Exercices corrigés : la fonction polynomiale de degré 2 (math CST, secondaire 4)

$f(-3)=6\times(-3)^{2}=6\times 9=54$. Piège : écrire $6\times(-9)=-54$, alors que le carré d'un nombre négatif est positif, ou $(6\times(-3))^{2}=324$, qui met le $6$ sous le carré.

$f(4)=-1{,}5\times 4^{2}=-1{,}5\times 16=-24$. Le signe moins vient de $a$, pas du carré : toute image de cette fonction est négative ou nulle. Piège : calculer $(-1{,}5\times 4)^{2}=36$.

$f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{2}{3}\times\frac{9}{16}=\frac{18}{48}=\frac{3}{8}=0{,}375$. Piège : n'élever que le numérateur, $\frac{9}{4}$, ce qui donne $\frac{3}{2}$.

On remplace $(4\,;80)$ : $80=a\times 4^{2}=16a$, donc $a=\frac{80}{16}=5$. Piège : diviser par $x=4$, ce qui donne $20$.

On remplace $(-3\,;-27)$ : $-27=a\times(-3)^{2}=9a$, donc $a=\frac{-27}{9}=-3$. Piège : écrire $(-3)^{2}=-9$, ce qui donne $a=3$, une parabole ouverte vers le haut qui ne peut pas passer par un point situé sous l'axe des abscisses.

On remplace $(8\,;40)$ : $40=a\times 8^{2}=64a$, donc $a=\frac{40}{64}=\frac{5}{8}=0{,}625$. Le quotient ne tombe pas sur un entier, et c'est normal : $a$ peut être n'importe quel nombre non nul.

$2x^{2}=98$, donc $x^{2}=\frac{98}{2}=49$, et $x=7$ ou $x=-7$. La solution positive est $x=7$. Contrôle : $2\times 7^{2}=2\times 49=98$.

$-3x^{2}=-75$, donc $x^{2}=\frac{-75}{-3}=25$, et $x=5$ ou $x=-5$. La solution négative est $x=-5$. Piège : s'arrêter à $x=5$, en oubliant que $(-5)^{2}=25$ aussi.

$3x^{2}=20$, donc $x^{2}=\frac{20}{3}\approx 6{,}667$, et $x=\pm\sqrt{\frac{20}{3}}\approx\pm 2{,}582$. La solution positive est $x\approx 2{,}58$. Piège : donner $\frac{20}{3}\approx 6{,}67$, c'est-à-dire la valeur de $x^{2}$, en oubliant la racine carrée.

$-2x^{2}=18$, donc $x^{2}=\frac{18}{-2}=-9$. Aucun nombre élevé au carré ne donne un résultat négatif : l'équation n'a AUCUNE solution. La règle générale : quand $k$ et $a$ sont de signes contraires, $\frac{k}{a}$ est négatif et il n'y a aucune solution ; quand $k=0$, il y en a une seule, $x=0$ ; sinon il y en a deux.

Le SIGNE de $a$ décide de l'ouverture, et lui seul. Pour $f$, $a=1>0$ : la parabole s'ouvre vers le haut. Pour $g$, $a=3>0$ : vers le haut également. Pour $h$, $a=-0{,}5<0$ : vers le bas. Une vérification qui ne trompe jamais : calculez l'image d'un nombre, n'importe lequel sauf zéro. $h(2)=-0{,}5\times 4=-2$, qui est négatif, donc la courbe descend sous l'axe des $x$ : elle s'ouvre forcément vers le bas. Toutes ces paraboles passent par l'origine, puisque $a\times 0^{2}=0$ quelle que soit la valeur de $a$.

La largeur se lit sur la VALEUR ABSOLUE de $a$, jamais sur son signe. Plus $|a|$ est grand, plus la courbe monte vite, donc plus elle est étroite. Ici $|3|=3$, $|1|=1$ et $|-0{,}5|=0{,}5$, donc de la plus étroite à la plus large : $g$, puis $f$, puis $h$. Le graphique le confirme : à $x=2$, $g$ est déjà à $12$, $f$ n'est qu'à $4$ et $h$ n'est descendue qu'à $-2$. C'est ici que se joue l'erreur la plus fréquente du chapitre, celle de l'exercice 8 : croire que $-3$ est « plus petit » donc « plus large ». Le signe dit le sens, la valeur absolue dit la largeur, et les deux questions sont indépendantes.

