Math secondaire 3 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : Systèmes d'équations : comparaison et graphique (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les systèmes, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : la solution qui n'est qu'un nombre au lieu d'un couple, la vérification faite dans la mauvaise équation, et la lecture graphique qu'on n'a pas confirmée par le calcul.

Le secondaire 4 ajoutera deux méthodes, la substitution et la réduction, et des problèmes plus longs. Un élève qui sait déjà comparer, isoler et vérifier y arrive avec un mois d'avance.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

La solution d'un système est le COUPLE qui rend vraies les deux équations à la fois, le point commun des deux droites ; comparer, c'est dire que les deux y sont le même nombre au même x.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Équations et inéquations du premier degré Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Une solution est un couple, et c'est un point

• Une équation à deux inconnues a une infinité de solutions : ses couples forment une DROITE. Un système en a une : le point commun aux deux droites.
• Le couple $(x\,;y)$ est solution s'il vérifie les DEUX équations. Un seul échec l'élimine.
• Deux droites non parallèles se coupent en un point : solution unique. Parallèles : aucune. Confondues : infinité.
• Méthode graphique : deux points par droite, un troisième de contrôle, lire l'intersection, puis VÉRIFIER par le calcul.

La droite

y=2x-1

monte, la droite

y=-x+5

descend, et leur seul point commun est

(2\,;3)

2\times 2-1=3

-2+5=3

. C'est la solution du système, un couple, pas un nombre.

La réponse attendue s'écrit $(2\,;3)$ , ou « $x=2$ et $y=3$ ». Un « $x=2$ » seul vaut la moitié des points, et rien du tout si la question portait sur $y$ .

La méthode de comparaison

• Quand les deux équations sont en $y=\ldots$ , on égale les membres de droite : les deux $y$ sont le même nombre au même $x$ .
• $y=3x-4$ et $y=x+6$ : $3x-4=x+6$ , donc $x=5$ , puis $y=11$ avec l'une des équations, et vérification avec l'autre.
• Si une équation n'est pas en $y=\ldots$ , ISOLER d'abord. De $2x+y=7$ : $y=7-2x$ . De $x-y=4$ : $y=x-4$ , pas $4-x$ .
• On peut isoler $x$ au lieu de $y$ : on choisit la variable au coefficient le plus commode, et on trouve le même couple.

Mettre un problème en système

• Deux inconnues, nommées avec leurs unités, et deux informations INDÉPENDANTES : chaque information devient une équation.
• Vitesse : distance $=$ vitesse $\times$ temps. Un départ retardé de $r$ minutes se retranche du TEMPS : $d=v(t-r)$ , jamais $vt-r$ .
• Somme et différence, âges, périmètre et relation entre les côtés, pièces de monnaie : tout en une seule unité avant d'écrire.
• Un résultat non entier pour un nombre d'objets ne s'arrondit pas : il signale une donnée ou une équation fausse.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Vérifier le couple dans une seule équation

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(5\,;1)$ est solution de $2x+y=11$ et $x-y=1$ , puisque $10+1=11$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $5-1=4\neq 1$ : la seconde équation n'est pas vérifiée, $(5\,;1)$ n'est pas solution. La solution est $(4\,;3)$ . »

(5\,;1)

est sur la droite bleue seulement : il vérifie une équation, pas le système. La solution est le point commun,

(4\,;3)

Pourquoi : Un couple doit rendre vraies les DEUX équations. La première droite contient une infinité de couples ; seul celui qui est aussi sur la seconde est solution.

2. S'arrêter à x

la moitié des points, ou tout si la question portait sur y

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3x-4=x+6$ , donc $x=5$ . Réponse : $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x=5$ , puis $y=5+6=11$ . Solution : $(5\,;11)$ , et $3\times 5-4=11$ confirme. »

Pourquoi : La solution d'un système est un couple. Calculer $y$ avec une équation et vérifier avec l'autre est aussi le test du $x$ .

