Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction partie entière (math SN4)

Q: Combien vaut la partie entière d'un nombre négatif ?

C'est le plus grand entier inférieur ou égal au nombre, donc on descend toujours. La partie entière de moins deux virgule trois vaut moins trois, et non moins deux, car moins deux est plus grand que le nombre de départ. Sur une droite graduée, il s'agit de l'entier immédiatement à gauche du nombre.

Q: Comment trouver la longueur des marches d'une fonction en escalier ?

La longueur d'une marche est l'inverse de la valeur absolue du paramètre b, celui qui multiplie la variable à l'intérieur des crochets. Avec b égal à quatre, les marches mesurent un quart d'unité, pas quatre unités. Plus b est grand, plus les marches sont étroites, ce qui est contre-intuitif et coûte beaucoup de points.

Q: De quel côté se trouve le point plein sur une fonction en escalier ?

Cela dépend uniquement du signe du paramètre b. Si b est positif, chaque palier est fermé à gauche, donc le point plein est à l'extrémité gauche et le point vide à droite. Si b est négatif, c'est l'inverse. Le signe du paramètre a ne joue aucun rôle ici : il décide seulement si l'escalier monte ou descend.

Q: Pourquoi une équation avec partie entière a un intervalle de solutions ?

Parce que la partie entière écrase tout un palier de valeurs sur un même entier. Toutes les valeurs d'un palier donnent donc la même image. On résout en écrivant l'encadrement de définition : la partie entière vaut n signifie que l'expression est comprise entre n inclus et n plus un exclu. La réponse est alors un intervalle.

Q: Comment modéliser un tarif par heure entamée ?

Il faut un arrondi vers le haut, que l'on obtient en écrivant moins la partie entière de moins la durée, multipliée par le prix d'une tranche. Le contrôle est simple : une demi-heure doit coûter le prix d'une heure entière. Avec la partie entière seule, une demi-heure serait gratuite, ce qui modélise une facturation à l'heure complétée.

Cette fiche ne refait pas le cours sur la fonction partie entière : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, les deux paramètres qu'il ne faut jamais confondre, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 4 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

$\lfloor x\rfloor$ n'arrondit pas, il descend : c'est le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL à $x$ , donc $\lfloor -2{,}3\rfloor=-3$ et non $-2$ . Tout le chapitre se joue sur cette asymétrie et sur ses deux conséquences : chaque palier est fermé d'un seul côté, ce qui décide où se place le point plein, et l'équation $f(x)=k$ n'a jamais une solution mais un INTERVALLE entier de solutions, ou aucune si $k$ ne tombe pas sur un palier.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les paramètres et les propriétés des fonctions Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
3Les paramètres et les propriétés des fonctions

Notions couvertes

Fonction partie entière
Fonction en escalier
Contremarche
Longueur d'une marche
Forme canonique
Sens de fermeture des paliers
Point plein et point vide
Image d'une fonction en escalier
Facturation à l'unité entamée
Tarification par paliers
Croissance par paliers
Propriétés de la partie entière

L'essentiel

La définition, et le cas des négatifs

• $\lfloor x\rfloor$ est le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL à $x$ : on descend toujours, jamais on n'arrondit.
• Sur les positifs, cela ressemble à couper les décimales : $\lfloor 3{,}8\rfloor=3$ .
• Sur les négatifs, non : $\lfloor -2{,}3\rfloor=-3$ , car $-3$ est le plus grand entier qui reste sous $-2{,}3$ .
• $\lfloor n\rfloor=n$ pour tout entier $n$ : les entiers sont leurs propres parties entières.
• $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ : c'est l'encadrement qui définit tout, et il sert à résoudre les équations.

Sur une droite graduée, $\lfloor x\rfloor$ est l'entier immédiatement à GAUCHE de $x$ , ou $x$ lui-même s'il est entier. Ce dessin mental règle définitivement la question des négatifs.

