Math CST, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : La fonction polynomiale de degré 2

Q: Quelle est la différence entre la fonction quadratique en CST et en SN ?

En séquence CST de quatrième secondaire, on étudie seulement la forme f(x) = ax au carré, ses propriétés et sa réciproque. La forme canonique, la forme factorisée, le discriminant et la résolution d'un trinôme complet appartiennent aux séquences TS et SN. Un seul paramètre à trouver, donc un seul point suffit pour déterminer la règle.

Q: Comment trouver la valeur de a dans une fonction quadratique ?

On prend un point de la courbe autre que l'origine et on divise son ordonnée par le carré de son abscisse. Pour le point (6 ; 9), cela donne 9 divisé par 36, soit un quart. L'erreur classique est de diviser par 6 au lieu de 36. On vérifie toujours en remplaçant l'abscisse dans la règle trouvée.

Q: Pourquoi une équation du type ax au carré egale k a-t-elle deux solutions ?

Parce que deux nombres opposés ont le même carré : 4 et moins 4 donnent tous les deux 16. Après avoir isolé le carré, on extrait la racine en gardant les deux signes. Il y a deux solutions si le quotient de k par a est positif, une seule s'il est nul, et aucune s'il est négatif, car un carré n'est jamais négatif.

Q: Comment savoir si une parabole est plus etroite ou plus large ?

On compare les valeurs absolues du paramètre a, jamais les valeurs elles-mêmes. Plus la valeur absolue est grande, plus la parabole est étroite. Ainsi la courbe de moins trois x au carré est plus étroite que celle de un demi x au carré, même si moins trois est le plus petit des deux nombres : le signe ne dit que le sens d'ouverture.

Q: La réciproque d'une fonction quadratique est-elle une fonction ?

Non, pas telle quelle. Comme la parabole est symétrique, chaque valeur est atteinte deux fois, donc la réciproque associe deux images à un même nombre et possède deux branches. Elle devient une fonction si l'on restreint le domaine de départ aux nombres positifs ou aux nombres négatifs, ce qui ne garde qu'une moitié de la parabole.

Q: Quand faut-il rejeter la solution négative d'un problème ?

Seulement quand la grandeur représentée ne peut pas être négative : une longueur, une aire, une durée, une masse, une vitesse ou un prix. Si la variable mesure une position par rapport à un centre ou un écart, les deux solutions sont valables et décrivent deux points réels. On relit donc la phrase qui définit la variable avant de trancher.

Cette fiche couvre la fonction polynomiale de degré 2 telle que la séquence Culture, société et technique l'étudie : la forme $f(x)=ax^{2}$ et sa réciproque, sans forme canonique, sans discriminant et sans trinôme à factoriser, qui appartiennent aux séquences TS et SN. Un seul paramètre, donc un chapitre où l'on ne peut pas se cacher derrière la technique.

C'est justement ce qui le rend traître. Comme il n'y a presque rien à calculer, les points se perdent ailleurs : sur une division par $x$ au lieu de $x^{2}$ , sur une solution négative oubliée ou rejetée à tort, sur une largeur jugée au signe de $a$ . Chaque piège ci-dessous est chiffré et accompagné de la phrase exacte à écrire à la place.

Le fil du chapitre

Élever au carré n'est pas multiplier : quand $x$ double, $f(x)$ ne double pas, elle QUADRUPLE ; et pour remonter d'une image vers son abscisse il faut une racine carrée, donc deux réponses, qu'il faut ensuite trier selon ce que $x$ représente.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3

Notions couvertes

Fonction polynomiale de degré 2
Parabole
Paramètre a
Axe de symétrie
Recherche de la règle
Domaine et image
Extremum
Variation d'une fonction
Réciproque d'une fonction
Modélisation par une fonction quadratique

