Exercices corrigés : la fonction polynomiale de degré 1 : variations directe et partielle (math, secondaire 3)

$a=\dfrac{17-5}{6-2}=\dfrac{12}{4}=3$. Quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $3$.

$a=\dfrac{-6-4}{-1-(-3)}=\dfrac{-10}{2}=-5$. Piège : le dénominateur, $-1-(-3)=-1+3=2$ ; écrire $-1-3=-4$ donne un taux de $\dfrac{5}{2}$, positif, alors que la fonction descend.

$a=\dfrac{8-2}{9-1}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$. Un taux n'a aucune raison d'être entier : on simplifie la fraction, on ne l'arrondit pas.

$y=-2x+b$ avec $(-4\,;3)$ : $3=-2\times(-4)+b=8+b$, donc $b=3-8=-5$. Piège : $-2\times(-4)=+8$ ; écrire $-8$ donne $b=11$. Contrôle : $-2\times(-4)-5=3$.

Variation directe : $b=0$ et $y=ax$. Avec $(-6\,;9)$ : $9=-6a$, donc $a=\dfrac{9}{-6}=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5$. Ici, et seulement ici, le rapport $\dfrac{y}{x}$ d'un point donne le taux, parce que l'origine est le second point.

$a=\dfrac{10-1}{5-2}=\dfrac{9}{3}=3$. Puis $1=3\times 2+b$, donc $b=1-6=-5$. Règle : $y=3x-5$. Contrôle avec l'AUTRE point : $3\times 5-5=10$.

$a=\dfrac{5-1}{3-(-3)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Puis, avec $(3\,;5)$ : $5=\dfrac{2}{3}\times 3+b=2+b$, donc $b=3$. Règle : $y=\dfrac{2}{3}x+3$. Contrôle avec $(-3\,;1)$ : $\dfrac{2}{3}\times(-3)+3=-2+3=1$. Choisir le point dont l'abscisse se simplifie avec le dénominateur du taux évite les fractions.

$-4x-28=0$, donc $-4x=28$ et $x=\dfrac{28}{-4}=-7$. Avec la formule : $x=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-28}{-4}=-7$. Piège : oublier un des deux signes moins et répondre $7$. Contrôle : $-4\times(-7)-28=28-28=0$.

$-6x+15=0$, donc $6x=15$ et $x=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}=2{,}5$. Piège : confondre le zéro avec l'ordonnée à l'origine, $15$, qui est la valeur de $y$ en $x=0$.

On pose $y=10$ : $-\dfrac{2}{3}x+4=10$, donc $-\dfrac{2}{3}x=6$ et $x=6\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-9$. Piège : multiplier par $-\dfrac{2}{3}$ au lieu de diviser, ce qui donne $-4$. Contrôle : $-\dfrac{2}{3}\times(-9)+4=6+4=10$.

Table 1 : $y$ vaut $3$, $6$, $9$, $12$, $15$ ; les différences valent toutes $3$. Table 2 : $y$ vaut $5$, $8$, $11$, $14$, $17$ ; différences toutes égales à $3$ aussi. Table 3 : $y$ vaut $7$, $7$, $7$, $7$, $7$ ; différences nulles. Dans les trois cas, la différence est CONSTANTE, et c'est ce qui caractérise une fonction de degré $1$ : à pas égaux en $x$, pas égaux en $y$. Cette différence est le taux de variation $a$ : $3$, $3$ et $0$.

Table 1 : $\dfrac{3}{1}=3$, $\dfrac{6}{2}=3$, $\dfrac{9}{3}=3$, $\dfrac{12}{4}=3$, $\dfrac{15}{5}=3$ : constant. Table 2 : $\dfrac{5}{1}=5$, $\dfrac{8}{2}=4$, $\dfrac{11}{3}\approx 3{,}67$ : pas constant. Table 3 : $\dfrac{7}{1}=7$, $\dfrac{7}{2}=3{,}5$ : pas constant. Seule la table 1 a un rapport $\dfrac{y}{x}$ constant : c'est la marque de la PROPORTIONNALITÉ, donc de la variation directe. Les tables 2 et 3 ont un taux constant mais un rapport variable.

Table 1 : variation directe, $y=3x$, la droite passe par l'origine, $(0\,;0)$ en fait partie. Table 2 : variation partielle, $y=3x+2$ ; pour trouver le $2$, on prolonge la table vers $x=0$ en retirant $3$ à $5$, ou on résout $5=3\times 1+b$. Table 3 : variation nulle, $y=7$, la règle n'a plus de $x$. Les tables 1 et 2 ont le même taux $3$ : leurs droites sont parallèles, décalées de $2$ vers le haut.

