Math TS, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : les fonctions définies par parties

Q: Comment savoir quelle règle utiliser pour calculer une image ?

On regarde d'abord dans quel intervalle tombe l'abscisse, et seulement ensuite on calcule. Quand l'abscisse est exactement une borne, elle appartient au morceau dont l'inégalité est large, celle qui contient le signe égal. C'est l'unique règle du chapitre, et l'erreur inverse est invisible dans le résultat, ce qui la rend coûteuse.

Q: Comment reconnaître un saut sans tracer la courbe ?

On calcule la borne avec la règle de gauche, puis avec celle de droite. Si les deux valeurs sont égales, les morceaux se raccordent et la courbe se trace sans lever le crayon. Si elles diffèrent, la courbe saute, et la hauteur du saut est leur écart. La ressemblance ou la différence des règles ne dit rien du tout.

Q: Une fonction définie par parties est-elle vraiment une fonction ?

Oui, tant que chaque abscisse reçoit une seule image. Le nombre de règles n'a aucune importance : ce qui compte est que les intervalles ne se chevauchent pas, ou qu'ils donnent la même image là où ils se chevauchent. On peut d'ailleurs écrire n'importe quelle fonction par parties, en coupant son domaine où l'on veut.

Q: Pourquoi faut-il vérifier qu'une solution appartient à son intervalle ?

Parce que résoudre dans un morceau revient à faire comme si sa règle valait partout. Une solution qui tombe en dehors de l'intervalle du morceau n'est donc pas une solution de la fonction : à cet endroit, c'est une autre règle qui s'applique, et elle donne autre chose. Cette vérification s'écrit, et elle rapporte des points.

Q: Comment écrire la règle d'une phase qui commence en cours de route ?

On part de la valeur atteinte à la fin de la phase précédente, puis on ajoute le taux de variation multiplié par le temps écoulé DEPUIS le début de la nouvelle phase, ce qui donne des écritures avec une différence entre parenthèses. Le contrôle est immédiat : en substituant la borne de début, on doit retrouver exactement la valeur de fin de la phase précédente.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des fonctions définies par parties du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : une seule fonction, plusieurs règles, un intervalle chacune.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une fonction définie par parties reste une fonction : chaque abscisse tombe dans exactement un morceau, et c'est la borne qui décide. Le tracé, le raccord et la résolution en découlent.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
5Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
6Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3

Notions couvertes

Fonction définie par parties
Morceau et intervalle
Borne ouverte ou fermée
Point plein et point creux
Raccord et saut
Domaine et image
Validité d'une définition
Résolution morceau par morceau
Modélisation par phases
Lecture graphique

L'essentiel

Une fonction, plusieurs règles, un intervalle chacune

• Chaque règle vient avec son intervalle, et les intervalles forment une PARTITION du domaine : ils le couvrent entièrement et ne se chevauchent pas.
• CHERCHER L'INTERVALLE D'ABORD, calculer ensuite. Calculer avec la mauvaise règle donne un nombre parfaitement crédible, et c'est ce qui rend l'erreur chère.
• LA BORNE appartient au morceau dont l'inégalité est LARGE. Sur le tracé, elle donne un point plein de ce côté et un point creux de l'autre.
• LE DOMAINE est la réunion des intervalles, pas forcément $\mathbb{R}$ . L'IMAGE est la réunion des images des morceaux, et elle se lit en projetant la courbe sur l'axe vertical.
• Sur la figure, la fonction vaut $-2x-1$ avant $-1$ , $x^{2}$ entre $-1$ et $2$ , et $5$ après $2$ : elle se raccorde à gauche et saute à droite.

Le point plein en

(2\,;4)

et le point creux en

(2\,;5)

disent tout : la fonction vaut

4

2

, et la valeur

5

n'est qu'approchée par la droite.

Le test du raccord, et ce qui rend une définition fausse

• TEST DU RACCORD : on calcule la borne avec la règle de GAUCHE, puis avec celle de DROITE, et l'on compare. Égalité, la courbe se raccorde ; différence, elle saute, et l'écart est la hauteur du saut.
• On a le droit de calculer une règle EN une borne que son intervalle exclut : on regarde vers quoi le morceau se dirige, et c'est précisément ce que le test demande.
• UN TROU : une abscisse n'a aucune image, par exemple avec $x<3$ puis $x>3$ . La fonction existe encore, mais son domaine exclut ce point, et il faut l'écrire.
• UNE CONTRADICTION : une abscisse a deux images différentes, par exemple avec $x\le 0$ puis $x\ge 0$ et deux règles qui divergent. Ce n'est plus une fonction, et cela ne se répare pas en changeant le domaine.
• UN RECOUVREMENT n'est acceptable que si les deux règles donnent la même image à cet endroit. On l'évite quand même en écriture : le correcteur ne devrait pas avoir à vérifier une coïncidence.