La forme canonique, et le piège des deux paramètres

• $f(x)=a\lfloor b(x-h)\rfloor+k$ , avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$ .
• La CONTREMARCHE, c'est-à-dire le saut vertical d'un palier au suivant, vaut $|a|$ .
• La MARCHE, c'est-à-dire la largeur horizontale d'un palier, vaut $\frac{1}{|b|}$ , et non $|b|$ .
• Le point $(h;k)$ est un point plein de la fonction : c'est le repère à placer en premier sur le graphique.
• L'image est l'ensemble des nombres $k+a n$ où $n$ parcourt les entiers : elle est DISCRÈTE, jamais un intervalle.

$b=4$ donne des marches de $0{,}25$ unité, pas de $4$ unités : plus $|b|$ est grand, plus les marches sont ÉTROITES. C'est la confusion la plus coûteuse du chapitre.

Le sens de fermeture et la variation

• Si $b>0$ , chaque palier est fermé à GAUCHE : le point plein est à l'extrémité gauche, le point vide à droite.
• Si $b<0$ , chaque palier est fermé à DROITE : les points s'échangent.
• Le signe de $a$ ne décide PAS du sens de fermeture : il décide seulement de monter ou de descendre.
• La fonction est croissante si $ab>0$ , décroissante si $ab<0$ : c'est le PRODUIT qui tranche.
• Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier : une fonction en escalier est définie partout, même si elle n'est continue nulle part.

Deux questions indépendantes qu'on confond systématiquement : « de quel côté est le point plein ? » dépend du seul signe de $b$ ; « l'escalier monte-t-il ? » dépend du produit $ab$ .

Résoudre, et les problèmes de facturation

• $f(x)=k$ n'a jamais une solution isolée : l'ensemble solution est un INTERVALLE entier, celui d'un palier, ou bien il est vide.
• Pour résoudre, on écrit l'encadrement $n\le b(x-h)<n+1$ où $n$ est l'entier correspondant à la valeur cherchée.
• Une valeur qui n'appartient pas à l'image, comme $k+0{,}5a$ , donne $S=\varnothing$ , et il faut le dire.
• Facturation à l'unité ENTAMÉE : chaque unité commencée est due, donc on monte, ce qui se modélise avec un $b<0$ ou une écriture $-\lfloor -x\rfloor$ .
• Facturation à l'unité COMPLÉTÉE : seules les unités finies comptent, donc on descend, et $\lfloor x\rfloor$ convient directement.

Le mot « entamée » ou « commencée » dans un énoncé impose un escalier fermé à droite. Le repérer à la lecture évite de modéliser le problème à l'envers, ce qui décale toutes les réponses d'un palier.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Tronquer au lieu de descendre sur un nombre négatif

1 point à chaque calcul, et toute la partie négative du graphique est décalée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lfloor -2{,}3\rfloor=-2$ , il suffit d'enlever les décimales. »

Ce qu'il faut écrire

« $\lfloor -2{,}3\rfloor=-3$ , car $-3$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $-2{,}3$ ; $-2$ est plus GRAND que $-2{,}3$ . »

La partie entière descend vers la gauche : entre

-3

-2

, le plus grand entier INFÉRIEUR à

-2{,}3

est

-3

. Tronquer donnerait

-2

, qui est plus grand que le nombre lui-même.

Pourquoi : Sur les positifs, descendre et tronquer coïncident, ce qui installe une fausse règle. Sur les négatifs, ils diffèrent d'une unité. Le dessin de la droite graduée règle la question : on prend l'entier immédiatement à gauche.

2. Confondre la longueur de la marche et le paramètre $b$

2 points, et un graphique dont l'échelle est fausse d'un facteur 16

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2\lfloor 4x\rfloor+1$ : les marches ont une longueur de $4$ unités. »

Ce qu'il faut écrire

« Les marches ont une longueur de $\frac{1}{|b|}=\frac{1}{4}=0{,}25$ unité, et la contremarche vaut $|a|=2$ . »

Pourquoi : Le paramètre $b$ multiplie la variable AVANT la partie entière : plus il est grand, plus vite l'argument franchit un entier, donc plus les marches sont courtes. La longueur est bien l'INVERSE de $|b|$ , et c'est contre-intuitif.