L'essentiel

Un seul paramètre, et il porte deux informations indépendantes

• La fonction s'écrit $f(x)=ax^{2}$ avec $a\ne 0$ . Sa courbe est une PARABOLE de sommet $(0\,;0)$ et d'axe de symétrie $x=0$ : c'est vrai pour toutes, quelle que soit la valeur de $a$ .
• Le SIGNE de $a$ donne le sens d'ouverture : vers le haut si $a>0$ , vers le bas si $a<0$ .
• La VALEUR ABSOLUE de $a$ donne la largeur : plus $|a|$ est grand, plus la parabole est étroite. Les deux lectures sont indépendantes, et c'est là que se joue le piège n° 4.
• Deux abscisses opposées ont la même image, puisque $(-x)^{2}=x^{2}$ : $f(-3)=f(3)$ toujours. Toute la suite du chapitre découle de cette symétrie.

Quatre paraboles

y=ax^{2}

, étiquetées par leur valeur de

a

a=-3

ouvre vers le bas ET reste la plus étroite, alors que

a=0{,}5

ouvre vers le haut en étant la plus large.

Sur une copie, écrire « $a<0$ donc la parabole s'ouvre vers le bas » rapporte le point de justification que « on voit que » ne rapporte jamais.

Les propriétés, dans l'ordre où elles sont demandées

• DOMAINE : toujours $\mathbb{R}$ , soit $]-\infty\,;+\infty[$ . On peut élever n'importe quel nombre au carré.
• IMAGE : $[0\,;+\infty[$ si $a>0$ , et $]-\infty\,;0]$ si $a<0$ . Le crochet est FERMÉ sur $0$ , qui est atteint, et toujours OUVERT sur l'infini.
• ZÉRO : un seul, $x=0$ , et c'est aussi l'ordonnée à l'origine. Le sommet est sur les deux axes.
• EXTREMUM : atteint en $x=0$ et il vaut $0$ . C'est un MINIMUM si $a>0$ , un MAXIMUM si $a<0$ .
• VARIATION : la fonction change de sens en $x=0$ . Si $a>0$ , elle décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$ ; si $a<0$ , c'est l'inverse.
• SIGNE : celui de $a$ partout, sauf en $x=0$ où la fonction s'annule.

La variation se donne en intervalles d'ABSCISSES, jamais d'ordonnées, et $0$ appartient aux deux intervalles.

Les deux gestes de calcul du chapitre

• TROUVER LA RÈGLE à partir d'un point $(x\,;y)$ autre que l'origine : $a=\dfrac{y}{x^{2}}$ . On divise par le CARRÉ de l'abscisse. Un seul point suffit, puisqu'il n'y a qu'un paramètre.
• RÉSOUDRE $ax^{2}=k$ : on isole $x^{2}=\dfrac{k}{a}$ , puis $x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{a}}$ .
• PASSER À LA RÉCIPROQUE : de $y=ax^{2}$ on tire $x=\pm\sqrt{\dfrac{y}{a}}$ , donc la réciproque est $y=\pm\sqrt{\dfrac{x}{a}}$ , avec DEUX branches.
• Multiplier $x$ par $k$ multiplie $f(x)$ par $k^{2}$ : doubler quadruple, tripler multiplie par neuf, réduire de moitié divise par quatre.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Combien de solutions a l'équation $ax^{2}=k$ ?

On isole toujours $x^{2}$ AVANT de décider. C'est le signe du quotient $\dfrac{k}{a}$ , et lui seul, qui donne le nombre de solutions : le signe de $k$ tout seul ne décide de rien, parce que $a$ peut être négatif lui aussi.

