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Fiche de révision : Variation inverse et proportionnalité (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur la variation inverse, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : le test qui sépare les trois types de variation, les quatre propriétés dont la réponse est « aucun », et ce qui casse une variation inverse.

C'est la première courbe que l'élève rencontre, et la fonction rationnelle de SN5 en est la suite directe. Bien comprise en secondaire 3, l'hyperbole ne pose plus de problème ensuite.

Le fil du chapitre

Dans une variation inverse, c'est le PRODUIT xy qui est constant : quand l'un double, l'autre est divisé par deux, et la courbe s'approche des deux axes sans jamais les toucher.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fonction de degré 1 : variations directe et partielle Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Directe, inverse, ni l'une ni l'autre : le test

• Variation DIRECTE : le rapport $\dfrac{y}{x}$ est constant, $y=ax$ , doubler $x$ double $y$ .
• Variation INVERSE : le PRODUIT $xy$ est constant, $y=\dfrac{k}{x}$ , doubler $x$ divise $y$ par deux.
• Ni l'une ni l'autre : $y=3x+4$ a des différences constantes, mais ni rapport ni produit constant. Ce n'est pas une proportionnalité.
• Trouver $k$ : UN seul couple suffit, $k=xy$ . Trouver $x$ pour un $y$ donné : $x=\dfrac{k}{y}$ .

Points pleins :

y=2x

, rapport

\dfrac{y}{x}

constant, une droite par l'origine. Points vides :

y=\dfrac{8}{x}

, produit

xy

constant, une branche qui descend en s'aplatissant.

Le réflexe à l'oeil : si doubler $x$ divise $y$ par deux, c'est inverse ; si doubler $x$ double $y$ , c'est direct ; si doubler $x$ fait autre chose, ce n'est ni l'un ni l'autre.

La courbe : une branche d'hyperbole

• Pour $x>0$ et $k>0$ , la courbe de $y=\dfrac{k}{x}$ est lisse, décroissante, raide près de l'axe vertical, presque plate loin de lui.
• Elle s'approche des deux axes sans jamais les toucher : $y=0$ n'a pas de solution, et $x=0$ est interdit. Chaque axe est une ASYMPTOTE.
• Symétrie : si $(a\,;b)$ est sur la courbe, $(b\,;a)$ aussi, puisque $ab=ba$ . La réciproque de $y=\dfrac{k}{x}$ est elle-même.
• Pour $x<0$ , une seconde branche apparaît, dans le quadrant négatif ; en contexte, on ne la trace pas.

Six points de

y=\dfrac{12}{x}

(1\,;12)

(2\,;6)

(3\,;4)

(4\,;3)

(6\,;2)

(12\,;1)

. Le produit vaut

12

à chaque fois, et les points se répondent deux à deux par symétrie autour de la diagonale.

Les propriétés, et les quatre « aucun »

• Domaine pour $x>0$ : $]0\,;+\infty[$ . Image : $]0\,;+\infty[$ . Crochets OUVERTS en $0$ .
• Zéro : AUCUN. Ordonnée à l'origine : AUCUNE. Maximum : AUCUN. Minimum : AUCUN. La fonction n'atteint ni $0$ ni aucune borne.
• Signe : positive sur tout le domaine. Variation : décroissante sur tout le domaine, mais pas régulièrement.
• $y=\dfrac{k}{x}+b$ avec $b\neq 0$ n'est PAS une variation inverse : le produit $xy$ n'est plus constant.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer la constante par un rapport

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=\dfrac{k}{x}$ passe par $(4\,;15)$ , donc $k=\dfrac{15}{4}=3{,}75$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $k=xy=4\times 15=60$ , règle $y=\dfrac{60}{x}$ . Vérification : $\dfrac{60}{4}=15$ . »

Pourquoi : Dans une variation inverse, la constante est le PRODUIT. Le rapport $\dfrac{y}{x}$ est la constante de la variation directe, l'autre chapitre.

2. Prendre des différences constantes pour une proportionnalité

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y$ : $7$ , $10$ , $13$ , $16$ augmente de $3$ à chaque fois, c'est une variation directe. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{7}{1}\neq\dfrac{10}{2}$ et $1\times 7\neq 2\times 10$ : ni rapport ni produit constant. C'est $y=3x+4$ , ni directe ni inverse. »

Pourquoi : Les différences constantes disent seulement que c'est une droite. La proportionnalité directe exige en plus que la droite passe par l'origine.

