Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal
Le chapitre a l'air facile parce qu'on y calcule peu. Il est en réalité celui où les copies perdent le plus de points de raisonnement, parce que la question posée n'est presque jamais celle à laquelle on répond : on demande vers quoi la fonction tend, on répond ce qu'elle vaut.
Cette fiche prend les huit erreurs qui reviennent chaque session en 201-103, les chiffre, et donne pour chacune la phrase exacte qui se recopie sur la copie. Elle donne aussi les deux rédactions attendues du cours, celle du théorème des valeurs intermédiaires et celle d'un barème rendu continu.
Le fil du chapitre
Une limite décrit ce que fait la fonction AUTOUR du point, jamais au point : presque toutes les fautes du chapitre viennent d'avoir répondu à la question de la valeur alors qu'on posait celle de la tendance.
Nommer la condition qui échoue vaut presque toujours un point à part entière : « la limite existe, mais » rapporte plus que « n'est pas continue ».
« est un polynôme, donc continue sur » est une justification complète et suffisante. « est clairement continue » n'en est pas une.
Une asymptote verticale est une frontière du domaine ; une asymptote horizontale n'en est pas une. Confondre les deux est le piège le plus rentable de l'examen.
Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.
On substitue d'abord. La forme obtenue décide de tout, et la dernière colonne donne la réponse. Les deux cases rouges ne sont pas des réponses : ce sont des ordres de transformer l'écriture.
| Forme obtenue | Ce qu'on regarde | Limite |
|---|---|---|
| , | les degrés | |
| Exemple : vaut environ en , et tend vers . | ||
| , | les coefficients dominants | leur rapport |
| Exemple : vaut environ en , et tend vers . | ||
| , | le signe du dominant | ou |
| Exemple : vaut environ en , et tend vers . | ||
| un facteur commun | à simplifier forme indéterminée | |
| Exemple : , après factorisation par . Même forme, autre résultat : : même forme, autre réponse. Ce qu'il faut faire : Factoriser par en haut ET en bas, puis simplifier avant de substituer à nouveau. | ||
| l'expression conjuguée | à transformer forme indéterminée | |
| Exemple : . Même forme, autre résultat : : même forme, autre réponse. Ce qu'il faut faire : Multiplier et diviser par , puis simplifier par . | ||
Les trois premières lignes se lisent d'un coup d'œil sur les degrés : c'est le calcul le plus rentable du chapitre, et il ne demande aucune transformation.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« n'existe pas, donc n'existe pas. »
Ce qu'il faut écrire
« n'est pas définie en , mais : la limite ne regarde jamais le point lui-même. »
Pourquoi : La dérivée est précisément la limite d'un quotient qui n'existe PAS au point. Un élève qui confond les deux objets ici ne pourra pas comprendre la définition de la dérivée dans trois semaines.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le dénominateur de s'annule en , donc la droite est une asymptote verticale. »
Ce qu'il faut écrire
« En , le numérateur s'annule AUSSI : le facteur se simplifie et la limite vaut . Il y a un trou, pas d'asymptote. »
Pourquoi : L'asymptote demande que le dénominateur tende vers zéro et que le numérateur, lui, ne le fasse pas. Tester les deux prend cinq secondes et évite de dessiner une branche infinie là où il n'y a rien.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« La substitution donne la forme indéterminée : je factorise, pour , donc la limite vaut . »
Pourquoi : n'est pas un nombre, c'est un constat d'échec de la substitution. Il signale qu'un facteur commun reste à simplifier, rien de plus.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La limite à l'infini vaut , donc la courbe reste toujours sous . »
Ce qu'il faut écrire
« La courbe tend vers à l'infini, mais rien ne l'empêche de traverser plusieurs fois avant de s'y installer. »
Pourquoi : Une asymptote horizontale décrit un comportement de LONG TERME, pas une contrainte. Une série économique qui converge vers sa tendance l'a très souvent dépassée en route.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« D'après le TVI, il existe un unique tel que . »
Ce qu'il faut écrire
« D'après le TVI, il existe AU MOINS un tel que . Comme est de plus strictement croissante sur cet intervalle, ce est unique. »
Pourquoi : Le théorème donne une existence, jamais une unicité. L'unicité vient toujours d'un argument SUPPLÉMENTAIRE, la stricte monotonie, et cet argument doit être écrit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et , donc il existe tel que . »
Ce qu'il faut écrire
« est un polynôme, donc continue sur l'intervalle FERMÉ . Or . D'après le TVI, il existe tel que . »
Pourquoi : Sans continuité, le théorème est faux : une fonction qui saute par-dessus passe du négatif au positif sans jamais s'annuler. C'est exactement ce que fait un barème discontinu.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Au raccord , la seconde formule doit valoir , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Les trois conditions se vérifient : par la première formule, , et l'égalité des deux impose . »
Pourquoi : Le résultat est le même, la rédaction ne l'est pas. Le barème paie l'écriture des trois conditions, parce que c'est elle qui prouve qu'on sait ce que continuité veut dire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'écart entre les deux budgets tend vers l'infini, donc ils divergent de plus en plus. »
Ce qu'il faut écrire
« L'écart ABSOLU tend vers l'infini, mais le rapport tend vers : en proportion, les deux budgets se rejoignent. »
Pourquoi : C'est la distinction propre aux Sciences humaines, et elle se retrouve partout : un écart de revenu qui grandit en dollars peut se réduire en pourcentage. L'énoncé dit toujours lequel il veut.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« et : la limite en n'existe pas, et la droite est asymptote verticale. »
Pourquoi : Près d'une asymptote, les deux côtés sont presque toujours opposés. Écrire une seule limite bilatérale revient à affirmer qu'ils sont égaux, ce qui est faux une fois sur deux.
