Math TS, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction logarithmique

Cette fiche de révision accompagne la dernière famille de fonctions du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : la fonction logarithmique, réciproque de l'exponentielle du chapitre précédent.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le paramètre placé dans le logarithme est une translation verticale déguisée, et l'asymptote reste l'axe des ordonnées : ces deux règles décident du domaine, du zéro et de tout le reste.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

La forme du chapitre, lue comme une réciproque

• La forme est $f(x)=a\log_{c}(bx)$ , avec $a\neq 0$ , $c>0$ , $c\neq 1$ et $b\neq 0$ . Un logarithme est un EXPOSANT : $\log_{c}(x)$ est l'exposant qu'il faut donner à $c$ pour obtenir $x$ .
• LE DOMAINE se décide sur le signe de $b$ : $]0\,;+\infty[$ si $b>0$ , $]-\infty\,;0[$ si $b<0$ . L'image est toujours $\mathbb{R}$ .
• L'ASYMPTOTE EST TOUJOURS $x=0$ , l'axe des ordonnées, parce que rien ne s'ajoute à la variable dans la forme du programme.
• LE ZÉRO EST EN $x=\dfrac{1}{b}$ , là où le contenu du logarithme vaut $1$ . Il n'y a pas d'ordonnée à l'origine, zéro n'étant pas dans le domaine.
• TOUTES les courbes $\log_{c}(x)$ passent par $(1\,;0)$ , comme toutes les exponentielles $c^{x}$ passaient par $(0\,;1)$ : les deux points s'échangent, comme tout le reste.

Les trois courbes se croisent en

(1\,;0)

et nulle part ailleurs. Plus la base est grande, plus la montée est lente ; une base comprise entre

0

1

renverse la courbe.

Le paramètre du dedans est une translation verticale

• La loi du produit donne tout : $\log_{c}(bx)=\log_{c}(b)+\log_{c}(x)$ . Le paramètre ajoute une CONSTANTE, donc il remonte ou descend la courbe.
• $\log_{2}(8x)=3+\log_{2}(x)$ : la courbe monte de trois unités et son zéro passe de $1$ à $\dfrac{1}{8}$ .
• $\log_{3}\!\left(\dfrac{x}{9}\right)=\log_{3}(x)-2$ : un paramètre plus petit que $1$ donne une constante négative et descend la courbe.
• NE PAS CONFONDRE avec la loi de la puissance, $\log_{c}(x^{n})=n\log_{c}(x)$ , qui s'applique à un EXPOSANT et non à un facteur. C'est l'erreur la plus chère du chapitre.
• SENS DE VARIATION : trois signes décident, celui de $a$ , la position de la base par rapport à $1$ , et le signe de $b$ . En cas de doute, deux images tranchent en dix secondes.

Trouver la règle, résoudre, et retourner la fonction

• TROUVER LA RÈGLE : le ZÉRO donne $b$ , puisqu'il ne dépend que de lui ; un autre point donne ensuite $a$ ; une base inconnue se trouve en traduisant le logarithme en puissance, $\log_{c}(81)=4$ devient $c^{4}=81$ .
• RÉSOUDRE $a\log_{c}(bx)=k$ : on isole le logarithme, puis on écrit la puissance correspondante. La solution est unique, la fonction étant monotone.
• L'ensemble-solution d'une inéquation se CROISE toujours avec le domaine : quand la fonction décroît, la borne de gauche vient du domaine et non du calcul.
• LA RÉCIPROQUE est l'exponentielle de même base : de $y=a\log_{c}(x)$ on tire $y=c^{x/a}$ . Le coefficient de devant passe au DÉNOMINATEUR de l'exposant.
• Domaine et image s'échangent, l'asymptote verticale devient horizontale, et aucune restriction n'est nécessaire, la fonction étant monotone sur tout son domaine.
• INCONNUE À L'EXPOSANT : logarithme. INCONNUE À LA BASE : racine. Ce partage se fait avant tout calcul dans un problème.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Sortir le paramètre du dedans

toute la question, et une courbe étirée au lieu d'être translatée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{2}(8x)=8\log_{2}(x)$

Ce qu'il faut écrire

$\log_{2}(8x)=\log_{2}(8)+\log_{2}(x)=3+\log_{2}(x)$

Pourquoi : Le facteur se sort en ADDITION, par la loi du produit. La forme multiplicative appartient à la loi de la puissance, $\log_{c}(x^{n})=n\log_{c}(x)$ , où le nombre est un EXPOSANT, pas un facteur. Contrôle en cinq secondes avec $x=2$ : la gauche vaut $\log_{2}(16)=4$ , la version fausse vaudrait $8$ .

