Math CST, secondaire 4 à Montréal • Arithmétique

Fiche de révision : apprécier la valeur d'une puissance (math CST, secondaire 4)

Le programme de la séquence Culture, société et technique demande une seule chose en arithmétique cette année : apprécier la valeur d'une puissance. Apprécier, c'est situer, comparer, encadrer, estimer un ordre de grandeur. C'est donc un chapitre de LECTURE, et les points s'y perdent sur des lectures, pas sur des calculs.

Toutes les erreurs de cette fiche ont la même source : une règle vraie pour les bases supérieures à 1, transportée telle quelle sous 1. Gardez la formulation qui couvre les deux cas, la base décide du sens et l'exposant compte les facteurs, et la moitié des pièges tombent d'eux-mêmes.

Le fil du chapitre

La base décide du sens, l'exposant ne fait que compter les facteurs : presque tout ce qui se perd sur ce chapitre vient d'une règle apprise sur les bases supérieures à $1$ et réappliquée telle quelle à une base comprise entre $0$ et $1$ .

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3

Notions couvertes

Notation exponentielle
Base et exposant
Exposant négatif
Exposant fractionnaire
Racine carrée et racine cubique
Comparaison de puissances
Encadrement d'une valeur
Facteur multiplicatif répété
Ordre de grandeur

L'essentiel

La base décide du sens, l'exposant compte les facteurs

• $a^{n}$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . Chaque facteur de plus MULTIPLIE par $a$ : il n'ajoute pas $a$ .
• Si $a>1$ , la suite des puissances AUGMENTE sans limite. Si $0<a<1$ , elle DIMINUE vers $0$ sans jamais l'atteindre. Si $a=1$ , elle ne bouge pas, puisque $1^{n}=1$ .
• Les deux courbes partent du même point : $a^{0}=1$ pour toute base $a$ non nulle. C'est la seule valeur que les deux comportements ont en commun.
• Une puissance de base POSITIVE est toujours positive, quel que soit l'exposant. $0{,}8^{20}\approx 0{,}0115$ est minuscule et pourtant strictement plus grand que zéro.

Les deux comportements dans la même fenêtre : la base

1{,}5

monte, la base

0{,}8

descend vers zéro, et toutes deux valent

1

n=0

Sur une copie, écrire « la base $0{,}8$ est inférieure à $1$ , donc la quantité diminue » rapporte le point de justification que « on voit bien que ça baisse » ne rapporte jamais.

Exposant négatif : un inverse, jamais un opposé

• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ . Le signe moins porte sur l'EXPOSANT, donc il retourne la fraction, pas le signe du résultat.
• Raccourci qui fait gagner du temps : inverser la base change le signe de l'exposant. $0{,}5^{-2}=2^{2}=4$ et $0{,}1^{-3}=10^{3}=1000$ .
• Conséquence à retenir : une base comprise entre $0$ et $1$ avec un exposant négatif donne un GRAND nombre. Le sens de variation s'inverse en même temps que le signe de l'exposant.
• Pour obtenir un nombre négatif, il faut un signe moins DEVANT la puissance : $-2^{4}=-16$ , alors que $(-2)^{4}=16$ et que $2^{-4}=0{,}0625$ .

Trois écritures voisines et trois résultats différents : $-2^{4}$ , $(-2)^{4}$ et $2^{-4}$ . Les relire lentement à l'examen coûte cinq secondes et rapporte un point.

Exposant fractionnaire : une racine, qui rapproche de 1

• $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ : l'exposant $\dfrac{1}{n}$ défait exactement ce que l'exposant $n$ fait. $9^{1/2}=3$ car $3^{2}=9$ , et $64^{1/3}=4$ car $4^{3}=64$ .
• La racine RAPPROCHE DE 1, par les deux côtés. Au-dessus de $1$ elle diminue le nombre : $\sqrt{9}=3<9$ . Entre $0$ et $1$ elle l'augmente : $\sqrt{0{,}25}=0{,}5>0{,}25$ .
• Vérifiez toujours une racine par le carré, jamais par la calculatrice seule : $0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$ confirme en une seconde, et attrape l'erreur de virgule.

L'encadrement se lit sur les carrés parfaits : $36<40<49$ donne $6<\sqrt{40}<7$ , sans calculatrice et sans approximation.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Que devient la valeur, selon la base et le signe de l'exposant ?

