Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : les limites et la continuité (201-103)

Le chapitre a l'air facile parce qu'on y calcule peu. Il est en réalité celui où les copies perdent le plus de points de raisonnement, parce que la question posée n'est presque jamais celle à laquelle on répond : on demande vers quoi la fonction tend, on répond ce qu'elle vaut.

Cette fiche prend les huit erreurs qui reviennent chaque session en 201-103, les chiffre, et donne pour chacune la phrase exacte qui se recopie sur la copie. Elle donne aussi les deux rédactions attendues du cours, celle du théorème des valeurs intermédiaires et celle d'un barème rendu continu.

Mis à jour le 31 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Une limite décrit ce que fait la fonction AUTOUR du point, jamais au point : presque toutes les fautes du chapitre viennent d'avoir répondu à la question de la valeur alors qu'on posait celle de la tendance.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Variation inverse et proportionnalité Secondaire 3
2 La factorisation et les expressions rationnelles Secondaire 4
3 Calculs algébriques Secondaire 5
4 Les fonctions définies par parties Secondaire 5
5 La fonction racine carrée Secondaire 5
6 La fonction rationnelle, dite homographique Secondaire 5
7 Les fonctions quadratiques Secondaire 5
8 Les paramètres des fonctions Secondaire 5
9 Les opérations sur les fonctions Secondaire 5
10 Les fonctions et leur domaine

Notions couvertes

Limites unilatérales
Continuité en un point
Discontinuité par point
Discontinuité par saut
Formes indéterminées
Expression conjuguée
Asymptote verticale
Asymptote horizontale
Théorème des valeurs intermédiaires
Fonction définie par morceaux
Écart absolu et écart relatif

L'essentiel

Trois questions différentes en un seul point

• $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ : vers quoi la fonction tend quand on arrive PAR LA GAUCHE.
• $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ : vers quoi elle tend quand on arrive PAR LA DROITE.
• $f(a)$ : ce qu'elle VAUT exactement au point. Cette valeur peut ne pas exister, ou exister et différer des deux autres.
• La limite $\lim_{x\to a}f(x)$ existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent ET sont égales.
• Trois discontinuités, et il faut la NOMMER : par point si la limite existe mais ne vaut pas $f(a)$ , elle est réparable ; par saut si les deux unilatérales diffèrent, elle ne l'est pas ; infinie s'il y a une asymptote verticale.

À gauche la courbe vise

2{,}5

des deux côtés alors que le point plein est à

4{,}6

; au milieu les deux côtés ne visent pas le même nombre ; à droite il n'y a plus rien à viser.

Nommer la condition qui échoue vaut presque toujours un point à part entière : « la limite existe, mais $f(4)\neq 3$ » rapporte plus que « $f$ n'est pas continue ».

Les trois conditions de la continuité en $a$

• $f(a)$ existe, c'est-à-dire $a$ appartient au domaine.
• $\lim_{x\to a}f(x)$ existe, c'est-à-dire les deux unilatérales sont égales.
• Les deux coïncident : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .
• Les trois se vérifient DANS CET ORDRE, et on s'arrête à la première qui échoue en la nommant.
• Un polynôme est continu partout. Une fonction rationnelle est continue partout où son dénominateur ne s'annule pas. Ces deux phrases justifient la continuité dans neuf questions sur dix.

« $f$ est un polynôme, donc continue sur $[a\,;b]$ » est une justification complète et suffisante. « $f$ est clairement continue » n'en est pas une.

Les asymptotes, et ce qu'elles interdisent vraiment

• Asymptote VERTICALE en $a$ : le dénominateur tend vers $0$ et le numérateur, lui, ne tend pas vers $0$ . Le signe du dénominateur de chaque côté décide entre $+\infty$ et $-\infty$ .
• Asymptote HORIZONTALE : un comportement à l'infini, donc une tendance de long terme. La courbe a parfaitement le droit de la traverser en chemin.
• Le coût moyen $\dfrac{F}{n}+v$ a une asymptote verticale en $0$ et une asymptote horizontale $y=v$ : les économies d'échelle sont réelles, et bornées par le coût variable.
• Un écart ABSOLU qui tend vers l'infini est compatible avec un écart RELATIF qui tend vers zéro. Les deux ne mesurent pas la même chose, et l'énoncé précise toujours lequel il veut.