Résoudre, et modéliser une situation par phases

• RÉSOUDRE $f(x)=c$ : on résout dans CHAQUE morceau, puis on vérifie que chaque solution appartient à l'intervalle de son morceau. Les autres se rejettent, en l'écrivant.
• L'ensemble-solution peut mêler des nombres isolés et des intervalles entiers, quand un morceau constant vaut justement $c$ .
• PLUSIEURS SOLUTIONS NE CONTREDISENT RIEN : une fonction interdit deux images pour une abscisse, jamais deux abscisses pour une image.
• MODÉLISER : une phase, un morceau. On écrit la valeur au DÉBUT de la phase, puis le taux de variation multiplié par le temps écoulé DEPUIS le début de cette phase, d'où les écritures du type $120-40(t-10)$ .
• Dans un modèle physique, position, vitesse et température ne sautent pas : on vérifie les raccords, et un saut signale une erreur de règle ou de décalage.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer une image

1 à 2 points par image, et parfois toute une question de tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $f(x)=x^{2}$ si $-1\le x\le 2$ et $f(x)=5$ si $x>2$ , on a $f(2)=5$

Ce qu'il faut écrire

$f(2)=4$ : la borne $2$ appartient au morceau dont l'inégalité est large

Pourquoi : L'intervalle du dernier morceau est $x>2$ , strict : il ne contient pas $2$ . C'est le morceau précédent, fermé en $2$ , qui donne l'image. Le geste correct se fait dans l'ordre : repérer l'intervalle, puis calculer. Sur le tracé, cela se voit au point plein et au point creux, empilés sur la même verticale.

2. Décider s'il y a un saut

1 à 2 points, et une courbe cassée là où elle est continue

Ce qu'il ne faut pas écrire

$f(x)=3x+1$ si $x<2$ et $f(x)=x^{2}+3$ si $x\ge 2$ saute, puisque les deux règles sont très différentes

Ce qu'il faut écrire

Aucun saut : les deux règles donnent $7$ en $x=2$

En trait plein, les deux morceaux se rejoignent en

(2\,;7)

. En pointillé, l'autre fonction saute de

1

5

x=1

: point plein en bas, point creux en haut.

Pourquoi : Ce n'est pas la ressemblance des règles qui décide, c'est leur VALEUR à la borne. $3\times 2+1=7$ et $2^{2}+3=7$ : les deux morceaux se rejoignent au point $(2\,;7)$ , et la courbe se trace sans lever le crayon. Le test prend cinq secondes et il tranche à tous les coups.

3. Écrire les intervalles d'une définition

toute la question, et un objet qui n'est plus une fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

$k(x)=x+5$ si $x\le 0$ et $k(x)=x-1$ si $x\ge 0$

Ce qu'il faut écrire

Une des deux inégalités doit être stricte : l'abscisse $0$ aurait deux images, $5$ et $-1$

Pourquoi : Les deux intervalles se recouvrent en $0$ , et les deux règles y divergent. Une fonction n'attribue qu'une image par abscisse : l'objet décrit n'en est donc pas une. La correction est minime, rendre stricte une des deux inégalités, et la fonction obtenue saute en $0$ , ce qui est parfaitement permis.

4. Donner le domaine

1 à 2 points, et une image fausse dans la foulée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$g(x)=x^{2}$ si $x<3$ et $g(x)=2x$ si $x>3$ a pour domaine $\mathbb{R}$

Ce qu'il faut écrire

Son domaine est $]-\infty\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ : l'abscisse $3$ n'a pas d'image

Pourquoi : Les deux inégalités sont strictes, donc aucune règle ne s'applique en $3$ : c'est un TROU. Le domaine est la réunion des intervalles, et il se lit, il ne se suppose pas. Boucher le trou demande une seule modification, fermer une des deux bornes.

