Math CST, secondaire 4 à Montréal • Algèbre
En séquence CST, un système d'équations ne tombe presque jamais tout seul : il arrive dans une situation d'application, où l'on compare deux offres, deux tarifs ou deux rythmes. La résolution vaut la moitié des points ; l'autre moitié se joue avant, dans la mise en équation, et après, dans l'interprétation.
Gardez une seule idée en tête pendant la révision : le point d'intersection donne le moment où les deux situations coïncident, pas la réponse à la question posée. Une fois ce point trouvé, il reste à dire de quel côté se trouve la valeur de l'énoncé, et c'est cette phrase-là que le correcteur cherche.
Le fil du chapitre
Le point d'intersection n'est pas la réponse, c'est le SEUIL : la question de la CST est presque toujours « laquelle des deux offres choisir », et elle se répond en disant de quel côté du seuil on se trouve.
La phrase attendue en examen : « pour déplacements, les deux abonnements coûtent dollars ». Un nombre seul, « », ne dit ni de quoi il s'agit ni ce qu'il vaut.
Le choix de la méthode ne rapporte aucun point en soi, mais un mauvais choix coûte du temps et fait apparaître des fractions inutiles, donc des erreurs de calcul.
« Aucune solution » n'est pas un échec de calcul, c'est une réponse. Elle dit que les deux situations ne coïncident jamais, et donc, très souvent, que l'une est toujours meilleure.
Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.
On met d'abord les deux équations sous la forme , sans quoi la comparaison ne veut rien dire. On regarde ensuite les pentes, et seulement après les ordonnées à l'origine.
| Pentes | Ordonnées à l'origine | Nombre de solutions |
|---|---|---|
| différentes | quelconques | une seule |
| Exemple : et : donne et , un seul point. | ||
| égales | différentes | aucune aucun point commun |
| Exemple : et : il reste , qui est faux. Même forme, autre résultat : Attention, aucune solution ne veut pas dire problème impossible : ici le premier traiteur est toujours moins cher, de dollars exactement. Ce qu'il faut faire : Écrire « le système n'a aucune solution, les droites sont parallèles », puis chiffrer l'écart constant, qui est la vraie réponse au problème. | ||
| égales | égales | une infinité |
| Exemple : et : la seconde divisée par redonne la première. | ||
Une équation écrite en ne se compare pas directement : et paraissent différentes et décrivent pourtant la même droite.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La réponse est . »
Ce qu'il faut écrire
« Pour personnes, les deux salles coûtent le même prix, soit dollars. »
Pourquoi : Le correcteur évalue aussi la communication. Un nombre isolé ne dit ni de quelle grandeur il s'agit, ni dans quelle unité, et il ne répond donc pas à la question posée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux droites se croisent à ventes, donc il faut prendre l'offre B. »
Ce qu'il faut écrire
« Le seuil est de ventes. L'étudiant en prévoit , donc il est sous le seuil : l'offre A lui rapporte plus, dollars contre . »
Pourquoi : C'est le fil du chapitre. Au point d'intersection, les deux offres sont ÉGALES : il ne peut donc pas désigner un gagnant. Le gagnant se lit du côté où l'on se trouve.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc est la solution. »
Ce qu'il faut écrire
« ET : le couple vérifie les deux équations. »
Pourquoi : Un couple qui ne vérifie qu'une équation est un point de l'UNE des deux droites, pas leur intersection. La vérification à une seule équation laisse passer toutes les erreurs faites dans le report, qui sont les plus fréquentes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« multipliée par donne . »
Ce qu'il faut écrire
« multipliée par donne . »
Pourquoi : Une équation est une balance : ce qu'on fait à gauche, on le fait à droite. Le résultat obtenu, ici faux, se propage ensuite à la seconde variable.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« plus donne , donc vaut... »
Ce qu'il faut écrire
« Je multiplie d'abord la première par : . L'addition donne alors , donc . »
Pourquoi : L'addition n'a d'intérêt que si elle ÉLIMINE une variable. Une addition qui laisse deux variables n'est pas fausse, elle est simplement inutile, et il faut recommencer.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et . »
Ce qu'il faut écrire
« compte les trousses ; compte les dollars. »
Pourquoi : Les deux membres d'une même équation doivent compter la même chose. À gauche, multiplie chaque trousse par son prix : c'est un montant, donc à droite on attend un montant.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le système n'a pas de solution, donc le problème est impossible. »
Ce qu'il faut écrire
« Le système n'a aucune solution : les deux traiteurs ne coûtent jamais le même prix. Le traiteur X est donc toujours moins cher, de dollars. »
Pourquoi : Une absence de solution répond à « quand est-ce pareil ? » par « jamais ». C'est souvent l'information la plus utile du problème, et elle se complète en chiffrant l'écart, qui est constant quand les pentes sont égales.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La longueur dépasse la largeur de cm, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« La longueur est la plus grande, donc . »
Pourquoi : L'erreur donne un rectangle dont la largeur dépasse la longueur, ce qu'aucune vérification numérique ne signale. Le contrôle est verbal : on nomme d'abord la grandeur la PLUS GRANDE, et c'est à elle que l'égalité donne le rôle de gauche.