Le coût moyen

\frac{2\,000}{n}+14

file vers l'infini quand

n\to 0^{+}

(l'axe vertical est asymptote) et descend vers

14

dollars sans l'atteindre : économies d'échelle réelles, mais bornées.

Une asymptote verticale est une frontière du domaine ; une asymptote horizontale n'en est pas une. Confondre les deux est le piège le plus rentable de l'examen.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Quelle limite, selon la forme obtenue après substitution

On substitue d'abord. La forme obtenue décide de tout, et la dernière colonne donne la réponse. Les deux cases rouges ne sont pas des réponses : ce sont des ordres de transformer l'écriture.

Forme obtenue	Ce qu'on regarde	Limite
$\dfrac{P}{Q}$ , $\deg P<\deg Q$	les degrés	$0$
Exemple : $\dfrac{3x+5}{x^{2}+1}$ vaut environ $0{,}0305$ en $x=100$ , et tend vers $0$ .
$\dfrac{P}{Q}$ , $\deg P=\deg Q$	les coefficients dominants	leur rapport
Exemple : $\dfrac{6x^{3}+x}{2x^{3}-5}$ vaut environ $3{,}0001$ en $x=100$ , et tend vers $3$ .
$\dfrac{P}{Q}$ , $\deg P>\deg Q$	le signe du dominant	$+\infty$ ou $-\infty$
Exemple : $\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}$ vaut environ $99{,}99$ en $x=100$ , et tend vers $+\infty$ .
$\dfrac{0}{0}$	un facteur commun	à simplifier forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=6$ , après factorisation par $(x-3)$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)^{2}}{x-3}=0$ : même forme, autre réponse. Ce qu'il faut faire : Factoriser par $(x-a)$ en haut ET en bas, puis simplifier avant de substituer à nouveau.
$\infty-\infty$	l'expression conjuguée	à transformer forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+6x}-x\right)=3$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2x}-x\right)=1$ : même forme, autre réponse. Ce qu'il faut faire : Multiplier et diviser par $\sqrt{x^{2}+bx}+x$ , puis simplifier par $x$ .

Les trois premières lignes se lisent d'un coup d'œil sur les degrés : c'est le calcul le plus rentable du chapitre, et il ne demande aucune transformation.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la limite et la valeur de la fonction

2 points, et l'erreur revient au chapitre de la dérivée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(4)$ n'existe pas, donc $\lim_{x\to 4}f(x)$ n'existe pas. »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est pas définie en $4$ , mais $\lim_{x\to 4}f(x)=4$ : la limite ne regarde jamais le point lui-même. »

f(x)=\frac{x^{2}-4x}{x-4}

se confond avec

y=x

sauf en

4

(rond vide). Des deux côtés, la courbe se dirige vers la hauteur

4

: la limite vaut

4

, même si

f(4)

n'existe pas.

Pourquoi : La dérivée est précisément la limite d'un quotient qui n'existe PAS au point. Un élève qui confond les deux objets ici ne pourra pas comprendre la définition de la dérivée dans trois semaines.

2. Déclarer une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule

3 points, et une étude de fonction entièrement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le dénominateur de $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$ s'annule en $3$ , donc la droite $x=3$ est une asymptote verticale. »

Ce qu'il faut écrire

« En $3$ , le numérateur s'annule AUSSI : le facteur $(x-3)$ se simplifie et la limite vaut $6$ . Il y a un trou, pas d'asymptote. »

Les deux dénominateurs s'annulent, et il ne se passe pas du tout la même chose : à gauche la droite continue de part et d'autre du cercle vide, à droite la courbe part vers l'infini.

Pourquoi : L'asymptote demande que le dénominateur tende vers zéro et que le numérateur, lui, ne le fasse pas. Tester les deux prend cinq secondes et évite de dessiner une branche infinie là où il n'y a rien.