On substitue TOUJOURS en premier. Neuf fois sur dix la substitution donne directement la réponse ; le reste du temps, la forme obtenue nomme la technique.
Si la substitution donne un nombre → c'est la limite, on s'arrête là
Exemple :
Si forme avec des polynômes → factoriser par en haut et en bas, puis simplifier
Exemple :
le facteur est TOUJOURS présent des deux côtés, sinon la forme ne serait pas
Si forme avec une racine carrée → multiplier haut et bas par l'expression conjuguée
Exemple :
Si forme avec une racine → multiplier et diviser par le conjugué, puis comparer les degrés
Exemple :
Si forme → comparer les DEGRÉS, sans rien développer
Exemple :
Si un nombre non nul sur → asymptote verticale : étudier le SIGNE du dénominateur de chaque côté
Exemple : : à gauche, à droite
Si une fonction définie par morceaux, et est un raccord → calculer les deux limites unilatérales SÉPARÉMENT, avec chacune sa formule
Exemple : et
Si aucune branche ne s'applique, c'est presque toujours que la substitution n'a pas été faite. La règle de L'Hospital n'est PAS au programme de ce cours : une copie qui l'utilise ne reçoit aucun point pour la question.
On lit le verbe avant de calculer. C'est lui qui dit quel théorème est attendu et quelle phrase de conclusion sera payée.
Si « montrer qu'il existe une valeur telle que » → TVI : continuité sur un FERMÉ, puis compris entre les deux images
Exemple : montrer qu'un seuil de est franchi entre et
Si « montrer qu'il existe une UNIQUE valeur » → TVI pour l'existence, PUIS stricte monotonie pour l'unicité
Exemple : deux arguments, donc deux phrases
la monotonie se justifie par le signe de la dérivée, ou par la forme de la fonction
Si « la fonction est-elle continue en » → les trois conditions, dans l'ordre, et on nomme celle qui échoue
Exemple : existe, la limite existe, sont-elles égales
Si « déterminer le paramètre pour que » → écrire l'égalité des deux limites unilatérales et résoudre
Exemple : tel que le barème ne saute pas en
Si « que devient le modèle à long terme » → limite à l'infini, puis interprétation en mots et en unités
Exemple : le coût moyen tend vers le coût variable
Un énoncé qui ne demande ni existence, ni unicité, ni continuité ne demande pas de théorème : il demande un calcul, et une phrase de théorème n'y rapporte rien.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande de montrer qu'un seuil est atteint, qu'une équation a une solution, ou qu'une grandeur passe par une valeur donnée.
Phrase de conclusion
« La fonction est un polynôme, donc continue sur . Or et , donc est compris entre et . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un tel que . »
Le piège : Sauter la justification de la continuité parce qu'elle paraît évidente. C'est l'hypothèse la plus chère du théorème et celle que le correcteur cherche en premier.
Barème : 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour les deux images, 1 point pour l'encadrement, 1 point pour la conclusion citant le théorème.
Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé donne une fonction en deux formules avec un paramètre et demande qu'il n'y ait pas de saut au raccord.
Phrase de conclusion
« Pour , . Pour , . La continuité impose , donc . »
Le piège : Calculer la limite à droite en remplaçant par dans la formule de GAUCHE. Chaque côté a sa formule, et c'est tout l'objet de la question.
Barème : 1 point par limite unilatérale, 1 point pour l'équation posée, 1 point pour la valeur du paramètre, 1 point pour l'interprétation.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La table de valeurs autour du point
Sur la calculatrice, afficher la fonction en quatre valeurs qui serrent le point, deux de chaque côté. La limite annoncée doit apparaître dans les décimales.
Pour , la table en et affiche et . Une table qui afficherait dirait que la factorisation est fausse.
Les degrés, à l'œil nu
Pour une limite à l'infini, ne garder que les termes dominants et comparer. Le résultat doit tomber en deux secondes et confirmer le calcul détaillé.
se réduit à . Un calcul détaillé qui donnerait ou l'infini est faux.
Les deux côtés d'une asymptote
Près d'une asymptote verticale, tester une valeur juste à gauche et une juste à droite. Les deux signes sont presque toujours opposés.
vaut en et en . Deux signes identiques signalent un facteur carré au dénominateur, ou une erreur.