3. Faire toucher l'axe à la courbe

2 points, sur le zéro et sur le tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $x$ très grand, $y=\dfrac{12}{x}$ finit par valoir $0$ : la courbe touche l'axe. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{12}{x}=0$ n'a aucune solution ; en $x=120$ , $y=0{,}1$ , en $x=1200$ , $y=0{,}01$ . La courbe s'approche de l'axe sans jamais l'atteindre. »

Vue de loin : en

x=60

la courbe est à

0{,}2

, en

x=120

0{,}1

, toujours au-dessus de l'axe. Elle s'aplatit sans jamais atteindre

y=0

Pourquoi : Un quotient de numérateur non nul n'est jamais nul. L'axe est une asymptote : une droite dont on s'approche autant qu'on veut.

4. Déclarer un minimum égal à zéro

1 point, souvent 2 avec le maximum

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le minimum de $y=\dfrac{12}{x}$ est $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Aucun minimum : $0$ n'est jamais atteint, et toute valeur positive est dépassée vers le bas par un $x$ plus grand. L'image est $]0\,;+\infty[$ , ouvert en $0$ . »

Pourquoi : Un extremum doit être ATTEINT par la fonction. S'approcher d'une valeur n'est pas l'atteindre, et le crochet ouvert le dit.

5. Attendre des baisses égales pour des hausses égales

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« De $80$ à $100$ km/h je gagne $36$ minutes, donc de $100$ à $120$ je gagne encore $36$ minutes. »

Ce qu'il faut écrire

« $t=\dfrac{240}{v}$ : de $80$ à $100$ , gain $0{,}6$ h ; de $100$ à $120$ , gain $0{,}4$ h seulement. Les gains diminuent. »

Pourquoi : Une variation inverse n'a pas de taux constant : la courbe s'aplatit, et chaque augmentation de $x$ rapporte moins que la précédente.

6. Prendre $y=\dfrac{k}{x}+b$ pour une variation inverse

1 point, et la propriété d'asymptote qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $c=\dfrac{1200}{n}+10$ est une variation inverse, il y a un $n$ au dénominateur. »

Ce qu'il faut écrire

« $n\times c=1200+10n$ dépend de $n$ : le produit n'est pas constant, ce n'est pas une variation inverse. Des frais PAR PERSONNE cassent la forme $\dfrac{k}{n}$ . »

Pourquoi : Seule la forme $y=\dfrac{k}{x}$ , sans rien d'ajouté, est une variation inverse. Des frais FIXES partagés, $\dfrac{1280}{n}$ , la gardent ; des frais par personne la cassent.

7. Arrondir un nombre de personnes ou d'objets

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1200}{90}\approx 13{,}3$ , donc $13$ personnes paient $90$ dollars chacune. »

Ce qu'il faut écrire

« $13$ personnes paient $92{,}31$ dollars et $14$ paient $85{,}71$ : aucun nombre entier ne donne exactement $90$ . La courbe lisse n'a de sens qu'aux abscisses entières. »

Pourquoi : Quand $x$ compte des objets ou des personnes, le domaine réel est un ensemble d'entiers, et une valeur non entière signale que la question n'a pas de réponse exacte.

Quelle méthode choisir

Quel type de variation ? Décider sur la table

Calculez pour chaque couple le rapport $\dfrac{y}{x}$ , puis le produit $xy$ . L'un des deux est constant, ou aucun.

Si rapport $\dfrac{y}{x}$ constant → variation DIRECTE, $y=ax$ , proportionnalité, règle de trois permise

Exemple : $5$ , $10$ , $15$ , $20$ pour $x=1$ à $4$
Si produit $xy$ constant → variation INVERSE, $y=\dfrac{k}{x}$ , doubler $x$ divise $y$ par deux

Exemple : $24$ , $12$ , $8$ , $6$ pour $x=1$ à $4$
Si ni l'un ni l'autre, différences constantes → droite avec ordonnée à l'origine, $y=ax+b$ , pas de proportionnalité

Exemple : $7$ , $10$ , $13$ , $16$
Si ni l'un ni l'autre, différences variables → autre fonction, hors de ce chapitre

Exemple : $1$ , $4$ , $9$ , $16$
Si un énoncé avec une quantité FIXE à partager, à parcourir ou à accomplir → variation inverse, la constante est cette quantité

Exemple : $240$ km, $120$ ouvriers-jours, $1200$ dollars de chalet

Le piège des énoncés : un terme ajouté par personne ou par kilomètre transforme la variation inverse en autre chose. Cherchez le « plus » dans le texte.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un problème de variation inverse, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une quantité fixe partagée, parcourue ou accomplie, et deux grandeurs dont le produit vaut cette quantité.