Le test du rapport : si $\dfrac{y}{x}$ est le même pour tous les couples, la variation est directe ; sinon, elle est partielle. Autre formulation : si doubler $x$ double $y$, c'est direct. Table 1 : $x=2$ donne $6$ et $x=4$ donne $12$, le double. Table 2 : $x=2$ donne $8$ et $x=4$ donne $14$, pas $16$. Le test des différences ne suffit PAS, puisque les tables 1 et 2 le passent toutes deux ; c'est le rapport qui les sépare.

$a=\dfrac{10-4}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$. Dans l'autre ordre : $a=\dfrac{4-10}{1-3}=\dfrac{-6}{-2}=3$. Même résultat : l'ordre des deux points n'a pas d'importance, pourvu qu'on le respecte en haut ET en bas. L'erreur classique est de mélanger, $\dfrac{10-4}{1-3}=-3$, qui donne le signe opposé.

$a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. Le taux est NÉGATIF : quand $x$ augmente de $1$, $y$ DIMINUE de $2$. La fonction est décroissante, la droite descend vers la droite. Le piège de cette question est le dénominateur, $4-(-2)=6$ et non $2$ : soustraire un négatif, c'est additionner.

Il a divisé une VALEUR de $y$ par une VALEUR de $x$, au lieu de diviser un ÉCART de $y$ par un ÉCART de $x$. Ce qu'il calcule, $\dfrac{6}{2}$, est le rapport $\dfrac{y}{x}$ du premier point, qui ne dit rien du second. Vrais taux : $\dfrac{12-6}{4-2}=3$ pour le premier couple, ce qui coïncide par hasard, et $\dfrac{8-6}{4-2}=1$ pour le second. Deux fonctions différentes, un même faux calcul : c'est le fil du chapitre, le taux est un rapport d'écarts.

Taux entre $(0\,;1)$ et $(2\,;5)$ : $\dfrac{5-1}{2-0}=2$. Taux entre $(2\,;5)$ et $(5\,;10)$ : $\dfrac{10-5}{5-2}=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$. Les deux taux sont différents, donc les trois points ne sont PAS alignés : sur une droite, le taux est le même entre n'importe quels deux points. C'est le test d'alignement de tout le chapitre, et c'est aussi la raison pour laquelle une fonction de degré $1$ n'a besoin que de deux points pour être connue.

La droite coupe l'axe vertical en $(0\,;-2)$, donc $b=-2$. Taux : $a=\dfrac{4-(-2)}{2-0}=\dfrac{6}{2}=3$. Règle : $y=3x-2$. Vérification avec le second point : $3\times 2-2=4$. Sur le dessin, on peut aussi lire $a$ en comptant : de $(0\,;-2)$ à $(2\,;4)$, on avance de $2$ et on monte de $6$, donc $3$ par unité.

$a=\dfrac{-2-7}{4-1}=\dfrac{-9}{3}=-3$. Puis on remplace un des points dans $y=-3x+b$ : avec $(1\,;7)$, $7=-3+b$, donc $b=10$. Règle : $y=-3x+10$. Vérification avec l'AUTRE point : $-3\times 4+10=-2$. Il faut toujours vérifier avec le point qui n'a pas servi à calculer $b$ : c'est le seul qui puisse révéler une erreur de taux.

Variation directe : $b=0$, la règle est $y=ax$. Avec $(6\,;15)$ : $15=6a$, donc $a=\dfrac{15}{6}=2{,}5$. Règle : $y=2{,}5x$. Un seul point suffit ici, parce que le second est connu d'avance : l'origine. Le taux est aussi le rapport $\dfrac{y}{x}$ de n'importe quel point, ce qui n'est vrai QUE pour une variation directe.

$y=-\dfrac{1}{2}x+b$ avec $(-4\,;9)$ : $9=-\dfrac{1}{2}\times(-4)+b=2+b$, donc $b=7$. Règle : $y=-\dfrac{1}{2}x+7$. Vérification : $-\dfrac{1}{2}\times(-4)+7=2+7=9$. Le signe est le piège : $-\dfrac{1}{2}\times(-4)=+2$, et écrire $-2$ donne $b=11$, une droite qui ne passe pas par le point.

Ordonnée à l'origine : $(0\,;5)$. Taux $-2$ : on avance de $1$ et on DESCEND de $2$, ce qui donne $(1\,;3)$. On trace la droite par ces deux points ; un troisième, $(2\,;1)$, sert de contrôle. La droite descend, ce qui est cohérent avec un taux négatif. Sur la figure du corrigé, c'est la droite qui coupe l'axe vertical en $5$.

Ordonnée à l'origine : $(0\,;-1)$. Taux $\dfrac{3}{4}$ : on avance de $4$ et on monte de $3$, ce qui donne $(4\,;2)$. Les deux pointillés de la figure montrent le déplacement : $4$ vers la droite, puis $3$ vers le haut. On trace la droite ; contrôle avec $(8\,;5)$ ou, vers la gauche, $(-4\,;-4)$.

