoi : La grille de correction accorde un point au cas NOMMÉ. La phrase fausse n'est pas fausse, elle est incomplète, ce qui la rend difficile à repérer soi-même. Manque presque aussi souvent la correspondance des sommets.

7. Convertir dans le mauvais sens sur un plan

la question entière, avec un résultat sans aucun sens physique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Échelle $1:50$ , mur réel de $6{,}5$ m : sur le plan il mesure $650\times 50$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« De la réalité vers le plan on DIVISE : $\dfrac{650}{50}=13$ cm. »

Pourquoi : Une longueur sur un plan est toujours plus petite que la longueur réelle. Le contrôle tient en un regard : si votre résultat dépasse la taille de la feuille, vous avez multiplié au lieu de diviser.

8. Comparer deux rectangles par leur diagonale

2 à 3 points sur la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux écrans ont une diagonale de $50$ cm, donc la même surface d'image. »

Ce qu'il faut écrire

« $40\times 30=1200$ cm $^{2}$ contre $43{,}6\times 24{,}5=1068{,}2$ cm $^{2}$ : le format $4:3$ offre $12\,\%$ de plus. »

Les deux rectangles partagent la même diagonale de

50

cm, mais pas la même forme : le plus carré, en

4:3

, enferme

131{,}8

^{2}

de plus.

Pourquoi : Deux rectangles de même diagonale n'ont la même aire que s'ils sont SEMBLABLES. À diagonale fixée, le plus proche du carré a la plus grande aire, et c'est pour cela qu'un téléviseur $16:9$ annoncé à la même diagonale qu'un ancien $4:3$ montre une image plus petite.

Quelle méthode choisir

Quel cas appliquer selon les données ?

On compte d'abord ce qu'on possède : des côtés, des angles, ou des rapports. Le type des trois informations désigne le cas, s'il y en a un.

Si Trois côtés égaux, ou trois rapports égaux → côté-côté-côté, en isométrie ou en similitude

Exemple : $5$ , $6$ , $7$ contre $7$ , $5$ , $6$ : isométriques ; $3$ , $4$ , $5$ contre $6$ , $8$ , $10$ : semblables avec $k=2$
Si Deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux → côté-angle-côté

Exemple : $AB=DE$ , $AC=DF$ et $\widehat{A}=\widehat{D}$ donnent l'isométrie
Si Deux angles égaux, sans aucune longueur → angle-angle : SIMILITUDE seulement

Exemple : $\widehat{A}=\widehat{D}=50^\circ$ et $\widehat{B}=\widehat{E}=70^\circ$

Deux côtés et un angle NON compris ne figurent dans aucune branche : cette configuration ne conclut rien, et il faut le dire plutôt que de forcer un cas.

Multiplier ou diviser par le rapport ?

On repère d'abord si la longueur cherchée appartient au grand ou au petit triangle, puis on choisit l'opération. Le rapport $k$ est toujours écrit du petit vers le grand.

Si On cherche une longueur du GRAND triangle → on MULTIPLIE la longueur homologue du petit par $k$

Exemple : $AB=4$ cm et $k=2{,}5$ donnent $DE=4\times 2{,}5=10$ cm
Si On cherche une longueur du PETIT triangle → on DIVISE la longueur homologue du grand par $k$

Exemple : Une hauteur de $12$ cm dans le grand donne $\dfrac{12}{2{,}5}=4{,}8$ cm
Si On cherche un ANGLE → on ne calcule rien : les angles homologues sont égaux

Exemple : $\widehat{F}=\widehat{C}$ , quel que soit le rapport

Le périmètre suit le rapport comme une longueur ordinaire : un périmètre de $17$ cm devient $17\times 2{,}5=42{,}5$ cm.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une justification de similitude ou d'isométrie

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de « démontrer que », de « justifier que » ou de « montrer que » deux triangles sont semblables ou isométriques.

1 Citer les trois informations dont on dispose, avec leurs notations exactes.
2 Quand le cas l'exige, VÉRIFIER à voix haute la position de l'angle ou du côté : « $\widehat{A}$ est compris entre $AB$ et $AC$ ».
3 Conclure en nommant le cas en toutes lettres et en respectant l'ordre des sommets.
4 Donner la valeur de $k$ quand il s'agit d'une similitude, même si la question ne la demande pas encore.

Phrase de conclusion

« $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{FD}{CA}=3$ , donc les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, par le cas côté-côté-côté, avec un rapport $k=3$ . »

Le piège : Conclure « semblables » quand les données donnent l'isométrie, ou l'inverse. On annonce toujours le cas le plus fort que les données permettent.

