Exercices corrigés : les fonctions définies par parties (math TS, secondaire 4)

$-3<-1$, donc c'est le premier morceau : $f(-3)=-2(-3)-1=6-1=5$. Pour $x=-1$, l'intervalle du deuxième morceau est $-1\le x\le 2$, borne COMPRISE, donc $f(-1)=(-1)^{2}=1$. Pour $x=0$, encore le deuxième : $f(0)=0$. L'ordre des gestes compte : chercher l'intervalle, puis calculer. Calculer d'abord avec la mauvaise règle est l'erreur la plus fréquente, et elle ne se voit pas dans le résultat, ce qui la rend chère.

$x=2$ appartient au DEUXIÈME morceau, dont l'intervalle est fermé en $2$ : $f(2)=2^{2}=4$. Le troisième morceau ne commence qu'APRÈS $2$, puisque son intervalle est $x>2$, strict. Pour $x=5$, c'est le troisième : $f(5)=5$, la fonction y est constante. Sur la figure, on voit un point plein en $(2\,;4)$ et un point creux en $(2\,;5)$ : la fonction fait un SAUT en $2$.

L'abscisse $-1$ appartient au deuxième morceau, dont l'intervalle est fermé de ce côté, le premier s'arrêtant à $x<-1$. Si les deux la prenaient, il faudrait que les deux règles donnent la MÊME image, sans quoi $f(-1)$ aurait deux valeurs et l'objet ne serait plus une fonction. Ici les deux règles donnent $1$ toutes les deux, donc le recouvrement serait sans danger, mais on ne l'écrit pas : une définition propre attribue chaque abscisse à un seul morceau.

Le domaine est la RÉUNION des trois intervalles : $]-\infty\,;-1[\,\cup\,[-1\,;2]\,\cup\,]2\,;+\infty[$, c'est-à-dire $\mathbb{R}$ tout entier. Il faut le vérifier et non le supposer : si un morceau s'arrêtait à $x<2$ et le suivant commençait à $x>2$, l'abscisse $2$ n'aurait aucune image et le domaine aurait un TROU.

Parce qu'une fonction associe à chaque abscisse UNE SEULE image. Deux morceaux se recouvrant avec des règles différentes donneraient deux images à la même abscisse, et la courbe aurait deux points superposés sur la même verticale, ce qu'aucune fonction ne permet. Les intervalles des morceaux forment donc une partition du domaine : ils ne se chevauchent pas et ne laissent pas de trou.

$g(-4)=-4+3=-1$ ; $g(-2)=-2+3=1$ ; pour $x=-1$, c'est le DEUXIÈME morceau, fermé de ce côté, donc $g(-1)=-1$ ; $g(0)=-1$, la fonction y est constante ; pour $x=1$, c'est le troisième morceau, fermé lui aussi, donc $g(1)=2-3=-1$ ; et $g(4)=8-3=5$.

Le domaine est $[-4\,;4]$, réunion de $[-4\,;-1[$, $[-1\,;1[$ et $[1\,;4]$. Les trois intervalles se suivent sans trou et sans recouvrement : chaque borne intérieure est fermée d'un côté et ouverte de l'autre, ce qui est exactement la bonne façon d'écrire une définition par parties.

Le tracé est dans le corrigé. Trois morceaux : un segment montant de $(-4\,;-1)$ jusqu'à $(-1\,;2)$ NON COMPRIS, donc point creux ; un segment horizontal à la hauteur $-1$, de $(-1\,;-1)$ COMPRIS jusqu'à $(1\,;-1)$ non compris ; et un segment montant de $(1\,;-1)$ compris jusqu'à $(4\,;5)$ compris. En $x=1$, le point creux du deuxième morceau et le point plein du troisième sont au MÊME endroit : on ne garde que le point plein.

L'image est la réunion des images des trois morceaux. Le premier donne $[-1\,;2[$, le deuxième $\{-1\}$, le troisième $[-1\,;5]$. La réunion vaut $[-1\,;5]$. On lit bien cette réunion sur le tracé, en projetant la courbe sur l'axe vertical, et l'on vérifie qu'aucune valeur n'est oubliée : la valeur $2$, exclue par le premier morceau, est atteinte par le troisième, en $x=2{,}5$.

