Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : la fonction polynomiale de degré 2 (SN4)

Q: Comment trouver le sommet d'une parabole en secondaire 4 ?

Trois chemins, du plus rapide au plus long. Si la règle est sous forme canonique, le sommet se lit directement, en pensant à changer le signe de ce qui est dans la parenthèse. Si elle est factorisée, l'abscisse du sommet est le milieu des deux zéros, et on calcule ensuite l'ordonnée en remplaçant. Si elle est sous forme générale, on factorise d'abord, ou on complète le carré quand la factorisation ne tombe pas juste.

Q: Quelle est la différence entre le domaine et l'image d'une parabole ?

Le domaine est l'ensemble des valeurs que peut prendre x, et pour une fonction polynomiale c'est tous les réels : aucune valeur n'est interdite. L'image est l'ensemble des valeurs que prend la fonction, et elle est toujours bornée par l'ordonnée du sommet. Le domaine se lit horizontalement, l'image verticalement. Dans un problème concret, le contexte réduit en plus le domaine aux valeurs qui ont un sens.

Q: Comment savoir si une table de valeurs vient d'une fonction du second degré ?

On calcule les différences entre valeurs consécutives, puis les différences de ces différences. Si ces secondes différences sont constantes et non nulles, la fonction est du second degré. Elles valent deux fois a multiplié par le carré du pas de la table : avec un pas de 1, elles valent simplement deux fois a. Si elles ne sont pas constantes, la fonction n'est pas quadratique.

Q: Pourquoi une équation du second degré a-t-elle souvent deux réponses dans un problème ?

Parce qu'une droite horizontale coupe une parabole en deux points dès que sa hauteur est du bon côté du sommet. Concrètement, deux dimensions différentes peuvent donner la même aire, l'une plus haute et étroite, l'autre plus basse et large. Les deux réponses sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole, et il faut vérifier que chacune appartient au domaine du contexte avant de la garder.

Q: Comment reconnaître si le sommet est un maximum ou un minimum ?

Tout dépend du signe du coefficient a. S'il est positif, la parabole s'ouvre vers le haut, elle descend puis remonte, et le sommet est le point le plus bas, donc un minimum. S'il est négatif, elle s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum. Dans un problème d'optimisation, un a négatif est donc le signe qu'une valeur maximale existe, ce qui est justement ce qu'on cherche.

Cette fiche ne refait pas le cours sur la parabole : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie de secondaire 4 et le geste précis qui l'évite.

La fonction du second degré est le chapitre le plus lourd de l'année : elle revient dans les problèmes d'optimisation, dans la section C de l'épreuve unique du Ministère, et elle prépare toutes les fonctions de secondaire 5. Une propriété mal nommée coûte autant qu'un calcul faux.

Le fil du chapitre

Les trois formes de la fonction du second degré ne disent pas la même chose : chacune donne gratuitement une information et cache les deux autres. Une copie qui calcule beaucoup est presque toujours une copie qui a choisi la mauvaise forme.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les paramètres et les propriétés des fonctions Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
3Les paramètres et les propriétés des fonctions

L'essentiel

Ce qu'une parabole doit vous donner en dix secondes

• SOMMET $(h\,;k)$ et AXE DE SYMÉTRIE $x=h$ : lisibles sur la forme canonique $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ , ou au milieu des deux zéros.
• ZÉROS : les abscisses où la courbe coupe l'axe des $x$ , lisibles sur la forme factorisée $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ .
• ORDONNÉE À L'ORIGINE : $f(0)$ , c'est-à-dire le $c$ de la forme générale.
• DOMAINE toujours $\mathbb{R}$ , IMAGE bornée par $k$ : $[k\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;k]$ si $a<0$ .

La même parabole donne tout : sommet

(2\,;9)

, axe

x=2

, zéros

-1

5

, ordonnée à l'origine

5

. Les deux zéros sont à égale distance de l'axe, et c'est ce qui permet de retrouver l'un quand on a l'autre.

Sur une copie, chaque propriété se nomme : « le maximum est $9$ , atteint en $x=2$ ». Un nombre seul, sans son nom, ne rapporte rien.