2. Interpréter une image négative

toute la question, et une solution recevable jetée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$3\log_{2}(x)=-3$ n'a pas de solution, puisqu'un logarithme n'accepte pas de négatif

Ce qu'il faut écrire

$x=0{,}5$ : c'est le CONTENU qui doit être positif, pas la valeur du logarithme

La courbe passe sous l'axe des abscisses entre

0

1

seulement : l'image est négative, l'abscisse reste positive.

Pourquoi : Un logarithme est négatif entre $0$ et $1$ , nul en $1$ , positif au-delà, quand la base dépasse $1$ . Toute la partie de la courbe située sous l'axe des abscisses se trouve donc entre zéro et un, à droite de l'asymptote. La condition d'existence porte sur ce qui est DANS le logarithme, et sur rien d'autre.

3. Écrire la première ligne d'une question sur le domaine

toute la question, et une fonction déclarée impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

$g(x)=\log(-x)$ n'existe pas, puisque le logarithme d'un négatif n'existe pas

Ce qu'il faut écrire

Son domaine est $]-\infty\,;0[$ : par exemple $g(-100)=2$

Pourquoi : Ce qui doit être strictement positif, c'est le CONTENU du logarithme, ici $-x$ , et cela se produit précisément quand $x$ est négatif. La courbe existe, elle vit à gauche de l'axe des ordonnées. C'est le même piège qu'au chapitre de la racine carrée, avec $\sqrt{-x}$ , et il se déjoue de la même façon : on essaie une valeur.

4. Placer le zéro de la fonction

1 à 2 points, et un paramètre faux dans toute la recherche de règle

Ce qu'il ne faut pas écrire

La courbe de $\log_{2}(4x)$ coupe l'axe des abscisses en $x=0$

Ce qu'il faut écrire

Elle le coupe en $x=\dfrac{1}{4}$ , là où le contenu vaut $1$

Pourquoi : Un logarithme s'annule quand son contenu vaut $1$ , jamais quand la variable vaut zéro : zéro n'est même pas dans le domaine, c'est l'équation de l'asymptote. L'habitude vient de l'exponentielle, où l'on lisait tout sur l'ordonnée à l'origine. Ici le repère gratuit est le zéro, et c'est lui qui livre le paramètre du dedans.

5. Décrire la croissance très loin à droite

1 point, et une réponse fausse sur l'image

Ce qu'il ne faut pas écrire

La courbe de $\log_{2}$ finit par se stabiliser : elle a une asymptote horizontale

Ce qu'il faut écrire

Elle monte sans borne : l'image est $\mathbb{R}$ tout entier

Pourquoi : La croissance est LENTE, elle n'est pas bornée : $\log_{2}(x)$ atteint $30$ pour $x=2^{30}$ , un peu plus d'un milliard, et il atteindra $31$ un peu plus loin. Lenteur et borne sont deux choses différentes, et la distinction vaut des points. La seule asymptote de ce chapitre est verticale.

6. Trouver une base à partir d'un point

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{c}(81)=4$ donne $c=\dfrac{81}{4}$

Ce qu'il faut écrire

$c^{4}=81$ , donc $c=3$

Pourquoi : Le logarithme n'est pas une division : c'est un exposant. On revient toujours à la forme exponentielle, qui est sa définition. Contrôle immédiat : avec $c=20{,}25$ , il faudrait que $20{,}25^{4}$ vaille $81$ , alors qu'il vaut plus de cent soixante mille. La base se prend enfin positive : $-3$ est rejeté même si sa puissance quatrième vaut $81$ .

7. Choisir l'outil dans un problème

1 à 2 points, et souvent un blocage complet

Ce qu'il ne faut pas écrire

$800\,c^{5}=500$ se résout en passant au logarithme pour trouver $c$

Ce qu'il faut écrire

L'inconnue est à la BASE : on prend la racine cinquième, $c=(0{,}625)^{1/5}$

Pourquoi : Le logarithme sert quand l'inconnue est à l'EXPOSANT. Quand elle est à la base, c'est une racine qu'il faut, comme dans une équation $x^{5}=k$ . Le partage se décide en regardant où se trouve la lettre cherchée, avant tout calcul. On peut aussi passer par le logarithme des deux membres, mais il faut alors revenir à la base par une exponentielle, ce qui rallonge inutilement.

