Exercice 0.1 : Dériver à l'aide des formules : douze calculs directs

Pour chaque fonction, calculez la dérivée à l'aide des règles de dérivation, sans revenir à la définition par limite, puis évaluez-la au point indiqué. À la dernière ligne, c'est la dérivée SECONDE qui est demandée.

Une seule méthode pour les douze lignes : réécrire d'abord chaque racine et chaque fraction en puissance, $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{4}{x}=4x^{-1}$ ; repérer ensuite la DERNIÈRE opération, somme, produit, quotient ou puissance d'une expression ; appliquer la règle qui lui correspond, en multipliant par la dérivée de l'intérieur s'il y en a un. On remplace la valeur de $x$ à la toute fin.

a) $f(x)=2x^{4}-0{,}5x^{3}+3x-7$ , puis $f'(2)$ .
b) $g(x)=\frac{4}{x}+\frac{2}{x^{3}}$ , puis $g'(2)$ .
c) $h(x)=6\sqrt[3]{x}-\frac{8}{\sqrt{x}}$ , puis $h'(64)$ .
d) $f(x)=(x^{3}-2)(4x+1)$ , puis $f'(1)$ .
e) $g(x)=x^{2}\sqrt{x+3}$ , puis $g'(1)$ .
f) $h(x)=\frac{2x-1}{x+3}$ , puis $h'(1)$ .
g) $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x+1}$ , puis $f'(2)$ .
h) $g(x)=(x^{2}+x-1)^{4}$ , puis $g'(1)$ .
i) $h(x)=\sqrt{x^{2}+9}$ , puis $h'(4)$ .
j) $f(x)=\frac{3}{(x^{2}+1)^{2}}$ , puis $f'(1)$ .
k) $g(x)=x(1-2x)^{3}$ , puis $g'(1)$ .
l) $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$ , puis la dérivée seconde $h''(1)$ .

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a)

f'(2)

b)

g'(2)

c)

h'(64)

d)

f'(1)

e)

g'(1)

f)

h'(1)

g)

f'(2)

h)

g'(1)

i)

h'(4)

j)

f'(1)

k)

g'(1)

l)

h''(1)

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=8x^{3}-1{,}5x^{2}+3$ ; $f'(2)=61$
b) $g'(x)=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{6}{x^{4}}$ ; $g'(2)=-\frac{11}{8}$
c) $h'(x)=2x^{-\frac{2}{3}}+4x^{-\frac{3}{2}}$ ; $h'(64)=\frac{17}{128}\approx 0{,}133$
d) $f'(x)=3x^{2}(4x+1)+4(x^{3}-2)$ ; $f'(1)=11$
e) $g'(x)=2x\sqrt{x+3}+\frac{x^{2}}{2\sqrt{x+3}}$ ; $g'(1)=4{,}25$
f) $h'(x)=\frac{7}{(x+3)^{2}}$ ; $h'(1)=\frac{7}{16}$
g) $f'(x)=\frac{x^{2}+4x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}$ ; $f'(2)=\frac{13}{49}\approx 0{,}265$
h) $g'(x)=4(2x+1)(x^{2}+x-1)^{3}$ ; $g'(1)=12$
i) $h'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$ ; $h'(4)=\frac{4}{5}$
j) $f'(x)=-\frac{12x}{(x^{2}+1)^{3}}$ ; $f'(1)=-\frac{3}{2}$
k) $g'(x)=(1-2x)^{2}(1-8x)$ ; $g'(1)=-7$
l) $h''(x)=-\frac{6}{(x+2)^{3}}$ ; $h''(1)=-\frac{2}{9}\approx-0{,}222$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT de dériver : réécrire en puissances, puis nommer la dernière opération. $\frac{2}{x^{3}}$ est la puissance $2x^{-3}$ et non un quotient à traiter par la règle, $(x^{3}-2)(4x+1)$ est un produit, $(x^{2}+x-1)^{4}$ la puissance d'une expression, donc une règle de chaîne.

a)

Somme de puissances : $f'(x)=8x^{3}-1{,}5x^{2}+3$ , la constante $-7$ disparaissant. En $x=2$ : $f'(2)=64-6+3=61$ .

b)

