Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal
Cette fiche ne refait pas le cours sur les fonctions définies par parties : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la vérification systématique de l'intervalle après chaque résolution, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.
Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.
Le fil du chapitre
Une fonction définie par parties reste UNE seule fonction : les morceaux ne sont pas des fonctions différentes, ce sont des règles qui se relaient sur des intervalles qui ne se chevauchent jamais. Tout le chapitre se joue aux points de raccordement, où il faut savoir lequel des deux morceaux s'applique, ce que dit un point plein contre un point vide, et si les deux valeurs coïncident. Presque tous les points perdus viennent de résoudre une équation avec le bon calcul mais le mauvais intervalle, puis d'oublier de vérifier que la solution y appartient.
Avant tout calcul, entourez la borne de chaque intervalle sur le brouillon et notez si elle est incluse. C'est là que se jouent la moitié des points du chapitre.
Continuité et existence sont deux questions différentes : une fonction peut exister en tout en y étant discontinue. On répond donc toujours aux deux, dans cet ordre.
Prolonger un morceau au-delà de son intervalle est l'erreur de tracé la plus fréquente, et elle est immédiatement visible pour le correcteur : le dessin dépasse la borne.
Le nombre de solutions n'est pas borné par le nombre de morceaux : un morceau du second degré peut en fournir deux à lui seul, et un morceau constant une infinité.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« si et si ; donc . »
Ce qu'il faut écrire
« appartient à l'intervalle , donc . La règle ne s'applique que STRICTEMENT avant . »
Pourquoi : La borne appartient au morceau dont l'inégalité est LARGE, celui qui contient le symbole « ou égal ». Le réflexe est de lire l'intervalle avant la règle, jamais l'inverse.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« si et si ; on cherche : donne , et donne . Donc . »
Ce qu'il faut écrire
« vient du morceau , or n'est pas inférieur à : cette solution se rejette. Reste , qui vérifie bien . Donc . »
Pourquoi : Chaque morceau ne vaut que sur son intervalle : résoudre son équation ailleurs revient à utiliser une règle qui ne décrit pas la fonction. La validation n'est pas une politesse de rédaction, c'est la seconde moitié de la résolution.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est définie en , donc elle y est continue. »
Ce qu'il faut écrire
« En , le morceau de gauche donne et celui de droite donne . Les deux valeurs diffèrent, donc est DISCONTINUE en , avec un saut de unités. »
Pourquoi : Exister et être continue sont deux propriétés distinctes : la fonction a bien une image en , celle du morceau à inégalité large, mais l'autre morceau y tend vers une valeur différente. La continuité se DÉMONTRE en comparant deux nombres, elle ne se constate pas.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le premier morceau est une parabole, donc je trace la parabole entière puis j'ajoute la droite. »
Ce qu'il faut écrire
« Je trace l'ARC de parabole seulement pour , je marque un point vide en , puis je trace la demi-droite à partir de avec un point plein. »
Pourquoi : La règle d'un morceau a souvent un sens en dehors de son intervalle, mais la FONCTION n'y est pas définie par elle. Le graphique doit montrer exactement ce que la définition dit, bornes comprises, et c'est ce que le correcteur regarde en premier.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux morceaux sont définis avec des inégalités larges en , donc je mets deux points pleins. »
Ce qu'il faut écrire
« Une fonction ne peut avoir qu'une image par antécédent : au plus un des deux morceaux contient . Si l'énoncé écrit deux inégalités larges, il y a une faute de frappe, ou bien les deux valeurs coïncident et le point est unique. »
Pourquoi : L'unicité de l'image est la définition même d'une fonction. Deux points pleins superposés signifieraient deux images pour un seul , ce que le graphique ne peut pas représenter et que la définition interdit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« si , donc ce morceau a pour image . »
Ce qu'il faut écrire
« Sur , la fonction prend toutes les valeurs de , mais uniquement parce que l'intervalle contient des valeurs très négatives. Sur seul, l'image serait . »
Pourquoi : L'image d'un morceau se calcule SUR SON INTERVALLE, pas sur . Il faut donc regarder la variation de la règle restreinte à cet intervalle, et notamment si elle y est monotone, ce qui rend l'image facile à lire aux deux bornes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« si et si : pour la continuité, je pose . »
Ce qu'il faut écrire
« La continuité s'écrit en SEULEMENT : , donc . »
Pourquoi : La continuité est une condition en UN point, pas une identité entre deux règles. On remplace donc par la valeur du raccordement dans les deux expressions, ce qui laisse une équation dont la seule inconnue est le paramètre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le tarif est de dollars le kilo jusqu'à kilos puis dollars au-delà; pour kilos, cela fait dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« Les premiers kilos coûtent dollars, et les suivants dollars, soit dollars au total. »
Pourquoi : Dans une tarification par tranches, le tarif supérieur ne s'applique qu'à la PART qui dépasse le seuil, ce qui donne un second morceau de la forme , dont l'ordonnée à l'origine n'est pas nulle. Le contrôle est simple : les deux morceaux doivent coïncider au seuil.