3. Traiter $\dfrac{0}{0}$ comme un résultat

toute la question, puisque la réponse annoncée est un nombre faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=\dfrac{0}{0}=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La substitution donne la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ : je factorise, $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ pour $x\neq 3$ , donc la limite vaut $6$ . »

Pourquoi : $\dfrac{0}{0}$ n'est pas un nombre, c'est un constat d'échec de la substitution. Il signale qu'un facteur commun reste à simplifier, rien de plus.

4. Prendre l'asymptote horizontale pour une barrière

1 point d'interprétation, et une allure de courbe fausse au tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La limite à l'infini vaut $3$ , donc la courbe reste toujours sous $y=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe tend vers $3$ à l'infini, mais rien ne l'empêche de traverser $y=3$ plusieurs fois avant de s'y installer. »

La courbe coupe la droite pointillée quatre fois avant de s'y coller : tendre vers

3

n'interdit ni de valoir

3

, ni de passer au-dessus.

Pourquoi : Une asymptote horizontale décrit un comportement de LONG TERME, pas une contrainte. Une série économique qui converge vers sa tendance l'a très souvent dépassée en route.

5. Conclure à l'unicité avec le théorème des valeurs intermédiaires

1 point, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

« D'après le TVI, il existe un unique $c$ tel que $f(c)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« D'après le TVI, il existe AU MOINS un $c\in\,]0\,;10[$ tel que $f(c)=0$ . Comme $f$ est de plus strictement croissante sur cet intervalle, ce $c$ est unique. »

Continues, négatives au départ, positives à l'arrivée : le TVI garantit un zéro à chacune. Seule la stricte croissance (gauche) en garantit UN SEUL ; à droite, trois.

Pourquoi : Le théorème donne une existence, jamais une unicité. L'unicité vient toujours d'un argument SUPPLÉMENTAIRE, la stricte monotonie, et cet argument doit être écrit.

6. Appliquer le TVI sans vérifier ses hypothèses

2 points sur 4 : le barème paie les hypothèses autant que la conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(0)=-3$ et $f(10)=77$ , donc il existe $c$ tel que $f(c)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ est un polynôme, donc continue sur l'intervalle FERMÉ $[0\,;10]$ . Or $f(0)=-3<0<77=f(10)$ . D'après le TVI, il existe $c\in\,]0\,;10[$ tel que $f(c)=0$ . »

Négative en

0

, positive en

10

, et pourtant jamais nulle : la fonction SAUTE en

x=5

. Sans la continuité sur

[0\,;10]

, le TVI ne dit rien.

Pourquoi : Sans continuité, le théorème est faux : une fonction qui saute par-dessus $0$ passe du négatif au positif sans jamais s'annuler. C'est exactement ce que fait un barème discontinu.

7. Rendre un barème continu en n'écrivant qu'une seule égalité

1 point de rigueur, parfois 2 quand l'énoncé demande de justifier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au raccord $x=3000$ , la seconde formule doit valoir $450$ , donc $k=900\,000$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les trois conditions se vérifient : $A(3000)=450$ par la première formule, $\lim_{x\to 3000^{+}}A(x)=\dfrac{k}{2000}$ , et l'égalité des deux impose $k=900\,000$ . »

Pourquoi : Le résultat est le même, la rédaction ne l'est pas. Le barème paie l'écriture des trois conditions, parce que c'est elle qui prouve qu'on sait ce que continuité veut dire.

8. Confondre l'écart absolu et l'écart relatif

2 points d'interprétation, et c'est la question de raisonnement du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'écart entre les deux budgets tend vers l'infini, donc ils divergent de plus en plus. »

Ce qu'il faut écrire

« L'écart ABSOLU $50t$ tend vers l'infini, mais le rapport $\dfrac{t^{2}+50t}{t^{2}}$ tend vers $1$ : en proportion, les deux budgets se rejoignent. »

À gauche,

t^{2}

t^{2}+50t

s'écartent de

50t

, sans limite. À droite, leur rapport tend vers

1

: en proportion, les deux budgets se rejoignent.

Pourquoi : C'est la distinction propre aux Sciences humaines, et elle se retrouve partout : un écart de revenu qui grandit en dollars peut se réduire en pourcentage. L'énoncé dit toujours lequel il veut.