3. Déduire le sens de fermeture des paliers du signe de $a$

2 points, tous les points pleins sont du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=-3\lfloor 2x\rfloor+1$ : comme $a<0$ , les paliers sont fermés à droite. »

Ce qu'il faut écrire

« Le sens de fermeture ne dépend que de $b$ . Ici $b=2>0$ , donc les paliers sont fermés à GAUCHE. Le signe négatif de $a$ fait seulement DESCENDRE l'escalier. »

Chaque palier porte son point plein à GAUCHE, parce que

b=2>0

; le signe négatif de

a

ne change que le sens de la descente, jamais la fermeture.

Pourquoi : Le paramètre $b$ agit sur l'axe des abscisses, avant la partie entière, donc il décide de la fermeture; le paramètre $a$ agit sur l'axe des ordonnées, après, donc il décide de la hauteur et du sens de montée. Ce sont deux axes et deux questions distinctes.

4. Rendre une solution unique à une équation d'escalier

2 points sur 3 : la réponse est un point au lieu d'un intervalle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lfloor 2x-1\rfloor=3$ donne $2x-1=3$ , donc $x=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\lfloor 2x-1\rfloor=3$ signifie $3\le 2x-1<4$ , donc $4\le 2x<5$ , soit $S=[2;2{,}5[$ . »

La droite

y=3

ne rencontre pas un point mais un PALIER entier : toutes les valeurs de

[2\,;2{,}5[

conviennent, et la borne droite est exclue.

Pourquoi : La partie entière écrase tout un intervalle sur un seul entier, donc l'équation a un intervalle entier de solutions. L'outil est l'encadrement de définition, $n\le u<n+1$ , et il transforme mécaniquement l'équation en système d'inéquations.

5. Chercher une solution à une valeur hors de l'image

toute la question, et une valeur inventée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3\lfloor x\rfloor+1=6$ donne $\lfloor x\rfloor=\frac{5}{3}$ , donc $x\approx 1{,}67$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\lfloor x\rfloor$ est toujours un ENTIER, or $\frac{5}{3}$ n'en est pas un. L'équation n'a donc aucune solution : $S=\varnothing$ . »

Pourquoi : L'image d'une fonction en escalier est discrète : seules les valeurs $k+an$ avec $n$ entier sont atteintes. Le geste de sécurité est d'isoler la partie entière et de vérifier que le nombre obtenu est bien entier avant de continuer.

6. Modéliser une facturation à l'unité entamée avec un escalier descendant

toute la question, et le tarif annoncé est gratuit sur la première heure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le stationnement coûte $2$ dollars par heure entamée : $C(t)=2\lfloor t\rfloor$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une heure entamée est due, donc $C(0{,}5)$ doit valoir $2$ dollars et non $0$ : on écrit $C(t)=-2\lfloor -t\rfloor$ , ou de façon équivalente $2\lfloor t\rfloor+2$ pour $t$ non entier. »

Pourquoi : $\lfloor t\rfloor$ compte les unités TERMINÉES, ce qui modélise une facturation à l'unité complétée. Pour compter les unités entamées, il faut un escalier fermé à droite, obtenu par $-\lfloor -t\rfloor$ . Le contrôle est immédiat : que coûte une demi-heure ?

7. Sortir un nombre non entier de la partie entière

2 points, et un résultat non entier annoncé pour une partie entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lfloor x+2{,}5\rfloor=\lfloor x\rfloor+2{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Seul un ENTIER sort d'une partie entière : $\lfloor x+3\rfloor=\lfloor x\rfloor+3$ est vrai, mais $\lfloor x+2{,}5\rfloor$ ne se décompose pas. »

Pourquoi : Ajouter un entier ne change pas la position par rapport aux entiers voisins, donc la partie entière suit; ajouter une décimale peut faire franchir un entier, donc elle ne suit pas. Le test numérique le montre : en $x=0{,}6$ , à gauche on trouve $3$ , à droite $2{,}5$ .