On teste le point dans la règle : $g(2)=3\times 2^{2}=3\times 4=12$. L'image de $2$ est bien $12$, donc le point $(2\,;12)$ appartient à $g$. Attention à l'ordre des opérations : on élève au carré D'ABORD, on multiplie par $a$ ENSUITE. Calculer $(3\times 2)^{2}=36$ donne une réponse fausse et un point à zéro. Le carré ne porte que sur $x$, pas sur le produit $ax$.

$h(-2)=-0{,}5\times(-2)^{2}=-0{,}5\times 4=-2$ et $h(2)=-0{,}5\times 2^{2}=-2$. Les deux images sont ÉGALES. C'est le carré qui produit cela : deux nombres opposés ont le même carré, donc la même image. Géométriquement, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des $y$, qui est son axe de symétrie, d'équation $x=0$. Cette symétrie est la source de tout le reste du chapitre : c'est parce qu'elle existe qu'une même hauteur est atteinte à deux endroits, donc qu'une équation $ax^{2}=k$ aura deux solutions et que la réciproque aura deux branches.

On remplace $x$ et $f(x)$ par les coordonnées du point : $18=a\times 3^{2}$, donc $18=9a$ et $a=\dfrac{18}{9}=2$. La règle est $f(x)=2x^{2}$. La vérification est immédiate et doit devenir un réflexe : $2\times 3^{2}=2\times 9=18$, on retombe sur l'ordonnée du point de départ. La méthode tient en une phrase, valable dans les quatre cas : $a=\dfrac{y}{x^{2}}$, c'est-à-dire l'ordonnée divisée par le CARRÉ de l'abscisse.

$-8=a\times(-4)^{2}$. Le carré d'un nombre négatif est positif, donc $(-4)^{2}=16$ et non $-16$ : $-8=16a$, d'où $a=\dfrac{-8}{16}=-0{,}5$. La règle est $f(x)=-0{,}5x^{2}$. Le signe négatif du résultat vient uniquement de l'ORDONNÉE $-8$, jamais de l'abscisse, puisque celle-ci est élevée au carré. On le vérifie en calculant $f(4)=-0{,}5\times 16=-8$ : le point $(4\,;-8)$ appartient aussi à la courbe, ce qui est normal par symétrie.

$1=a\times 2^{2}=4a$, donc $a=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}$. Rien n'oblige $a$ à être entier, et un $a$ compris entre $-1$ et $1$ décrit simplement une parabole plus large que la parabole de base. La fraction $\dfrac{1}{4}$ est la forme exacte, $0{,}25$ la forme décimale : les deux sont acceptées, mais la fraction évite les arrondis dans les calculs suivants.

L'erreur est de diviser par $x$ au lieu de diviser par $x^{2}$. L'élève a traité la fonction comme une variation directe $y=ax$, où le rapport $\dfrac{y}{x}$ est effectivement constant. Ici le bon calcul est $9=a\times 6^{2}=36a$, donc $a=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $f(x)=0{,}25x^{2}$. Le test qui démasque l'erreur en dix secondes : avec $a=1{,}5$, on aurait $f(6)=1{,}5\times 36=54$, très loin du $9$ annoncé. Substituer le point dans la règle trouvée coûte une ligne et sauve la question entière. C'est la faute la plus fréquente de tout le chapitre, et elle revient à l'exercice 8.

La colonne $x=1$ donne la réponse d'un coup : $f(1)=a\times 1^{2}=a$, donc $a=3$ et $f(x)=3x^{2}$. Vérification sur la dernière colonne, celle qu'on n'a pas utilisée pour trouver $a$ : $f(5)=3\times 5^{2}=3\times 25=75$, ce qui correspond exactement. Vérifier sur une colonne DIFFÉRENTE de celle qui a servi au calcul est la seule vérification qui prouve quelque chose ; revérifier sur $x=1$ ne prouverait rien.