Trois formes, trois questions

• GÉNÉRALE $ax^{2}+bx+c$ : donne l'ordonnée à l'origine $c$ , et rien d'autre à la lecture.
• CANONIQUE $a(x-h)^{2}+k$ : donne le sommet $(h\,;k)$ , donc l'extremum et l'image.
• FACTORISÉE $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ : donne les zéros, donc le signe et l'axe par leur milieu.
• Le $a$ est le MÊME dans les trois écritures : il ne change jamais en passant de l'une à l'autre, et c'est un contrôle gratuit après chaque transformation.

Avant de calculer, demandez-vous quelle forme répond à la question. Une transformation qui n'est pas demandée est du temps perdu et une occasion d'erreur.

Reconnaître le second degré dans une table de valeurs

• Dans une table à pas constant $h$ , on calcule les différences PREMIÈRES, puis les différences des différences, dites SECONDES.
• Différences premières constantes : fonction du premier degré. Différences SECONDES constantes et non nulles : fonction du second degré.
• Ces différences secondes valent $2ah^{2}$ , où $h$ est le PAS de la table. Avec un pas de $1$ , elles valent donc $2a$ .
• Une table dont les différences secondes ne sont pas constantes ne vient pas d'une fonction du second degré : $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ est multiplicative, pas quadratique.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Le signe de $h$ lu à l'envers dans la forme canonique

2 points, et toutes les propriétés qui suivent, car l'axe et l'image en dépendent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2(x+3)^{2}-5$ , donc le sommet est $(3\,;-5)$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(x+3)=(x-(-3))$ , donc $h=-3$ et le sommet est $(-3\,;-5)$ . »

Pourquoi : La forme de référence s'écrit $(x-h)$ : ce qui est écrit dans la parenthèse est l'OPPOSÉ de $h$ . Le contrôle infaillible : le sommet est là où la parenthèse s'annule, et $(x+3)$ s'annule en $x=-3$ .

2. Le maximum confondu avec l'abscisse où il est atteint

1 point, systématiquement, parce que la phrase est notée telle qu'elle est écrite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le maximum de $f(x)=-(x-2)^{2}+9$ est $2$ »

Ce qu'il faut écrire

« Le maximum est $9$ , et il est atteint en $x=2$ . »

Pourquoi : L'extremum est une valeur de la FONCTION, donc une ordonnée ; l'abscisse dit seulement où il se produit. Dans un problème, la différence est concrète : l'aire maximale est en centimètres carrés, la hauteur de pli qui la donne est en centimètres.

3. L'image donnée à la place du domaine

1 à 2 points, et l'erreur revient à chaque question d'étude de fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le domaine de $f(x)=-(x-2)^{2}+9$ est $]-\infty\,;9]$ »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine est $\mathbb{R}$ , et l'image est $]-\infty\,;9]$ . »

Pourquoi : Le domaine se lit HORIZONTALEMENT, sur l'axe des abscisses : une fonction polynomiale accepte tous les réels, il n'y a ni dénominateur ni racine. L'image se lit VERTICALEMENT et c'est le sommet qui la borne.

4. Le signe de $a$ associé au mauvais extremum

la conclusion d'un problème d'optimisation, souvent 3 points en situation d'application

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a>0$ , donc la fonction a un maximum »

Ce qu'il faut écrire

« $a>0$ : la parabole s'ouvre vers le haut, le sommet est un MINIMUM. »

À gauche

a>0

: la parabole s'ouvre vers le haut et son sommet

(-2\,;-4)

est le point le plus BAS. À droite

a<0

: elle s'ouvre vers le bas et son sommet

(2\,;4)

est le point le plus HAUT.

Pourquoi : Avec $a>0$ les valeurs finissent par croître sans limite : il ne peut donc pas y avoir de maximum. Dans un problème, ce contresens fait annoncer un coût maximal là où il fallait annoncer le coût minimal.