8. Croire que la partie entière de l'opposé est l'opposé de la partie entière

1 point, et une modélisation de facturation décalée d'un palier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor$ , c'est symétrique. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x=2{,}3$ : $\lfloor -2{,}3\rfloor=-3$ alors que $-\lfloor 2{,}3\rfloor=-2$ . La formule correcte est $\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1$ dès que $x$ n'est pas entier. »

Pourquoi : La partie entière descend toujours, dans les deux sens : elle n'est donc pas symétrique par rapport à l'origine. C'est exactement cette dissymétrie qui permet de construire un escalier fermé à droite avec $-\lfloor -x\rfloor$ , et c'est pourquoi elle vaut la peine d'être comprise plutôt que subie.

Quelle méthode choisir

Retrouver la règle depuis un graphique d'escalier

Quatre mesures suffisent, et elles se lisent dans cet ordre : la largeur d'une marche, la hauteur d'une contremarche, le côté du point plein, et un point de référence.

Si on mesure la largeur horizontale d'un palier → cette largeur vaut $\frac{1}{|b|}$ , donc $|b|=\frac{1}{\text{largeur}}$

Exemple : des paliers de $0{,}5$ unité de large donnent $|b|=2$

Une largeur inférieure à $1$ donne un $|b|$ supérieur à $1$ , et réciproquement : c'est un inverse, pas une égalité.
Si on mesure le saut vertical entre deux paliers consécutifs → ce saut vaut $|a|$ , directement

Exemple : des sauts de $3$ unités donnent $|a|=3$
Si les points pleins sont à GAUCHE de chaque palier → $b>0$ ; s'ils sont à droite, $b<0$

Exemple : points pleins à gauche et paliers de $0{,}5$ : $b=+2$

Le point vide est toujours du côté opposé au point plein, sur le palier voisin.
Si l'escalier MONTE de gauche à droite → $ab>0$ ; s'il descend, $ab<0$ . Le signe de $b$ étant déjà fixé, celui de $a$ s'en déduit

Exemple : escalier montant avec $b>0$ : $a>0$
Si il reste à trouver $h$ et $k$ → choisir un point PLEIN du graphique et l'imposer comme le point $(h;k)$

Exemple : un point plein en $(1;5)$ donne $h=1$ et $k=5$

Plusieurs couples $(h;k)$ conviennent, un par palier : toute réponse cohérente avec un point plein est acceptée.

Aucune branche ne s'applique si les paliers n'ont pas tous la même largeur ou la même hauteur : la fonction n'est alors pas une partie entière transformée, mais une fonction définie par parties quelconque, et c'est ce chapitre-là qu'il faut mobiliser.

Modéliser un problème de tarification par paliers

Un seul mot de l'énoncé décide de tout : la facturation porte-t-elle sur les unités ENTAMÉES ou sur les unités COMPLÉTÉES ? Testez ensuite votre modèle sur une demi-unité.

Si l'énoncé dit « par heure entamée », « par tranche commencée », « toute minute débutée est due » → escalier fermé à droite : $C(x)=p\cdot\left(-\lfloor -x\rfloor\right)$ , où $p$ est le prix d'une unité

Exemple : $2$ dollars par heure entamée : $C(0{,}5)=2$ dollars et $C(1{,}1)=4$ dollars

Contrôle obligatoire : une fraction d'unité doit coûter le prix d'une unité entière.
Si l'énoncé dit « par heure complète », « par tranche révolue », « pour chaque année terminée » → escalier fermé à gauche : $C(x)=p\lfloor x\rfloor$

Exemple : $50$ dollars par année de service complétée : $C(3{,}9)=150$ dollars
Si il existe un tarif de base indépendant de la durée → ajouter ce montant en $k$ , sans toucher aux autres paramètres

Exemple : $3$ dollars d'accès plus $2$ dollars par heure entamée : $C(x)=3-2\lfloor -x\rfloor$
Si la tranche n'est pas d'une unité, mais d'une durée $d$ → diviser la variable par $d$ à l'intérieur de la partie entière

Exemple : $1$ dollar par tranche de $15$ minutes entamée : $C(t)=-\lfloor\frac{-t}{15}\rfloor$ avec $t$ en minutes