Deux lectures se croisent, et c'est leur croisement qui fait perdre des points : la position de la base par rapport à $1$ , et le signe de l'exposant. On lit d'abord la base, ensuite l'exposant.

Base	Exposant	Résultat comparé à $1$
$a>1$	positif	plus grand que $1$ , et il grandit vite
Exemple : $1{,}5^{4}=5{,}0625$ , soit cinq fois la valeur de départ en quatre étapes.
$a>1$	négatif	entre $0$ et $1$
Exemple : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$ , un nombre positif et plus petit que $1$ .
$0<a<1$	positif	entre $0$ et $1$ , et il rétrécit
Exemple : $0{,}8^{4}=0{,}4096$ , soit moins de la moitié de la valeur de départ.
$0<a<1$	négatif	plus grand que $1$
Exemple : $0{,}5^{-2}=4$ , car inverser la base change le signe de l'exposant : $0{,}5^{-2}=2^{2}$ .
$a$ quelconque non nul	$0$	exactement $1$
Exemple : $0{,}8^{0}=1$ et $1{,}5^{0}=1$ : c'est le point de départ commun aux deux courbes.
$a<0$	quelconque	rien de général hors programme CST
Exemple : $(-2)^{2}=4$ mais $(-2)^{3}=-8$ : le signe change avec la parité de l'exposant. Même forme, autre résultat : Attention à ne pas confondre avec $-2^{2}=-4$ , où le signe moins n'est PAS dans la parenthèse et ne participe donc pas à la puissance. Ce qu'il faut faire : Au programme de la séquence CST, les bases sont positives : un facteur de croissance, un facteur de réduction ou une mesure. Si une base négative apparaît, c'est presque toujours une parenthèse mal placée.

Une seule ligne du tableau donne un résultat inférieur à la valeur de départ tout en ayant une base supérieure à $1$ : celle de l'exposant négatif. C'est elle qu'on relit.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Estimer une puissance dont la base est proche de 1

toute la question d'estimation, souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}9^{50}$ est presque égal à $1$ , puisque $0{,}9$ est presque égal à $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}9^{50}\approx 0{,}005$ : répété $50$ fois, un facteur inférieur à $1$ finit par tout ronger. »

Pourquoi : Un repère qui tranche : $0{,}9^{7}\approx 0{,}478$ , donc sept facteurs suffisent déjà à passer sous la moitié. Aussi proche de $1$ que soit la base, la puissance tend vers $0$ .

2. Lire un exposant négatif

1 point par occurrence, et le signe se propage à tout le problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{-4}$ est négatif, puisque son exposant est négatif. »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{-4}=\dfrac{1}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$ , un nombre positif. »

Pourquoi : L'exposant négatif commande un inverse, pas un opposé. Une base positive donne toujours une puissance positive, et rien dans l'exposant ne peut changer cela.

3. Comparer un nombre à sa racine carrée

2 points, et l'encadrement qui suit devient faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{0{,}36}$ est plus petit que $0{,}36$ , comme $\sqrt{36}$ est plus petit que $36$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{0{,}36}=0{,}6$ , et $0{,}6>0{,}36$ : sous $1$ , la racine AUGMENTE le nombre. »

Même opération, deux sens opposés :

36

redescend vers

6

sur la droite du haut,

0{,}36

remonte vers

0{,}6

sur celle du bas. Les deux vont vers

1

Pourquoi : C'est le piège le plus rentable du chapitre, parce qu'il est invisible : la règle apprise sur $36$ est vraie, elle change simplement de sens de l'autre côté de $1$ .

4. Enchaîner deux réductions en pourcentage

la question entière dans une situation d'application

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Quatre réductions de $20\,\%$ , cela fait $80\,\%$ de moins : il ne reste que $20\,\%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le facteur total vaut $0{,}8^{4}=0{,}4096$ : il reste environ $41\,\%$ , donc on a perdu à peu près $59\,\%$ . »

Pourquoi : Chaque réduction porte sur ce qui RESTE, pas sur la valeur de départ. La règle de l'élève mènerait d'ailleurs à une absurdité : cinq réductions de $20\,\%$ donneraient zéro.