$g(x)=4x^{-1}+2x^{-3}$ , donc $g'(x)=-4x^{-2}-6x^{-4}=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{6}{x^{4}}$ . En $x=2$ : $g'(2)=-1-\frac{6}{16}=-\frac{11}{8}=-1{,}375$ . Piège : l'exposant descend ET diminue de 1, donc $-3$ devient $-4$ et non $-2$ .

c)

$h(x)=6x^{\frac{1}{3}}-8x^{-\frac{1}{2}}$ , donc $h'(x)=2x^{-\frac{2}{3}}+4x^{-\frac{3}{2}}=\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{4}{x\sqrt{x}}$ . En $x=64$ , $\sqrt[3]{64^{2}}=16$ et $64\sqrt{64}=512$ : $h'(64)=\frac{2}{16}+\frac{4}{512}=\frac{17}{128}\approx 0{,}133$ . Piège : le signe, $-8\times\left(-\frac{1}{2}\right)=+4$ .

d)

Produit : $f'(x)=3x^{2}(4x+1)+4(x^{3}-2)$ . En $x=1$ : $f'(1)=3\times 5+4\times(-1)=11$ . Contrôle en développant : $f(x)=4x^{4}+x^{3}-8x-2$ , $f'(x)=16x^{3}+3x^{2}-8$ , et $f'(1)=11$ . Piège : le produit des dérivées, $3x^{2}\times 4=12$ .

e)

Produit d'un polynôme par une racine : $g'(x)=2x\sqrt{x+3}+x^{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ . En $x=1$ , $\sqrt{4}=2$ : $g'(1)=2\times 2+\frac{1}{4}=4{,}25$ .

f)

Quotient de deux affines : $h'(x)=\frac{2(x+3)-1\cdot(2x-1)}{(x+3)^{2}}=\frac{7}{(x+3)^{2}}$ . En $x=1$ : $h'(1)=\frac{7}{16}=0{,}4375$ . Piège : inverser l'ordre au numérateur, ce qui donne $-\frac{7}{16}$ .

g)

Quotient, avec $u=x^{2}-1$ , $u'=2x$ , $v=x^{2}+x+1$ , $v'=2x+1$ : $f'(x)=\frac{2x(x^{2}+x+1)-(x^{2}-1)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+4x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}$ . En $x=2$ : $u=3$ , $u'=4$ , $v=7$ , $v'=5$ , donc $f'(2)=\frac{4\times 7-3\times 5}{49}=\frac{13}{49}\approx 0{,}265$ .

h)

Chaîne : $g'(x)=4(x^{2}+x-1)^{3}\cdot(2x+1)$ . En $x=1$ , l'intérieur vaut $1$ : $g'(1)=4\times 1\times 3=12$ . Piège : oublier le facteur $(2x+1)$ , ce qui donne $4$ .

i)

$h(x)=(x^{2}+9)^{\frac{1}{2}}$ , donc $h'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+9)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$ . En $x=4$ : $h'(4)=\frac{4}{5}=0{,}8$ . Piège : $\sqrt{x^{2}+9}$ n'est pas $x+3$ .

j)

$f(x)=3(x^{2}+1)^{-2}$ , donc $f'(x)=-6(x^{2}+1)^{-3}\cdot 2x=-\frac{12x}{(x^{2}+1)^{3}}$ . En $x=1$ : $f'(1)=-\frac{12}{8}=-1{,}5$ . La réécriture évite la règle du quotient, dont le numérateur constant donnerait la même chose avec plus d'écriture.

k)

Produit, puis chaîne dans le second facteur : $g'(x)=1\cdot(1-2x)^{3}+x\cdot 3(1-2x)^{2}\cdot(-2)=(1-2x)^{2}(1-8x)$ . En $x=1$ : $g'(1)=-1-6=-7$ . Piège : le facteur $-2$ , dérivée de $1-2x$ ; sans lui on trouve $-1+3=2$ .

l)

D'abord $h'(x)=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^{2}}=\frac{3}{(x+2)^{2}}=3(x+2)^{-2}$ . Puis, en dérivant cette PUISSANCE : $h''(x)=-6(x+2)^{-3}=-\frac{6}{(x+2)^{3}}$ . En $x=1$ : $h''(1)=-\frac{6}{27}=-\frac{2}{9}\approx-0{,}222$ . Piège : remplacer $x$ par $1$ dans $h'$ avant de dériver une seconde fois, ce qui donne la dérivée d'une constante, $0$ .