Réinjecter le paramètre trouvé
Une fois le paramètre déterminé, recalculer les deux formules au raccord. Elles doivent donner exactement le même nombre.
Avec : et . Deux nombres différents signalent une erreur de signe dans l'équation.
L'ordre de grandeur dans le contexte
Relire la réponse en unités de l'énoncé et se demander si elle est plausible. Une limite économique absurde signale presque toujours une erreur de degré.
Un coût moyen qui tendrait vers zéro à l'infini dirait que produire ne coûte plus rien : il tend en réalité vers le coût variable unitaire.
Un programme d'aide verse un montant , en dollars, à un ménage dont le revenu annuel est , en dollars.
Le barème est pour , et pour .
Déterminer pour que le barème soit continu en , puis étudier le montant versé aux très hauts revenus.
Étape 1
Sur et sur , est continue : la première formule est affine, la seconde est rationnelle de dénominateur non nul. Seul pose question.
Pourquoi
Dire d'abord où la continuité ne pose PAS de problème, et pourquoi, vaut un point et évite de vérifier trois conditions en des points où elles sont acquises.
Étape 2
L'inégalité est large, donc se calcule avec la première formule : dollars.
Pourquoi
C'est la première des trois conditions, et c'est la formule qui INCLUT le point qui la donne. Prendre l'autre est l'erreur classique du raccord.
Étape 3
Limite à gauche : , égale à .
Pourquoi
La formule de gauche est continue, donc sa limite est sa valeur. Le dire explicitement évite de faire croire qu'on a deviné.
Étape 4
Limite à droite : , car et le dénominateur ne s'annule pas.
Pourquoi
Chaque côté se calcule avec SA formule. C'est la seule étape où le paramètre apparaît, et c'est donc elle qui porte l'équation.
Étape 5
La continuité impose l'égalité des deux limites unilatérales : , donc .
Pourquoi
Une seule équation suffit ici parce que la valeur coïncide déjà avec la limite de gauche. Avec deux paramètres, il aurait fallu un système.
Étape 6
Vérification : , qui est bien . Les trois conditions sont satisfaites.
Pourquoi
Réinjecter la valeur trouvée coûte dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe. C'est aussi la phrase qui ferme la question au barème.
Étape 7
À long terme : , puisque le degré du haut, , est plus petit que celui du bas, . La droite est asymptote horizontale.
Pourquoi
La question de long terme se lit sur les degrés, sans calcul. Elle attend ensuite une phrase en mots, pas seulement un nombre.
Étape 8
Interprétation : l'aide décroît vers zéro sans jamais l'atteindre. Un ménage très aisé reçoit un montant arbitrairement petit, mais strictement positif.
Pourquoi
C'est le point d'interprétation du barème, et il repose sur la distinction du chapitre : tendre vers zéro n'est pas valoir zéro.
Conclusion rédigée
« Le barème est continu en pour . À long terme, : l'aide s'éteint progressivement sans jamais devenir nulle. »
L'erreur classique sur cet exercice : Calculer la limite à droite en remplaçant par dans . On retrouve alors , une identité vraie qui ne détermine pas , et la copie annonce que le barème est continu pour toute valeur de .
On transforme l'écriture, on ne calcule pas. Avec des polynômes, on factorise en haut et en bas par le facteur qui s'annule, on simplifie, puis on substitue à nouveau. Avec une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. Dans les deux cas, la forme zéro sur zéro garantit qu'un facteur commun existe.
On regarde le numérateur au même endroit. Si le dénominateur s'annule et que le numérateur ne s'annule pas, c'est une asymptote verticale. Si les deux s'annulent, le facteur commun se simplifie et il ne reste qu'un trou, c'est-à-dire un point manquant sur une courbe par ailleurs ordinaire.
Oui, autant de fois qu'elle veut. Une asymptote horizontale décrit ce que fait la fonction très loin, pas une barrière. Une courbe peut osciller autour de sa valeur limite en la coupant à chaque oscillation, puis s'y coller. Seule l'asymptote verticale est une frontière, parce que la fonction n'y est pas définie.
Dès que l'énoncé demande de montrer qu'une valeur est atteinte ou qu'une équation a une solution, sans demander laquelle. Il faut une fonction continue sur un intervalle fermé, et la valeur visée doit être comprise entre les images des deux bornes. La conclusion annonce au moins une solution, jamais une seule.
On calcule la limite à gauche avec la formule de gauche, la limite à droite avec la formule de droite, puis on écrit que les deux sont égales. Cette égalité donne une équation dont le paramètre est l'inconnue. On vérifie ensuite que la valeur trouvée redonne bien la valeur de la fonction au point de raccord.
L'écart absolu est une soustraction, en dollars ou en unités. L'écart relatif est un rapport, en pourcentage. Les deux peuvent aller dans des directions opposées : deux budgets dont la différence grandit indéfiniment peuvent devenir presque identiques en proportion. L'énoncé précise toujours lequel des deux il demande.