3. Perdre le signe en isolant y

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x-y=4$ , donc $y=4-x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x-y=4$ : $-y=4-x$ , donc $y=x-4$ . Test avec $x=6$ : $6-2=4$ , vrai pour $y=2=6-4$ . »

Le point test

(6\,;2)

vérifie

x-y=4

: il est sur

y=x-4

, pas sur

y=4-x

. Une seule valeur suffit à démasquer le signe perdu.

Pourquoi : Isoler $-y$ demande de multiplier par $-1$ tous les termes. Le test avec un point simple attrape l'erreur avant la comparaison.

4. Prendre une lecture graphique pour la valeur exacte

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le graphique, les droites se coupent en $(2\,;2)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La lecture donne environ $(2{,}5\,;1{,}8)$ ; le calcul donne $(2{,}5\,;1{,}75)$ . Le point $(2\,;2)$ ne vérifie aucune des deux équations. »

Le croisement tombe entre deux lignes du quadrillage : on lit « vers

2{,}5

1{,}8

», pas plus. Le calcul par comparaison donne

(2{,}5\,;1{,}75)

, et le point vide marque une valeur que l'œil ne peut pas lire.

Pourquoi : Le graphique donne l'estimation et le nombre de solutions ; seul le calcul donne la valeur exacte quand le point n'est pas sur un nœud du quadrillage.

5. Retrancher le retard à la distance au lieu du temps

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Théo part $6$ minutes plus tard à $240$ m/min : $d=240t-6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Théo n'a couru que $t-6$ minutes : $d=240(t-6)=240t-1440$ . »

Théo part

6

minutes plus tard : sa droite démarre en

t=6

. Retrancher

6

à la distance ne décale la droite que de six mètres.

Pourquoi : Un retard est un TEMPS ; il se retranche du temps avant d'être multiplié par la vitesse. $240t-6$ retire six mètres, pas six minutes.

6. Conclure « pas de solution » sans lire la constante restante

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $12-x=x-4$ marche, mais $50-a=50-a$ donne $0=0$ : erreur de calcul, je recommence. »

Ce qu'il faut écrire

« $0=0$ est toujours vrai : infinité de solutions, les droites sont confondues, les deux informations n'en font qu'une. »

Trois positions de deux droites : sécantes, une solution ; parallèles, aucune ; confondues, comme pour

0=0

, une infinité.

Pourquoi : Deux informations non indépendantes, « la somme vaut $50$ » et « le double de la somme vaut $100$ », donnent la même droite deux fois. Ce n'est pas une erreur, c'est la réponse.

7. Arrondir un nombre d'objets non entier

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $q\approx 18{,}67$ pièces, donc environ $19$ pièces de $25$ cents. »

Ce qu'il faut écrire

« $18{,}67$ pièces est impossible : la donnée ou la mise en équation est fausse. Avec un total de $6{,}05$ dollars, $q=19$ exactement et $d=13$ . »

Pourquoi : Dans un problème de dénombrement, une solution non entière ne s'arrondit jamais : elle signale une erreur, et le dire fait partie de la réponse.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode ? Décider sur la forme des équations

Regardez comment les deux équations sont écrites avant de commencer quoi que ce soit.

Si les deux en $y=\ldots$ → comparaison directe : égaler les membres de droite

Exemple : $y=3x-4$ et $y=x+6$ donnent $3x-4=x+6$
Si une seule en $y=\ldots$ → isoler $y$ dans l'autre, puis comparer

Exemple : $2x+y=7$ devient $y=7-2x$
Si aucune en $y=\ldots$ → isoler la MÊME variable dans les deux, celle au coefficient le plus simple

Exemple : $x+y=12$ et $x-y=4$ : $y=12-x$ et $y=x-4$ , ou $x=12-y$ et $x=4+y$
Si une variable a le coefficient $1$ dans une équation → isoler cette variable-là, aucune fraction

Exemple : $x-2y=0$ donne $x=2y$
Si l'énoncé demande une solution graphique → deux points par droite, un troisième de contrôle, lire, puis VÉRIFIER par le calcul

Exemple : lecture $(2\,;3)$ , puis $2\times 2-1=3$ et $-2+5=3$

Quel que soit le chemin, la destination est la même : un seul point commun aux deux droites. Si deux chemins donnent deux couples, l'un des deux est faux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un système par comparaison, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux équations, ou un problème à deux inconnues, et demande la solution.