Contrôle : pour chaque ligne, le taux $\frac{f(a+0{,}001)-f(a-0{,}001)}{0{,}002}$ calculé à la machine tombe à moins d'un millième de la valeur trouvée. Pour un produit, développer d'abord donne une seconde route, comme en d).

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Exercice 0.2 : Écrire l'équation de la tangente : dix calculs directs

Pour chacune des sept premières fonctions, écrivez l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ indiquée, sous la forme $y=mx+b$ , et donnez la pente $m$ et l'ordonnée à l'origine $b$ . Les trois dernières lignes renversent la question : on donne la pente, on cherche l'abscisse.

Une seule méthode : calculer $f(a)$ , qui donne le point, puis $f'(a)$ , qui donne la pente ; écrire $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; développer pour lire $b$ . Quand c'est la pente qui est imposée, on résout l'équation $f'(x)=m$ .

a) $f(x)=x^{2}-5x+2$ , en $a=4$ .
b) $f(x)=x^{3}-2x^{2}+3$ , en $a=2$ .
c) $f(x)=\frac{8}{x^{2}}$ , en $a=2$ .
d) $f(x)=\sqrt{3x+4}$ , en $a=4$ .
e) $f(x)=\frac{x+4}{x-2}$ , en $a=3$ .
f) $f(x)=(x^{2}-3)^{2}$ , en $a=2$ .
g) $f(x)=\sqrt[3]{x}$ , en $a=8$ .
h) $f(x)=2x^{2}-3x+1$ : l'abscisse du point où la tangente a une pente de $5$ .
i) $f(x)=-x^{2}+4x$ : l'abscisse du point où la tangente est parallèle à la droite $y=-2x+7$ , puis l'ordonnée à l'origine de cette tangente.
j) $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2$ : les deux abscisses où la tangente est horizontale.

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a)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

b)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

c)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

d)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

e)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

f)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

g)

Pente

m

Ordonnée à l'origine

b

h)

Abscisse

i)

Abscisse

Ordonnée à l'origine de la tangente

j)

Plus petite abscisse

Plus grande abscisse

Voir la correction

Réponses

a) $y=3x-14$ ; $m=3$ , $b=-14$
b) $y=4x-5$ ; $m=4$ , $b=-5$
c) $y=-2x+6$ ; $m=-2$ , $b=6$
d) $y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{2}$ ; $m=0{,}375$ , $b=2{,}5$
e) $y=-6x+25$ ; $m=-6$ , $b=25$
f) $y=8x-15$ ; $m=8$ , $b=-15$
g) $y=\frac{1}{12}x+\frac{4}{3}$ ; $m\approx 0{,}083$ , $b\approx 1{,}333$
h) $f'(x)=4x-3=5$ ; $x=2$
i) $f'(x)=-2$ en $x=3$ ; tangente $y=-2x+9$ , $b=9$
j) $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ ; $x=1$ et $x=3$

Le geste qui décide de tout : la pente se lit dans $f'(a)$ , mais le POINT se lit dans $f(a)$ . L'erreur la plus fréquente est d'écrire $y=f'(a)(x-a)+f'(a)$ , ou de remplacer $x$ par $a$ dans $f'$ avant de l'avoir dérivée.

a)

$f(4)=16-20+2=-2$ et $f'(x)=2x-5$ , donc $f'(4)=3$ . La tangente est $y=3(x-4)-2=3x-14$ : pente $3$ , ordonnée à l'origine $-14$ .

b)

$f(2)=8-8+3=3$ et $f'(x)=3x^{2}-4x$ , donc $f'(2)=12-8=4$ . La tangente est $y=4(x-2)+3=4x-5$ : pente $4$ , ordonnée à l'origine $-5$ .

c)

$f(x)=8x^{-2}$ , donc $f'(x)=-16x^{-3}=-\frac{16}{x^{3}}$ . $f(2)=2$ et $f'(2)=-2$ . La tangente est $y=-2(x-2)+2=-2x+6$ : pente $-2$ , ordonnée à l'origine $6$ . Piège : $-2(x-2)=-2x+4$ , le signe du produit.