Signe de $\dfrac{k}{a}$	Exemple d'équation	Solutions
$>0$	$3x^{2}=48$	$x=\pm 4$
Exemple : $x^{2}=\dfrac{48}{3}=16$ , donc $x=4$ ou $x=-4$ , et $3\times(-4)^{2}=48$ .
$=0$	$3x^{2}=0$	$x=0$
Exemple : $x^{2}=\dfrac{0}{3}=0$ , et $0$ est le seul nombre dont le carré vaut $0$ .
$<0$	$2x^{2}=-8$	aucune solution impossible dans les réels
Exemple : $x^{2}=\dfrac{-8}{2}=-4$ , or $(-2)^{2}=4$ et $2^{2}=4$ : aucun carré ne vaut $-4$ . Même forme, autre résultat : Attention, $-2x^{2}=-8$ a bien deux solutions, $x=\pm 2$ : c'est le QUOTIENT $\dfrac{-8}{-2}=4$ qui compte, pas le signe de $-8$ . Ce qu'il faut faire : Ne pas chercher de racine : écrire « aucune solution, un carré ne peut pas être négatif », ce qui est une réponse complète.

Une équation sans solution n'est pas un échec de calcul : c'est la réponse, et elle s'écrit en toutes lettres.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Trouver $a$ en divisant par l'abscisse au lieu du carré de l'abscisse

toute la question, et tout ce qui en découle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La parabole passe par $(6\,;9)$ , donc $a=\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $f(x)=1{,}5x^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $9=a\times 6^{2}=36a$ , donc $a=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$ et $f(x)=0{,}25x^{2}$ . »

Pourquoi : C'est le réflexe de la variation directe $y=ax$ , où l'on divise bien par $x$ . Ici l'abscisse est élevée au carré AVANT d'être multipliée par $a$ , donc c'est $x^{2}$ qui apparaît au dénominateur.

2. Oublier la solution négative d'une équation $ax^{2}=k$

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3x^{2}=48$ , donc $x^{2}=16$ et $x=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}=16$ , donc $x=4$ ou $x=-4$ , soit $x=\pm 4$ . »

Pourquoi : Extraire une racine carrée d'une ÉQUATION donne deux solutions opposées, alors que le symbole $\sqrt{\ }$ d'un NOMBRE en désigne une seule, la positive. Les deux choses s'écrivent presque pareil, d'où la confusion.

3. Croire qu'une abscisse doublée double l'image

la question entière dans un problème de modélisation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(2)=12$ , donc $f(4)=24$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(4)=3\times 4^{2}=48$ , soit QUATRE fois $f(2)$ : multiplier $x$ par $2$ multiplie $f(x)$ par $2^{2}=4$ . »

Les deux abscisses sont dans le rapport

2

et les deux images dans le rapport

4

: l'écart entre les deux traits horizontaux est trois fois la première image, pas une fois.

Pourquoi : C'est le fil du chapitre. Une voiture deux fois plus rapide freine sur quatre fois plus de distance, et une pizza de diamètre une fois et demie plus grand contient plus du double de pâte.

4. Juger la largeur de la parabole sur le signe de $a$

1 point, et souvent le tracé complet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-3$ est plus petit que $\dfrac{1}{2}$ , donc $y=-3x^{2}$ est plus large que $y=\dfrac{1}{2}x^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|-3|=3$ et $\left|\dfrac{1}{2}\right|=0{,}5$ , donc $y=-3x^{2}$ est six fois plus ÉTROITE ; elle est seulement ouverte vers le bas. »

Pourquoi : Le signe et la valeur absolue répondent à deux questions différentes, le sens et la largeur. Comparer deux valeurs de $a$ sans passer par la valeur absolue mélange les deux.

5. Élever au carré le produit au lieu de l'abscisse seule

2 points, et une table de valeurs entièrement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g(2)=(3\times 2)^{2}=36$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $g(2)=3\times 2^{2}=3\times 4=12$ : le carré ne porte que sur $x$ . »

Pourquoi : L'ordre des opérations impose la puissance avant la multiplication. L'erreur passe souvent inaperçue parce que le résultat reste plausible.