9. Oublier que le SIGNE du dénominateur décide entre les deux infinis

1,5 point, et une courbe tracée du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{x-2}=+\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{1}{x-2}=-\infty$ et $\lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{1}{x-2}=+\infty$ : la limite en $2$ n'existe pas, et la droite $x=2$ est asymptote verticale. »

À gauche de

2

, le dénominateur est négatif et petit : la courbe plonge vers

-\infty

. À droite, il est positif : elle monte vers

+\infty

. Une seule limite bilatérale ne peut pas résumer cela.

Pourquoi : Près d'une asymptote, les deux côtés sont presque toujours opposés. Écrire une seule limite bilatérale revient à affirmer qu'ils sont égaux, ce qui est faux une fois sur deux.

Quelle méthode choisir

Quelle technique, selon la forme obtenue après substitution

On substitue TOUJOURS en premier. Neuf fois sur dix la substitution donne directement la réponse ; le reste du temps, la forme obtenue nomme la technique.

Si la substitution donne un nombre → c'est la limite, on s'arrête là

Exemple : $\lim_{x\to 1}\dfrac{x+3}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{2}=2$
Si forme $\dfrac{0}{0}$ avec des polynômes → factoriser par $(x-a)$ en haut et en bas, puis simplifier

Exemple : $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}\to 6$

le facteur $(x-a)$ est TOUJOURS présent des deux côtés, sinon la forme ne serait pas $\dfrac{0}{0}$
Si forme $\dfrac{0}{0}$ avec une racine carrée → multiplier haut et bas par l'expression conjuguée

Exemple : $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\to\dfrac{1}{4}$
Si forme $\infty-\infty$ avec une racine → multiplier et diviser par le conjugué, puis comparer les degrés

Exemple : $\sqrt{x^{2}+6x}-x\to 3$
Si forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ → comparer les DEGRÉS, sans rien développer

Exemple : $\dfrac{6x^{3}+x}{2x^{3}-5}\to 3$
Si un nombre non nul sur $0$ → asymptote verticale : étudier le SIGNE du dénominateur de chaque côté

Exemple : $\dfrac{1}{x-2}$ : $-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite
Si une fonction définie par morceaux, et $a$ est un raccord → calculer les deux limites unilatérales SÉPARÉMENT, avec chacune sa formule

Exemple : $A(3000^{-})=450$ et $A(3000^{+})=\dfrac{k}{2000}$

Si aucune branche ne s'applique, c'est presque toujours que la substitution n'a pas été faite. La règle de L'Hôpital n'est PAS au programme de ce cours : une copie qui l'utilise ne reçoit aucun point pour la question.

Quel théorème, selon le verbe de l'énoncé

On lit le verbe avant de calculer. C'est lui qui dit quel théorème est attendu et quelle phrase de conclusion sera payée.

Si « montrer qu'il existe une valeur telle que » → TVI : continuité sur un FERMÉ, puis $k$ compris entre les deux images

Exemple : montrer qu'un seuil de $0$ est franchi entre $0$ et $10$
Si « montrer qu'il existe une UNIQUE valeur » → TVI pour l'existence, PUIS stricte monotonie pour l'unicité

Exemple : deux arguments, donc deux phrases

la monotonie se justifie par le signe de la dérivée, ou par la forme de la fonction
Si « la fonction est-elle continue en » → les trois conditions, dans l'ordre, et on nomme celle qui échoue

Exemple : $f(4)$ existe, la limite existe, sont-elles égales
Si « déterminer le paramètre pour que » → écrire l'égalité des deux limites unilatérales et résoudre

Exemple : $k$ tel que le barème ne saute pas en $3000$
Si « que devient le modèle à long terme » → limite à l'infini, puis interprétation en mots et en unités

Exemple : le coût moyen tend vers le coût variable

Un énoncé qui ne demande ni existence, ni unicité, ni continuité ne demande pas de théorème : il demande un calcul, et une phrase de théorème n'y rapporte rien.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une application du théorème des valeurs intermédiaires

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande de montrer qu'un seuil est atteint, qu'une équation a une solution, ou qu'une grandeur passe par une valeur donnée.