1 Nommer les deux variables avec leurs unités, et identifier la quantité FIXE.
2 Écrire le produit constant, puis la règle $y=\dfrac{k}{x}$ .
3 Calculer la valeur demandée en divisant $k$ par ce qu'on connaît.
4 Si la situation change en cours de route, raisonner sur ce qui RESTE de la quantité fixe.
5 Vérifier que le produit des deux valeurs trouvées redonne $k$ .

Phrase de conclusion

« Six ouvriers mettent $20$ jours : le chantier vaut $6\times 20=120$ ouvriers-jours, donc $d=\dfrac{120}{n}$ . Avec $8$ ouvriers : $d=\dfrac{120}{8}=15$ jours. Vérification : $8\times 15=120$ . »

Le piège : Après $5$ jours à $6$ ouvriers, il reste $120-30=90$ ouvriers-jours ; si $2$ ouvriers partent, les $4$ restants mettent $\dfrac{90}{4}=22{,}5$ jours, total $27{,}5$ . On ne repart pas de la règle initiale.

Barème : 1 point pour la constante, 1 pour la règle, 1 pour la valeur, 1 pour la vérification par le produit.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le produit qui redonne $k$

Multipliez les deux valeurs de la réponse : le produit doit être la constante de l'énoncé.

$22{,}5$ L/min pendant $4$ min : $90$ L, la contenance du bidon. Un débit de $360$ L/min viendrait d'une multiplication au lieu d'une division.
Doubler $x$ divise $y$ par deux

Prenez deux couples de votre table dont les $x$ sont l'un le double de l'autre : les $y$ doivent être l'un la moitié de l'autre.

$x=2$ donne $30$ et $x=4$ donne $15$ : bon. Si $x=4$ donnait $60$ , c'était une variation directe.
Le sens de la courbe

Une variation inverse à $k>0$ DESCEND et s'aplatit. Une courbe qui monte, ou une droite, n'est pas $y=\dfrac{k}{x}$ .

Une « courbe » de $y=\dfrac{12}{x}$ tracée en ligne droite de $(1\,;12)$ à $(12\,;1)$ passerait par $(6{,}5\,;6{,}5)$ ; or $\dfrac{12}{6{,}5}\approx 1{,}85$ .
La réponse est-elle un entier quand elle doit l'être ?

Si $x$ compte des personnes, des autobus, des ouvriers, un résultat non entier signale qu'il faut arrondir vers le haut en contexte, ou que la question n'a pas de réponse exacte.

$\dfrac{360}{45}=8$ autobus : exact. $\dfrac{360}{50}=7{,}2$ : il faut $8$ autobus, pas $7$ , et le dernier est à moitié vide.

L'exercice type décortiqué

Le transport des élèves en autobus

Une école doit transporter $360$ élèves pour une sortie. On note $c$ la capacité d'un autobus, en places, et $n$ le nombre d'autobus nécessaires, tous pleins.

Écrire la règle, calculer $n$ pour des autobus de $45$ places et de $60$ places, décrire la courbe, puis dire ce qui se passe avec des autobus de $50$ places.

Étape 1

Quantité fixe : $360$ élèves. Produit constant : $n\times c=360$ , donc $n=\dfrac{360}{c}$ .

Pourquoi

Le nombre d'autobus fois la capacité de chacun donne le total d'élèves : c'est le produit constant qui fait la variation inverse.

Étape 2

Autobus de $45$ places : $n=\dfrac{360}{45}=8$ . Autobus de $60$ places : $n=\dfrac{360}{60}=6$ .

Pourquoi

Plus la capacité est grande, moins il faut d'autobus : la fonction décroît. Vérification par le produit : $8\times 45=360$ et $6\times 60=360$ .

Étape 3

Autobus de $30$ places : $n=12$ , le double de $6$ pour une capacité moitié.

Pourquoi

Doubler $c$ divise $n$ par deux, c'est la signature de la variation inverse. Avec $c=90$ , $n=4$ ; avec $c=120$ , $n=3$ : chaque doublement de capacité divise le nombre d'autobus par deux.

Étape 4

Aucun zéro, aucune ordonnée à l'origine : $n$ ne vaut jamais $0$ et $c=0$ n'a pas de sens ; aucun maximum ni minimum sur le domaine mathématique.

Pourquoi

Les quatre « aucun » de la variation inverse. En contexte, le domaine se restreint aux capacités réelles, et le nombre d'autobus aux entiers : seuls les points marqués ont un sens.

Étape 5

Autobus de $50$ places : $n=\dfrac{360}{50}=7{,}2$ , donc $8$ autobus, dont un aux deux tiers vide.

Pourquoi

Un nombre d'autobus s'arrondit vers le HAUT, jamais au plus proche : $7$ autobus laisseraient $10$ élèves sur le trottoir. La courbe lisse est un guide, la réponse est un entier.