1 Écrire les deux équations, avec les inconnues et leurs unités s'il s'agit d'un problème.
2 Isoler la même variable dans chacune, si ce n'est pas déjà fait.
3 Égaler les deux expressions et résoudre l'équation à une inconnue.
4 Calculer la seconde inconnue avec UNE des équations.
5 Vérifier avec l'AUTRE équation, telle qu'elle était donnée, et écrire le couple.

Phrase de conclusion

« $y=4x-5$ et $2x+y=7$ . On isole : $y=7-2x$ . Comparaison : $4x-5=7-2x$ , donc $6x=12$ et $x=2$ . Alors $y=4\times 2-5=3$ . Vérification dans $2x+y=7$ : $4+3=7$ . Solution : $(2\,;3)$ . »

Le piège : Vérifier dans la version isolée, $y=7-2x$ , ne détecte pas une erreur d'isolement ; il faut la version d'origine.

Barème : 1 point pour l'isolement, 1 pour l'équation en $x$ , 1 pour $y$ , 1 pour le couple vérifié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Substituer dans les deux équations d'origine

Remplacez $x$ et $y$ dans chaque équation telle qu'elle a été donnée. Deux égalités vraies, sinon le couple est faux.

$(2\,;3)$ dans $y=2x-1$ : $3=3$ . Dans $y=-x+5$ : $3=3$ . Un couple qui vérifie une seule équation n'est pas solution.
Le y par les deux équations

Calculez $y$ avec la première équation, puis avec la seconde, à partir du $x$ trouvé. Si les deux $y$ diffèrent, le $x$ est faux.

$x=5$ : $3\times 5-4=11$ et $5+6=11$ . Bon. Un $x=4$ donnerait $8$ et $10$ .
Le graphique contre le calcul

Placez le couple calculé sur le graphique : il doit tomber sur le croisement des deux droites, ou tout près si le croisement n'est pas sur un nœud.

Calcul $(15\,;425)$ pour les réservoirs, croisement dessiné vers $15$ et $425$ : cohérent. Un calcul donnant $(25\,;425)$ serait loin du croisement.
Le sens du couple

Relisez l'ordre : $(x\,;y)$ , l'abscisse d'abord. Dans un problème, associez chaque nombre à son unité : $15$ minutes, $425$ litres.

$(425\,;15)$ voudrait dire $425$ minutes et $15$ litres : absurde pour deux réservoirs de plusieurs centaines de litres.

L'exercice type décortiqué

Deux services de livraison

Le service A facture $4$ dollars de frais fixes plus $1{,}50$ dollar par kilomètre ; le service B facture $2{,}50$ dollars par kilomètre, sans frais fixes.

Pour quelle distance les deux services coûtent-ils le même prix ? Lequel choisir pour $3$ km ? Pour $6$ km ?

Étape 1

Règles : $C_{A}=1{,}5d+4$ et $C_{B}=2{,}5d$ , avec $d$ en km et $C$ en dollars.

Pourquoi

Deux inconnues, la distance et le coût, deux informations indépendantes : une équation par service. Les deux sont déjà en $C=\ldots$ , la comparaison est directe.

Étape 2

Comparaison : $1{,}5d+4=2{,}5d$ , donc $4=d$ .

Pourquoi

Les deux coûts sont le même nombre à la même distance : on égale. Regrouper les $d$ à droite évite un coefficient négatif.

Étape 3

Coût commun : $C=2{,}5\times 4=10$ dollars. Vérification avec A : $1{,}5\times 4+4=10$ . Solution $(4\,;10)$ .