5. L'ordonnée à l'origine lue sur la forme factorisée sans le facteur $a$

1 point, et un graphique décalé si la valeur sert à placer la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2(x-1)(x-5)$ , donc $f(0)=(-1)\times(-5)=5$ »

Ce qu'il faut écrire

« $f(0)=2\times(-1)\times(-5)=10$ . »

Pourquoi : L'ordonnée à l'origine se CALCULE, en remplaçant $x$ par $0$ dans la règle complète, jamais en lisant un morceau de l'écriture. Le facteur $a$ multiplie tout, il ne s'oublie dans aucune forme.

6. Le domaine du contexte oublié dans un problème

1 point par solution impossible gardée, et la conclusion perd toute crédibilité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire vaut $100$ pour $x=5$ et $x=10$ , et aussi pour $x=20$ si l'on prolonge »

Ce qu'il faut écrire

« Les dimensions doivent être positives : $0<x<15$ . Seules les solutions de cet intervalle sont acceptables. »

Pourquoi : La fonction mathématique existe partout, la SITUATION non : une longueur négative ou un nombre d'arbres négatif n'a pas de sens. Le domaine du contexte se pose AVANT de résoudre, et il sert ensuite à rejeter, avec une phrase.

7. Une seule solution donnée quand la parabole en fournit deux

la moitié de la question, régulièrement 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire vaut $100$ centimètres carrés pour un pli de $5$ centimètres »

Ce qu'il faut écrire

« Deux plis conviennent, $5$ et $10$ centimètres, symétriques par rapport à $7{,}5$ . »

La droite

A=100

coupe la parabole en

x=5

x=10

: deux plis donnent la même aire. Leur milieu

7{,}5

est l'abscisse du sommet, où l'aire maximale

112{,}5

n'est atteinte qu'une seule fois.

Pourquoi : Une droite horizontale coupe une parabole en DEUX points dès que sa hauteur est strictement entre l'extremum et l'infini du côté ouvert. Seule la valeur de l'extremum est atteinte une seule fois. Le contrôle : la moyenne des deux solutions doit redonner l'abscisse du sommet.

8. Les différences secondes utilisées sans tenir compte du pas

toute la modélisation, car le modèle sort faux d'un facteur $400$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les différences secondes valent $8$ , donc $a=4$ »

Ce qu'il faut écrire

« Le pas vaut $20$ , et les différences secondes valent $2ah^{2}=800a$ , donc $a=0{,}01$ . »

Pourquoi : La relation $2a$ ne vaut que pour un pas de $1$ . Dès que la table avance de $20$ en $20$ , chaque différence est multipliée par le carré du pas. Le contrôle : réinjecter une ligne de la table dans la règle trouvée.

Quelle méthode choisir

Quelle forme écrire, selon ce que l'énoncé donne

Une parabole est déterminée par TROIS renseignements. Repérez d'abord lesquels sont donnés, la forme s'impose ensuite toute seule.

Si le sommet et un autre point → forme canonique $a(x-h)^{2}+k$ , le point restant donne $a$

Exemple : sommet $(-1\,;-4)$ et $(1\,;4)$ donnent $f(x)=2(x+1)^{2}-4$

$h$ est l'opposé de ce qui est écrit dans la parenthèse
Si les deux zéros et un autre point → forme factorisée $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ , le point restant donne $a$

Exemple : zéros $-3$ et $5$ avec $(1\,;-16)$ donnent $f(x)=(x+3)(x-5)$

un zéro négatif devient un plus dans la parenthèse
Si trois points quelconques → forme générale $ax^{2}+bx+c$ et système de trois équations

Exemple : $(0\,;3)$ , $(1\,;0)$ , $(2\,;1)$ donnent $f(x)=2x^{2}-5x+3$

un point d'abscisse $0$ donne $c$ immédiatement
Si une table de valeurs à pas constant → différences secondes, $a$ par $2ah^{2}$ , puis les deux autres coefficients

Exemple : différences secondes $6$ au pas $1$ donnent $a=3$

$f(0)$ donne $c$ sans calcul, quand la table contient $x=0$
Si on demande le sommet à partir de la forme générale → factoriser, puis prendre le MILIEU des deux zéros

Exemple : $-2x^{2}+30x=x(30-2x)$ a pour zéros $0$ et $15$ , donc $h=7{,}5$

si le trinôme ne se factorise pas, la complétion du carré prend le relais
Si on demande où la fonction vaut une valeur donnée → résoudre $f(x)=k$ , et attendre DEUX solutions

Exemple : $x(30-2x)=100$ donne $x=5$ et $x=10$

leur milieu doit redonner l'abscisse du sommet

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier une fonction du second degré, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « étudiez la fonction », « donnez ses propriétés », ou énumère domaine, image, variation et signe.