6. Rejeter la solution négative alors qu'elle a un sens

la moitié de la réponse, dans le bloc le plus payant de l'épreuve

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}=225$ donne $x=\pm 15$ , mais une distance est positive, donc $x=15$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x=15$ et $x=-15$ : $x$ mesure ici l'écart au CENTRE du pont, donc les deux suspentes existent, une de chaque côté. »

Les deux solutions de

0{,}02x^{2}=4{,}5

sont deux points RÉELS du pont, symétriques par rapport au centre : rejeter

x=-15

supprimerait la moitié gauche de l'ouvrage.

Pourquoi : Le tri se fait sur ce que $x$ représente, pas sur son signe. Une longueur, une durée ou une vitesse ne peuvent pas être négatives, mais une position par rapport à un repère, un écart ou une variation le peuvent très bien.

7. Annoncer que la réciproque est une fonction

2 points, et la justification attendue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La réciproque de $f(x)=4x^{2}$ est $y=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$ , c'est une fonction. »

Ce qu'il faut écrire

« La réciproque est $y=\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$ , donc ce n'est PAS une fonction : $16$ a deux images, $2$ et $-2$ . Elle le devient si l'on restreint le domaine de $f$ à $[0\,;+\infty[$ . »

Pourquoi : La réciproque d'une fonction est toujours une RELATION ; elle n'est une fonction que si la fonction de départ ne prend jamais deux fois la même valeur, ce qui est faux pour une parabole à cause de sa symétrie.

8. Fermer le crochet sur l'infini en donnant l'image

0,5 point par copie, à chaque question de propriétés

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'image de $f(x)=-2x^{2}$ est $[-\infty\,;0]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'image est $]-\infty\,;0]$ : l'infini n'est jamais atteint, donc son crochet reste ouvert, alors que $0$ est atteint en $x=0$ . »

Pourquoi : Un crochet fermé annonce que la valeur est ATTEINTE par la fonction. L'infini n'est pas un nombre et ne peut pas être une image.

9. Conclure à une variation directe parce que la courbe passe par l'origine

1 point, et le mauvais modèle choisi dans un problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(0)=0$ , donc $f$ est une fonction de variation directe. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport $\dfrac{y}{x}$ vaut $3$ , puis $6$ , puis $9$ : il n'est pas constant, donc $f$ n'est pas une variation directe, même si sa courbe passe par l'origine. »

Pourquoi : Passer par l'origine est une condition nécessaire d'une variation directe, pas une condition suffisante. La preuve se fait sur le rapport $\dfrac{y}{x}$ , ou en remarquant que le graphique est une courbe et non une droite.

Quelle méthode choisir

Quel geste, selon ce que l'énoncé donne

On regarde ce qui est FOURNI et ce qui est DEMANDÉ, pas le thème du problème.

Si un point $(x\,;y)$ , et la règle est demandée → $a=\dfrac{y}{x^{2}}$ , puis on vérifie en réinjectant le point

Exemple : $(3\,;18)\to a=\dfrac{18}{9}=2$

un seul point suffit, sauf si c'est l'origine, qui ne dit rien sur $a$
Si la règle et une ABSCISSE → on remplace et on calcule : une seule réponse

Exemple : $f(x)=2x^{2}$ et $x=5$ donnent $f(5)=50$
Si la règle et une IMAGE → on résout $ax^{2}=k$ : deux réponses à trier

Exemple : $2x^{2}=50$ donne $x=\pm 5$

ne jamais s'arrêter à la solution positive avant d'avoir lu ce que $x$ représente
Si une table de valeurs → on teste $\dfrac{y}{x^{2}}$ sur deux colonnes différentes

Exemple : $\dfrac{12}{4}=3$ et $\dfrac{75}{25}=3$ : la règle est $f(x)=3x^{2}$

si le quotient change, ce n'est pas une fonction de la forme $ax^{2}$
Si il faut remonter de l'image vers l'abscisse pour TOUTES les valeurs → on écrit la réciproque $y=\pm\sqrt{\dfrac{x}{a}}$ et on précise la restriction

Exemple : $f(x)=4x^{2}$ restreinte à $[0\,;+\infty[$ donne $y=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$

Aucune branche ne correspond ? C'est que l'énoncé donne DEUX points : le second sert alors de vérification, pas de second paramètre, car il n'y en a qu'un.