En $x=-1$. Le premier morceau s'approche de $2$ quand $x$ tend vers $-1$ par la gauche, alors que le deuxième vaut $-1$ à partir de $-1$. Le saut mesure $2-(-1)=3$ unités. En $x=1$, au contraire, les deux morceaux donnent la même valeur $-1$ : il n'y a pas de saut, les morceaux se raccordent. Une fonction définie par parties peut donc sauter à une borne et pas à l'autre.

Le morceau de gauche est horizontal à la hauteur $2$, de $x=-5$ à $x=-2$ : sa règle est $h(x)=2$, sur $[-5\,;-2[$. La pente d'un segment horizontal est nulle, donc la règle ne contient pas de $x$. La borne droite est ouverte parce que le morceau suivant prend l'abscisse $-2$, et l'on ne peut pas la donner aux deux.

Le morceau du milieu passe par $(-2\,;2)$ et $(1\,;-1)$. La pente vaut $\dfrac{-1-2}{1-(-2)}=\dfrac{-3}{3}=-1$. Avec le point $(1\,;-1)$ : $-1=-1\times 1+b$, donc $b=0$. La règle est $h(x)=-x$, sur $[-2\,;1[$. Vérification sur l'autre point : $-(-2)=2$, c'est juste.

Le morceau de droite passe par $(1\,;-1)$ et $(3\,;5)$. La pente vaut $\dfrac{5-(-1)}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$. Avec le point $(1\,;-1)$ : $-1=3+b$, donc $b=-4$. La règle est $h(x)=3x-4$, sur $[1\,;3]$. Vérification : $3\times 3-4=5$, c'est juste.

En $x=-2$ : le morceau de gauche s'approche de $2$ et le morceau du milieu vaut $-(-2)=2$. Les deux valeurs coïncident, donc les morceaux se RACCORDENT. En $x=1$ : le morceau du milieu s'approche de $-1$ et celui de droite vaut $3\times 1-4=-1$. Ils se raccordent aussi. La courbe se trace donc d'un seul trait, sans lever le crayon, ce que confirme la figure : aucun point creux n'y figure à l'intérieur.

Le domaine est $[-5\,;3]$, la réunion des trois intervalles. Pour l'image : le premier morceau donne $\{2\}$, le deuxième $]-1\,;2]$, le troisième $[-1\,;5]$. La réunion vaut $[-1\,;5]$. Le plus petit résultat est $-1$, atteint en $x=1$, et le plus grand est $5$, atteint en $x=3$ : on les lit aux extrémités et aux points de raccord, jamais ailleurs, puisque les morceaux sont des segments.

Avec la règle de gauche : $3\times 2+1=7$. Avec celle de droite : $2^{2}+3=4+3=7$. Les deux valeurs coïncident, donc il n'y a PAS de saut : la courbe se raccorde en $(2\,;7)$. Remarquez qu'on a calculé la règle de gauche EN $2$, alors que son intervalle exclut $2$ : c'est permis, on regarde vers quoi le morceau se dirige, et c'est justement ce que le test demande.

Avec la règle de gauche : $1^{2}=1$. Avec celle de droite : $2\times 1+3=5$. Les deux valeurs diffèrent, donc la courbe SAUTE en $x=1$. La fonction existe bel et bien en $1$, elle y vaut $1$, mais la courbe se casse : un point plein en $(1\,;1)$, un point creux en $(1\,;5)$.

Avec la règle de gauche : $-3+4=1$. Avec celle de droite : $2\times 3-5=1$. Égalité, donc raccord en $(3\,;1)$. Une fonction faite de deux morceaux très différents peut donc être parfaitement continue : ce n'est pas la ressemblance des règles qui compte, c'est leur valeur à la borne.

C'est $g$ qui saute, en $x=1$. La hauteur du saut est $5-1=4$ unités. La fonction prend vraiment la valeur $1$ à la borne, parce que c'est le morceau FERMÉ, $x\le 1$, qui contient l'abscisse $1$. La valeur $5$ n'est jamais atteinte en $x=1$ : elle n'est qu'approchée par la droite, d'où le point creux.

Parce que le raccord est une question LOCALE : elle ne se pose qu'à l'endroit où l'on change de règle. Ailleurs, un seul morceau s'applique et il n'y a rien à comparer. Comparer les deux règles en un point quelconque, par exemple en $x=0$ pour la fonction $g$, ne dirait rien du tout : $0^{2}=0$ et $2\times 0+3=3$ diffèrent, alors que la fonction est parfaitement définie et sans saut en $0$, où seul le premier morceau s'applique.