Quelle méthode choisir

Que lire, selon ce que l'énoncé demande

Une fonction $f(x)=a\log_{c}(bx)$ , donnée par sa règle, par son zéro et un point, ou par un contexte

Si On cherche le DOMAINE → Rendre le contenu du logarithme strictement positif : le signe de $b$ décide du côté

Exemple : $g(x)=\log(-x)$ : il faut $-x>0$ , donc $]-\infty\,;0[$
Si On cherche l'ASYMPTOTE ou l'IMAGE → Asymptote $x=0$ toujours ; image $\mathbb{R}$ toujours, sans borne ni asymptote horizontale

Exemple : $-3\log_{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$ a encore $x=0$ pour asymptote
Si On cherche le ZÉRO → Poser le contenu égal à $1$ : le zéro est en $x=\dfrac{1}{b}$

Exemple : $\log_{2}(4x)$ : $4x=1$ , donc le zéro est en $x=0{,}25$
Si On cherche le SENS DE VARIATION → Compter les renversements : signe de $a$ , base comparée à $1$ , signe de $b$

Exemple : $\log_{1/3}(5x)$ : la base renverse, donc décroissante
Si On donne le ZÉRO et un POINT → Le zéro donne $b$ , puis le point donne $a$ ; vérifier ensuite sur le zéro

Exemple : Zéro en $0{,}25$ et $f(1)=6$ : $b=4$ puis $a=3$
Si Le problème cherche un TEMPS ou un EXPOSANT → Isoler la puissance, puis prendre le quotient de deux logarithmes de MÊME base

Exemple : $(1{,}045)^{t}=2$ donne $t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}045}\approx 15{,}75$
Si Le problème cherche une BASE ou un TAUX → Ce n'est pas un logarithme mais une RACINE : $c=(k)^{1/n}$

Exemple : $c^{5}=0{,}625$ donne $c=(0{,}625)^{1/5}\approx 0{,}9103$

La translation horizontale $\log_{c}(x-h)$ , l'asymptote déplacée et le domaine qui en découle ne sont pas au programme de la TS 4 : ils arrivent en TS 5. Ici l'asymptote est toujours l'axe des ordonnées.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la résolution d'une équation logarithmique

Quand l'utiliser : Dès que l'inconnue est à l'intérieur d'un logarithme

1 Écrire le DOMAINE, obtenu en rendant le contenu du logarithme strictement positif.
2 Isoler le logarithme d'un côté du signe égal.
3 Traduire en puissance, par la définition : $\log_{c}(A)=k$ équivaut à $A=c^{k}$ .
4 Résoudre l'équation obtenue, qui est ordinaire.
5 Vérifier que la solution appartient au domaine, puis conclure en une phrase.

Phrase de conclusion

« Domaine : $x>0$ . On isole : $\log_{2}(x)=-1$ . Par définition, $x=2^{-1}=0{,}5$ . Cette valeur est strictement positive, donc recevable : l'unique solution est $x=0{,}5$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Revenir à la puissance

Toute égalité logarithmique se relit en exponentielle. C'est la vérification la plus rapide, et elle ne coûte rien.

$\log_{3}(243)=5$ se vérifie par $3^{5}=243$ .
Tester le zéro de la règle trouvée

Substituer le zéro annoncé dans la règle obtenue : le logarithme doit valoir zéro exactement.

$h(x)=3\log_{2}(4x)$ et le zéro $0{,}25$ : $3\log_{2}(1)=0$ , la règle tient.
Situer l'image par rapport au repère $(1\,;0)$

Une abscisse entre $0$ et $1$ donne une image négative quand la base dépasse $1$ , une image positive au-delà de $1$ . Un signe qui contredit ce repère signale une erreur.

Trouver $\log_{2}(0{,}25)=2$ est impossible : l'abscisse est sous $1$ , l'image doit être négative.
Compter les périodes dans un problème

Dans un problème de décroissance, recouper le résultat avec un compte entier de demi-vies, qui se fait de tête.

Passer de $800$ à $100$ , c'est diviser par huit, donc trois demi-vies : $3\times 7{,}37\approx 22{,}1$ jours.

L'exercice type décortiqué

Combien de dilutions pour descendre sous le millième ?

Un laboratoire de contrôle dilue un échantillon en série : à chaque étape, il en prélève une part et la complète pour que la concentration soit divisée par $5$ . Combien d'étapes faut-il pour que la concentration tombe sous un millième de la concentration de départ ?

En portant le logarithme de la concentration, la dilution en série devient une DROITE : chaque étape descend de

\log(5)\approx 0{,}699

. Le seuil est franchi entre la quatrième et la cinquième étape.

Étape 1

Après $n$ étapes, la concentration relative vaut $c(n)=5^{-n}$ , puisque chaque étape multiplie par $\dfrac{1}{5}$ .

Pourquoi

Les divisions successives se MULTIPLIENT : c'est un modèle exponentiel, de base $\dfrac{1}{5}$ . L'écrire avant de chercher évite l'erreur classique, qui consiste à diviser $1000$ par $5$ .

Étape 2

On cherche $n$ tel que $5^{-n}<0{,}001$ , c'est-à-dire $5^{n}>1000$ .

Pourquoi

Passer à la forme sans exposant négatif rend l'inégalité plus lisible et supprime un risque de renversement de sens. L'inconnue est à l'EXPOSANT, donc ce sera un logarithme.