On regarde la FORME du système, pas son contexte. Trois formes, trois méthodes, et la lecture prend cinq secondes.
Si La même variable est isolée dans les deux équations, du type et → COMPARAISON : on égale les deux expressions
Exemple : donne , donc
Si Une variable est isolée dans une seule équation, ou son coefficient vaut ou → SUBSTITUTION : on isole, puis on remplace dans l'AUTRE équation
Exemple : De on tire , qu'on reporte dans
Si Les deux équations sont en et aucun coefficient ne vaut → RÉDUCTION : on rend deux coefficients opposés, puis on additionne
Exemple : et : la seconde multipliée par élimine
Quand deux méthodes conviennent, prenez celle qui évite les fractions. Une fraction au milieu d'une substitution est la première cause d'erreur de calcul du chapitre.
On compare d'abord les PENTES, ensuite seulement les ordonnées à l'origine. Il faut pour cela que les deux équations soient sous la forme .
Si Les pentes sont différentes → UNE solution : les droites se croisent en un point
Exemple : et se croisent, comme et sur la figure
Si Les pentes sont égales et les ordonnées à l'origine différentes → AUCUNE solution : les droites sont parallèles et distinctes
Exemple : et gardent d'écart et ne se rencontrent jamais
Si Les pentes et les ordonnées à l'origine sont égales → UNE INFINITÉ de solutions : c'est la même droite écrite deux fois
Exemple : et : on divise la seconde par pour le voir
Deux équations peuvent cacher la même droite sous des coefficients différents. On ramène toujours à la forme avant de conclure quoi que ce soit.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux conditions sur deux quantités inconnues : un nombre total et un montant total, deux tarifs à comparer, deux rythmes qui se rejoignent.
Phrase de conclusion
« Il s'est vendu billets adulte et billets enfant, ce qui donne bien billets pour une recette de dollars. »
Le piège : Sauter la nomination des inconnues. Le correcteur ne peut alors pas savoir ce que représente , et les points de mise en équation ne sont pas attribués même si le système est juste.
Barème : 2 points pour les inconnues et les deux équations, 2 points pour la résolution, 1 point pour la vérification, 1 point pour la phrase de conclusion
Quand l'utiliser : L'énoncé demande « laquelle est la plus avantageuse », « que conseillez-vous » ou « à partir de quand ».
Phrase de conclusion
« Le seuil est de ventes. Avec ventes par semaine, l'étudiant reste en dessous : l'offre A lui rapporte dollars contre , soit dollars de plus. »
Le piège : Répondre « l'offre B, car elle monte plus vite ». La pente dit ce qui se passe LOIN à droite, pas ce qui se passe à la valeur demandée.
Barème : 2 points pour le seuil, 2 points pour le côté et l'offre gagnante, 1 point pour l'écart chiffré
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le couple, dans les deux équations
Remplacez et par vos valeurs dans chacune des deux équations de départ, pas dans celles que vous avez transformées. Les deux doivent être vraies.
dans donne , et dans donne : les deux correspondent.
Le contexte, avant de recopier la réponse
Un nombre d'objets, de personnes ou de pièces est un entier POSITIF. Une solution négative ou décimale signale soit une erreur, soit une situation impossible, et l'énoncé demande parfois exactement de le montrer.
pièces pour dollars donnerait et : impossible, puisque pièces de dollars ne font que dollars au maximum.
Le côté du seuil, en cinq secondes
Comparez la valeur de l'énoncé à l'abscisse du point d'intersection avant de calculer quoi que ce soit. Ce simple test donne déjà la moitié de la réponse.