Garder ou rejeter la solution négative

On relit la phrase qui définit $x$ dans l'énoncé, avant de trancher. Le signe de la solution ne décide de rien tout seul.

Si $x$ est une longueur, une aire, une durée, une masse, une vitesse ou un prix → on rejette la solution négative, et on l'écrit dans la copie

Exemple : le côté d'un carré vérifie $x^{2}=16$ : on garde $4$ , on rejette $-4$
Si $x$ est une position par rapport à un centre, un écart ou une variation → on garde les DEUX solutions, qui décrivent deux points réels

Exemple : $0{,}02x^{2}=4{,}5$ donne $x=\pm 15$ : une suspente de chaque côté du pont
Si l'énoncé est purement mathématique, sans contexte → on garde les deux et on écrit $x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{a}}$

Exemple : « résolvez $5x^{2}=20$ » a pour réponse $x=\pm 2$
Si l'énoncé impose un intervalle de validité → on ne garde que les solutions qui tombent dedans, positives ou non

Exemple : si le modèle ne vaut que pour $0\le t\le 10$ , la solution $t=-4$ sort

c'est le cas des modèles physiques, valables sur une plage annoncée

La phrase de rejet vaut des points à elle seule : « on rejette $x=-4$ , une longueur ne pouvant pas être négative ».

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème modélisé par $f(x)=ax^{2}$

Quand l'utiliser : L'énoncé annonce qu'une grandeur est « proportionnelle au carré » d'une autre, ou donne une situation avec un seul couple de valeurs et une parabole de sommet à l'origine.

1 Nommer les variables avec leur unité : « soit $v$ la vitesse en km/h et $d(v)$ la distance de freinage en mètres ».
2 Écrire la forme du modèle AVANT de calculer : « la situation se modélise par $d(v)=av^{2}$ ».
3 Substituer le couple connu et isoler $a$ : « $15=a\times 50^{2}$ , donc $a=0{,}006$ ».
4 Vérifier la règle sur la donnée de départ : « $0{,}006\times 2500=15$ , ce qui correspond ».
5 Répondre à la question posée, en distinguant le sens du calcul : on remplace $x$ si l'on cherche une image, on résout $ax^{2}=k$ si l'on cherche une abscisse.
6 Trier les solutions selon ce que la variable représente, et l'écrire.
7 Conclure par une phrase avec l'unité.

Phrase de conclusion

« La distance de freinage atteint $21{,}6$ m à une vitesse de $60$ km/h ; la solution $-60$ est rejetée, une vitesse ne pouvant pas être négative. »

Le piège : Sauter l'étape 2 et se lancer dans les calculs : sans la forme du modèle écrite, le correcteur ne peut pas accorder les points de modélisation, qui sont les plus nombreux.

Barème : Sur 4 points en situation d'application : 1 pour le modèle posé, 1 pour la valeur de $a$ , 1 pour la résolution, 1 pour le tri et la phrase de conclusion avec l'unité.

Donner les propriétés d'une fonction $f(x)=ax^{2}$

Quand l'utiliser : La question dit « donnez les propriétés », « faites l'étude » ou liste domaine, image, extremum et variation.

1 Annoncer le signe de $a$ et ce qu'il entraîne : « $a=-2<0$ , donc la parabole s'ouvre vers le bas ».
2 Domaine : $\mathbb{R}$ , sans hésiter, et le dire même si cela paraît évident.
3 Image : la déduire du signe de $a$ , avec le bon crochet, ici $]-\infty\,;0]$ .
4 Zéro et ordonnée à l'origine : les deux valent $0$ , et il faut les citer séparément car ce sont deux questions distinctes.
5 Extremum : nommer sa NATURE, maximum ou minimum, sa valeur et l'abscisse où il est atteint.
6 Variation : deux intervalles d'abscisses qui se touchent en $0$ .
7 Signe : celui de $a$ , sauf en $x=0$ .