1 Donner le signe de $a$ et en déduire le sens d'ouverture ainsi que la nature de l'extremum.
2 Donner le sommet et l'axe de symétrie, en nommant chaque coordonnée.
3 Donner les zéros et l'ordonnée à l'origine, en précisant s'il n'y a pas de zéro.
4 Donner le domaine, puis l'image, dans cet ordre, avec la bonne sorte de crochets.
5 Donner la variation en intervalles de $x$ , puis le signe entre et hors des zéros.

Phrase de conclusion

« Comme $a=-1<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas : le sommet $(2\,;9)$ est un maximum, l'image est $]-\infty\,;9]$ , et $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$ puis décroissante sur $[2\,;+\infty[$ . »

Le piège : Donner des nombres sans les nommer. Une liste de valeurs n'est pas une étude de fonction, et le correcteur ne devine pas laquelle est l'image.

Barème : En général 1 point par propriété correctement nommée et écrite, avec les crochets comptés.

Résoudre un problème d'optimisation

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une aire, un revenu, une récolte « maximale », ou « la valeur qui donne le meilleur résultat ».

1 Nommer la variable avec son unité, en une phrase : « soit $x$ la hauteur de pli, en centimètres ».
2 Écrire la fonction à optimiser sous forme FACTORISÉE quand le contexte la donne comme un produit.
3 Poser le domaine du contexte, en justifiant chaque borne par une dimension positive.
4 Trouver l'abscisse du sommet, par le milieu des zéros, puis calculer l'extremum.
5 Conclure en revenant au contexte, avec les deux nombres et leurs unités.

Phrase de conclusion

« Le pli de $7{,}5$ cm donne l'aire maximale, qui vaut $112{,}5$ cm². »

Le piège : Répondre par l'abscisse seule, ou par l'extremum seul. La conclusion d'un problème d'optimisation contient TOUJOURS les deux nombres.

Barème : 1 point pour la mise en équation, 1 pour le domaine, 1 pour le sommet, 1 pour la conclusion en contexte.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le milieu des zéros doit redonner l'abscisse du sommet

Additionnez les deux zéros et divisez par deux. Si vous ne retrouvez pas le $h$ trouvé par ailleurs, l'un des trois nombres est faux. Cinq secondes, et tout le chapitre est contrôlé.

Zéros $1$ et $5$ : $\dfrac{1+5}{2}=3$ . Le sommet de $f(x)=2(x-3)^{2}-8$ est bien en $x=3$ .
Poser $x=0$ dans les trois formes

Quelle que soit la forme, $f(0)$ doit donner le même nombre. C'est le contrôle le plus rapide après une transformation, et il attrape les erreurs de développement comme les $a$ oubliés.

$2(0-3)^{2}-8=10$ , $2\times 0-12\times 0+10=10$ , $2(0-1)(0-5)=10$ . Les trois concordent.
Le signe de $a$ colle-t-il à l'allure annoncée ?

Un $a$ positif avec un maximum, ou un $a$ négatif avec un minimum, est une contradiction. Relisez la phrase de conclusion avant de rendre : elle contient souvent l'erreur à elle seule.

Dans $R(x)=-10x^{2}+100x+12\ 000$ , $a<0$ : parler d'une récolte MINIMALE au sommet serait un contresens.
Les solutions trouvées sont-elles dans le domaine du contexte ?

Reprenez chaque solution et confrontez-la aux bornes posées au début. Une solution rejetée doit être écrite puis rejetée par une phrase, jamais effacée.

Pour la gouttière, $0<x<15$ : les solutions $5$ et $10$ conviennent, une solution $20$ aurait donné une base négative.
Un ordre de grandeur sur une valeur de la table

Réinjectez une ligne de l'énoncé, de préférence une que vous n'avez pas utilisée pour trouver la règle. Si elle ne retombe pas, le modèle est faux, souvent à cause du pas.

