Exercices corrigés : la fonction polynomiale de degré 1 : variations directe et partielle (math, secondaire 3)

a) Table 1 : $y$ vaut $3$, $6$, $9$, $12$, $15$ ; les différences valent toutes $3$. Table 2 : $y$ vaut $5$, $8$, $11$, $14$, $17$ ; différences toutes égales à $3$ aussi. Table 3 : $y$ vaut $7$, $7$, $7$, $7$, $7$ ; différences nulles. Dans les trois cas, la différence est CONSTANTE, et c'est ce qui caractérise une fonction de degré $1$ : à pas égaux en $x$, pas égaux en $y$. Cette différence est le taux de variation $a$ : $3$, $3$ et $0$.

b) Table 1 : $\dfrac{3}{1}=3$, $\dfrac{6}{2}=3$, $\dfrac{9}{3}=3$, $\dfrac{12}{4}=3$, $\dfrac{15}{5}=3$ : constant. Table 2 : $\dfrac{5}{1}=5$, $\dfrac{8}{2}=4$, $\dfrac{11}{3}\approx 3{,}67$ : pas constant. Table 3 : $\dfrac{7}{1}=7$, $\dfrac{7}{2}=3{,}5$ : pas constant. Seule la table 1 a un rapport $\dfrac{y}{x}$ constant : c'est la marque de la PROPORTIONNALITÉ, donc de la variation directe. Les tables 2 et 3 ont un taux constant mais un rapport variable.

c) Table 1 : variation directe, $y=3x$, la droite passe par l'origine, $(0\,;0)$ en fait partie. Table 2 : variation partielle, $y=3x+2$ ; pour trouver le $2$, on prolonge la table vers $x=0$ en retirant $3$ à $5$, ou on résout $5=3\times 1+b$. Table 3 : variation nulle, $y=7$, la règle n'a plus de $x$. Les tables 1 et 2 ont le même taux $3$ : leurs droites sont parallèles, décalées de $2$ vers le haut.

d) Le test du rapport : si $\dfrac{y}{x}$ est le même pour tous les couples, la variation est directe ; sinon, elle est partielle. Autre formulation : si doubler $x$ double $y$, c'est direct. Table 1 : $x=2$ donne $6$ et $x=4$ donne $12$, le double. Table 2 : $x=2$ donne $8$ et $x=4$ donne $14$, pas $16$. Le test des différences ne suffit PAS, puisque les tables 1 et 2 le passent toutes deux ; c'est le rapport qui les sépare.

a) $a=\dfrac{10-4}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$. Dans l'autre ordre : $a=\dfrac{4-10}{1-3}=\dfrac{-6}{-2}=3$. Même résultat : l'ordre des deux points n'a pas d'importance, pourvu qu'on le respecte en haut ET en bas. L'erreur classique est de mélanger, $\dfrac{10-4}{1-3}=-3$, qui donne le signe opposé.

b) $a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. Le taux est NÉGATIF : quand $x$ augmente de $1$, $y$ DIMINUE de $2$. La fonction est décroissante, la droite descend vers la droite. Le piège de cette question est le dénominateur, $4-(-2)=6$ et non $2$ : soustraire un négatif, c'est additionner.

c) Il a divisé une VALEUR de $y$ par une VALEUR de $x$, au lieu de diviser un ÉCART de $y$ par un ÉCART de $x$. Ce qu'il calcule, $\dfrac{6}{2}$, est le rapport $\dfrac{y}{x}$ du premier point, qui ne dit rien du second. Vrais taux : $\dfrac{12-6}{4-2}=3$ pour le premier couple, ce qui coïncide par hasard, et $\dfrac{8-6}{4-2}=1$ pour le second. Deux fonctions différentes, un même faux calcul : c'est le fil du chapitre, le taux est un rapport d'écarts.

d) Taux entre $(0\,;1)$ et $(2\,;5)$ : $\dfrac{5-1}{2-0}=2$. Taux entre $(2\,;5)$ et $(5\,;10)$ : $\dfrac{10-5}{5-2}=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$. Les deux taux sont différents, donc les trois points ne sont PAS alignés : sur une droite, le taux est le même entre n'importe quels deux points. C'est le test d'alignement de tout le chapitre, et c'est aussi la raison pour laquelle une fonction de degré $1$ n'a besoin que de deux points pour être connue.