Phrase de conclusion

« $f$ admet un maximum de $0$ en $x=0$ ; elle est croissante sur $]-\infty\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;+\infty[$ . »

Le piège : Donner la variation en intervalles d'ordonnées, ou oublier de préciser la nature de l'extremum : « extremum $0$ » sans le mot maximum ne rapporte pas le point.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter le point dans la règle trouvée

Une fois $a$ calculé, remplacer l'abscisse du point donné dans la règle et vérifier qu'on retombe sur son ordonnée. Cinq secondes, et cela attrape la division par $x$ au lieu de $x^{2}$ .

Avec $a=1{,}5$ et le point $(6\,;9)$ : $1{,}5\times 36=54$ , très loin de $9$ , donc la valeur de $a$ est fausse.
Le test du double

Multiplier une abscisse par $2$ et vérifier que l'image est multipliée par $4$ . Si elle est multipliée par $2$ , c'est qu'un carré a été perdu en route.

$f(2)=12$ et $f(4)=48$ : le rapport vaut $4$ , tout va bien. S'il valait $24$ , la règle utilisée serait une variation directe.
Le signe de toutes les images

Si $a<0$ , aucune image ne peut être positive, et réciproquement. Un tableau de valeurs qui mélange les signes est faux avant même d'être lu.

Avec $f(x)=-2x^{2}$ , trouver $f(3)=18$ signale qu'on a oublié le signe moins : la bonne valeur est $-18$ .
Les deux crochets de l'image

Relire l'image écrite : le crochet du côté de l'infini est toujours ouvert, celui du côté de $0$ toujours fermé. C'est un contrôle purement visuel.

$[-\infty\,;0]$ est faux, $]-\infty\,;0]$ est juste.
La table de la calculatrice

Entrer la règle trouvée et afficher la table de valeurs (TI : « Y= » puis 2nde GRAPH ; Casio : menu TABLE). Comparer deux ou trois couples à ceux de l'énoncé.

Une table qui affiche $54$ là où l'énoncé annonce $9$ dit que la règle est fausse, sans avoir à refaire le calcul.

L'exercice type décortiqué

La chute d'une bille : un modèle, et les deux sens de lecture

En chute libre, la distance parcourue par un objet est proportionnelle au carré du temps écoulé. Une bille lâchée du haut d'une tour a parcouru $44{,}1$ m au bout de $3$ secondes.

a) Trouvez la règle $d(t)=at^{2}$ , où $d$ est en mètres et $t$ en secondes.

b) Quelle distance la bille parcourt-elle en $5$ secondes ?

c) Au bout de combien de temps a-t-elle parcouru $78{,}4$ m ?

d) Comparez les distances parcourues en $2$ s et en $4$ s.

Les trois secondes sont espacées régulièrement et les trois distances ne le sont pas du tout :

4{,}9

m, puis

14{,}7

m de plus, puis

24{,}5

m de plus. C'est la signature d'un modèle en

t^{2}

Étape 1

La situation se modélise par $d(t)=at^{2}$ . Le couple $(3\,;44{,}1)$ donne $44{,}1=a\times 3^{2}=9a$ , donc $a=\dfrac{44{,}1}{9}=4{,}9$ et $d(t)=4{,}9t^{2}$ .

Pourquoi

Écrire la forme du modèle AVANT de substituer est ce qui rapporte les points de modélisation. On divise par $3^{2}=9$ , jamais par $3$ , sinon on obtiendrait $14{,}7$ , une valeur qui ne redonne pas la donnée de l'énoncé.

Étape 2

Vérification immédiate : $4{,}9\times 3^{2}=4{,}9\times 9=44{,}1$ , ce qui correspond bien à l'énoncé.

Pourquoi

Cette ligne coûte cinq secondes et sécurise tout le reste du problème, puisque les trois questions suivantes utilisent la règle trouvée ici.