1 Nommer la fonction et l'intervalle FERMÉ sur lequel on travaille.
2 Justifier la continuité par une RAISON : « $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;10]$ ».
3 Calculer les deux images aux bornes et les écrire.
4 Vérifier que la valeur cherchée est comprise entre les deux, avec les inégalités écrites.
5 Énoncer la conclusion en citant le théorème, avec « AU MOINS un ».
6 Si l'énoncé demande l'unicité, ajouter la stricte monotonie comme argument SÉPARÉ.

Phrase de conclusion

« La fonction $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;10]$ . Or $f(0)=-3<0$ et $f(10)=77>0$ , donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(10)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c\in\,]0\,;10[$ tel que $f(c)=0$ . »

Le piège : Sauter la justification de la continuité parce qu'elle paraît évidente. C'est l'hypothèse la plus chère du théorème et celle que le correcteur cherche en premier.

Barème : 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour les deux images, 1 point pour l'encadrement, 1 point pour la conclusion citant le théorème.

Rendre un barème par morceaux continu

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé donne une fonction en deux formules avec un paramètre et demande qu'il n'y ait pas de saut au raccord.

1 Repérer le point de raccord et dire que c'est LÀ, et nulle part ailleurs, que la continuité pose question.
2 Calculer $f(a)$ avec la formule qui inclut $a$ , en le disant.
3 Calculer la limite à gauche avec la formule de gauche, puis la limite à droite avec celle de droite, séparément.
4 Poser l'égalité des deux limites unilatérales et résoudre en le paramètre.
5 Vérifier que la valeur trouvée redonne bien $f(a)$ , et conclure par une phrase.
6 Interpréter : dire ce qu'une discontinuité aurait signifié dans le contexte de l'énoncé.

Phrase de conclusion

« Pour $x\le 3000$ , $A(3000)=900-0{,}15\times 3000=450$ . Pour $x>3000$ , $\lim_{x\to 3000^{+}}\dfrac{k}{x-1000}=\dfrac{k}{2000}$ . La continuité impose $\dfrac{k}{2000}=450$ , donc $k=900\,000$ . »

Le piège : Calculer la limite à droite en remplaçant $x$ par $3000$ dans la formule de GAUCHE. Chaque côté a sa formule, et c'est tout l'objet de la question.

Barème : 1 point par limite unilatérale, 1 point pour l'équation posée, 1 point pour la valeur du paramètre, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La table de valeurs autour du point

Sur la calculatrice, afficher la fonction en quatre valeurs qui serrent le point, deux de chaque côté. La limite annoncée doit apparaître dans les décimales.

Pour $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$ , la table en $2{,}99$ et $3{,}01$ affiche $5{,}99$ et $6{,}01$ . Une table qui afficherait $7{,}9$ dirait que la factorisation est fausse.
Les degrés, à l'œil nu

Pour une limite à l'infini, ne garder que les termes dominants et comparer. Le résultat doit tomber en deux secondes et confirmer le calcul détaillé.

$\dfrac{6x^{3}+x}{2x^{3}-5}$ se réduit à $\dfrac{6x^{3}}{2x^{3}}=3$ . Un calcul détaillé qui donnerait $0$ ou l'infini est faux.
Les deux côtés d'une asymptote

Près d'une asymptote verticale, tester une valeur juste à gauche et une juste à droite. Les deux signes sont presque toujours opposés.

$\dfrac{1}{x-2}$ vaut $-10\,000$ en $1{,}9999$ et $+10\,000$ en $2{,}0001$ . Deux signes identiques signalent un facteur carré au dénominateur, ou une erreur.
Réinjecter le paramètre trouvé

Une fois le paramètre déterminé, recalculer les deux formules au raccord. Elles doivent donner exactement le même nombre.

Avec $k=900\,000$ : $900-0{,}15\times 3000=450$ et $\dfrac{900\,000}{2000}=450$ . Deux nombres différents signalent une erreur de signe dans l'équation.
L'ordre de grandeur dans le contexte

Relire la réponse en unités de l'énoncé et se demander si elle est plausible. Une limite économique absurde signale presque toujours une erreur de degré.

Un coût moyen qui tendrait vers zéro à l'infini dirait que produire ne coûte plus rien : il tend en réalité vers le coût variable unitaire.