Modèle $d(v)=0{,}01v^{2}+0{,}2v$ : la ligne $v=100$ donne $100+20=120$ m, exactement la table.

L'exercice type décortiqué

Une étude complète, de la forme générale aux propriétés

Soit $f(x)=-2x^{2}+12x-10$ .

Déterminez ses zéros, son sommet, son ordonnée à l'origine, son image et sa variation.

Étape 1

Le coefficient $a$ vaut $-2$ . Comme $a<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas : le sommet sera un MAXIMUM et l'image sera de la forme $]-\infty\,;k]$ .

Pourquoi

On lit le signe de $a$ avant tout calcul : il décide de la moitié des réponses et il permet de repérer une incohérence dès qu'elle apparaît.

Étape 2

On factorise : $-2x^{2}+12x-10=-2(x^{2}-6x+5)=-2(x-1)(x-5)$ . Les zéros sont donc $1$ et $5$ .

Pourquoi

La forme factorisée est le chemin le plus court vers les zéros ET vers le sommet. Sortir le $-2$ d'abord ramène à un trinôme de coefficient $1$ , où le produit-somme est immédiat.

Étape 3

L'axe de symétrie passe au milieu des zéros : $h=\dfrac{1+5}{2}=3$ . Puis $k=f(3)=-2\times 9+36-10=8$ . Le sommet est $(3\,;8)$ .

Pourquoi

Le milieu des zéros évite la formule et évite la complétion du carré. On calcule ensuite $k$ en remplaçant, sans jamais deviner.

Étape 4

L'ordonnée à l'origine est $f(0)=-10$ , le terme constant de la forme générale. On vérifie avec la forme factorisée : $-2(0-1)(0-5)=-2\times 5=-10$ .

Pourquoi

Deux formes, un seul $f(0)$ : c'est le contrôle qui certifie que la factorisation n'a rien perdu en route, en particulier le facteur $-2$ .

Étape 5

Domaine $\mathbb{R}$ , image $]-\infty\,;8]$ . La fonction est croissante sur $]-\infty\,;3]$ et décroissante sur $[3\,;+\infty[$ . Elle est positive sur $[1\,;5]$ et négative à l'extérieur.

Pourquoi

L'image vient du sommet et du signe de $a$ , la variation de l'axe, le signe des zéros. Chaque propriété est donc lue sur un objet déjà trouvé, aucune ne se recalcule.

Étape 6

Contrôle final : $f(2)=-8+24-10=6$ et $f(4)=-32+48-10=6$ . Deux abscisses symétriques par rapport à $3$ donnent bien la même valeur.

Pourquoi

Ce test vérifie l'axe de symétrie sans refaire un seul calcul du corrigé. S'il échoue, c'est le sommet qui est faux, et rien d'autre.

Conclusion rédigée

Zéros $1$ et $5$ , sommet $(3\,;8)$ qui est un maximum, ordonnée à l'origine $-10$ , image $]-\infty\,;8]$ .

À savoir par cœur

• Trois formes : générale $ax^{2}+bx+c$ , canonique $a(x-h)^{2}+k$ , factorisée $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ . Le $a$ est le même dans les trois.
• Sommet $(h\,;k)$ : $h$ est l'OPPOSÉ de ce qui est écrit dans la parenthèse. $(x+3)$ donne $h=-3$ .
• $h$ est aussi le milieu des zéros : $h=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ .
• $a>0$ : ouverture vers le haut, sommet MINIMUM. $a<0$ : ouverture vers le bas, sommet MAXIMUM.
• Domaine toujours $\mathbb{R}$ . Image $[k\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;k]$ si $a<0$ .
• Ordonnée à l'origine : $f(0)$ , calculée dans la règle complète, facteur $a$ compris.
• Une parabole a $0$ , $1$ ou $2$ zéros, jamais nécessairement deux.
• $f(x)=k$ a DEUX solutions dès que $k$ est du bon côté du sommet, et leur milieu vaut $h$ .
• Table à pas $h$ : différences secondes constantes égales à $2ah^{2}$ .
• Dans un problème, poser le domaine du contexte AVANT de résoudre, et conclure avec les deux nombres et leurs unités.