Ici $|b|=\frac{1}{15}$ , donc des marches de $15$ minutes : l'inverse est bien respecté.
Si la première tranche a un tarif différent des suivantes → ce n'est plus un seul escalier : on écrit une fonction définie par parties dont un morceau est un escalier

Exemple : première heure à $5$ dollars puis $2$ dollars par heure entamée

Le contrôle universel de ces problèmes tient en une question : combien coûte une demi-unité ? En facturation à l'unité entamée, la réponse est le prix d'une unité complète; en facturation à l'unité complétée, la réponse est zéro. Ce seul calcul valide ou invalide le modèle.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation avec partie entière

Quand l'utiliser : L'énoncé demande les valeurs de $x$ telles que $f(x)=c$ , ou les antécédents d'une valeur, pour une fonction en escalier.

1 Isoler la partie entière : « $3\lfloor 2x-1\rfloor+4=13$ donne $\lfloor 2x-1\rfloor=3$ ».
2 VÉRIFIER que le nombre obtenu est bien un entier; sinon, conclure immédiatement que l'ensemble solution est vide.
3 Appliquer l'encadrement de définition : « $\lfloor u\rfloor=3$ équivaut à $3\le u<4$ ».
4 Remplacer $u$ par son expression et résoudre le système de deux inéquations, sur les trois membres à la fois.
5 Écrire l'ensemble solution en intervalle, en respectant le crochet FERMÉ à gauche et OUVERT à droite.
6 Vérifier avec les deux bornes : la borne fermée doit donner la valeur cherchée, la borne ouverte la valeur suivante.

Phrase de conclusion

« On a $\lfloor 2x-1\rfloor=3$ , ce qui équivaut à l'encadrement $3\le 2x-1<4$ . En ajoutant $1$ puis en divisant par $2$ , on obtient $2\le x<2{,}5$ . Donc $S=[2;2{,}5[$ . »

Le piège : Rendre une valeur isolée au lieu d'un intervalle. Une partie entière écrase tout un palier sur un seul entier, donc l'équation admet toujours un intervalle de solutions, jamais un point, sauf si l'ensemble est vide.

Barème : 1 point la partie entière isolée et la vérification qu'elle vaut un entier, 1 point l'encadrement posé, 1 point la résolution et l'intervalle avec les bons crochets.

Décrire complètement une fonction en escalier

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le domaine, l'image, la longueur des marches, la contremarche, le sens de variation et un tracé.

1 Identifier les quatre paramètres en écrivant la fonction sous la forme $a\lfloor b(x-h)\rfloor+k$ , en mettant $b$ en évidence si nécessaire.
2 Donner le domaine, qui vaut $\mathbb{R}$ pour toute fonction en escalier, et le dire.
3 Donner la longueur de la marche, $\frac{1}{|b|}$ , et la contremarche, $|a|$ , en les nommant.
4 Donner le sens de fermeture des paliers à partir du seul signe de $b$ .
5 Donner le sens de variation à partir du signe du produit $ab$ .
6 Décrire l'image comme l'ensemble discret des valeurs $k+an$ avec $n$ entier.
7 Tracer en plaçant d'abord le point plein $(h;k)$ , puis en construisant les paliers de proche en proche.

Phrase de conclusion

« La fonction $f(x)=-3\lfloor 2(x-1)\rfloor+5$ a pour domaine $\mathbb{R}$ . Ses marches mesurent $\frac{1}{2}$ unité et ses contremarches $3$ unités. Comme $b=2>0$ , les paliers sont fermés à gauche, et comme $ab=-6<0$ , la fonction est décroissante. Son image est l'ensemble des nombres $5-3n$ où $n$ est un entier, et le point $(1;5)$ est un point plein de la courbe. »

Le piège : Annoncer que l'image est un intervalle. Une fonction en escalier ne prend que des valeurs isolées, espacées de $|a|$ : écrire un intervalle revient à affirmer qu'elle prend toutes les valeurs intermédiaires, ce qu'elle ne fait jamais.