Les écarts successifs valent $3-0=3$, $12-3=9$, $27-12=15$, $48-27=21$ et $75-48=27$. Ils ne sont pas constants : ils augmentent, ce qui traduit une courbe de plus en plus raide. En revanche, l'écart entre ces écarts est constant : $9-3=6$, $15-9=6$, $21-15=6$, $27-21=6$. Ce nombre $6$ vaut $2a$, et c'est la signature d'une fonction du second degré sur des abscisses régulièrement espacées. Une fonction de degré 1 a ses PREMIERS écarts constants, une fonction de degré 2 a ses SECONDS écarts constants : c'est le test le plus rapide pour reconnaître le type d'une table.

De $x=2$ à $x=4$ : l'image passe de $12$ à $48$, donc elle est multipliée par $\dfrac{48}{12}=4$. De $x=3$ à $x=6$ : l'image passe de $27$ à $108$, donc multipliée par $\dfrac{108}{27}=4$ également. Ce n'est pas une coïncidence : $f(2x)=a(2x)^{2}=4ax^{2}=4f(x)$, quel que soit $x$ et quelle que soit la valeur de $a$. Doubler l'abscisse QUADRUPLE l'image, toujours. C'est le fil conducteur de toute la série, et il donnera directement la réponse aux problèmes de freinage et de pizza.

Une variation directe s'écrit $y=ax$ et se reconnaît à un rapport $\dfrac{y}{x}$ constant. Ici ce rapport vaut $\dfrac{3}{1}=3$, puis $\dfrac{12}{2}=6$, puis $\dfrac{27}{3}=9$ : il change à chaque colonne, donc la fonction n'est pas une variation directe. Passer par l'origine est une condition NÉCESSAIRE d'une variation directe, pas une condition suffisante : toutes les fonctions $f(x)=ax^{2}$ passent aussi par l'origine sans être des variations directes. Le graphique tranche aussi : une variation directe est une DROITE, alors que cette table donne une courbe.

On peut élever n'importe quel nombre réel au carré, donc le domaine est $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $]-\infty\,;+\infty[$. Pour l'image, on raisonne en deux temps : $x^{2}$ est toujours positif ou nul, donc $-2x^{2}$ est toujours négatif ou nul. La valeur $0$ est atteinte, en $x=0$, donc elle fait partie de l'image, et la courbe descend sans limite. L'image est $]-\infty\,;0]$. Le crochet est FERMÉ sur $0$, qui est atteint, et OUVERT du côté de l'infini, qui ne l'est jamais : un crochet fermé sur un infini est compté faux.

Le zéro est l'abscisse où la courbe touche l'axe des $x$ : on résout $-2x^{2}=0$, donc $x^{2}=0$ et $x=0$. Il y a un seul zéro, ce qui est toujours le cas pour $f(x)=ax^{2}$ : le sommet est sur l'axe. L'ordonnée à l'origine est $f(0)=0$ : la courbe passe par l'origine, qui est à la fois le zéro et l'ordonnée à l'origine. Comme $a=-2<0$, la parabole s'ouvre vers le bas et son sommet est le point le plus HAUT : l'extremum est un MAXIMUM, il vaut $0$ et il est atteint en $x=0$.

On lit la courbe de gauche à droite. Sur $]-\infty\,;0]$ elle monte, donc $f$ est croissante ; sur $[0\,;+\infty[$ elle descend, donc $f$ est décroissante. Le point de retournement est toujours le sommet, ici $x=0$. Deux précautions d'écriture qui coûtent des points : la variation se donne en intervalles d'ABSCISSES, jamais d'ordonnées, et le $0$ appartient aux deux intervalles, puisque la fonction y est à la fois au sommet de sa montée et au départ de sa descente.