5. Défaire une augmentation en pourcentage

2 points, et une réponse qui semble raisonnable donc jamais relue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Agrandir de $25\,\%$ puis réduire de $25\,\%$ ramène à la taille de départ. »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$ : il manque $6{,}25\,\%$ . Pour défaire $1{,}25$ , il faut multiplier par son INVERSE, $0{,}8$ . »

Pourquoi : Le second pourcentage porte sur une grandeur déjà agrandie, donc sur une base plus grande. C'est pour cela qu'une photocopieuse propose $80\,\%$ en face de $125\,\%$ .

6. Comparer deux puissances de même base inférieure à 1

1 point, et tout classement de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}5^{3}$ est plus petit que $0{,}5^{5}$ , parce que $3$ est plus petit que $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}5^{3}=0{,}125$ et $0{,}5^{5}=0{,}03125$ : sous $1$ , plus l'exposant est GRAND, plus la puissance est PETITE. »

Pourquoi : Chaque facteur supplémentaire réduit. Énoncé à retenir : pour $0<a<1$ , si $m<n$ alors $a^{m}>a^{n}$ , exactement l'inverse du cas $a>1$ .

7. Échanger la base et l'exposant

1 point, davantage si la valeur sert de repère dans la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{10}$ et $10^{2}$ , c'est pareil : on a seulement échangé les deux nombres. »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{10}=1024$ et $10^{2}=100$ : le premier vaut plus de dix fois le second. »

Pourquoi : La base est le facteur répété, l'exposant compte les répétitions : les deux rôles ne sont pas interchangeables. Autre exemple utile, $2^{5}=32$ contre $5^{2}=25$ .

8. Compter deux fois une moitié

la question entière, et la suite du problème part faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après deux demi-vies, il ne reste rien, puisqu'on a enlevé la moitié deux fois. »

Ce qu'il faut écrire

« Il reste le QUART : $400$ mg deviennent $200$ mg, puis $100$ mg. »

Pourquoi : La seconde moitié porte sur ce qui reste après la première. C'est le même mécanisme que les rabais successifs, avec un autre habillage : un facteur $0{,}5$ répété deux fois donne $0{,}25$ , jamais $0$ .

Quelle méthode choisir

La quantité grandit-elle ou rétrécit-elle ?

On lit la BASE, et elle seule. L'exposant ne décide de rien tant qu'il est positif : il ne fait qu'accentuer ce que la base a décidé.

Si La base est supérieure à $1$ → la quantité grandit, et de plus en plus vite

Exemple : $1{,}5^{10}\approx 57{,}7$ , soit près de $58$ fois la valeur de départ
Si La base est comprise entre $0$ et $1$ → la quantité rétrécit vers $0$ , sans jamais l'atteindre

Exemple : $0{,}8^{10}\approx 0{,}107$ , soit environ $11\,\%$ de la valeur de départ
Si La base vaut exactement $1$ → rien ne change, quel que soit l'exposant

Exemple : $1^{100}=1$ , et une hausse de $0\,\%$ répétée cent fois ne fait toujours rien

Un pourcentage se traduit d'abord en FACTEUR, et c'est ce facteur qu'on compare à $1$ : $+25\,\%$ donne $1{,}25$ , $-20\,\%$ donne $0{,}8$ .

Que faire selon la forme de l'exposant ?

Trois formes seulement au programme de la CST 4, et chacune appelle un geste différent.

Si L'exposant est un entier positif → on multiplie la base par elle-même autant de fois

Exemple : $0{,}8^{3}=0{,}8\times 0{,}8\times 0{,}8=0{,}512$
Si L'exposant est négatif → on prend l'inverse, ou bien on inverse la base et on change le signe

Exemple : $0{,}5^{-2}=\dfrac{1}{0{,}25}=4$ , ou directement $2^{2}=4$
Si L'exposant est une fraction $\dfrac{1}{n}$ → on cherche le nombre qui, élevé à la puissance $n$ , redonne la base

Exemple : $16^{1/4}=2$ car $2^{4}=16$ , et $\sqrt{0{,}81}=0{,}9$ car $0{,}9^{2}=0{,}81$

Les radicaux imbriqués et les équations à exposants, eux, ne sont pas au programme de la séquence CST : ils appartiennent aux séquences TS et SN.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Justifier un encadrement sans calculatrice

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « entre quels deux entiers », « donnez un ordre de grandeur » ou « sans calculatrice », ce qui est fréquent dans la partie raisonnement de l'épreuve.