Barème : 1 point les quatre paramètres correctement identifiés, 1 point marche et contremarche sans les confondre, 1 point fermeture et variation justifiées, 1 point l'image décrite comme un ensemble discret.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le test de la demi-unité dans un problème de tarif

Calculer le coût pour une valeur strictement comprise entre $0$ et une unité, par exemple une demi-heure. En facturation à l'unité entamée, le résultat doit être le prix d'une unité complète; en facturation à l'unité complétée, il doit être nul. Un seul calcul valide le modèle entier.

Vous modélisez $2$ dollars par heure entamée par $C(t)=2\lfloor t\rfloor$ : alors $C(0{,}5)=0$ , c'est-à-dire une demi-heure gratuite, ce qu'aucun stationnement ne propose. Le modèle est à l'envers.
Vérifier les deux bornes d'un intervalle solution

Calculer l'image de la borne gauche et celle de la borne droite de l'intervalle annoncé. La borne gauche, fermée, doit donner exactement la valeur cherchée; la borne droite, ouverte, doit donner la valeur du palier SUIVANT.

Vous annoncez $S=[2;2{,}5[$ pour $\lfloor 2x-1\rfloor=3$ : en $x=2$ on trouve $\lfloor 3\rfloor=3$ , correct; en $x=2{,}5$ on trouve $\lfloor 4\rfloor=4$ , ce qui confirme que cette borne doit bien être exclue.
Le contrôle des négatifs sur la droite graduée

Pour tout calcul de partie entière d'un nombre négatif, tracer mentalement la droite graduée et prendre l'entier immédiatement à GAUCHE. Puis vérifier l'encadrement : la partie entière trouvée doit être inférieure ou égale au nombre.

Vous écrivez $\lfloor -2{,}3\rfloor=-2$ : le contrôle échoue puisque $-2$ est SUPÉRIEUR à $-2{,}3$ , alors que la partie entière doit rester en dessous. La bonne valeur est $-3$ .
Compter les paliers sur une unité

Sur une unité d'abscisse, le graphique doit compter exactement $|b|$ paliers. Comparez ce nombre à votre valeur de $b$ : c'est la vérification la plus rapide contre la confusion entre $b$ et la longueur de la marche.

Vous annoncez $b=4$ : entre $x=0$ et $x=1$ , le tracé doit montrer quatre paliers de $0{,}25$ unité chacun. S'il n'en montre qu'un, large de $4$ unités, les deux paramètres ont été inversés.

L'exercice type décortiqué

Le tarif d'un stationnement : escalier fermé à droite, tarif de base et seuil

Un stationnement de Montréal facture $3$ dollars d'accès, puis $2$ dollars par tranche de $30$ minutes entamée.

a) Écrire la fonction $C(t)$ du coût, avec $t$ en minutes. b) Quel est le coût pour $10$ minutes, pour $30$ minutes, pour $31$ minutes ? c) Quelle est la durée maximale possible pour un budget de $15$ dollars ? d) Donner la longueur des marches et la contremarche.

Étape 1

Le mot « entamée » impose un escalier fermé à droite. Une tranche vaut $30$ minutes, donc on compte $\frac{t}{30}$ tranches, arrondies vers le HAUT : $C(t)=3-2\left\lfloor\frac{-t}{30}\right\rfloor$ .

Pourquoi

L'écriture $-\lfloor -u\rfloor$ est la seule façon d'obtenir un arrondi vers le haut avec la seule fonction partie entière, qui descend toujours. Le tarif d'accès de $3$ dollars est un simple $k$ , ajouté à la fin, sans effet sur la forme de l'escalier.

Étape 2

Pour $t=10$ : $\frac{-10}{30}\approx -0{,}333$ , dont la partie entière est $-1$ , donc $C(10)=3+2=5$ dollars.

Pourquoi

C'est ici que le calcul de la partie entière d'un NÉGATIF intervient : $\lfloor -0{,}333\rfloor=-1$ et non $0$ . Le résultat est cohérent avec l'énoncé, puisque $10$ minutes entament bien la première tranche et coûtent donc une tranche complète.

Étape 3

Pour $t=30$ : $\frac{-30}{30}=-1$ , entier, donc la partie entière vaut $-1$ et $C(30)=3+2=5$ dollars. Pour $t=31$ : $\frac{-31}{30}\approx -1{,}033$ , dont la partie entière est $-2$ , donc $C(31)=3+4=7$ dollars.