Étape 3

b) $d(5)=4{,}9\times 5^{2}=4{,}9\times 25=122{,}5$ m.

Pourquoi

On connaît l'abscisse et l'on cherche l'image : on remplace, et il n'y a qu'une seule réponse. C'est la première branche de l'arbre.

Étape 4

c) On résout $4{,}9t^{2}=78{,}4$ , donc $t^{2}=\dfrac{78{,}4}{4{,}9}=16$ et $t=\pm 4$ . Le temps ne pouvant pas être négatif, on rejette $t=-4$ : la bille a parcouru $78{,}4$ m au bout de $4$ secondes.

Pourquoi

Sens inverse, donc racine carrée, donc DEUX solutions à trier. Le rejet se justifie par ce que $t$ représente, et la phrase de rejet doit figurer sur la copie.

Étape 5

d) $d(2)=4{,}9\times 4=19{,}6$ m et $d(4)=4{,}9\times 16=78{,}4$ m. Le rapport vaut $\dfrac{78{,}4}{19{,}6}=4$ .

Pourquoi

Le temps de chute a doublé et la distance a quadruplé : c'est le fil du chapitre, et c'est pourquoi une chute de deux fois plus longue est bien plus dangereuse que « deux fois pire ».

Étape 6

Contrôle final : $4{,}9\times 4^{2}=78{,}4$ , qui est bien la valeur de la question c), et toutes les distances trouvées sont positives, comme il se doit pour $a>0$ .

Pourquoi

La substitution inverse est la vérification la plus rentable : elle teste la règle ET la solution retenue en un seul calcul.

Conclusion rédigée

La chute est modélisée par $d(t)=4{,}9t^{2}$ : la bille parcourt $122{,}5$ m en $5$ s, elle atteint $78{,}4$ m au bout de $4$ s, et elle tombe quatre fois plus loin en $4$ s qu'en $2$ s.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $8$ secondes à la question c) en raisonnant « $78{,}4$ est environ quatre fois $19{,}6$ , donc quatre fois $2$ secondes ». Le rapport $4$ porte sur les DISTANCES, et il correspond à un rapport $2$ sur les temps.

À savoir par cœur

• $f(x)=ax^{2}$ : sommet $(0\,;0)$ , axe de symétrie $x=0$ , un seul zéro, $x=0$ .
• Le SIGNE de $a$ donne le sens d'ouverture, sa VALEUR ABSOLUE donne la largeur. Deux questions différentes.
• $a=\dfrac{y}{x^{2}}$ : on divise par le CARRÉ de l'abscisse.
• $ax^{2}=k$ donne $x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{a}}$ : deux solutions si $\dfrac{k}{a}>0$ , une seule si elle est nulle, AUCUNE si elle est négative.
• Multiplier $x$ par $k$ multiplie $f(x)$ par $k^{2}$ : doubler QUADRUPLE.
• Image : $[0\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;0]$ si $a<0$ . L'infini n'est JAMAIS entre crochets fermés.
• La réciproque $y=\pm\sqrt{\dfrac{x}{a}}$ a deux branches : ce n'est une fonction qu'après restriction du domaine de départ.
• On rejette une solution négative quand la GRANDEUR ne peut pas l'être, jamais par réflexe.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la fonction quadratique en CST et en SN ?

En séquence CST de quatrième secondaire, on étudie seulement la forme f(x) = ax au carré, ses propriétés et sa réciproque. La forme canonique, la forme factorisée, le discriminant et la résolution d'un trinôme complet appartiennent aux séquences TS et SN. Un seul paramètre à trouver, donc un seul point suffit pour déterminer la règle.

Comment trouver la valeur de a dans une fonction quadratique ?

On prend un point de la courbe autre que l'origine et on divise son ordonnée par le carré de son abscisse. Pour le point (6 ; 9), cela donne 9 divisé par 36, soit un quart. L'erreur classique est de diviser par 6 au lieu de 36. On vérifie toujours en remplaçant l'abscisse dans la règle trouvée.