Toute question sur une fonction par parties commence par la même décision : quel morceau est concerné ? Le verbe de l'énoncé y répond, et l'intervalle tranche.
Si on demande une IMAGE, avec donné → chercher l'intervalle qui contient , puis appliquer sa règle. Un seul morceau est concerné
Exemple : avec pour et pour : , car vérifie
En cas de doute à une borne, le morceau dont l'inégalité est LARGE l'emporte, toujours.
Si on demande un ANTÉCÉDENT, résoudre → résoudre l'équation dans CHAQUE morceau, puis valider chaque solution dans son intervalle
Exemple : donne rejeté et conservé, si le premier morceau ne vaut que pour
Le nombre de solutions n'est ni borné par le nombre de morceaux ni égal à lui.
Si on demande la CONTINUITÉ en un point → calculer la valeur de gauche et celle de droite EN CE POINT, puis les comparer
Exemple : donne et donne en : la fonction est discontinue, avec un saut de
Si on demande un PARAMÈTRE pour que la fonction soit continue → poser l'égalité des deux expressions en remplaçant par la valeur du raccordement
Exemple : et en donnent , donc
Deux points de raccordement donnent DEUX équations : c'est un système, et il n'a pas toujours de solution.
Si on demande le DOMAINE ou l'IMAGE → domaine égale réunion des intervalles; image égale réunion des images de chaque règle RESTREINTE à son intervalle
Exemple : sur a pour image , pas
Si on demande de TRACER → tracer chaque morceau uniquement au-dessus de son intervalle, puis marquer un point plein ou vide à chaque borne
Exemple : arc de parabole pour avec point vide en , puis demi-droite avec point plein en
Aucune branche ne s'applique si la valeur demandée n'est couverte par aucun intervalle : la réponse est alors « n'est pas définie en cette valeur », et c'est une réponse complète qui vaut le point.
Avant de calculer quoi que ce soit, identifiez la NATURE de chaque morceau au coup d'oeil. Le type détermine la forme de la règle et donc le nombre de points à lire.
Si le morceau est un segment ou une demi-droite → règle affine : lire deux points, calculer la pente, puis l'ordonnée à l'origine
Exemple : passage par et : pente , donc
Si le morceau est un arc de parabole → règle du second degré : lire le sommet et un point, puis utiliser la forme canonique
Exemple : sommet et passage par :
Si le morceau est une suite de paliers horizontaux → fonction en escalier, du type partie entière : lire la hauteur d'un palier et sa largeur
Exemple : des paliers de largeur et de hauteur donnent une règle de la forme
Le sens des points pleins indique de quel côté chaque palier est fermé, donc si l'on arrondit vers le haut ou vers le bas.
Si le morceau est un V ou un lambda → c'est une valeur absolue, qu'on peut aussi écrire comme deux morceaux affines
Exemple : s'écrit pour et pour
Si le morceau est horizontal sur tout un intervalle → règle constante : la valeur se lit directement, et l'équation y a soit aucune, soit une infinité de solutions
Exemple : sur : l'équation admet tout l'intervalle comme solutions
Repérez toujours les bornes AVANT les règles : elles se lisent sur l'axe des abscisses et elles fixent le découpage, alors qu'une règle mal lue ne se corrige qu'à la fin, quand tout le reste est déjà écrit.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande si la fonction est continue, s'il y a un saut, ou de trouver un paramètre rendant la fonction continue.