Pourquoi

Le passage de $30$ à $31$ minutes fait franchir un palier, ce qui est exactement le comportement attendu : $30$ minutes pile n'entament pas la deuxième tranche, $31$ minutes si. Ce contrôle à la borne valide le sens de fermeture de l'escalier.

Étape 4

On cherche le plus grand $t$ tel que $C(t)\le 15$ , soit $-2\left\lfloor\frac{-t}{30}\right\rfloor\le 12$ , donc $\left\lfloor\frac{-t}{30}\right\rfloor\ge -6$ : au plus $6$ tranches.

Pourquoi

Diviser par $-2$ renverse le sens de l'inégalité, ce qui est le point technique de la question. Traduire ensuite « au plus $6$ tranches » en minutes demande de revenir à la définition : $6$ tranches de $30$ minutes couvrent jusqu'à $180$ minutes incluses.

Étape 5

Six tranches couvrent $t\le 180$ minutes, et la septième s'entame dès $t>180$ . La durée maximale est donc de $180$ minutes, soit $3$ heures, pour un coût exact de $15$ dollars.

Pourquoi

La borne est INCLUSE parce que l'escalier est fermé à droite : à $180$ minutes exactement, la septième tranche n'est pas encore entamée. C'est le point de rédaction que le correcteur cherche, et il découle du sens de fermeture posé à la première étape.

Étape 6

Ici $b=\frac{-1}{30}$ , donc les marches mesurent $\frac{1}{|b|}=30$ minutes, et $a=-2$ , donc la contremarche vaut $|a|=2$ dollars. Comme $ab=\frac{2}{30}>0$ , la fonction est bien croissante.

Pourquoi

Le signe négatif se retrouve à la fois dans $a$ et dans $b$ , ce qui laisse un produit positif : l'escalier monte, comme doit le faire un tarif. Si le produit avait été négatif, le tarif diminuerait avec le temps, ce que le contexte exclut.

Étape 7

Vérification : $C(180)=3-2\lfloor -6\rfloor=3+12=15$ dollars, et $C(181)=3-2\lfloor -6{,}033\rfloor=3+14=17$ dollars, qui dépasse le budget. Enfin $C(0)=3$ dollars, le tarif d'accès seul.

Pourquoi

Trois valeurs bien choisies contrôlent toute la réponse : la borne annoncée, la valeur juste après, et le point de départ. Le fait que $C(0)$ redonne exactement le tarif d'accès confirme que le paramètre $k$ a été placé correctement.

Conclusion rédigée

« Le coût s'écrit $C(t)=3-2\left\lfloor\frac{-t}{30}\right\rfloor$ , où $t$ est la durée en minutes. On obtient $C(10)=5$ dollars, $C(30)=5$ dollars et $C(31)=7$ dollars. Avec un budget de $15$ dollars, on peut payer six tranches, donc stationner au plus $180$ minutes, soit $3$ heures exactement. Enfin les marches mesurent $30$ minutes et la contremarche vaut $2$ dollars, l'escalier étant croissant puisque $ab>0$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Modéliser avec $C(t)=3+2\left\lfloor\frac{t}{30}\right\rfloor$ : les dix premières minutes deviennent alors gratuites, $C(10)=3$ dollars au lieu de $5$ , et toutes les réponses se décalent d'un palier. Le second travers est d'oublier de renverser l'inégalité en divisant par $-2$ à la question c), ce qui donne « au moins $6$ tranches » et une durée minimale au lieu d'une durée maximale.