Comme $-2x^{2}$ est négatif dès que $x\ne 0$ et nul en $x=0$, la fonction est négative sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, et elle n'est positive nulle part. On dit plus simplement qu'elle est négative ou nulle sur $\mathbb{R}$. L'axe de symétrie est la droite verticale qui passe par le sommet, d'équation $x=0$, c'est-à-dire l'axe des $y$ lui-même. Retenez qu'une fonction $f(x)=ax^{2}$ a toujours le même portrait : sommet à l'origine, axe $x=0$, un seul zéro, et un signe constant de chaque côté, celui de $a$.

On isole d'abord le carré, puis on extrait la racine : $x^{2}=\dfrac{48}{3}=16$, donc $x=4$ ou $x=-4$. Les DEUX solutions sont exactes, parce que $(-4)^{2}=16$ autant que $4^{2}=16$. Écrire seulement $x=4$ fait perdre la moitié de la question : c'est l'oubli le plus sanctionné du chapitre, et il vient directement de la symétrie vue à l'exercice 1. On écrit la réponse $x=\pm 4$, le symbole $\pm$ signifiant exactement « les deux ».

$x^{2}=\dfrac{-18}{-0{,}5}=36$, donc $x=\pm 6$. Deux négatifs qui se divisent donnent un positif, et c'est heureux : un carré ne peut pas être négatif. Si l'on trouve $x^{2}$ négatif à cette étape, c'est soit qu'il y a une erreur de calcul, soit que l'équation n'a pas de solution, comme au cas suivant. Vérification : $-0{,}5\times 36=-18$.

$x^{2}=\dfrac{-8}{2}=-4$. Aucun nombre réel n'a un carré négatif, donc l'équation n'a AUCUNE solution ; l'ensemble solution est vide. On pouvait le voir sans calcul : $2x^{2}$ est toujours positif ou nul, il ne vaudra jamais $-8$. Graphiquement, la parabole $y=2x^{2}$ est tout entière au-dessus de l'axe des $x$ et ne rencontre jamais la droite horizontale $y=-8$. Une réponse « aucune solution » est une vraie réponse, pas un aveu d'échec.

$x^{2}=\dfrac{12}{5}=2{,}4$, donc $x=\pm\sqrt{2{,}4}\approx\pm 1{,}55$. La valeur exacte est $\sqrt{2{,}4}$ et l'arrondi au centième vaut $1{,}55$, puisque $\sqrt{2{,}4}=1{,}549\ldots$ Le réflexe de contrôle : $5\times 1{,}55^{2}=12{,}0125$, très proche de $12$, l'écart venant de l'arrondi. Ne jamais arrondir avant la fin d'un calcul, seulement au moment d'écrire la réponse.

On garde $x=4$ et on rejette $x=-4$. Ce rejet n'est pas mathématique : les deux nombres sont bien solutions de l'équation. Il est CONTEXTUEL, parce qu'une longueur ne peut pas être négative. C'est la règle générale des problèmes du chapitre : on résout d'abord complètement, avec les deux solutions, puis on trie selon ce que représente $x$. Et il faut le dire explicitement dans la copie, car la phrase « on rejette $-4$, une longueur étant positive » vaut des points à elle seule. Attention : le tri n'est pas automatique, et l'exercice 10 montre une situation où les deux solutions se gardent.

On isole le carré : $x^{2}=\dfrac{y}{4}$, puis on extrait la racine sans oublier les deux signes : $x=\pm\sqrt{\dfrac{y}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{y}}{2}$. En échangeant les noms des variables, la réciproque s'écrit $y=\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$, soit $y=\pm 0{,}5\sqrt{x}$. Le $\pm$ n'est pas une coquetterie d'écriture : c'est lui qui contient tout le problème de la question suivante. Notez aussi que $\sqrt{\dfrac{y}{4}}=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{y}}{2}$ : la racine d'un quotient est le quotient des racines.

Non. Une fonction associe à chaque valeur de départ UNE SEULE image, et ici $x=16$ en reçoit deux : $\dfrac{1}{2}\sqrt{16}=2$ et $-\dfrac{1}{2}\sqrt{16}=-2$. On le vérifie dans $f$ : $f(2)=4\times 4=16$ et $f(-2)=4\times 4=16$, donc $16$ a bien deux préimages par $f$, et ces deux préimages deviennent deux images par la réciproque. Graphiquement, la courbe de la réciproque a deux branches et une droite verticale la coupe deux fois : elle échoue au test de la droite verticale. La cause est toujours la même, la symétrie de la parabole par rapport à son axe.