d)

$f(4)=\sqrt{16}=4$ et $f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$ , donc $f'(4)=\frac{3}{8}=0{,}375$ . La tangente est $y=\frac{3}{8}(x-4)+4=\frac{3}{8}x+\frac{5}{2}$ : pente $0{,}375$ , ordonnée à l'origine $2{,}5$ . Piège : oublier le facteur $3$ , dérivée de $3x+4$ , ce qui donne une pente de $\frac{1}{8}$ .

e)

$f(3)=\frac{7}{1}=7$ et $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+4)}{(x-2)^{2}}=\frac{-6}{(x-2)^{2}}$ , donc $f'(3)=-6$ . La tangente est $y=-6(x-3)+7=-6x+25$ : pente $-6$ , ordonnée à l'origine $25$ .

f)

$f(2)=(4-3)^{2}=1$ et $f'(x)=2(x^{2}-3)\cdot 2x=4x(x^{2}-3)$ , donc $f'(2)=8$ . La tangente est $y=8(x-2)+1=8x-15$ : pente $8$ , ordonnée à l'origine $-15$ .

g)

$f(8)=2$ et $f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$ , donc $f'(8)=\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{12}$ . La tangente est $y=\frac{1}{12}(x-8)+2=\frac{1}{12}x+\frac{4}{3}$ : pente $\frac{1}{12}\approx 0{,}083$ , ordonnée à l'origine $\frac{4}{3}\approx 1{,}333$ . Cette droite est celle qui servira, au chapitre de la différentielle, à estimer une racine cubique proche de $2$ .

h)

$f'(x)=4x-3$ . On résout $4x-3=5$ : $x=2$ . Le point est $(2\,;3)$ . Piège : résoudre $f(x)=5$ , ce qui cherche une HAUTEUR et non une pente.

i)

Deux droites parallèles ont la même pente, ici $-2$ . $f'(x)=-2x+4=-2$ donne $x=3$ , et $f(3)=-9+12=3$ . La tangente est $y=-2(x-3)+3=-2x+9$ : ordonnée à l'origine $9$ , et non $7$ , qui est celle de la droite donnée.

j)

Horizontale veut dire pente nulle : $f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)=0$ , donc $x=1$ ou $x=3$ . Les points sont $(1\,;6)$ et $(3\,;2)$ .

Contrôle : la tangente passe par le point, donc $ma+b=f(a)$ ; et elle colle à la courbe, donc la différence $f(a+0{,}01)-\left(m(a+0{,}01)+b\right)$ ne dépasse pas quelques dix-millièmes, alors qu'elle ne l'est pas avec une pente fausse.

Exercice 1 : Du taux moyen au taux instantané

Un taux de variation MOYEN se calcule entre deux dates ; un taux INSTANTANÉ se calcule à une date. Le second n'existe que comme limite du premier, et c'est toute la définition de la dérivée.

Les dépenses d'un programme valent $D(t)=0{,}4t^{2}+6t+120$ millions de dollars, $t$ années après 2015.

a) Calculez le taux de variation moyen des dépenses entre $t=2$ et $t=6$ .
b) Écrivez le taux de variation moyen entre $t=4$ et $t=4+h$ , puis simplifiez-le.
c) Déduisez-en $D'(4)$ par passage à la limite.
d) Comparez vos réponses en a) et en c). Expliquez la coïncidence.
e) Donnez les unités de $D$ et de $D'$ , puis interprétez $D'(4)$ en une phrase de rapport.

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Réponses

a) $\dfrac{170{,}4-133{,}6}{4}=9{,}2$ millions de dollars par année.
b) $\dfrac{D(4+h)-D(4)}{h}=9{,}2+0{,}4h$ pour $h\ne 0$ .
c) $D'(4)=9{,}2$ millions de dollars par année.
d) Les deux valent $9{,}2$ : 4 est le milieu de $[2\,;6]$ , propriété réservée au second degré.
e) Millions de dollars pour $D$ , millions de dollars par année pour $D'$ : en 2019, les dépenses augmentaient de 9,2 millions par année.

a)

