Math secondaire 3 à Montréal • Algèbre
Cette fiche ne refait pas le cours sur les systèmes, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : la solution qui n'est qu'un nombre au lieu d'un couple, la vérification faite dans la mauvaise équation, et la lecture graphique qu'on n'a pas confirmée par le calcul.
Le secondaire 4 ajoutera deux méthodes, la substitution et la réduction, et des problèmes plus longs. Un élève qui sait déjà comparer, isoler et vérifier y arrive avec un mois d'avance.
Le fil du chapitre
La solution d'un système est le COUPLE qui rend vraies les deux équations à la fois, le point commun des deux droites ; comparer, c'est dire que les deux y sont le même nombre au même x.
La réponse attendue s'écrit , ou « et ». Un « » seul vaut la moitié des points, et rien du tout si la question portait sur .
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est solution de et , puisque . »
Ce qu'il faut écrire
« : la seconde équation n'est pas vérifiée, n'est pas solution. La solution est . »
Pourquoi : Un couple doit rendre vraies les DEUX équations. La première droite contient une infinité de couples ; seul celui qui est aussi sur la seconde est solution.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . Réponse : . »
Ce qu'il faut écrire
« , puis . Solution : , et confirme. »
Pourquoi : La solution d'un système est un couple. Calculer avec une équation et vérifier avec l'autre est aussi le test du .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« : , donc . Test avec : , vrai pour . »
Pourquoi : Isoler demande de multiplier par tous les termes. Le test avec un point simple attrape l'erreur avant la comparaison.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sur le graphique, les droites se coupent en . »
Ce qu'il faut écrire
« La lecture donne environ ; le calcul donne . Le point ne vérifie aucune des deux équations. »
Pourquoi : Le graphique donne l'estimation et le nombre de solutions ; seul le calcul donne la valeur exacte quand le point n'est pas sur un nœud du quadrillage.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Théo part minutes plus tard à m/min : . »
Ce qu'il faut écrire
« Théo n'a couru que minutes : . »
Pourquoi : Un retard est un TEMPS ; il se retranche du temps avant d'être multiplié par la vitesse. retire six mètres, pas six minutes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« marche, mais donne : erreur de calcul, je recommence. »
Ce qu'il faut écrire
« est toujours vrai : infinité de solutions, les droites sont confondues, les deux informations n'en font qu'une. »
Pourquoi : Deux informations non indépendantes, « la somme vaut » et « le double de la somme vaut », donnent la même droite deux fois. Ce n'est pas une erreur, c'est la réponse.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« pièces, donc environ pièces de cents. »
Ce qu'il faut écrire
« pièces est impossible : la donnée ou la mise en équation est fausse. Avec un total de dollars, exactement et . »
Pourquoi : Dans un problème de dénombrement, une solution non entière ne s'arrondit jamais : elle signale une erreur, et le dire fait partie de la réponse.
Regardez comment les deux équations sont écrites avant de commencer quoi que ce soit.
Si les deux en → comparaison directe : égaler les membres de droite
Exemple : et donnent
Si une seule en → isoler dans l'autre, puis comparer
Exemple : devient
Si aucune en → isoler la MÊME variable dans les deux, celle au coefficient le plus simple
Exemple : et : et , ou et
Si une variable a le coefficient dans une équation → isoler cette variable-là, aucune fraction
Exemple : donne
Si l'énoncé demande une solution graphique → deux points par droite, un troisième de contrôle, lire, puis VÉRIFIER par le calcul
Exemple : lecture , puis et
Quel que soit le chemin, la destination est la même : un seul point commun aux deux droites. Si deux chemins donnent deux couples, l'un des deux est faux.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux équations, ou un problème à deux inconnues, et demande la solution.
Phrase de conclusion
« et . On isole : . Comparaison : , donc et . Alors . Vérification dans : . Solution : . »
Le piège : Vérifier dans la version isolée, , ne détecte pas une erreur d'isolement ; il faut la version d'origine.