L'exercice type décortiqué

Un barème d'aide financière rendu continu, puis étudié à long terme

Un programme d'aide verse un montant $A(x)$ , en dollars, à un ménage dont le revenu annuel est $x$ , en dollars.

Le barème est $A(x)=900-0{,}15x$ pour $0\le x\le 3000$ , et $A(x)=\dfrac{k}{x-1000}$ pour $x>3000$ .

Déterminer $k$ pour que le barème soit continu en $3000$ , puis étudier le montant versé aux très hauts revenus.

Étape 1

Sur $[0\,;3000[$ et sur $]3000\,;+\infty[$ , $A$ est continue : la première formule est affine, la seconde est rationnelle de dénominateur non nul. Seul $x=3000$ pose question.

Pourquoi

Dire d'abord où la continuité ne pose PAS de problème, et pourquoi, vaut un point et évite de vérifier trois conditions en des points où elles sont acquises.

Étape 2

L'inégalité $0\le x\le 3000$ est large, donc $A(3000)$ se calcule avec la première formule : $A(3000)=900-0{,}15\times 3000=900-450=450$ dollars.

Pourquoi

C'est la première des trois conditions, et c'est la formule qui INCLUT le point qui la donne. Prendre l'autre est l'erreur classique du raccord.

Étape 3

Limite à gauche : $\lim_{x\to 3000^{-}}(900-0{,}15x)=450$ , égale à $A(3000)$ .

Pourquoi

La formule de gauche est continue, donc sa limite est sa valeur. Le dire explicitement évite de faire croire qu'on a deviné.

Étape 4

Limite à droite : $\lim_{x\to 3000^{+}}\dfrac{k}{x-1000}=\dfrac{k}{2000}$ , car $3000-1000=2000$ et le dénominateur ne s'annule pas.

Pourquoi

Chaque côté se calcule avec SA formule. C'est la seule étape où le paramètre apparaît, et c'est donc elle qui porte l'équation.

Étape 5

La continuité impose l'égalité des deux limites unilatérales : $\dfrac{k}{2000}=450$ , donc $k=900\,000$ .

Pourquoi

Une seule équation suffit ici parce que la valeur $A(3000)$ coïncide déjà avec la limite de gauche. Avec deux paramètres, il aurait fallu un système.

Étape 6

Vérification : $\dfrac{900\,000}{3000-1000}=\dfrac{900\,000}{2000}=450$ , qui est bien $A(3000)$ . Les trois conditions sont satisfaites.

Pourquoi

Réinjecter la valeur trouvée coûte dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe. C'est aussi la phrase qui ferme la question au barème.

Étape 7

À long terme : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{900\,000}{x-1000}=0$ , puisque le degré du haut, $0$ , est plus petit que celui du bas, $1$ . La droite $y=0$ est asymptote horizontale.

Pourquoi

La question de long terme se lit sur les degrés, sans calcul. Elle attend ensuite une phrase en mots, pas seulement un nombre.

Étape 8

Interprétation : l'aide décroît vers zéro sans jamais l'atteindre. Un ménage très aisé reçoit un montant arbitrairement petit, mais strictement positif.

Pourquoi

C'est le point d'interprétation du barème, et il repose sur la distinction du chapitre : tendre vers zéro n'est pas valoir zéro.

Conclusion rédigée

« Le barème est continu en $3000$ pour $k=900\,000$ . À long terme, $\lim_{x\to+\infty}A(x)=0$ : l'aide s'éteint progressivement sans jamais devenir nulle. »

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer la limite à droite en remplaçant $x$ par $3000$ dans $900-0{,}15x$ . On retrouve alors $450=450$ , une identité vraie qui ne détermine pas $k$ , et la copie annonce que le barème est continu pour toute valeur de $k$ .

À savoir par cœur

• La limite existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent ET sont ÉGALES.
• Continuité en $a$ : $f(a)$ existe, la limite existe, les deux sont égales. Trois conditions, dans cet ordre.
• $\dfrac{0}{0}$ n'est pas un nombre : c'est l'ordre de factoriser ou de conjuguer.
• Limite à l'infini d'un quotient : degré du haut plus petit donne $0$ , degrés égaux donnent le rapport des dominants, degré du haut plus grand donne l'infini.
• Asymptote verticale : dénominateur vers $0$ et numérateur PAS vers $0$ . Le signe décide entre les deux infinis.
• Une asymptote horizontale se traverse. Une asymptote verticale, jamais.
• TVI : continuité sur un intervalle FERMÉ, $k$ entre les deux images, conclusion « au moins un $c$ ». Jamais d'unicité sans monotonie.
• La règle de L'Hôpital n'est pas au programme du 201-103.