$D(2)=0{,}4\times 4+12+120=1{,}6+12+120=133{,}6$ et $D(6)=0{,}4\times 36+36+120=14{,}4+36+120=170{,}4$ . Le taux moyen vaut $\dfrac{170{,}4-133{,}6}{6-2}=\dfrac{36{,}8}{4}=9{,}2$ millions de dollars par année. Géométriquement, c'est la pente de la SÉCANTE qui joint les deux points de la courbe.

b)

$D(4)=0{,}4\times 16+24+120=6{,}4+24+120=150{,}4$ . Puis $D(4+h)=0{,}4(16+8h+h^{2})+6(4+h)+120=6{,}4+3{,}2h+0{,}4h^{2}+24+6h+120=150{,}4+9{,}2h+0{,}4h^{2}$ . Le taux moyen vaut donc $\dfrac{D(4+h)-D(4)}{h}=\dfrac{9{,}2h+0{,}4h^{2}}{h}=9{,}2+0{,}4h$ pour $h\ne 0$ . C'est la figure : une droite en $h$ , avec un trou en $h=0$ , puisqu'un taux moyen sur un intervalle de longueur nulle n'a aucun sens.

c)

$D'(4)=\lim_{h\to 0}(9{,}2+0{,}4h)=9{,}2$ millions de dollars par année. On vient de combler le trou : la limite existe même si l'expression n'est pas définie en $h=0$ , et c'est exactement la discontinuité par point du chapitre précédent, réparée. Toute dérivée est cette réparation.

d)

Les deux valent 9,2, et ce n'est pas un hasard : 4 est le MILIEU de l'intervalle $[2\,;6]$ . Pour une fonction du second degré, le taux moyen sur un intervalle est toujours égal au taux instantané au milieu de cet intervalle. Vérification directe : $D'(t)=0{,}8t+6$ , donc $D'(4)=3{,}2+6=9{,}2$ , alors que $D'(2)=7{,}6$ et $D'(6)=10{,}8$ , dont la moyenne vaut bien 9,2. La propriété ne tient plus dès que le degré dépasse 2, et l'invoquer sur une fonction quelconque est une erreur.

e)

$D$ se mesure en millions de dollars, $t$ en années, donc $D'$ se mesure en MILLIONS DE DOLLARS PAR ANNÉE : l'unité d'une dérivée est toujours l'unité de la sortie divisée par l'unité de l'entrée. Phrase de rapport : en 2019, les dépenses du programme augmentaient au rythme de 9,2 millions de dollars par année. Le temps du verbe compte, c'est un rythme à cet instant, pas un montant sur l'année.

Exercice 2 : Les règles de base : puissance, produit, quotient

Une fois la définition comprise, on ne l'utilise plus : les règles font le travail. Trois d'entre elles couvrent l'essentiel du cours, et deux pièges d'écriture font perdre plus de points que les règles elles-mêmes.

Le premier piège est d'inverser l'ordre des termes du numérateur dans la règle du quotient ; le second est de croire que la dérivée d'un produit est le produit des dérivées.

a) Dérivez $f(x)=5x^{4}-\dfrac{3}{x^{2}}+7\sqrt{x}-9$ .
b) Dérivez $g(x)=(2x+5)(x^{2}-3x)$ par la règle du produit, puis vérifiez en développant d'abord.
c) Dérivez $h(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}+4}$ par la règle du quotient.
d) Calculez $h'(0)$ .
e) Montrez sur l'exemple $u(x)=v(x)=x$ que la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

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Réponses

a) $f'(x)=20x^{3}+\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{7}{2\sqrt{x}}$ .
b) $g'(x)=6x^{2}-2x-15$ , confirmé par le développement $g(x)=2x^{3}-x^{2}-15x$ .
c) $h'(x)=\dfrac{-3x^{2}-2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}$ .
d) $h'(0)=\dfrac{12}{16}=0{,}75$ .
e) $(x\cdot x)'=2x$ , alors que le produit des dérivées vaut $1$ : les deux diffèrent partout sauf en $x=0{,}5$ .

a)