Valide, mais de justesse. Les deux intervalles se RECOUVRENT en $x=2$, ce qui est dangereux ; il se trouve que les deux règles y donnent la même image : $3\times 2=6$ et $2+4=6$. Il n'y a donc pas de contradiction, et la fonction est bien définie sur $\mathbb{R}$. En évaluation, on l'écrit quand même proprement, avec une borne stricte d'un côté, parce que le correcteur ne devrait pas avoir à vérifier une coïncidence.

Non valide sur $\mathbb{R}$. L'abscisse $3$ n'est dans aucun des deux intervalles, puisque les deux sont stricts : elle n'a donc aucune image, c'est un TROU. La fonction existe, mais son domaine est $]-\infty\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$, et il faut l'écrire ainsi si l'on garde cette définition.

Non valide. L'abscisse $0$ appartient aux deux intervalles, et les deux règles y donnent des images différentes : $0+5=5$ d'un côté, $0-1=-1$ de l'autre. Une abscisse aurait deux images, ce qu'aucune fonction ne permet. C'est la faute la plus grave des trois, parce qu'elle ne se répare pas en changeant le domaine.

Pour $g$, il suffit de fermer UNE des deux bornes : $g(x)=x^{2}$ si $x\le 3$ et $g(x)=2x$ si $x>3$. Le trou est bouché et le domaine redevient $\mathbb{R}$. Pour $k$, il suffit de rendre stricte une des deux inégalités : $k(x)=x+5$ si $x<0$ et $k(x)=x-1$ si $x\ge 0$. La contradiction disparaît, et la fonction saute en $0$, ce qui est parfaitement permis.

Les intervalles des morceaux doivent former une PARTITION du domaine : ils le couvrent entièrement et ne se chevauchent pas, sauf en des points où les règles donnent la même image. Le contrôle pratique tient en deux gestes : à chaque borne intérieure, vérifier qu'elle est prise par exactement un morceau, et vérifier qu'aucune abscisse n'a été oubliée.

Premier morceau : $-2x-1=0$ donne $x=-0{,}5$, qui n'est PAS dans $]-\infty\,;-1[$ : rejeté. Deuxième morceau : $x^{2}=0$ donne $x=0$, qui est bien dans $[-1\,;2]$ : gardé. Troisième morceau : la fonction y vaut $5$, jamais $0$ : aucune solution. L'unique solution est $x=0$. La vérification d'appartenance n'est pas une formalité : sans elle, on livre $-0{,}5$, une abscisse où la fonction vaut $0{,}25$ et non $0$.

Premier morceau : $-2x-1=1$ donne $x=-1$, qui n'est pas dans $]-\infty\,;-1[$, borne exclue : rejeté. Deuxième morceau : $x^{2}=1$ donne $x=-1$ ET $x=1$, tous deux dans $[-1\,;2]$ : gardés. Troisième : rien. Les solutions sont $x=-1$ et $x=1$. Le cas de $-1$ est instructif : la même valeur est rejetée dans un morceau et acceptée dans l'autre, et c'est bien la borne qui tranche.

Premier morceau : $-2x-1=5$ donne $x=-3$, qui est dans $]-\infty\,;-1[$ : gardé. Deuxième : $x^{2}=5$ donne $x=\pm\sqrt{5}\approx\pm 2{,}24$, et ni l'un ni l'autre n'est dans $[-1\,;2]$ : rejetés. Troisième morceau : la fonction vaut $5$ pour TOUT $x>2$. L'ensemble-solution est donc $\{-3\}\cup\,]2\,;+\infty[$, un nombre isolé et un intervalle entier.

Premier morceau : $-2x-1=-2$ donne $x=0{,}5$, hors de l'intervalle : rejeté. Deuxième : $x^{2}=-2$ n'a aucune solution réelle, un carré n'étant jamais négatif. Troisième : $5\neq -2$. L'équation n'a AUCUNE solution, ce qui se lit aussi sur l'image trouvée à l'exercice 1 : la fonction ne descend jamais sous $0$.