1 Nommer les deux repères connus qui entourent la valeur : les carrés parfaits pour une racine carrée, les cubes parfaits pour une racine cubique, les puissances voisines pour une puissance.
2 Écrire l'encadrement des repères AVANT celui de la valeur : « $36<40<49$ ».
3 Appliquer l'opération aux trois membres et l'écrire : « donc $6<\sqrt{40}<7$ ».
4 Conclure par une phrase qui répond à la question posée, pas par un nombre isolé.
5 Si la question demande une précision, dire de quel côté la valeur penche : « $40$ est plus proche de $36$ que de $49$ , donc $\sqrt{40}$ est plus proche de $6$ ».

Phrase de conclusion

« Comme $36<40<49$ et que la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs, on a $6<\sqrt{40}<7$ . »

Le piège : Donner la valeur de la calculatrice, $6{,}32$ , sans encadrement : la question portait sur le raisonnement, et une valeur décimale ne le remplace pas.

Barème : 1 point pour les deux repères, 1 point pour l'encadrement écrit, 1 point pour la phrase de conclusion

Répondre à une question de pourcentage répété

Quand l'utiliser : L'énoncé enchaîne des hausses ou des baisses : rabais successifs, réductions d'une photocopieuse, élimination d'un médicament, dévaluation année après année.

1 Traduire CHAQUE pourcentage en facteur, et l'écrire : « $-30\,\%$ donne le facteur $0{,}7$ ».
2 Écrire le facteur total comme un produit ou une puissance : « facteur total $=0{,}7\times 0{,}8$ ».
3 Calculer ce facteur, puis seulement le traduire en pourcentage.
4 Répondre en distinguant ce qui RESTE de ce qui est ENLEVÉ : les deux se déduisent l'un de l'autre, mais la question n'en demande qu'un.
5 Vérifier sur une valeur ronde, $100$ dollars par exemple, ce qui prend cinq secondes.

Phrase de conclusion

« Le facteur total vaut $0{,}7\times 0{,}8=0{,}56$ , il reste donc $56\,\%$ du prix : le rabais total est de $44\,\%$ , et non de $50\,\%$ . »

Le piège : Additionner les pourcentages. C'est l'erreur la mieux partagée du chapitre, et elle donne toujours un résultat plausible, donc jamais relu.

Barème : 1 point par facteur correctement traduit, 1 point pour le produit, 1 point pour l'interprétation

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe, en une seconde

La base est-elle positive ? Alors le résultat l'est aussi, quel que soit l'exposant. Un résultat négatif avec une base positive est forcément une erreur de saisie.

$2^{-4}=0{,}0625$ et non $-16$ : si votre calculatrice affiche un nombre négatif, vous avez tapé $-2^{4}$ .
Le sens, en deux secondes

Comparez la base à $1$ avant de regarder votre réponse. Base au-dessus de $1$ , le résultat doit être plus grand que la valeur de départ ; base en dessous, plus petit.

$0{,}8^{4}$ doit être inférieur à $0{,}8$ . Trouver $3{,}2$ signale une addition faite à la place d'une multiplication.
L'ordre de grandeur, avec le repère $2^{10}$

Ramenez la puissance à des blocs de $2^{10}$ , que vous remplacez par $1000$ . L'estimation obtenue doit coller au nombre de chiffres affiché.

$2^{25}=2^{10}\times 2^{10}\times 2^{5}\approx 1000\times 1000\times 32$ , soit environ $32$ millions : huit chiffres, ce que confirme $33\,554\,432$ .
Le pourcentage, sur cent dollars

Rejouez l'énoncé sur une valeur de départ de $100$ : les facteurs deviennent lisibles et une addition abusive saute aux yeux.

$-30\,\%$ puis $-20\,\%$ sur $100$ dollars donne $70$ puis $56$ dollars : le rabais est de $44\,\%$ , pas de $50\,\%$ .
La racine, par le carré

Élevez votre réponse au carré, ou au cube : vous devez retomber sur le nombre de départ. Cela coûte une multiplication et attrape toutes les erreurs de virgule.