Phrase de conclusion
« Le raccordement a lieu en . Le morceau de gauche donne et celui de droite donne . Comme l'inégalité large porte sur le morceau de droite, . Les deux valeurs étant différentes, est DISCONTINUE en , avec un saut de unités. »
Le piège : Écrire l'égalité des deux règles au lieu de l'égalité de leurs valeurs au point. Une équation qui contient encore la variable signale toujours cette erreur : la continuité est une condition en un point, donc doit être remplacé avant de résoudre.
Barème : 1 point chaque valeur calculée correctement, 1 point la comparaison et la conclusion rédigée, 1 point l'équation en cas de paramètre.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande les antécédents d'une valeur, les zéros de la fonction, ou à quel moment une grandeur atteint un seuil dans un problème par tranches.
Phrase de conclusion
« Sur , l'équation donne ou ; seule appartient à l'intervalle, est donc rejetée. Sur , l'équation donne , qui appartient bien à l'intervalle. Donc . »
Le piège : Sauter un morceau parce que la valeur cherchée « n'a pas l'air » d'y être. Chaque morceau se traite, sans exception : c'est précisément dans celui qu'on saute que se cache la solution négative que personne ne trouve.
Barème : 1 point chaque équation posée sur le bon intervalle, 1 point la validation avec rejet motivé, 1 point l'ensemble solution complet.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Recalculer chaque solution avec la règle du bon morceau
Reprendre chaque valeur de l'ensemble solution, déterminer à quel intervalle elle appartient, puis calculer son image avec CETTE règle. Le résultat doit être exactement la valeur cherchée. Une solution rejetée à tort se révèle ici.
Vous annoncez pour : en recalculant, appartient à donc , et non . La solution était issue du mauvais morceau.
L'encadrement d'une borne, des deux côtés
En chaque point de raccordement , calculer , et . Les trois valeurs doivent être proches si la fonction est continue, et l'une doit s'écarter nettement s'il y a un saut. C'est la vérification la plus rapide du chapitre.
Pour un raccordement en : , , . L'écart entre les deux premières valeurs confirme le saut de unités.
Le tracé relu borne par borne
Parcourir le graphique de gauche à droite et vérifier trois choses à chaque borne : aucun morceau ne dépasse son intervalle, chaque borne porte un point plein OU vide mais jamais deux pleins, et le point plein est du côté de l'inégalité large.
Un tracé où la parabole continue après alors que son intervalle est montre à la fois une erreur de tracé et une image lue fausse : deux points perdus pour un seul geste.
Le contrôle de cohérence dans un problème par tranches
Calculer le coût, ou la grandeur, exactement AU seuil avec les deux formules. Elles doivent donner le même nombre, sans quoi la tarification comporterait un saut de prix, ce qu'aucun énoncé concret ne prévoit.
Tarif de dollars le kilo jusqu'à kilos, puis dollars : en kilos, le premier morceau donne dollars et le second dollars. Si le second donnait dollars, la formule oublierait de retrancher le seuil.
Une entreprise de Montréal facture une livraison ainsi : dollars fixes jusqu'à kilogrammes; puis dollars plus dollars par kilogramme au-delà de kilogrammes, jusqu'à kilogrammes; puis un tarif forfaitaire de dollars au-delà de kilogrammes.
a) Écrire la fonction du coût en fonction de la masse. b) Calculer le coût pour , et kilogrammes. c) La fonction est-elle continue ? d) Pour quelles masses le coût vaut-il exactement dollars ?
Étape 1
Trois tranches, donc trois morceaux : pour ; pour ; pour .
Pourquoi
Le deuxième morceau contient et non , parce que le tarif au kilo ne s'applique qu'à la part qui DÉPASSE kilogrammes. Oublier ce décalage est l'erreur numéro un des problèmes par tranches, et elle se voit au seuil.
Étape 2
appartient à , donc dollars. appartient à , donc dollars. Enfin dépasse , donc dollars.