a) La droite coupe l'axe vertical en $(0\,;-2)$, donc $b=-2$. Taux : $a=\dfrac{4-(-2)}{2-0}=\dfrac{6}{2}=3$. Règle : $y=3x-2$. Vérification avec le second point : $3\times 2-2=4$. Sur le dessin, on peut aussi lire $a$ en comptant : de $(0\,;-2)$ à $(2\,;4)$, on avance de $2$ et on monte de $6$, donc $3$ par unité.

b) $a=\dfrac{-2-7}{4-1}=\dfrac{-9}{3}=-3$. Puis on remplace un des points dans $y=-3x+b$ : avec $(1\,;7)$, $7=-3+b$, donc $b=10$. Règle : $y=-3x+10$. Vérification avec l'AUTRE point : $-3\times 4+10=-2$. Il faut toujours vérifier avec le point qui n'a pas servi à calculer $b$ : c'est le seul qui puisse révéler une erreur de taux.

c) Variation directe : $b=0$, la règle est $y=ax$. Avec $(6\,;15)$ : $15=6a$, donc $a=\dfrac{15}{6}=2{,}5$. Règle : $y=2{,}5x$. Un seul point suffit ici, parce que le second est connu d'avance : l'origine. Le taux est aussi le rapport $\dfrac{y}{x}$ de n'importe quel point, ce qui n'est vrai QUE pour une variation directe.

d) $y=-\dfrac{1}{2}x+b$ avec $(-4\,;9)$ : $9=-\dfrac{1}{2}\times(-4)+b=2+b$, donc $b=7$. Règle : $y=-\dfrac{1}{2}x+7$. Vérification : $-\dfrac{1}{2}\times(-4)+7=2+7=9$. Le signe est le piège : $-\dfrac{1}{2}\times(-4)=+2$, et écrire $-2$ donne $b=11$, une droite qui ne passe pas par le point.

a) Ordonnée à l'origine : $(0\,;5)$. Taux $-2$ : on avance de $1$ et on DESCEND de $2$, ce qui donne $(1\,;3)$. On trace la droite par ces deux points ; un troisième, $(2\,;1)$, sert de contrôle. La droite descend, ce qui est cohérent avec un taux négatif. Sur la figure du corrigé, c'est la droite qui coupe l'axe vertical en $5$.

b) Ordonnée à l'origine : $(0\,;-1)$. Taux $\dfrac{3}{4}$ : on avance de $4$ et on monte de $3$, ce qui donne $(4\,;2)$. Les deux pointillés de la figure montrent le déplacement : $4$ vers la droite, puis $3$ vers le haut. On trace la droite ; contrôle avec $(8\,;5)$ ou, vers la gauche, $(-4\,;-4)$.

c) Les deux droites se croisent un peu après $x=2$, vers $x\approx 2{,}2$. Calcul : $-2x+5=\dfrac{3}{4}x-1$, on multiplie par $4$, $-8x+20=3x-4$, donc $24=11x$ et $x=\dfrac{24}{11}\approx 2{,}18$. Puis $y=-2\times\dfrac{24}{11}+5=\dfrac{7}{11}\approx 0{,}64$. La lecture graphique donnait le bon ordre de grandeur ; le calcul donne la valeur exacte, comme dans le chapitre des systèmes.

d) Avancer de $1$ oblige à monter de $\dfrac{3}{4}=0{,}75$, un point qui ne tombe pas sur le quadrillage et qu'on place mal ; l'erreur de placement, même petite, se propage sur toute la droite. Avancer de $4$ fait monter de $3$, un nœud exact du quadrillage. Règle : avec un taux $\dfrac{p}{q}$ en fraction irréductible, on avance de $q$ et on monte de $p$ (ou on descend si $p<0$). Plus les deux points sont éloignés, plus la droite tracée est précise.