Parce qu'une fonction interdit à une abscisse d'avoir deux images, jamais à deux abscisses d'avoir la même image. Une horizontale peut donc couper la courbe autant de fois qu'elle veut, alors qu'une verticale ne doit la couper qu'une fois. La question c) en donne l'exemple extrême : une horizontale confondue avec tout un morceau, qui la coupe en une infinité de points.

Première phase : la vitesse part de zéro et augmente de $0{,}5$ par seconde, donc $v(t)=0{,}5t$ sur $[0\,;4[$. À la fin de cette phase, la vitesse vaut $0{,}5\times 4=2$ mètres par seconde. Deuxième phase : vitesse constante, $v(t)=2$ sur $[4\,;20]$. Troisième phase : la vitesse tombe de $2$ à $0$ en $5$ secondes, donc elle diminue de $\dfrac{2}{5}=0{,}4$ par seconde, et $v(t)=2-0{,}4(t-20)$ sur $]20\,;25]$.

$v(2)=0{,}5\times 2=1$ mètre par seconde. $v(10)=2$, la phase constante. $v(22)=2-0{,}4\times 2=2-0{,}8=1{,}2$ mètre par seconde. Chaque fois, on repère la phase avant de calculer : c'est le même geste qu'à l'exercice 1, dans un habillage physique.

On cherche $v(t)=1$ dans chaque morceau. Première phase : $0{,}5t=1$ donne $t=2$, qui est dans $[0\,;4[$ : gardé. Deuxième phase : la vitesse y vaut $2$, jamais $1$ : rien. Troisième phase : $2-0{,}4(t-20)=1$ donne $0{,}4(t-20)=1$, donc $t-20=2{,}5$ et $t=22{,}5$, qui est dans $]20\,;25]$ : gardé. La vitesse vaut donc $1$ mètre par seconde à deux instants, une fois en montant, une fois en descendant.

En $t=4$ : la première phase s'approche de $0{,}5\times 4=2$ et la deuxième vaut $2$. Raccord. En $t=20$ : la deuxième vaut $2$ et la troisième s'approche de $2-0{,}4\times 0=2$. Raccord également. C'est ce qu'on attend d'une vitesse : un saut signifierait un changement instantané de vitesse, donc une accélération infinie, ce qu'aucun moteur ne produit. Le modèle doit être continu, et le vérifier fait partie de la réponse.

Le domaine est $[0\,;25]$ : avant le démarrage et après l'arrêt, le modèle ne dit rien. L'image est $[0\,;2]$ : la vitesse part de zéro, monte jusqu'à $2$, y reste, puis redescend à zéro. Elle ne dépasse jamais $2$ mètres par seconde, valeur atteinte sur tout l'intervalle $[4\,;20]$.

Faux. L'abscisse $2$ appartient aux deux intervalles et les deux règles y donnent des images différentes : $2+1=3$ d'un côté, $3\times 2=6$ de l'autre. Une abscisse aurait deux images, ce qui est interdit. L'énoncé correct : on rend une des deux inégalités stricte, par exemple $x<2$ dans le premier morceau, et la fonction saute alors de $3$ à $6$ en $x=2$.

Faux. Le nombre de règles ne change rien : ce qui fait une fonction, c'est qu'à chaque abscisse du domaine corresponde UNE SEULE image. Une définition par parties le respecte tant que les intervalles ne se chevauchent pas. On peut d'ailleurs écrire n'importe quelle fonction par parties, en coupant son domaine où l'on veut.

Faux, c'est l'inverse. Même valeur des deux côtés, la courbe se RACCORDE et se trace sans lever le crayon. Un saut apparaît précisément quand les deux valeurs DIFFÈRENT, et sa hauteur est leur écart. L'énoncé correct : le test des deux règles à la borne décide, égalité pour un raccord, différence pour un saut.

Faux. Le domaine est la RÉUNION des intervalles des morceaux, et rien ne dit qu'elle couvre tout. Deux morceaux définis sur $x<3$ et $x>3$ laissent un trou en $3$ ; une fonction de tarif définie sur $[0\,;25]$ n'existe pas en dehors. On écrit donc le domaine en réunissant les intervalles, on ne le suppose pas.

Faux, et cette phrase n'a même pas de sens : $c$ est une IMAGE, les intervalles des morceaux portent sur les ABSCISSES. Il faut résoudre dans CHAQUE morceau, puis vérifier pour chaque solution trouvée qu'elle appartient à l'intervalle de son morceau. C'est cette vérification qui rejette les solutions parasites, et l'oublier est l'erreur la plus chère du chapitre.