Les deux droites se croisent un peu après $x=2$, vers $x\approx 2{,}2$. Calcul : $-2x+5=\dfrac{3}{4}x-1$, on multiplie par $4$, $-8x+20=3x-4$, donc $24=11x$ et $x=\dfrac{24}{11}\approx 2{,}18$. Puis $y=-2\times\dfrac{24}{11}+5=\dfrac{7}{11}\approx 0{,}64$. La lecture graphique donnait le bon ordre de grandeur ; le calcul donne la valeur exacte, comme dans le chapitre des systèmes.

Avancer de $1$ oblige à monter de $\dfrac{3}{4}=0{,}75$, un point qui ne tombe pas sur le quadrillage et qu'on place mal ; l'erreur de placement, même petite, se propage sur toute la droite. Avancer de $4$ fait monter de $3$, un nœud exact du quadrillage. Règle : avec un taux $\dfrac{p}{q}$ en fraction irréductible, on avance de $q$ et on monte de $p$ (ou on descend si $p<0$). Plus les deux points sont éloignés, plus la droite tracée est précise.

Le taux $a=1{,}75$ est le prix PAR KILOMÈTRE, en dollars par km : chaque kilomètre de plus ajoute $1{,}75$ dollar. L'ordonnée à l'origine $b=3{,}50$ est le coût pour $d=0$, en dollars : ce qu'on paie en montant dans le taxi, avant d'avoir roulé, les frais fixes. Le taux porte l'unité de $y$ divisée par l'unité de $x$ ; l'ordonnée à l'origine porte l'unité de $y$ seule.

$C(12)=1{,}75\times 12+3{,}50=21+3{,}50=24{,}50$ dollars. Pour la distance : $1{,}75d+3{,}50=24{,}50$, donc $1{,}75d=21$ et $d=12$ km. Les deux questions sont réciproques l'une de l'autre, et le résultat le confirme : $12$ km coûtent $24{,}50$ dollars, $24{,}50$ dollars paient $12$ km.

Le taux répond directement : $8$ km de plus coûtent $8\times 1{,}75=14$ dollars de plus, quelle que soit la distance de départ. C'est la propriété fondamentale de la variation à taux constant, l'augmentation de $y$ ne dépend que de l'augmentation de $x$. Vérification : $C(20)-C(12)=38{,}50-24{,}50=14$.

$C=2{,}25d$ est une variation DIRECTE : pas de frais fixes, le coût est proportionnel à la distance, la droite passe par l'origine. Même prix quand $2{,}25d=1{,}75d+3{,}50$, soit $0{,}50d=3{,}50$ et $d=7$ km, où les deux facturent $15{,}75$ dollars. Pour une LONGUE course, la première compagnie est moins chère : son taux, $1{,}75$, est plus petit, et à partir de $7$ km ses frais fixes sont amortis. Pour une course courte, la seconde gagne. C'est le taux qui décide à long terme, et l'ordonnée à l'origine qui décide au départ.

$4x-10=0$ donne $x=\dfrac{10}{4}=2{,}5$. Sur le graphique, la droite coupe l'axe horizontal en $x=2{,}5$, entre $2$ et $3$, exactement au milieu. La fonction est NÉGATIVE à gauche du zéro, sur $]-\infty\,;2{,}5[$, où la droite est sous l'axe, et POSITIVE à droite, sur $]2{,}5\,;+\infty[$. Avec un taux positif, la fonction passe du négatif au positif en traversant son zéro.

$-3x+7=0$ donne $x=\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33$. $\dfrac{2}{5}x+4=0$ donne $\dfrac{2}{5}x=-4$, $x=-4\times\dfrac{5}{2}=-10$. Dans le second cas, le zéro est négatif : la droite coupe l'axe horizontal à gauche de l'origine. La formule $x=-\dfrac{b}{a}$ donne les deux : $-\dfrac{7}{-3}=\dfrac{7}{3}$ et $-\dfrac{4}{2/5}=-10$.

$y=7$ n'a AUCUN zéro : la droite est horizontale à la hauteur $7$ et ne coupe jamais l'axe horizontal ; l'équation $7=0$ n'a pas de solution. $y=0$ est un cas à part : c'est l'axe horizontal lui-même, et TOUT $x$ est un zéro, il y en a une infinité. Entre les deux, toute fonction de degré $1$ avec $a\neq 0$ a exactement un zéro.

Il confond les deux axes : $-10$ est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, l'endroit où la droite coupe l'axe VERTICAL, le point $(0\,;-10)$. Le zéro est l'endroit où elle coupe l'axe HORIZONTAL, le point $(2{,}5\,;0)$. Les deux sont des « intersections avec un axe », mais pas le même : le zéro est une valeur de $x$, l'ordonnée à l'origine une valeur de $y$. C'est l'erreur d'axe du chapitre précédent, et elle revient ici sous un nouveau déguisement.