$\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ car $0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$ . La réponse $0{,}05$ donnerait $0{,}0025$ , ce qui n'est pas le nombre de départ.

L'exercice type décortiqué

Combien de chiffres a le nombre $2^{25}$ , sans calculatrice ?

Une clé de chiffrement de $25$ bits peut prendre $2^{25}$ valeurs différentes. Un journaliste écrit que cela fait « environ trois cents millions de combinaisons ».

Sans calculatrice, dites combien de chiffres compte $2^{25}$ , puis jugez l'affirmation du journaliste. On rappelle que $2^{10}=1024$ .

Étape 1

$2^{25}=2^{10}\times 2^{10}\times 2^{5}$

Pourquoi

On découpe l'exposant en blocs dont on connaît la valeur. C'est le seul geste de l'exercice, et il vaut pour toute grande puissance de $2$ : on cherche des $2^{10}$ .

Étape 2

$2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$ et $2^{5}=32$

Pourquoi

On remplace chaque bloc par un repère mémorisé. L'approximation est haute de $2{,}4\,\%$ seulement, ce qui ne changera pas le nombre de chiffres.

Étape 3

$2^{25}\approx 1000\times 1000\times 32=32\,000\,000$

Pourquoi

Trente-deux millions : le nombre s'écrit donc avec HUIT chiffres, et il se situe entre $10^{7}$ et $10^{8}$ .

Étape 4

Valeur exacte : $1024\times 1024\times 32=33\,554\,432$

Pourquoi

L'estimation était basse de $5\,\%$ environ, parce qu'on a remplacé deux fois $1024$ par $1000$ . Les huit chiffres annoncés sont confirmés.

Étape 5

$33{,}5$ millions, contre les $300$ millions annoncés

Pourquoi

Le journaliste s'est trompé d'un facteur dix environ. Apprécier une puissance sert exactement à cela : repérer qu'un chiffre publié n'a pas le bon ordre de grandeur.

Conclusion rédigée

$2^{25}=33\,554\,432$ compte huit chiffres, soit environ $33{,}5$ millions de combinaisons : l'affirmation de « trois cents millions » est fausse d'un facteur dix.

L'erreur classique sur cet exercice : Multiplier les exposants au lieu de les additionner, et écrire $2^{10}\times 2^{10}\times 2^{5}=2^{500}$ . Le contrôle est immédiat : $10+10+5=25$ , or $2^{500}$ aurait plus de cent cinquante chiffres.

À savoir par cœur

• $2^{10}=1024$ , tout près de $1000$ : c'est LE repère pour estimer une grande puissance de $2$ .
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ , et inverser la base change le signe de l'exposant : $0{,}5^{-2}=2^{2}=4$ .
• $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ , et la racine rapproche de $1$ : $\sqrt{9}=3<9$ , mais $\sqrt{0{,}25}=0{,}5>0{,}25$ .
• $+25\,\%$ donne le facteur $1{,}25$ , $-20\,\%$ donne $0{,}8$ , et $1{,}25\times 0{,}8=1$ exactement.
• Les carrés parfaits jusqu'à $225=15^{2}$ , et les cubes $8$ , $27$ , $64$ , $125$ : ce sont les repères d'encadrement.
• Les puissances de $0{,}5$ : $0{,}5$ , $0{,}25$ , $0{,}125$ , $0{,}0625$ . Chacune est la moitié de la précédente.
• Une base positive donne une puissance positive, toujours. Un résultat négatif signale une erreur de saisie.
• $a^{0}=1$ pour tout $a$ non nul, et $1^{n}=1$ pour tout $n$ : les deux seules valeurs qui ne bougent jamais.

Questions fréquentes

Comment savoir si une puissance augmente ou diminue quand l'exposant grandit ?

Regardez la base, et elle seule. Si la base est plus grande que 1, la puissance augmente de plus en plus vite. Si la base est entre 0 et 1, elle diminue et se rapproche de zéro sans jamais l'atteindre. Si la base vaut exactement 1, rien ne change. L'exposant ne décide pas du sens, il ne fait qu'accentuer ce que la base a décidé. Un pourcentage se traduit d'abord en facteur, et c'est ce facteur qu'on compare à 1.