Questions fréquentes

Comment trouver le sommet d'une parabole en secondaire 4 ?

Trois chemins, du plus rapide au plus long. Si la règle est sous forme canonique, le sommet se lit directement, en pensant à changer le signe de ce qui est dans la parenthèse. Si elle est factorisée, l'abscisse du sommet est le milieu des deux zéros, et on calcule ensuite l'ordonnée en remplaçant. Si elle est sous forme générale, on factorise d'abord, ou on complète le carré quand la factorisation ne tombe pas juste.

Quelle est la différence entre le domaine et l'image d'une parabole ?

Le domaine est l'ensemble des valeurs que peut prendre x, et pour une fonction polynomiale c'est tous les réels : aucune valeur n'est interdite. L'image est l'ensemble des valeurs que prend la fonction, et elle est toujours bornée par l'ordonnée du sommet. Le domaine se lit horizontalement, l'image verticalement. Dans un problème concret, le contexte réduit en plus le domaine aux valeurs qui ont un sens.

Comment savoir si une table de valeurs vient d'une fonction du second degré ?

On calcule les différences entre valeurs consécutives, puis les différences de ces différences. Si ces secondes différences sont constantes et non nulles, la fonction est du second degré. Elles valent deux fois a multiplié par le carré du pas de la table : avec un pas de 1, elles valent simplement deux fois a. Si elles ne sont pas constantes, la fonction n'est pas quadratique.

Pourquoi une équation du second degré a-t-elle souvent deux réponses dans un problème ?

Parce qu'une droite horizontale coupe une parabole en deux points dès que sa hauteur est du bon côté du sommet. Concrètement, deux dimensions différentes peuvent donner la même aire, l'une plus haute et étroite, l'autre plus basse et large. Les deux réponses sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole, et il faut vérifier que chacune appartient au domaine du contexte avant de la garder.

Comment reconnaître si le sommet est un maximum ou un minimum ?

Tout dépend du signe du coefficient a. S'il est positif, la parabole s'ouvre vers le haut, elle descend puis remonte, et le sommet est le point le plus bas, donc un minimum. S'il est négatif, elle s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum. Dans un problème d'optimisation, un a négatif est donc le signe qu'une valeur maximale existe, ce qui est justement ce qu'on cherche.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction polynomiale de degré 2

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5

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Fiche de révision : la fonction polynomiale de degré 2 (SN4)

L'essentiel

Ce qu'une parabole doit vous donner en dix secondes

Trois formes, trois questions

Reconnaître le second degré dans une table de valeurs

Les pièges qui coûtent des points

1. Le signe de hhh lu à l'envers dans la forme canonique

2. Le maximum confondu avec l'abscisse où il est atteint

3. L'image donnée à la place du domaine

4. Le signe de aaa associé au mauvais extremum

5. L'ordonnée à l'origine lue sur la forme factorisée sans le facteur aaa

6. Le domaine du contexte oublié dans un problème

7. Une seule solution donnée quand la parabole en fournit deux

8. Les différences secondes utilisées sans tenir compte du pas

Quelle méthode choisir

Quelle forme écrire, selon ce que l'énoncé donne

La rédaction attendue

Étudier une fonction du second degré, la copie attendue

Résoudre un problème d'optimisation

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une étude complète, de la forme générale aux propriétés

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le sommet d'une parabole en secondaire 4 ?

Quelle est la différence entre le domaine et l'image d'une parabole ?

Comment savoir si une table de valeurs vient d'une fonction du second degré ?

Pourquoi une équation du second degré a-t-elle souvent deux réponses dans un problème ?

Comment reconnaître si le sommet est un maximum ou un minimum ?

Exercices corrigés : La fonction polynomiale de degré 2

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1. Le signe de $h$ lu à l'envers dans la forme canonique

4. Le signe de $a$ associé au mauvais extremum

5. L'ordonnée à l'origine lue sur la forme factorisée sans le facteur $a$