5. Résoudre une équation

toute la question, et une abscisse où la fonction vaut autre chose

Ce qu'il ne faut pas écrire

$f(x)=0$ avec $f(x)=-2x-1$ si $x<-1$ donne $x=-0{,}5$

Ce qu'il faut écrire

$-0{,}5$ n'est pas dans $]-\infty\,;-1[$ : la solution se rejette

Pourquoi : Résoudre dans un morceau, c'est faire COMME SI sa règle valait partout ; il faut donc vérifier ensuite que la solution est bien dans son intervalle. Ici la fonction vaut $0{,}25$ en $-0{,}5$ , pas $0$ . La vérification d'appartenance s'écrit, elle rapporte des points et elle évite de livrer une solution parasite.

6. Compter les solutions

1 point, et une solution abandonnée en route

Ce qu'il ne faut pas écrire

Une équation $f(x)=c$ ne peut pas avoir deux solutions, sinon ce n'est pas une fonction

Ce qu'il faut écrire

Elle le peut : une fonction interdit deux IMAGES pour une abscisse, pas l'inverse

Pourquoi : Le test de la verticale dit qu'une droite verticale coupe la courbe au plus une fois. Rien n'est demandé aux horizontales : elles peuvent la couper autant de fois qu'elles veulent, et même se confondre avec tout un morceau constant, ce qui donne un intervalle entier de solutions.

7. Écrire la règle d'une phase qui ne commence pas à zéro

toute la question, et un modèle qui donne des valeurs négatives

Ce qu'il ne faut pas écrire

Une tige à $120$ mm qui rentre à $40$ mm par seconde à partir de $t=10$ s : $p(t)=120-40t$

Ce qu'il faut écrire

$p(t)=120-40(t-10)$ : le temps se compte DEPUIS le début de la phase

Pourquoi : Avec la règle fausse, la position vaudrait $120-400=-280$ mm dès la dixième seconde, ce qui n'a aucun sens. Le décalage $t-10$ remet le compteur à zéro au début de la phase. Contrôle immédiat : substituer la borne de début doit redonner la valeur de la fin de la phase précédente, ici $120$ .

Quelle méthode choisir

Que faire, selon ce que l'énoncé demande

Une fonction définie par parties, donnée par ses règles, par un graphique ou par une situation

Si On demande une IMAGE → Repérer l'intervalle qui contient l'abscisse, puis calculer avec cette règle-là

Exemple : $f(2)$ avec $x^{2}$ sur $[-1\,;2]$ : la borne est fermée, donc $f(2)=4$
Si On demande le DOMAINE ou l'IMAGE → Réunir les intervalles pour le domaine, réunir les images des morceaux pour l'image

Exemple : $[-4\,;-1[\,\cup\,[-1\,;1[\,\cup\,[1\,;4]$ donne $[-4\,;4]$
Si On demande s'il y a un SAUT → Calculer la borne avec les deux règles et comparer les deux valeurs

Exemple : $1^{2}=1$ et $2\times 1+3=5$ : saut de $4$ unités en $x=1$
Si On demande si la définition est VALIDE → Chercher un trou, puis une contradiction, aux bornes intérieures seulement

Exemple : $x\le 0$ et $x\ge 0$ avec deux règles qui divergent : contradiction
Si On demande de TRACER → Un morceau à la fois, sur son intervalle, avec point plein du côté fermé et point creux du côté ouvert

Exemple : Point creux en $(-1\,;2)$ , point plein en $(-1\,;-1)$
Si On demande de RÉSOUDRE $f(x)=c$ → Résoudre dans chaque morceau, puis vérifier l'appartenance de chaque solution

Exemple : $f(x)=5$ donne $\{-3\}\cup\,]2\,;+\infty[$
Si On demande de MODÉLISER une situation → Une phase, un morceau : valeur de départ de la phase, plus le taux fois le temps écoulé depuis son début

Exemple : Rentrée à $40$ mm/s à partir de $t=10$ : $120-40(t-10)$

La continuité formelle, le raccordement selon un paramètre et la mise sous forme définie par parties d'une valeur absolue ne sont pas au programme de la TS 4 : ils arrivent en TS 5. Ici le raccord se décide par comparaison numérique.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la résolution de $f(x)=c$ sur une fonction par parties

Quand l'utiliser : Dès que l'équation porte sur une fonction à plusieurs règles

1 Annoncer qu'on traite les morceaux un par un, et nommer le premier avec son intervalle.
2 Résoudre l'équation formée par la règle de ce morceau.
3 Vérifier si la solution trouvée appartient à l'intervalle, et écrire GARDÉE ou REJETÉE.
4 Recommencer pour chaque morceau, y compris les morceaux constants, qui donnent soit rien, soit tout l'intervalle.
5 Réunir les solutions gardées en un seul ensemble et conclure.