Pourquoi une équation du type ax au carré egale k a-t-elle deux solutions ?

Parce que deux nombres opposés ont le même carré : 4 et moins 4 donnent tous les deux 16. Après avoir isolé le carré, on extrait la racine en gardant les deux signes. Il y a deux solutions si le quotient de k par a est positif, une seule s'il est nul, et aucune s'il est négatif, car un carré n'est jamais négatif.

Comment savoir si une parabole est plus etroite ou plus large ?

On compare les valeurs absolues du paramètre a, jamais les valeurs elles-mêmes. Plus la valeur absolue est grande, plus la parabole est étroite. Ainsi la courbe de moins trois x au carré est plus étroite que celle de un demi x au carré, même si moins trois est le plus petit des deux nombres : le signe ne dit que le sens d'ouverture.

La réciproque d'une fonction quadratique est-elle une fonction ?

Non, pas telle quelle. Comme la parabole est symétrique, chaque valeur est atteinte deux fois, donc la réciproque associe deux images à un même nombre et possède deux branches. Elle devient une fonction si l'on restreint le domaine de départ aux nombres positifs ou aux nombres négatifs, ce qui ne garde qu'une moitié de la parabole.

Quand faut-il rejeter la solution négative d'un problème ?

Seulement quand la grandeur représentée ne peut pas être négative : une longueur, une aire, une durée, une masse, une vitesse ou un prix. Si la variable mesure une position par rapport à un centre ou un écart, les deux solutions sont valables et décrivent deux points réels. On relit donc la phrase qui définit la variable avant de trancher.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction polynomiale de degré 2

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Fiche de révision : La fonction polynomiale de degré 2

L'essentiel

Un seul paramètre, et il porte deux informations indépendantes

Les propriétés, dans l'ordre où elles sont demandées

Les deux gestes de calcul du chapitre

Les règles de calcul en tableau

Combien de solutions a l'équation ax2=kax^{2}=kax2=k ?

Les pièges qui coûtent des points

1. Trouver aaa en divisant par l'abscisse au lieu du carré de l'abscisse

2. Oublier la solution négative d'une équation ax2=kax^{2}=kax2=k

3. Croire qu'une abscisse doublée double l'image

4. Juger la largeur de la parabole sur le signe de aaa

5. Élever au carré le produit au lieu de l'abscisse seule

6. Rejeter la solution négative alors qu'elle a un sens

7. Annoncer que la réciproque est une fonction

8. Fermer le crochet sur l'infini en donnant l'image

9. Conclure à une variation directe parce que la courbe passe par l'origine

Quelle méthode choisir

Quel geste, selon ce que l'énoncé donne

Garder ou rejeter la solution négative

La rédaction attendue

Résoudre un problème modélisé par f(x)=ax2f(x)=ax^{2}f(x)=ax2

Donner les propriétés d'une fonction f(x)=ax2f(x)=ax^{2}f(x)=ax2

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La chute d'une bille : un modèle, et les deux sens de lecture

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la fonction quadratique en CST et en SN ?

Comment trouver la valeur de a dans une fonction quadratique ?

Pourquoi une équation du type ax au carré egale k a-t-elle deux solutions ?

Comment savoir si une parabole est plus etroite ou plus large ?

La réciproque d'une fonction quadratique est-elle une fonction ?

Quand faut-il rejeter la solution négative d'un problème ?

Exercices corrigés : La fonction polynomiale de degré 2

Voir aussi

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Combien de solutions a l'équation $ax^{2}=k$ ?

1. Trouver $a$ en divisant par l'abscisse au lieu du carré de l'abscisse

2. Oublier la solution négative d'une équation $ax^{2}=k$

4. Juger la largeur de la parabole sur le signe de $a$

Résoudre un problème modélisé par $f(x)=ax^{2}$

Donner les propriétés d'une fonction $f(x)=ax^{2}$