À savoir par cœur

• $\lfloor x\rfloor$ est le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL à $x$ : on descend, on n'arrondit pas.
• $\lfloor -2{,}3\rfloor=-3$ : sur les négatifs, descendre et tronquer ne coïncident pas.
• $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ : cet encadrement résout toutes les équations du chapitre.
• Contremarche $=|a|$ , longueur de la marche $=\frac{1}{|b|}$ . La marche est l'INVERSE de $b$ .
• $b>0$ : paliers fermés à GAUCHE. $b<0$ : fermés à droite. Le signe de $a$ n'y change rien.
• Croissante si $ab>0$ , décroissante si $ab<0$ : c'est le PRODUIT qui décide.
• L'image est DISCRÈTE : l'ensemble des $k+an$ avec $n$ entier, jamais un intervalle.
• $f(x)=c$ donne un INTERVALLE de solutions, ou l'ensemble vide si $c$ n'est pas dans l'image.
• « Entamée » impose un arrondi vers le haut, donc $-\lfloor -x\rfloor$ ; « complétée » donne $\lfloor x\rfloor$ .

Questions fréquentes

Combien vaut la partie entière d'un nombre négatif ?

C'est le plus grand entier inférieur ou égal au nombre, donc on descend toujours. La partie entière de moins deux virgule trois vaut moins trois, et non moins deux, car moins deux est plus grand que le nombre de départ. Sur une droite graduée, il s'agit de l'entier immédiatement à gauche du nombre.

Comment trouver la longueur des marches d'une fonction en escalier ?

La longueur d'une marche est l'inverse de la valeur absolue du paramètre b, celui qui multiplie la variable à l'intérieur des crochets. Avec b égal à quatre, les marches mesurent un quart d'unité, pas quatre unités. Plus b est grand, plus les marches sont étroites, ce qui est contre-intuitif et coûte beaucoup de points.

De quel côté se trouve le point plein sur une fonction en escalier ?

Cela dépend uniquement du signe du paramètre b. Si b est positif, chaque palier est fermé à gauche, donc le point plein est à l'extrémité gauche et le point vide à droite. Si b est négatif, c'est l'inverse. Le signe du paramètre a ne joue aucun rôle ici : il décide seulement si l'escalier monte ou descend.

Pourquoi une équation avec partie entière a un intervalle de solutions ?

Parce que la partie entière écrase tout un palier de valeurs sur un même entier. Toutes les valeurs d'un palier donnent donc la même image. On résout en écrivant l'encadrement de définition : la partie entière vaut n signifie que l'expression est comprise entre n inclus et n plus un exclu. La réponse est alors un intervalle.

Comment modéliser un tarif par heure entamée ?

Il faut un arrondi vers le haut, que l'on obtient en écrivant moins la partie entière de moins la durée, multipliée par le prix d'une tranche. Le contrôle est simple : une demi-heure doit coûter le prix d'une heure entière. Avec la partie entière seule, une demi-heure serait gratuite, ce qui modélise une facturation à l'heure complétée.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction partie entière

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Voir aussi

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Fiche de révision : la fonction partie entière (math SN4)

L'essentiel

La définition, et le cas des négatifs

La forme canonique, et le piège des deux paramètres

Le sens de fermeture et la variation

Résoudre, et les problèmes de facturation

Les pièges qui coûtent des points

1. Tronquer au lieu de descendre sur un nombre négatif

2. Confondre la longueur de la marche et le paramètre bbb

3. Déduire le sens de fermeture des paliers du signe de aaa

4. Rendre une solution unique à une équation d'escalier

5. Chercher une solution à une valeur hors de l'image

6. Modéliser une facturation à l'unité entamée avec un escalier descendant

7. Sortir un nombre non entier de la partie entière

8. Croire que la partie entière de l'opposé est l'opposé de la partie entière

Quelle méthode choisir

Retrouver la règle depuis un graphique d'escalier

Modéliser un problème de tarification par paliers

La rédaction attendue

Résoudre une équation avec partie entière

Décrire complètement une fonction en escalier

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le tarif d'un stationnement : escalier fermé à droite, tarif de base et seuil

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Combien vaut la partie entière d'un nombre négatif ?

Comment trouver la longueur des marches d'une fonction en escalier ?

De quel côté se trouve le point plein sur une fonction en escalier ?

Pourquoi une équation avec partie entière a un intervalle de solutions ?

Comment modéliser un tarif par heure entamée ?

Exercices corrigés : La fonction partie entière

Voir aussi

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2. Confondre la longueur de la marche et le paramètre $b$

3. Déduire le sens de fermeture des paliers du signe de $a$