Première phase : la tige part de $0$ et avance de $30$ mm par seconde, donc $p(t)=30t$ sur $[0\,;4[$. Au bout de $4$ secondes elle est à $30\times 4=120$ mm. Deuxième phase : position maintenue, $p(t)=120$ sur $[4\,;10]$. Troisième phase : la tige rentre à $40$ mm par seconde à partir de $120$ mm, donc $p(t)=120-40(t-10)$ sur $]10\,;13]$. L'écriture $t-10$ est essentielle : le temps de rentrée se compte à partir du DÉBUT de la phase, pas à partir de zéro.

$p(2)=30\times 2=60$ mm. $p(7)=120$ mm, phase de maintien. $p(12)=120-40\times 2=120-80=40$ mm. Contrôle de vraisemblance pour la dernière : deux secondes de rentrée à $40$ mm par seconde font $80$ mm parcourus, il doit donc rester $40$ mm, et c'est le cas.

Première phase : $30t=60$ donne $t=2$, dans $[0\,;4[$ : gardé. Deuxième phase : la position y vaut $120$, jamais $60$ : rien. Troisième phase : $120-40(t-10)=60$ donne $40(t-10)=60$, donc $t-10=1{,}5$ et $t=11{,}5$, dans $]10\,;13]$ : gardé. La tige passe donc à $60$ mm deux fois, une fois en sortant et une fois en rentrant.

La tige est rentrée quand $p(t)=0$ : $120-40(t-10)=0$ donne $t-10=3$, donc $t=13$ secondes. La durée totale du cycle est donc de $13$ secondes : $4$ de sortie, $6$ de maintien et $3$ de rentrée. On vérifie que la rentrée est plus rapide que la sortie, ce que les vitesses annonçaient, $40$ contre $30$ millimètres par seconde.

L'image est $[0\,;120]$ : la position va de la tige rentrée à la tige sortie de $120$ mm, sans jamais dépasser. La fonction est croissante sur $[0\,;4[$, constante sur $[4\,;10]$ et décroissante sur $]10\,;13]$. Les deux raccords tiennent : en $t=4$, les deux premières phases donnent $120$, et en $t=10$ les deux dernières aussi. Une position doit être continue, sans quoi la tige se serait téléportée.

Montée : $T(t)=20+16t$ sur $[0\,;50[$, ce qui donne $20+16\times 50=820$ degrés à la fin. Palier : $T(t)=820$ sur $[50\,;110]$. Refroidissement : $T(t)=820-10(t-110)$ sur $]110\,;190]$. La constante $20$ de la première règle est la température de départ, celle de l'atelier, et le décalage $t-110$ compte le temps écoulé depuis le début du refroidissement.

$T(30)=20+16\times 30=20+480=500$ degrés. $T(80)=820$ degrés, le palier. $T(150)=820-10\times 40=820-400=420$ degrés. Contrôle du dernier : $40$ minutes de refroidissement à $10$ degrés par minute font une chute de $400$ degrés, et le four est bien à mi-chemin de son retour.

Montée : $20+16t=620$ donne $16t=600$, donc $t=37{,}5$ minutes, dans $[0\,;50[$ : gardé. Palier : la température y vaut $820$, jamais $620$ : rien. Refroidissement : $820-10(t-110)=620$ donne $10(t-110)=200$, donc $t-110=20$ et $t=130$ minutes, dans $]110\,;190]$ : gardé. Le four passe donc à $620$ degrés à $37{,}5$ minutes en montant et à $130$ minutes en descendant.

On résout $T(t)\ge 700$ dans chaque morceau. Montée : $20+16t\ge 700$ donne $t\ge 42{,}5$, donc $[42{,}5\,;50[$. Palier : $820\ge 700$ est toujours vrai, donc tout $[50\,;110]$. Refroidissement : $820-10(t-110)\ge 700$ donne $t-110\le 12$, donc $]110\,;122]$. La réunion est $[42{,}5\,;122]$, un seul intervalle, et la durée cherchée vaut $122-42{,}5=79{,}5$ minutes. Réunir les trois morceaux AVANT de soustraire est ce qui évite de compter trois durées séparées.