Barème : 1 point pour l'isolement, 1 pour l'équation en , 1 pour , 1 pour le couple vérifié.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Substituer dans les deux équations d'origine
Remplacez et dans chaque équation telle qu'elle a été donnée. Deux égalités vraies, sinon le couple est faux.
dans : . Dans : . Un couple qui vérifie une seule équation n'est pas solution.
Le y par les deux équations
Calculez avec la première équation, puis avec la seconde, à partir du trouvé. Si les deux diffèrent, le est faux.
: et . Bon. Un donnerait et .
Le graphique contre le calcul
Placez le couple calculé sur le graphique : il doit tomber sur le croisement des deux droites, ou tout près si le croisement n'est pas sur un nœud.
Calcul pour les réservoirs, croisement dessiné vers et : cohérent. Un calcul donnant serait loin du croisement.
Le sens du couple
Relisez l'ordre : , l'abscisse d'abord. Dans un problème, associez chaque nombre à son unité : minutes, litres.
voudrait dire minutes et litres : absurde pour deux réservoirs de plusieurs centaines de litres.
Le service A facture dollars de frais fixes plus dollar par kilomètre ; le service B facture dollars par kilomètre, sans frais fixes.
Pour quelle distance les deux services coûtent-ils le même prix ? Lequel choisir pour km ? Pour km ?
Étape 1
Règles : et , avec en km et en dollars.
Pourquoi
Deux inconnues, la distance et le coût, deux informations indépendantes : une équation par service. Les deux sont déjà en , la comparaison est directe.
Étape 2
Comparaison : , donc .
Pourquoi
Les deux coûts sont le même nombre à la même distance : on égale. Regrouper les à droite évite un coefficient négatif.
Étape 3
Coût commun : dollars. Vérification avec A : . Solution .
Pourquoi
Le se calcule avec une équation et se vérifie avec l'autre : c'est le test du en même temps. Le couple est la réponse, pas « ».
Étape 4
Sur le graphique, B est en dessous avant km et A est en dessous après.
Pourquoi
À gauche du croisement, la droite sans frais fixes gagne ; à droite, la droite au taux le plus faible gagne. La lecture « qui est en dessous » répond aux questions « lequel choisir ».
Étape 5
Pour km : A coûte dollars, B ; B est moins cher. Pour km : A coûte , B ; A est moins cher.
Pourquoi
Deux calculs directs confirment la lecture graphique de part et d'autre du point d'égalité. À long terme, le taux le plus faible l'emporte toujours.
Conclusion rédigée
Les deux services coûtent le même prix, dollars, pour km ; en dessous de km, B est moins cher, au-dessus, c'est A.
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « » : c'est la distance, mais la question suivante demande le prix, et le couple est la vraie solution du système.
On remplace x et y dans chacune des deux équations telles qu'elles sont données. Le couple est solution seulement si les deux égalités sont vraies. Un couple qui vérifie une seule équation n'est qu'un point de cette droite, pas le point commun. Par exemple, (5 ; 1) vérifie 2x plus y égale 11 mais pas x moins y égale 1 : ce n'est pas une solution.
On isole la même variable dans les deux équations, en général y, puis on égale les deux expressions obtenues : les deux y sont le même nombre au même x. On résout l'équation à une inconnue, on calcule la seconde inconnue avec l'une des équations, et on vérifie avec l'autre. La réponse est le couple, par exemple (2 ; 3), jamais x seul.
Parce que la lecture n'est exacte que si le point d'intersection tombe sur un nœud du quadrillage. Un croisement à x égale 2,5 et y égale 1,75 se lit « vers 2,5 et 1,8 » et pas mieux. Le graphique reste utile pour voir combien de solutions il y a, où chercher, et qui est au-dessus de qui ; le calcul par comparaison donne la valeur exacte, et on vérifie que les deux concordent.
Il reste une égalité entre deux constantes. Si elle est vraie, comme 0 égale 0, les deux équations décrivent la même droite : infinité de solutions, les deux informations de l'énoncé n'en faisaient qu'une. Si elle est fausse, comme 0 égale moins 1080, les droites sont parallèles : aucune solution, deux coureurs à la même vitesse ne se rattrapent jamais.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sec3-systemes-equations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