a) Le taux $a=1{,}75$ est le prix PAR KILOMÈTRE, en dollars par km : chaque kilomètre de plus ajoute $1{,}75$ dollar. L'ordonnée à l'origine $b=3{,}50$ est le coût pour $d=0$, en dollars : ce qu'on paie en montant dans le taxi, avant d'avoir roulé, les frais fixes. Le taux porte l'unité de $y$ divisée par l'unité de $x$ ; l'ordonnée à l'origine porte l'unité de $y$ seule.

b) $C(12)=1{,}75\times 12+3{,}50=21+3{,}50=24{,}50$ dollars. Pour la distance : $1{,}75d+3{,}50=24{,}50$, donc $1{,}75d=21$ et $d=12$ km. Les deux questions sont réciproques l'une de l'autre, et le résultat le confirme : $12$ km coûtent $24{,}50$ dollars, $24{,}50$ dollars paient $12$ km.

c) Le taux répond directement : $8$ km de plus coûtent $8\times 1{,}75=14$ dollars de plus, quelle que soit la distance de départ. C'est la propriété fondamentale de la variation à taux constant, l'augmentation de $y$ ne dépend que de l'augmentation de $x$. Vérification : $C(20)-C(12)=38{,}50-24{,}50=14$.

d) $C=2{,}25d$ est une variation DIRECTE : pas de frais fixes, le coût est proportionnel à la distance, la droite passe par l'origine. Même prix quand $2{,}25d=1{,}75d+3{,}50$, soit $0{,}50d=3{,}50$ et $d=7$ km, où les deux facturent $15{,}75$ dollars. Pour une LONGUE course, la première compagnie est moins chère : son taux, $1{,}75$, est plus petit, et à partir de $7$ km ses frais fixes sont amortis. Pour une course courte, la seconde gagne. C'est le taux qui décide à long terme, et l'ordonnée à l'origine qui décide au départ.

a) $4x-10=0$ donne $x=\dfrac{10}{4}=2{,}5$. Sur le graphique, la droite coupe l'axe horizontal en $x=2{,}5$, entre $2$ et $3$, exactement au milieu. La fonction est NÉGATIVE à gauche du zéro, sur $]-\infty\,;2{,}5[$, où la droite est sous l'axe, et POSITIVE à droite, sur $]2{,}5\,;+\infty[$. Avec un taux positif, la fonction passe du négatif au positif en traversant son zéro.

b) $-3x+7=0$ donne $x=\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33$. $\dfrac{2}{5}x+4=0$ donne $\dfrac{2}{5}x=-4$, $x=-4\times\dfrac{5}{2}=-10$. Dans le second cas, le zéro est négatif : la droite coupe l'axe horizontal à gauche de l'origine. La formule $x=-\dfrac{b}{a}$ donne les deux : $-\dfrac{7}{-3}=\dfrac{7}{3}$ et $-\dfrac{4}{2/5}=-10$.

c) $y=7$ n'a AUCUN zéro : la droite est horizontale à la hauteur $7$ et ne coupe jamais l'axe horizontal ; l'équation $7=0$ n'a pas de solution. $y=0$ est un cas à part : c'est l'axe horizontal lui-même, et TOUT $x$ est un zéro, il y en a une infinité. Entre les deux, toute fonction de degré $1$ avec $a\neq 0$ a exactement un zéro.

d) Il confond les deux axes : $-10$ est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, l'endroit où la droite coupe l'axe VERTICAL, le point $(0\,;-10)$. Le zéro est l'endroit où elle coupe l'axe HORIZONTAL, le point $(2{,}5\,;0)$. Les deux sont des « intersections avec un axe », mais pas le même : le zéro est une valeur de $x$, l'ordonnée à l'origine une valeur de $y$. C'est l'erreur d'axe du chapitre précédent, et elle revient ici sous un nouveau déguisement.

a) Vitesse : $\dfrac{45}{3}=15$ km/h, c'est le taux de variation. Distance $d=15t$ : variation DIRECTE, pas de distance au départ. En $5$ h : $75$ km. En $30$ min, soit $0{,}5$ h : $7{,}5$ km. On peut aussi raisonner par proportionnalité : $5$ h, c'est $\dfrac{5}{3}$ de $3$ h, donc $\dfrac{5}{3}\times 45=75$ km. Les deux méthodes coïncident parce que la variation est directe.