Questions fréquentes

Comment lever une forme indéterminée zéro sur zéro ?

On transforme l'écriture, on ne calcule pas. Avec des polynômes, on factorise en haut et en bas par le facteur qui s'annule, on simplifie, puis on substitue à nouveau. Avec une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. Dans les deux cas, la forme zéro sur zéro garantit qu'un facteur commun existe.

Comment savoir s'il y a une asymptote verticale ou un trou ?

On regarde le numérateur au même endroit. Si le dénominateur s'annule et que le numérateur ne s'annule pas, c'est une asymptote verticale. Si les deux s'annulent, le facteur commun se simplifie et il ne reste qu'un trou, c'est-à-dire un point manquant sur une courbe par ailleurs ordinaire.

Une courbe peut-elle traverser son asymptote horizontale ?

Oui, autant de fois qu'elle veut. Une asymptote horizontale décrit ce que fait la fonction très loin, pas une barrière. Une courbe peut osciller autour de sa valeur limite en la coupant à chaque oscillation, puis s'y coller. Seule l'asymptote verticale est une frontière, parce que la fonction n'y est pas définie.

Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Dès que l'énoncé demande de montrer qu'une valeur est atteinte ou qu'une équation a une solution, sans demander laquelle. Il faut une fonction continue sur un intervalle fermé, et la valeur visée doit être comprise entre les images des deux bornes. La conclusion annonce au moins une solution, jamais une seule.

Comment trouver le paramètre qui rend un barème continu ?

On calcule la limite à gauche avec la formule de gauche, la limite à droite avec la formule de droite, puis on écrit que les deux sont égales. Cette égalité donne une équation dont le paramètre est l'inconnue. On vérifie ensuite que la valeur trouvée redonne bien la valeur de la fonction au point de raccord.

Quelle différence entre écart absolu et écart relatif ?

L'écart absolu est une soustraction, en dollars ou en unités. L'écart relatif est un rapport, en pourcentage. Les deux peuvent aller dans des directions opposées : deux budgets dont la différence grandit indéfiniment peuvent devenir presque identiques en proportion. L'énoncé précise toujours lequel des deux il demande.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les limites et la continuité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

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La dérivée et les règles de dérivation

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sh103-limites-continuite. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les limites et la continuité (201-103)

L'essentiel

Trois questions différentes en un seul point

Les trois conditions de la continuité en aaa

Les asymptotes, et ce qu'elles interdisent vraiment

Les règles de calcul en tableau

Quelle limite, selon la forme obtenue après substitution

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre la limite et la valeur de la fonction

2. Déclarer une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule

3. Traiter 00\dfrac{0}{0}00​ comme un résultat

4. Prendre l'asymptote horizontale pour une barrière

5. Conclure à l'unicité avec le théorème des valeurs intermédiaires

6. Appliquer le TVI sans vérifier ses hypothèses

7. Rendre un barème continu en n'écrivant qu'une seule égalité

8. Confondre l'écart absolu et l'écart relatif

9. Oublier que le SIGNE du dénominateur décide entre les deux infinis

Quelle méthode choisir

Quelle technique, selon la forme obtenue après substitution

Quel théorème, selon le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Rédiger une application du théorème des valeurs intermédiaires

Rendre un barème par morceaux continu

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un barème d'aide financière rendu continu, puis étudié à long terme

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment lever une forme indéterminée zéro sur zéro ?

Comment savoir s'il y a une asymptote verticale ou un trou ?

Une courbe peut-elle traverser son asymptote horizontale ?

Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Comment trouver le paramètre qui rend un barème continu ?

Quelle différence entre écart absolu et écart relatif ?

Exercices corrigés : Les limites et la continuité

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Les trois conditions de la continuité en $a$

3. Traiter $\dfrac{0}{0}$ comme un résultat