Barème : 1 point pour les données citées, 1 point pour le cas nommé, 1 point pour la conclusion avec la bonne correspondance des sommets

Mesurer une longueur inaccessible par deux triangles semblables

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une visée, une ombre, un miroir ou un alignement, et demande une distance qu'on ne peut pas mesurer directement.

1 Nommer les deux triangles et justifier leur similitude, presque toujours par angle-angle.
2 Repérer les deux côtés HOMOLOGUES dont on connaît les deux mesures, et calculer $k$ comme leur quotient.
3 Multiplier la longueur connue du petit triangle par $k$ pour obtenir la longueur cherchée.
4 Vérifier la cohérence : le résultat doit être environ $k$ fois la mesure de départ.
5 Conclure par une phrase avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Les triangles $BAT$ et $BCD$ sont semblables par le cas angle-angle. $k=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{20}{5}=4$ , donc $AT=4\times 4=16$ m : la rivière mesure $16$ mètres de large. »

Le piège : Former le rapport avec deux longueurs qui ne sont pas homologues. On écrit toujours le quotient de deux côtés qui se correspondent dans les deux triangles, jamais deux mesures prises au hasard.

Barème : 1 point pour la justification de la similitude, 1 point pour le rapport, 1 point pour le calcul, 1 point pour la phrase de conclusion

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Trois informations, et du bon type

Comptez ce que vous avez cité : il en faut exactement trois, et elles doivent former l'un des six cas. Deux ne suffisent jamais, quatre n'est pas une erreur mais signale souvent qu'on n'a pas identifié le cas.

Deux côtés et un angle, c'est trois informations, mais elles ne concluent que si l'angle est compris entre les deux côtés.
Le troisième rapport

Quand vous concluez par côté-côté-côté, vérifiez que vous avez bien écrit TROIS quotients. Deux égalités ne prouvent rien.

$\dfrac{6}{4}=1{,}5$ et $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ semblent concluants, mais $\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$ change la réponse.
Le sens du rapport, par le bon sens

Regardez si la longueur cherchée appartient au grand ou au petit triangle, et comparez votre résultat à une mesure connue de ce triangle.

Une hauteur de $30$ cm dans un triangle dont le plus grand côté mesure $7$ cm est impossible : il fallait diviser, pas multiplier.
Les angles n'ont pas bougé

Relisez votre copie et vérifiez qu'aucun angle n'a été multiplié ni divisé par $k$ . Les angles homologues sont toujours égaux.

Un triangle dont les angles vaudraient $2{,}5$ fois ceux d'un autre aurait une somme de $450^\circ$ .
Le nom du cas est écrit

Avant de passer à la question suivante, cherchez dans votre phrase les mots côté-côté-côté, côté-angle-côté, angle-côté-angle ou angle-angle. S'ils n'y sont pas, il manque un point.

« Les côtés sont proportionnels donc ils sont semblables » ne nomme aucun cas, et perd le point de justification.

L'exercice type décortiqué

Une mesure indirecte complète : la largeur d'une rivière

Un arpenteur repère un arbre $T$ sur l'autre rive et plante un piquet en $A$ juste en face. Il marche le long de la rive jusqu'en $B$ , à $20$ m de $A$ , puis continue dans le même sens jusqu'en $C$ , à $5$ m de $B$ .

De $C$ , il s'éloigne perpendiculairement à la rive jusqu'au point $D$ d'où l'arbre, le piquet $B$ et lui-même sont alignés. Il mesure $CD=4$ m. Quelle est la largeur de la rivière ?

Étape 1

Les angles en $A$ et en $C$ sont droits ; les angles en $B$ sont opposés par le sommet.

Pourquoi

Deux angles égaux deux à deux suffisent, et c'est presque toujours ainsi que la similitude s'obtient dans une mesure indirecte : un angle droit donné par le montage, et un angle commun ou opposé par le sommet donné par l'alignement.

Étape 2

Donc $BAT$ et $BCD$ sont semblables, par le cas angle-angle.

Pourquoi

On nomme le cas immédiatement, avant tout calcul. C'est le point de justification, et c'est aussi ce qui autorise tout ce qui suit : sans similitude établie, aucun rapport n'a de sens.

Étape 3

Côtés homologues : $BA$ et $BC$ , tous deux sur la rive. $k=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{20}{5}=4$ .

Pourquoi

Le rapport se forme avec deux côtés qui SE CORRESPONDENT, jamais avec deux mesures prises au hasard. Ici $BA$ et $BC$ se correspondent parce qu'ils joignent tous deux $B$ au sommet de l'angle droit.

Étape 4

$AT$ est l'homologue de $CD$ , donc $AT=k\times CD=4\times 4=16$ m.

Pourquoi

On va du petit vers le grand, donc on multiplie. Vérification de cohérence : $AT$ doit valoir environ quatre fois $CD$ , et $16$ est bien quatre fois $4$ . Une réponse de $1$ m aurait signalé une inversion.