Est-ce qu'un exposant négatif donne un nombre négatif ?

Non. Un exposant négatif commande un inverse, pas un opposé. Deux puissance moins quatre vaut un sur seize, soit 0,0625, un nombre positif. Avec une base positive, le résultat est toujours positif, quel que soit l'exposant. Pour obtenir un nombre négatif, il faudrait un signe moins devant la puissance elle-même. Astuce utile : inverser la base change le signe de l'exposant, donc 0,5 puissance moins deux vaut 2 au carré, c'est-à-dire 4.

Pourquoi deux rabais de 20 pour cent ne font pas 40 pour cent ?

Parce que le second rabais porte sur ce qui reste après le premier, pas sur le prix de départ. Chaque rabais de 20 pour cent multiplie par 0,8, donc deux rabais multiplient par 0,64 : il reste 64 pour cent du prix, soit un rabais total de 36 pour cent. Les pourcentages ne s'additionnent pas, ce sont les facteurs qui se multiplient. Vérifiez toujours sur 100 dollars : 100 devient 80, puis 64.

Comment encadrer une racine carrée sans calculatrice ?

Cherchez les deux carrés parfaits qui entourent le nombre. Pour la racine de 40, ce sont 36 et 49, puisque 36 est plus petit que 40, lui-même plus petit que 49. La racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs, donc la racine de 40 est comprise entre 6 et 7. Pour une racine cubique, on prend les cubes parfaits à la place : 64 et 125 encadrent 100, donc la racine cubique de 100 est entre 4 et 5.

Qu'est-ce qu'un exposant fractionnaire en secondaire 4 CST ?

C'est une autre façon d'écrire une racine. Un nombre à la puissance un demi est sa racine carrée, un nombre à la puissance un tiers est sa racine cubique. L'exposant fractionnaire défait exactement ce que fait l'exposant entier correspondant. Retenez surtout que la racine rapproche de 1 : elle diminue les nombres plus grands que 1, mais elle augmente ceux qui sont entre 0 et 1. La racine de 0,25 vaut 0,5, donc plus que 0,25.

Est-ce qu'une quantité qui diminue de moitié finit par valoir zéro ?

Non, jamais. Une quantité multipliée par 0,5 à chaque étape devient aussi petite qu'on veut, mais elle reste strictement positive : après deux étapes il reste le quart, après dix étapes environ un millième. C'est exactement le modèle de la demi-vie d'un médicament. Dans un problème, on demande donc à partir de quand la quantité passe sous un seuil, jamais quand elle devient nulle.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Apprécier la valeur d'une puissance

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Ce chapitre resservira dans

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Les fonctions exponentielles

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Fiche de révision : apprécier la valeur d'une puissance (math CST, secondaire 4)

L'essentiel

La base décide du sens, l'exposant compte les facteurs

Exposant négatif : un inverse, jamais un opposé

Exposant fractionnaire : une racine, qui rapproche de 1

Les règles de calcul en tableau

Que devient la valeur, selon la base et le signe de l'exposant ?

Les pièges qui coûtent des points

1. Estimer une puissance dont la base est proche de 1

2. Lire un exposant négatif

3. Comparer un nombre à sa racine carrée

4. Enchaîner deux réductions en pourcentage

5. Défaire une augmentation en pourcentage

6. Comparer deux puissances de même base inférieure à 1

7. Échanger la base et l'exposant

8. Compter deux fois une moitié

Quelle méthode choisir

La quantité grandit-elle ou rétrécit-elle ?

Que faire selon la forme de l'exposant ?

La rédaction attendue

Justifier un encadrement sans calculatrice

Répondre à une question de pourcentage répété

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Combien de chiffres a le nombre 2252^{25}225, sans calculatrice ?

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une puissance augmente ou diminue quand l'exposant grandit ?

Est-ce qu'un exposant négatif donne un nombre négatif ?

Pourquoi deux rabais de 20 pour cent ne font pas 40 pour cent ?

Comment encadrer une racine carrée sans calculatrice ?

Qu'est-ce qu'un exposant fractionnaire en secondaire 4 CST ?

Est-ce qu'une quantité qui diminue de moitié finit par valoir zéro ?

Exercices corrigés : Apprécier la valeur d'une puissance

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