Il suffit de ne garder qu'une moitié de la parabole. En restreignant le domaine de $f$ à $[0\,;+\infty[$, la fonction ne prend plus chaque valeur qu'une seule fois, et sa réciproque devient la fonction $y=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$, de domaine $[0\,;+\infty[$ lui aussi, puisqu'on ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif. On aurait aussi bien pu garder $]-\infty\,;0]$, ce qui aurait donné $y=-\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$ : les deux choix sont corrects, et c'est la branche positive qu'on retient par convention.

La figure montre les trois courbes. La parabole restreinte et la branche de racine carrée sont SYMÉTRIQUES par rapport à la droite $y=x$ : c'est la signature géométrique de la réciproque, et elle se vérifie point par point. Le point $(2\,;16)$ de $f$ a pour symétrique $(16\,;2)$, qui appartient bien à la réciproque puisque $\dfrac{1}{2}\sqrt{16}=2$. Le point $(1\,;4)$ devient $(4\,;1)$, et l'origine, qui est sur la droite $y=x$, est son propre symétrique. Retenir cette image évite d'avoir à refaire le calcul : passer à la réciproque, c'est échanger les coordonnées de chaque point.

On substitue le point connu $(50\,;15)$ dans $d(v)=av^{2}$ : $15=a\times 50^{2}=2500a$, donc $a=\dfrac{15}{2500}=0{,}006$. La règle est $d(v)=0{,}006v^{2}$. Le coefficient $a$ est petit parce que les vitesses sont grandes : c'est normal et ce n'est pas une erreur. Vérification obligatoire : $0{,}006\times 2500=15$, on retombe sur la donnée de l'énoncé.

$d(100)=0{,}006\times 100^{2}=0{,}006\times 10\,000=60$ m. La vitesse a doublé, et la distance a été multipliée par $4$, puisque $\dfrac{60}{15}=4$. C'est exactement le résultat de l'exercice 3, appliqué ici : $d(2v)=a(2v)^{2}=4av^{2}=4d(v)$. Voilà pourquoi la sécurité routière insiste sur les excès de vitesse : une voiture deux fois plus rapide ne met pas deux fois plus de distance à s'arrêter, elle en met quatre fois plus.

On résout $0{,}006v^{2}=21{,}6$, donc $v^{2}=\dfrac{21{,}6}{0{,}006}=3600$ et $v=\pm 60$. La vitesse cherchée est $60$ km/h. Vérification : $0{,}006\times 3600=21{,}6$. Remarquez au passage que passer de $50$ à $60$ km/h, soit $20\,\%$ de vitesse en plus, fait passer la distance de $15$ à $21{,}6$ m, soit $44\,\%$ de plus : le carré amplifie toujours l'écart.

$d(90)=0{,}006\times 8100=48{,}6$ m et $d(70)=0{,}006\times 4900=29{,}4$ m. La différence vaut $48{,}6-29{,}4=19{,}2$ m, soit environ quatre longueurs de voiture. En proportion, $\dfrac{48{,}6}{29{,}4}\approx 1{,}653$, donc $65{,}3\,\%$ de distance en plus pour $28{,}6\,\%$ de vitesse en plus. Ne jamais calculer $d(90-70)=d(20)$ : la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse, donc on ne peut pas soustraire les vitesses avant d'appliquer la fonction. On calcule les deux distances, puis on soustrait.

Les deux solutions de l'équation sont $60$ et $-60$, et toutes deux vérifient bien $0{,}006v^{2}=21{,}6$. Mais $v$ représente ici une vitesse, qui ne peut pas être négative : on rejette donc $-60$ pour une raison de CONTEXTE, pas de calcul, et on l'écrit dans la copie. Le modèle a d'ailleurs d'autres limites qu'il faut savoir nommer : il ne tient pas compte du temps de réaction du conducteur, ni de l'état de la chaussée, et il ne vaut que sur la plage de vitesses où il a été établi.