Étape 5

Avec une mesure de $CD=4{,}5$ m, on obtiendrait $AT=18$ m.

Pourquoi

Un demi-mètre d'écart sur le terrain produit deux mètres d'écart sur la largeur : l'erreur est multipliée par $k$ . C'est la vraie limite de toute mesure indirecte, et l'examen pose souvent la question.

Conclusion rédigée

Les triangles $BAT$ et $BCD$ sont semblables par le cas angle-angle, avec $k=\dfrac{20}{5}=4$ : la rivière mesure $AT=4\times 4=16$ mètres de large.

L'erreur classique sur cet exercice : Former le rapport $\dfrac{BA}{CD}=\dfrac{20}{4}=5$ , en divisant deux longueurs qui ne sont pas homologues. On obtiendrait alors $AT=5\times 5=25$ m, un résultat qui ne correspond à rien et que la vérification de cohérence ne rattrape pas.

À savoir par cœur

• Isométriques : mêmes mesures. Semblables : mêmes angles, longueurs dans le rapport $k$ . Isométrie = similitude avec $k=1$ .
• Isométrie : côté-côté-côté, côté-angle-côté avec l'angle COMPRIS, angle-côté-angle avec le côté COMPRIS.
• Similitude : angle-angle, côté-angle-côté avec deux rapports, côté-côté-côté avec trois rapports.
• Trois angles égaux donnent la similitude, jamais l'isométrie : il faut au moins une longueur.
• Deux côtés et un angle NON compris ne concluent rien : deux triangles différents portent les mêmes données.
• Deux rapports égaux sur trois ne suffisent pas : on calcule toujours le troisième.
• Les angles homologues sont ÉGAUX. Seules les longueurs sont multipliées par $k$ .
• Du petit vers le grand on multiplie, du grand vers le petit on divise. Le périmètre et les hauteurs suivent.
• Un plan à l'échelle $1:50$ est une similitude de rapport $50$ : du plan vers la réalité on multiplie.
• Une justification complète cite les données, NOMME le cas et respecte la correspondance des sommets.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre isométrique et semblable ?

Deux figures isométriques ont exactement les mêmes mesures : l'une se superpose à l'autre après un déplacement ou un retournement. Deux figures semblables ont la même forme mais pas forcément la même taille : leurs angles sont égaux et leurs longueurs homologues sont toutes multipliées par un même nombre, le rapport de similitude. L'isométrie est donc le cas particulier où ce rapport vaut 1.

Pourquoi trois angles égaux ne suffisent-ils pas pour l'isométrie ?

Parce que les angles décident de la forme, pas de la taille. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 et un triangle de côtés 6, 8 et 10 ont exactement les mêmes trois angles, et pourtant le second a quatre fois l'aire du premier. Pour conclure à l'isométrie, il faut au moins une longueur : c'est pourquoi les trois cas d'isométrie contiennent tous au moins un côté.

Pourquoi l'angle doit-il être compris entre les deux côtés ?

Parce que sinon deux triangles différents portent les mêmes données. Avec un côté de 8 cm, un côté de 5 cm opposé à un angle de 30 degrés, on peut construire deux triangles dont les troisièmes côtés mesurent environ 9,9 cm et 3,9 cm. Cette configuration s'appelle côté-côté-angle et elle ne permet aucune conclusion. Le mot compris est donc essentiel dans l'énoncé du cas.

Comment calculer une longueur avec le rapport de similitude ?

On identifie d'abord la longueur cherchée comme appartenant au grand ou au petit triangle. Si elle est dans le grand, on multiplie son homologue du petit par le rapport ; si elle est dans le petit, on divise. Le périmètre et toutes les hauteurs suivent la même règle, puisque ce sont des longueurs. Les angles, eux, ne changent jamais, quel que soit le rapport.

Comment se sert-on de la similitude pour mesurer une distance inaccessible ?

On construit un petit triangle semblable au grand, grâce à un alignement, une ombre ou un miroir. On justifie la similitude, presque toujours par deux angles égaux, on calcule le rapport avec deux côtés homologues connus, puis on multiplie la longueur mesurée par ce rapport. Attention : l'erreur de mesure est elle aussi multipliée par le rapport, donc un grand rapport donne une estimation fragile.

Un plan à l'échelle est-il une similitude ?

Oui, c'est même sa définition. Toutes les longueurs du dessin sont obtenues en divisant les longueurs réelles par le même nombre, et les angles sont conservés : ce sont exactement les conditions de la similitude. Une échelle de 1 pour 50 signifie que le rapport du plan vers la réalité vaut 50 : on multiplie pour passer au réel, on divise pour revenir au plan.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La similitude et l'isométrie des triangles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

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