Pourquoi
Pour chaque valeur, on identifie l'intervalle AVANT d'appliquer la règle. Les inégalités larges se lisent avec soin : appartient au premier morceau, au deuxième, et cela décidera de la continuité à la question suivante.
Étape 3
En : le premier morceau donne et le second tend vers . Les deux valeurs coïncident, donc est continue en .
Pourquoi
C'est justement le terme qui rend le raccordement continu : en , il s'annule et le second morceau redonne le tarif fixe. Une formule sans décalage donnerait , soit un saut de dollars au seuil, ce que le contexte exclut.
Étape 4
En : le deuxième morceau donne dollars, et le troisième vaut dollars. Les valeurs diffèrent, donc est DISCONTINUE en , avec un saut de dollars. La valeur prise en est dollars, car l'inégalité large appartient au deuxième morceau.
Pourquoi
Une fonction peut être continue en un raccordement et discontinue en un autre : chaque point se traite séparément. Ici le saut a un sens concret, c'est un changement de tarification, et l'énoncé le prévoit. Préciser la valeur réellement prise en est le point de rigueur.
Étape 5
On résout sur chaque morceau. Sur : est impossible, aucune solution. Sur : donne , donc , qui appartient bien à l'intervalle. Sur : est impossible.
Pourquoi
Un morceau constant donne une équation sans inconnue : elle est soit impossible, soit vraie partout sur l'intervalle. Il faut quand même l'écrire, car un correcteur ne peut pas deviner qu'on a examiné ce morceau et l'a écarté.
Étape 6
Vérification : des deux côtés, la continuité en est confirmée. et , ce qui confirme le saut. Enfin , la solution trouvée est correcte.
Pourquoi
Encadrer chaque raccordement à un millième valide d'un coup la continuité en , la discontinuité en et la solution de la question d). Trois réponses vérifiées par deux calculs, sans reprendre une seule ligne d'algèbre.
Conclusion rédigée
« Le coût s'écrit pour , pour , et pour . On obtient dollars, dollars et dollars. La fonction est continue en , car les deux morceaux y valent dollars, mais discontinue en , où elle passe de à dollars, soit un saut de dollars. Enfin le coût vaut exactement dollars pour la seule masse kilogrammes. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire le deuxième morceau au lieu de : le coût de kilogrammes devient dollars au lieu de , la continuité en disparaît, et la question d) donne au lieu de . Une seule erreur de modélisation fait tomber trois questions sur quatre, ce qui est exactement pourquoi le contrôle au seuil doit se faire avant d'aller plus loin.
On regarde d'abord dans quel intervalle se trouve la valeur de x, puis on applique la règle écrite en face de cet intervalle. À une borne, c'est le morceau dont l'inégalité est large, celui qui contient le ou égal, qui l'emporte. On lit donc toujours l'intervalle avant la règle, jamais l'inverse.
On se place au point de raccordement et on calcule deux nombres : la valeur donnée par le morceau de gauche en ce point, et celle donnée par le morceau de droite. Si les deux coïncident, la fonction est continue et la courbe se trace sans lever le crayon. Si elles diffèrent, il y a un saut, dont l'amplitude est leur écart.
Parce que chaque règle ne décrit la fonction que sur son propre intervalle. En résolvant l'équation d'un morceau, on peut trouver une valeur qui sort de cet intervalle : elle vérifie la règle, mais pas la fonction. Il faut donc valider chaque solution en vérifiant son appartenance à l'intervalle, et rejeter les autres en l'écrivant.
Un point vide indique que la valeur n'est pas atteinte à cet endroit : la borne est exclue de l'intervalle et l'inégalité correspondante est stricte. Un point plein signifie au contraire que la valeur est atteinte. À un raccordement, il y a au plus un point plein, sinon un même antécédent aurait deux images, ce qui est impossible.
Chaque tranche donne un morceau, et le tarif d'une tranche ne s'applique qu'à la part qui dépasse le seuil précédent. Le morceau s'écrit donc comme le coût cumulé jusqu'au seuil, plus le tarif multiplié par la différence entre la quantité et ce seuil. Le contrôle est simple : les deux morceaux doivent donner le même prix exactement au seuil.
