Fiche de révision : la fonction valeur absolue (math SN5)

Si $|X|=c$ avec $c$ un nombre strictement positif → deux cas : $X=c$ ou $X=-c$, sans vérification nécessaire

Exemple : $|x-4|=6$ donne $x=10$ ou $x=-2$

Si $|X|=c$ avec $c$ NÉGATIF, ou $|X|<c$ avec $c$ négatif ou nul → aucune solution : on l'écrit et on s'arrête sans calculer

Exemple : $|2x+1|=-5$ donne $S=\varnothing$

Le cas symétrique, $|X|>c$ avec $c$ négatif, donne au contraire $S=\mathbb{R}$ tout entier.

Si $|X|\le c$ ou $|X|<c$ avec $c>0$ → encadrement : $-c\le X\le c$, un seul intervalle

Exemple : $|x-2|\le 3$ donne $-1\le x\le 5$

Lecture en distance : c'est l'intervalle centré en $2$ et de rayon $3$.

Si $|X|\ge c$ ou $|X|>c$ avec $c>0$ → deux demi-droites : $X\le -c$ OU $X\ge c$, réunies par $\cup$

Exemple : $|x-2|>3$ donne $S=\,]-\infty;-1[\,\cup\,]5;+\infty[$

Si $|X|=|Y|$, deux valeurs absolues égales → deux cas : $X=Y$ ou $X=-Y$, sans vérification

Exemple : $|2x-1|=|x+4|$ donne $x=5$ ou $x=-1$

Si $|X|=$ expression contenant $x$ → deux cas, PUIS vérification obligatoire de chaque solution dans l'équation de départ

Exemple : $|x-1|=2x-4$ donne $x=3$ et $x=\frac{5}{3}$, dont seule $3$ survit

C'est la RESTRICTION : poser « membre de droite $\ge 0$ » avant d'ouvrir rejette la solution étrangère sans la calculer.

Si $|A|\le B$ ou $|A|<B$, avec $x$ dans le membre de droite → restriction $B\ge 0$, encadrement $-B\le A\le B$ coupé en deux, puis INTERSECTION des trois conditions

Exemple : $|x-4|\le 2x-2$ : $x\ge 1$, $x\ge 2$ et $x\ge -2$, donc $S=[2;+\infty[$

Si $|A|\ge B$ ou $|A|>B$, avec $x$ dans le membre de droite → AUCUNE restriction : $A\ge B$ ou $A\le -B$, réunis par $\cup$

Exemple : $|x-3|\ge 2x$ donne $x\le -3$ ou $x\le 1$, soit $S=\,]-\infty;1]$

Un membre de droite négatif rend l'inégalité vraie d'office : ces $x$ sont des solutions, pas des exclus.

Si plusieurs valeurs absolues additionnées → découper la droite aux points critiques, puis résoudre dans chaque zone séparément

Exemple : $|x-1|+|x-4|=5$ se traite sur $]-\infty;1[$, $[1;4]$ et $]4;+\infty[$

Si le sommet et un autre point sont donnés → $h$ et $k$ viennent du sommet, puis $a$ se calcule avec l'autre point

Exemple : sommet $(2;-3)$ et passage par $(5;3)$ : $3=a|5-2|-3$, donc $3a=6$ et $a=2$

Le second point doit être différent du sommet, sinon l'équation devient $0=0$.

Si les deux zéros et un point sont donnés → le sommet est au MILIEU des zéros, donc $h$ est leur moyenne, puis on procède comme ci-dessus

Exemple : zéros $-1$ et $5$ : l'axe de symétrie est $x=2$, donc $h=2$

Si deux demi-droites sont données par leurs équations → $h$ est l'abscisse de leur intersection, $k$ son ordonnée, et $a$ la pente de la demi-droite de DROITE

Exemple : $y=-2x+7$ et $y=2x-1$ se coupent en $(2;3)$ : donc $f(x)=2|x-2|+3$

Les deux pentes doivent être opposées, sans quoi la courbe n'est pas une valeur absolue.

Si trois points quelconques, dont deux sur la même demi-droite → pente de la demi-droite par les deux points, demi-droite opposée de pente contraire par le troisième, sommet par comparaison, et $a$ = pente de la branche de DROITE

Exemple : $(-3;6)$ et $(-2;4)$ donnent $y=-2x$ ; par $(3;4)$, $y=2x-2$ ; sommet $\left(\frac{1}{2};-1\right)$, donc $f(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1$

Si les deux points alignés sont à GAUCHE du sommet, $a$ est l'opposé de leur pente : c'est l'oubli qui coûte le point.

Si un contexte de tolérance ou d'écart maximal → le centre est la valeur visée et le rayon est la tolérance : $|x-\text{cible}|\le\text{tolérance}$

Exemple : une pièce de $50$ millimètres avec une tolérance de $0{,}2$ millimètre : $|x-50|\le 0{,}2$

Si un contexte de distance ou d'écart entre deux grandeurs → modéliser par $|A-B|$, qui vaut aussi $|B-A|$ : l'ordre n'a aucune importance

Exemple : l'écart entre deux températures $T_{1}$ et $T_{2}$ s'écrit $|T_{1}-T_{2}|$