Conclusion rédigée

$n=\dfrac{360}{c}$ , variation inverse de constante $360$ : $8$ autobus de $45$ places ou $6$ de $60$ places, et avec des autobus de $50$ places il en faut $8$ , le calcul donnant $7{,}2$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $n=\dfrac{c}{360}$ ou calculer $k=\dfrac{45}{8}$ : la constante d'une variation inverse est le produit, et il faut vérifier que $n\times c$ redonne $360$ .

À savoir par cœur

• Directe : rapport $\dfrac{y}{x}$ constant. Inverse : PRODUIT $xy$ constant. Différences constantes seules : une droite, pas une proportionnalité.
• $y=\dfrac{k}{x}$ , $k=xy$ d'un seul couple. Doubler $x$ divise $y$ par deux.
• Courbe : branche d'hyperbole, décroissante, s'aplatit, ne touche AUCUN axe.
• Domaine et image pour $x>0$ : $]0\,;+\infty[$ , ouverts. Aucun zéro, aucune ordonnée à l'origine, aucun extremum.
• Hausses égales de $x$ : baisses de plus en plus PETITES de $y$ .
• $\dfrac{k}{x}+b$ n'est pas une variation inverse. Frais fixes partagés : oui ; frais par personne : non.
• Nombre d'objets : arrondir vers le haut en contexte, jamais au plus proche.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une variation inverse dans une table de valeurs ?

On multiplie x par y pour chaque couple : si le produit est toujours le même, c'est une variation inverse, et ce produit est la constante k. Un test rapide : quand x double, y doit être divisé par deux. Si c'est le rapport y sur x qui est constant, c'est une variation directe ; si ce sont les différences de y qui sont constantes, c'est une droite avec ordonnée à l'origine, pas une proportionnalité.

Pourquoi la courbe d'une variation inverse ne touche jamais les axes ?

Toucher l'axe horizontal voudrait dire que y vaut 0, or k divisé par x n'est jamais nul quand k n'est pas nul. Toucher l'axe vertical voudrait dire que x vaut 0, or on ne divise jamais par zéro. La courbe s'approche donc des deux axes autant qu'on veut sans les atteindre : on dit que les axes sont des asymptotes. C'est aussi pour cela que la fonction n'a ni zéro, ni ordonnée à l'origine, ni extremum.

Quelle est la différence entre y = k/x et y = k/x + b ?

Seule la première est une variation inverse : le produit x fois y y vaut k pour tout x. Dans la seconde, x fois y vaut k plus b fois x, qui change avec x. Concrètement, un coût fixe partagé entre n personnes, comme un chalet à 1200 dollars, donne 1200 sur n, une variation inverse ; des frais de 10 dollars par personne ajoutés donnent 1200 sur n plus 10, qui n'en est plus une et dont la courbe s'approche de 10 au lieu de 0.

Que faire quand le résultat d'une variation inverse n'est pas entier ?

Si la variable compte des objets ou des personnes, on ne peut pas garder une valeur comme 7,2 autobus. Selon le contexte, on arrondit vers le haut, il faut 8 autobus pour que tout le monde monte, ou on conclut qu'aucun entier ne donne exactement la valeur demandée, comme 90 dollars par personne pour un chalet de 1200 dollars. On n'arrondit jamais au plus proche sans réfléchir au sens.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Variation inverse et proportionnalité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5

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Fiche de révision : Variation inverse et proportionnalité (math, secondaire 3)

L'essentiel

Directe, inverse, ni l'une ni l'autre : le test

La courbe : une branche d'hyperbole

Les propriétés, et les quatre « aucun »

Les pièges qui coûtent des points

1. Calculer la constante par un rapport

2. Prendre des différences constantes pour une proportionnalité

3. Faire toucher l'axe à la courbe

4. Déclarer un minimum égal à zéro

5. Attendre des baisses égales pour des hausses égales

6. Prendre y=kx+by=\dfrac{k}{x}+by=xk​+b pour une variation inverse

7. Arrondir un nombre de personnes ou d'objets

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Quel type de variation ? Décider sur la table

La rédaction attendue

Un problème de variation inverse, la copie attendue

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le transport des élèves en autobus

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment reconnaître une variation inverse dans une table de valeurs ?

Pourquoi la courbe d'une variation inverse ne touche jamais les axes ?

Quelle est la différence entre y = k/x et y = k/x + b ?

Que faire quand le résultat d'une variation inverse n'est pas entier ?

Exercices corrigés : Variation inverse et proportionnalité

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6. Prendre $y=\dfrac{k}{x}+b$ pour une variation inverse