Étape 3

$n>\log_{5}(1000)=\dfrac{\ln 1000}{\ln 5}\approx\dfrac{6{,}9078}{1{,}6094}\approx 4{,}29$ .

Pourquoi

Le changement de base permet d'employer la touche de la calculatrice. Le sens de l'inégalité est conservé parce que la fonction logarithme de base $5$ est croissante, la base étant supérieure à $1$ .

Étape 4

Le nombre d'étapes est un ENTIER, donc $n=5$ : cinq dilutions.

Pourquoi

On arrondit vers le HAUT, jamais au plus proche : avec quatre étapes la concentration vaut encore $\dfrac{1}{625}\approx 0{,}0016$ , au-dessus du seuil. C'est l'étape que les copies sautent le plus souvent.

Étape 5

Contrôle : $5^{-5}=\dfrac{1}{3125}=0{,}00032$ , bien sous $0{,}001$ , alors que $5^{-4}=0{,}0016$ ne l'est pas.

Pourquoi

Encadrer la réponse entière par les deux valeurs voisines est la vérification attendue dans ce genre de question. Elle prouve à la fois que cinq suffit et que quatre ne suffit pas.

Conclusion rédigée

Il faut CINQ dilutions : après quatre, la concentration vaut encore $0{,}0016$ ; après cinq, elle vaut $0{,}00032$ .

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est d'arrondir $4{,}29$ à $4$ : quatre étapes laissent la concentration au-dessus du seuil, donc la réponse ne respecte pas l'énoncé. Dans une question de nombre d'étapes, on arrondit toujours vers le haut.

À savoir par cœur

• $f(x)=a\log_{c}(bx)$ : un logarithme est un EXPOSANT.
• Domaine : contenu strictement positif, donc le signe de $b$ décide du côté.
• Image $\mathbb{R}$ , asymptote $x=0$ , aucune asymptote horizontale.
• Zéro en $x=\dfrac{1}{b}$ , là où le contenu vaut $1$ . Pas d'ordonnée à l'origine.
• $\log_{c}(bx)=\log_{c}(b)+\log_{c}(x)$ : le paramètre du dedans translate, il ne multiplie pas.
• Sens de variation : signe de $a$ , base comparée à $1$ , signe de $b$ .
• Un logarithme est négatif entre $0$ et $1$ : image négative, abscisse positive.
• $\log_{c}(A)=k$ se relit $A=c^{k}$ : c'est la définition et la vérification.
• Inconnue à l'exposant : logarithme. Inconnue à la base : racine.
• Réciproque : $y=c^{x/a}$ , domaine et image échangés.

Questions fréquentes

Pourquoi le domaine d'une fonction logarithmique exclut-il zéro ?

Parce qu'un logarithme est un exposant, et qu'aucune puissance de base positive ne donne zéro. Chercher le logarithme de zéro reviendrait à chercher un exposant qui annule une puissance, ce qui n'existe pas. Zéro est donc la borne du domaine, et c'est justement l'équation de l'asymptote verticale de la courbe.

Où se trouve le zéro d'une fonction logarithmique ?

Là où le contenu du logarithme vaut un, puisque le logarithme de un vaut zéro dans toutes les bases. Pour la forme du programme de Technico-sciences, cela donne l'inverse du paramètre placé à l'intérieur. C'est le repère gratuit du chapitre : il remplace l'ordonnée à l'origine, qui n'existe pas ici puisque zéro n'appartient pas au domaine.

Un logarithme peut-il être négatif ?

Oui, et cela ne pose aucun problème. Quand la base dépasse un, le logarithme est négatif pour les abscisses comprises entre zéro et un, nul en un, positif au-delà. Ce qui doit rester strictement positif, c'est le contenu du logarithme, pas sa valeur. Rejeter une solution parce que son image est négative est une des erreurs les plus fréquentes du chapitre.

Comment trouver la règle à partir d'un graphique ?

On commence par le zéro, c'est-à-dire l'endroit où la courbe coupe l'axe des abscisses : il donne le paramètre placé à l'intérieur du logarithme, et lui seul. On utilise ensuite un second point pour trouver le coefficient de devant. On vérifie enfin en substituant le zéro dans la règle obtenue, ce qui doit redonner exactement zéro.

Quand faut-il utiliser un logarithme dans un problème ?

Quand l'inconnue se trouve à l'exposant, c'est-à-dire dans toutes les questions de durée d'un phénomène exponentiel : temps de doublement, demi-vie, moment où une quantité passe sous un seuil. Si au contraire l'inconnue est à la base, par exemple un taux à déterminer à partir de deux mesures, il faut une racine et non un logarithme.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction logarithmique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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