Pourquoi

Le $y$ se calcule avec une équation et se vérifie avec l'autre : c'est le test du $x$ en même temps. Le couple est la réponse, pas « $4$ ».

Étape 4

Sur le graphique, B est en dessous avant $4$ km et A est en dessous après.

Pourquoi

À gauche du croisement, la droite sans frais fixes gagne ; à droite, la droite au taux le plus faible gagne. La lecture « qui est en dessous » répond aux questions « lequel choisir ».

Étape 5

Pour $3$ km : A coûte $8{,}50$ dollars, B $7{,}50$ ; B est moins cher. Pour $6$ km : A coûte $13$ , B $15$ ; A est moins cher.

Pourquoi

Deux calculs directs confirment la lecture graphique de part et d'autre du point d'égalité. À long terme, le taux le plus faible l'emporte toujours.

Conclusion rédigée

Les deux services coûtent le même prix, $10$ dollars, pour $4$ km ; en dessous de $4$ km, B est moins cher, au-dessus, c'est A.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « $4$ » : c'est la distance, mais la question suivante demande le prix, et le couple $(4\,;10)$ est la vraie solution du système.

À savoir par cœur

• Solution d'un système : un COUPLE qui vérifie les DEUX équations. Point commun des deux droites.
• Comparaison : les deux en $y=\ldots$ , égaler, résoudre en $x$ , calculer $y$ , vérifier avec l'autre équation.
• Isoler avant de comparer : de $x-y=4$ , $y=x-4$ ; de $2x+y=7$ , $y=7-2x$ .
• Graphique : estimation et nombre de solutions. Calcul : valeur exacte.
• Les $x$ disparaissent : égalité vraie, droites confondues, infinité ; fausse, parallèles, aucune.
• Deux inconnues, deux informations INDÉPENDANTES, une équation par information.
• Retard $r$ dans une vitesse : $d=v(t-r)$ . Nombre d'objets non entier : donnée fausse, pas d'arrondi.

Questions fréquentes

Comment vérifier qu'un couple est solution d'un système ?

On remplace x et y dans chacune des deux équations telles qu'elles sont données. Le couple est solution seulement si les deux égalités sont vraies. Un couple qui vérifie une seule équation n'est qu'un point de cette droite, pas le point commun. Par exemple, (5 ; 1) vérifie 2x plus y égale 11 mais pas x moins y égale 1 : ce n'est pas une solution.

Comment résoudre un système par la méthode de comparaison ?

On isole la même variable dans les deux équations, en général y, puis on égale les deux expressions obtenues : les deux y sont le même nombre au même x. On résout l'équation à une inconnue, on calcule la seconde inconnue avec l'une des équations, et on vérifie avec l'autre. La réponse est le couple, par exemple (2 ; 3), jamais x seul.

Pourquoi la méthode graphique ne suffit-elle pas toujours ?

Parce que la lecture n'est exacte que si le point d'intersection tombe sur un nœud du quadrillage. Un croisement à x égale 2,5 et y égale 1,75 se lit « vers 2,5 et 1,8 » et pas mieux. Le graphique reste utile pour voir combien de solutions il y a, où chercher, et qui est au-dessus de qui ; le calcul par comparaison donne la valeur exacte, et on vérifie que les deux concordent.

Que se passe-t-il si les x disparaissent en comparant ?

Il reste une égalité entre deux constantes. Si elle est vraie, comme 0 égale 0, les deux équations décrivent la même droite : infinité de solutions, les deux informations de l'énoncé n'en faisaient qu'une. Si elle est fausse, comme 0 égale moins 1080, les droites sont parallèles : aucune solution, deux coureurs à la même vitesse ne se rattrapent jamais.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Systèmes d'équations : comparaison et graphique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
120 minutes

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Les systèmes d'équations Secondaire 4 Les systèmes d'équations Secondaire 4 CST

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sec3-systemes-equations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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