Phrase de conclusion

« Premier morceau, $x<-1$ : $-2x-1=0$ donne $x=-0{,}5$ , qui n'est pas dans $]-\infty\,;-1[$ , donc rejetée. Deuxième morceau, $-1\le x\le 2$ : $x^{2}=0$ donne $x=0$ , qui est dans l'intervalle, donc gardée. Troisième morceau : la fonction y vaut $5$ , jamais $0$ . L'unique solution est $x=0$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Substituer la borne dans les deux règles

Aux bornes intérieures, calculer les deux valeurs : elles disent d'un coup s'il y a raccord, saut ou contradiction.

$3\times 2+1=7$ et $2^{2}+3=7$ : raccord en $(2\,;7)$ .
Vérifier que chaque solution est dans son intervalle

Après chaque résolution, comparer la solution à l'intervalle de son morceau, et l'écrire.

$x=-1$ est rejetée dans le morceau $x<-1$ et gardée dans le morceau $-1\le x\le 2$ .
Recalculer une image avec la bonne règle

Reprendre une ou deux images au hasard en repérant d'abord l'intervalle : une image calculée avec la mauvaise règle reste crédible, donc invisible.

$f(5)$ ne se calcule pas avec $x^{2}$ : l'intervalle de ce morceau s'arrête à $2$ .
Contrôler la vraisemblance d'un modèle par phases

Substituer la borne de début de chaque phase : on doit retrouver la valeur de fin de la phase précédente.

$120-40(10-10)=120$ mm, la position atteinte à la fin du maintien.

L'exercice type décortiqué

La charge d'une batterie en deux phases

Un chargeur remplit une batterie à courant constant : la charge augmente de $20$ pour cent par heure pendant les trois premières heures. Il passe ensuite en tension constante, et la charge n'augmente plus que de $10$ pour cent par heure, jusqu'à $100$ pour cent. Écrivez la charge $C(t)$ en fonction du temps, calculez $C(2)$ , puis trouvez à quel instant la batterie atteint $80$ pour cent.

La pente change à la troisième heure, sans saut : les deux morceaux valent

60

pour cent au raccord. La charge atteint

100

pour cent à la septième heure.

Étape 1

Première phase : la charge part de $0$ et monte de $20$ par heure, donc $C(t)=20t$ sur $[0\,;3]$ . À la fin, $C(3)=60$ pour cent.

Pourquoi

On calcule TOUJOURS la valeur atteinte au bout de la première phase : c'est elle qui sert de point de départ à la suivante, et l'oublier fausse tout le reste.

Étape 2

Deuxième phase : la charge part de $60$ et monte de $10$ par heure, donc $C(t)=60+10(t-3)$ sur $]3\,;7]$ .

Pourquoi

Le décalage $t-3$ compte le temps écoulé DEPUIS le début de la phase. Sans lui, la règle donnerait $60+10\times 3=90$ pour cent dès la troisième heure, et la courbe sauterait.

Étape 3

La borne de fin se trouve en résolvant $60+10(t-3)=100$ : $t-3=4$ , donc $t=7$ heures.

Pourquoi

Le modèle s'arrête là : au-delà, la batterie est pleine et la fonction n'a plus de sens. Un domaine borné est la règle dans ce genre de situation, et il fait partie de la réponse.

Étape 4

$C(2)=20\times 2=40$ pour cent, puisque $2$ est dans $[0\,;3]$ .

Pourquoi

On repère l'intervalle avant de calculer. Utiliser la seconde règle donnerait $60+10(2-3)=50$ pour cent, un nombre crédible et faux.

Étape 5

Pour $80$ pour cent : la première phase plafonne à $60$ , donc rien ; la seconde donne $60+10(t-3)=80$ , soit $t-3=2$ et $t=5$ heures.

Pourquoi

On teste les deux morceaux, même celui qui ne peut manifestement pas convenir : c'est ce balayage qui garantit qu'aucune solution n'est oubliée, et il s'écrit en une ligne.

Conclusion rédigée

$C(t)=20t$ sur $[0\,;3]$ et $C(t)=60+10(t-3)$ sur $]3\,;7]$ ; $C(2)=40$ pour cent, et les $80$ pour cent sont atteints à $t=5$ heures.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est d'écrire la seconde phase $C(t)=60+10t$ , sans décalage : la charge sauterait de $60$ à $90$ pour cent à la troisième heure, et la batterie serait pleine une heure trop tôt.