b) Coût : $C=60h+80$. $C(2)=200$ dollars et $C(4)=320$ dollars. Non : $320$ n'est pas le double de $200$. Les $80$ dollars de déplacement sont payés une seule fois, quelle que soit la durée, et c'est ce terme constant qui casse la proportionnalité. La variation est PARTIELLE : taux constant, mais rapport $\dfrac{C}{h}$ variable, $100$ dollars par heure pour $2$ h, $80$ pour $4$ h.

c) Pour $x=4$ : $y=10$, rapport $\dfrac{10}{4}=2{,}5$. Pour $x=10$ : $y=25$, rapport $2{,}5$. Toujours $a$, c'est la définition. Pour $x=0$ : $y=0$, et le rapport $\dfrac{0}{0}$ n'est PAS défini ; le point $(0\,;0)$ appartient à la droite mais ne permet pas de calculer le taux. C'est pour cela que le test du rapport constant s'énonce « pour tout $x\neq 0$ ».

d) Chez le cycliste, la distance est proportionnelle au temps : doubler le temps double la distance, $d(6)=90=2\times 45$. Chez le plombier, $C(3)=260$ mais $C(6)=440$, pas $520$ : en doublant la durée, on ne double que la partie horaire, $180$ devient $360$, et les $80$ dollars fixes restent $80$. La règle de trois ne s'applique qu'aux variations DIRECTES. Devant un énoncé, la question à se poser est « y a-t-il une partie fixe ? » : si oui, pas de règle de trois.

a) A : taux $\dfrac{335-170}{5-2}=\dfrac{165}{3}=55$ dollars par heure. Puis $170=55\times 2+b$, donc $b=60$. Règle : $C_{A}=55h+60$. B : taux $\dfrac{300-160}{4-2}=\dfrac{140}{2}=70$ dollars par heure. Puis $160=70\times 2+b$, donc $b=20$. Règle : $C_{B}=70h+20$. Le taux est le tarif HORAIRE, l'ordonnée à l'origine le montant fixe, déplacement ou ouverture de dossier. Vérification : $C_{A}(5)=335$ et $C_{B}(4)=300$.

b) $55h+60=70h+20$, donc $40=15h$ et $h=\dfrac{40}{15}=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67$ heures, soit $2$ h $40$ min. Montant : $55\times\dfrac{8}{3}+60=\dfrac{440}{3}+60=\dfrac{620}{3}\approx 206{,}67$ dollars. Le point d'intersection des deux droites est $\left(\dfrac{8}{3}\,;\dfrac{620}{3}\right)$, marqué sur le graphique.

c) Pour $1$ heure : $C_{A}=115$ et $C_{B}=90$, B est moins cher ; sur le graphique, à gauche du croisement, la droite de B est en dessous. Pour $4$ heures : $C_{A}=280$ et $C_{B}=300$, A est moins cher ; à droite du croisement, la droite de A est en dessous. B a des frais fixes plus bas ($20$ contre $60$) mais un taux plus élevé ($70$ contre $55$) : il gagne les petites réparations et perd les longues. C'est la droite la moins RAIDE qui finit toujours en dessous.

d) Nouveau tarif de B : $C_{B}=70h$, variation directe. Égalité : $55h+60=70h$, donc $60=15h$ et $h=4$ heures, où les deux facturent $280$ dollars. Oui, il existe encore une durée d'égalité, plus longue qu'avant : en baissant ses frais fixes, B repousse le moment où A devient moins cher, de $2{,}67$ h à $4$ h. Mais il ne l'annule pas : tant que le taux de B reste supérieur, la droite de A finira par passer en dessous.

a) Taux : $\dfrac{19-25}{2-0}=\dfrac{-6}{2}=-3$ cm par heure. Ordonnée à l'origine : $25$, la hauteur à $t=0$. Règle : $H=-3t+25$. Le taux NÉGATIF dit que la chandelle perd $3$ cm chaque heure ; la fonction est décroissante. L'ordonnée à l'origine est la hauteur initiale, ce qu'on avait avant que le temps ne commence à agir.