Seuil à déplacements, l'usager en fait : , donc c'est l'abonnement B, et il ne reste qu'à chiffrer l'économie.
Les unités des deux équations
Relisez vos deux équations et demandez-vous ce que compte chacune. Si les deux comptent la même chose, l'une des deux est fausse.
compte des pièces, compte des dollars : deux comptes différents, donc deux conditions indépendantes.
L'égalité finale, quand les variables disparaissent
Si tous les s'annulent, ne cherchez pas l'erreur : lisez ce qui reste. Une égalité fausse signifie aucune solution, une égalité vraie signifie une infinité.
laisse , qui est faux : les droites sont parallèles, donc aucune solution.
Une école organise un souper. Le billet adulte coûte dollars et le billet enfant dollars. Ce soir-là, billets ont été vendus et la recette s'élève à dollars.
Combien de billets de chaque sorte se sont-ils vendus ?
Étape 1
Soit le nombre de billets adulte et le nombre de billets enfant.
Pourquoi
Sans cette ligne, le correcteur ne sait pas ce que désignent les lettres, et les points de mise en équation ne peuvent pas être attribués. Elle coûte dix secondes et vaut souvent deux points.
Étape 2
compte les BILLETS, compte les DOLLARS.
Pourquoi
Chaque condition de l'énoncé donne une équation, et les deux comptent des choses différentes : c'est ce qui les rend indépendantes. Écrire serait l'erreur classique, celle du piège n° 6.
Étape 3
Le coefficient de vaut dans la première : . Je substitue dans la seconde : .
Pourquoi
Le choix de la méthode se justifie par la FORME, pas par l'habitude. Un coefficient de appelle la substitution, qui n'introduit aucune fraction. On remplace dans l'AUTRE équation, jamais dans celle qui a servi à isoler.
Étape 4
, donc et . Puis .
Pourquoi
La distribution du sur la parenthèse est l'étape où l'on perd le plus de monde : elle porte sur les DEUX termes, donc et . Oublier le second donne , un nombre qui ne vérifie rien.
Étape 5
Vérification : billets, et dollars.
Pourquoi
On vérifie dans les deux conditions de l'ÉNONCÉ, pas dans les équations transformées : une erreur de transformation passerait sinon inaperçue. Les deux nombres sont entiers et positifs, ce qu'exige le contexte.
Conclusion rédigée
Il s'est vendu billets adulte et billets enfant, ce qui donne bien billets pour une recette de dollars.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en recopiant le total de la première équation. Le système devient alors incohérent, et sa résolution donne un couple négatif : le contrôle des unités, dollars contre billets, l'aurait évité en deux secondes.
On regarde la forme du système. Si la même variable est isolée dans les deux équations, on compare les deux expressions. Si une variable est isolée dans une seule équation, ou si son coefficient vaut 1 ou moins 1, on substitue. Si les deux équations sont écrites avec les deux variables du même côté et qu'aucun coefficient ne vaut 1, on réduit. En cas d'hésitation, prenez la méthode qui évite les fractions.
Que les deux situations comparées ne coïncident jamais. Les deux droites sont parallèles : elles ont le même taux de variation mais ne partent pas du même endroit, donc l'écart entre elles reste constant. Ce n'est pas un échec, c'est la réponse, et elle se complète en disant laquelle des deux est toujours la meilleure et de combien. Le problème, lui, reste possible.
Parce qu'à ce point précis les deux offres coûtent exactement la même chose : c'est l'endroit où le choix est indifférent. Le point donne le seuil, c'est-à-dire la frontière entre deux zones. Avant le seuil une offre gagne, après c'est l'autre. Pour répondre, il faut donc comparer la valeur de l'énoncé à l'abscisse du point, puis nommer l'offre gagnante de ce côté-là.
Nommez d'abord les deux inconnues avec leur unité, puis traduisez une condition par équation. Le contrôle qui évite presque toutes les erreurs est celui des unités : les deux membres d'une même équation doivent compter la même chose. Si une équation compte des billets à gauche, son total à droite est un nombre de billets ; si elle compte des dollars, son total est un montant.
Oui, et dans les deux équations de départ. Un couple qui ne vérifie qu'une équation est simplement un point de l'une des deux droites, pas leur intersection. La vérification prend quinze secondes, elle rapporte souvent un point à elle seule, et surtout elle attrape les erreurs de report, qui sont les plus fréquentes du chapitre.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/cst4-systemes-equations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