À savoir par cœur

• Une règle par morceau, un intervalle par règle : ils partitionnent le domaine.
• Chercher l'intervalle d'abord, calculer ensuite.
• La borne appartient au morceau dont l'inégalité est large.
• Point plein du côté fermé, point creux du côté ouvert.
• Domaine : réunion des intervalles. Image : réunion des images.
• Raccord si les deux règles donnent la même valeur à la borne, saut sinon.
• Trou : aucune image. Contradiction : deux images. Les deux se voient aux bornes.
• Résoudre dans CHAQUE morceau, puis vérifier l'appartenance.
• Plusieurs solutions sont permises : c'est la verticale qui est unique, pas l'horizontale.
• Modéliser : valeur de début de phase, plus taux fois temps écoulé depuis ce début.

Questions fréquentes

Comment savoir quelle règle utiliser pour calculer une image ?

On regarde d'abord dans quel intervalle tombe l'abscisse, et seulement ensuite on calcule. Quand l'abscisse est exactement une borne, elle appartient au morceau dont l'inégalité est large, celle qui contient le signe égal. C'est l'unique règle du chapitre, et l'erreur inverse est invisible dans le résultat, ce qui la rend coûteuse.

Comment reconnaître un saut sans tracer la courbe ?

On calcule la borne avec la règle de gauche, puis avec celle de droite. Si les deux valeurs sont égales, les morceaux se raccordent et la courbe se trace sans lever le crayon. Si elles diffèrent, la courbe saute, et la hauteur du saut est leur écart. La ressemblance ou la différence des règles ne dit rien du tout.

Une fonction définie par parties est-elle vraiment une fonction ?

Oui, tant que chaque abscisse reçoit une seule image. Le nombre de règles n'a aucune importance : ce qui compte est que les intervalles ne se chevauchent pas, ou qu'ils donnent la même image là où ils se chevauchent. On peut d'ailleurs écrire n'importe quelle fonction par parties, en coupant son domaine où l'on veut.

Pourquoi faut-il vérifier qu'une solution appartient à son intervalle ?

Parce que résoudre dans un morceau revient à faire comme si sa règle valait partout. Une solution qui tombe en dehors de l'intervalle du morceau n'est donc pas une solution de la fonction : à cet endroit, c'est une autre règle qui s'applique, et elle donne autre chose. Cette vérification s'écrit, et elle rapporte des points.

Comment écrire la règle d'une phase qui commence en cours de route ?

On part de la valeur atteinte à la fin de la phase précédente, puis on ajoute le taux de variation multiplié par le temps écoulé DEPUIS le début de la nouvelle phase, ce qui donne des écritures avec une différence entre parenthèses. Le contrôle est immédiat : en substituant la borne de début, on doit retrouver exactement la valeur de fin de la phase précédente.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions définies par parties

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente La fonction logarithmique Fiche suivante La fonction partie entière

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

La fonction partie entière

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices corrigés du chapitre Fiche : la fonction partie entière Tous les chapitres de TS 4 Tuteur au secondaire à Montréal

Vous cherchez un tuteur en math Technico-sciences à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On travaille sur des exercices du niveau réel des évaluations de quatrième secondaire, en séquence Technico-sciences.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : les fonctions définies par parties

L'essentiel

Une fonction, plusieurs règles, un intervalle chacune

Le test du raccord, et ce qui rend une définition fausse

Résoudre, et modéliser une situation par phases

Les pièges qui coûtent des points

1. Calculer une image

2. Décider s'il y a un saut

3. Écrire les intervalles d'une définition

4. Donner le domaine

5. Résoudre une équation

6. Compter les solutions

7. Écrire la règle d'une phase qui ne commence pas à zéro

Quelle méthode choisir

Que faire, selon ce que l'énoncé demande

La rédaction attendue

Rédiger la résolution de f(x)=cf(x)=cf(x)=c sur une fonction par parties

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La charge d'une batterie en deux phases

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir quelle règle utiliser pour calculer une image ?

Comment reconnaître un saut sans tracer la courbe ?

Une fonction définie par parties est-elle vraiment une fonction ?

Pourquoi faut-il vérifier qu'une solution appartient à son intervalle ?

Comment écrire la règle d'une phase qui commence en cours de route ?

Exercices corrigés : Les fonctions définies par parties

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en math Technico-sciences à Montréal ?

Rédiger la résolution de $f(x)=c$ sur une fonction par parties