On réécrit d'abord chaque terme en puissance : $f(x)=5x^{4}-3x^{-2}+7x^{1/2}-9$ . La règle $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ s'applique alors à tous, y compris aux exposants négatifs et fractionnaires. $f'(x)=20x^{3}+6x^{-3}+\dfrac{7}{2}x^{-1/2}$ , soit $f'(x)=20x^{3}+\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{7}{2\sqrt{x}}$ . Deux signes à surveiller : $-3x^{-2}$ donne $-3\times(-2)x^{-3}=+6x^{-3}$ , le moins devient plus, et la constante $-9$ disparaît.

b)

Règle du produit, $(uv)'=u'v+uv'$ , avec $u=2x+5$ et $v=x^{2}-3x$ : $g'(x)=2(x^{2}-3x)+(2x+5)(2x-3)=2x^{2}-6x+4x^{2}-6x+10x-15=6x^{2}-2x-15$ . Vérification en développant d'abord : $g(x)=2x^{3}-6x^{2}+5x^{2}-15x=2x^{3}-x^{2}-15x$ , donc $g'(x)=6x^{2}-2x-15$ . Les deux chemins concordent, et c'est le contrôle le moins cher sur un produit de polynômes.

c)

Règle du quotient, $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , avec $u=3x+1$ et $v=x^{2}+4$ : $h'(x)=\dfrac{3(x^{2}+4)-(3x+1)(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}=\dfrac{3x^{2}+12-6x^{2}-2x}{(x^{2}+4)^{2}}=\dfrac{-3x^{2}-2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}$ . L'ORDRE du numérateur n'est pas négociable : $u'v-uv'$ et non l'inverse, sans quoi tout le signe de la dérivée est faux, donc tout le tableau de variation qui en découlera.

d)

$h'(0)=\dfrac{-0-0+12}{(0+4)^{2}}=\dfrac{12}{16}=0{,}75$ . Contrôle grossier : $h(0)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $h(0{,}1)=\dfrac{1{,}3}{4{,}01}\approx 0{,}324$ , donc le taux moyen vaut environ $0{,}74$ sur ce petit intervalle. C'est bien l'ordre de grandeur attendu, et ce genre de vérification numérique attrape la plupart des erreurs de signe.

e)

Avec $u(x)=v(x)=x$ , le produit vaut $x^{2}$ , dont la dérivée est $2x$ . Le produit des dérivées vaudrait $1\times 1=1$ . Les deux ne coïncident que pour $x=0{,}5$ , donc la règle « produit des dérivées » est fausse en général. La bonne règle, $u'v+uv'$ , redonne ici $1\times x+x\times 1=2x$ . Le même contre-exemple règle la question du quotient : $\dfrac{x}{x}=1$ a pour dérivée 0, alors que le quotient des dérivées vaudrait 1.

Exercice 3 : La règle de chaîne : dériver un modèle emboîté

En sciences humaines, les modèles s'emboîtent : le taux d'utilisation d'un service détermine le temps d'attente, qui détermine la satisfaction. La règle de chaîne dit comment les vitesses se multiplient le long de cette chaîne.

En notation de Leibniz, elle s'écrit $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\times\dfrac{du}{dx}$ , et les unités se simplifient comme dans une fraction.

a) Dérivez $u(x)=(3x^{2}-5)^{4}$ .
b) Dérivez $v(x)=\sqrt{7x+2}$ .
c) Dérivez $w(x)=\dfrac{1}{(2x+9)^{3}}$ .
d) La satisfaction des usagers vaut $S=100-8W$ points, où $W=\dfrac{\rho}{1-\rho}$ est le temps d'attente du chapitre précédent. Calculez $\dfrac{dS}{d\rho}$ en $\rho=0{,}8$ .
e) Énoncez la règle de chaîne en mots, en vous appuyant sur les unités de la question d).

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Réponses

a) $u'(x)=24x(3x^{2}-5)^{3}$ .
b) $v'(x)=\dfrac{7}{2\sqrt{7x+2}}$ .
c) $w'(x)=\dfrac{-6}{(2x+9)^{4}}$ .
d) $\dfrac{dS}{d\rho}=-8\times 25=-200$ points par unité de $\rho$ , soit 2 points par point de pourcentage.
e) On multiplie les dérivées de chaque étage ; les unités intermédiaires se simplifient comme dans une fraction.

a)

La couche extérieure est la puissance quatrième, la couche intérieure est $3x^{2}-5$ . On dérive l'extérieure en gardant l'intérieure intacte, puis on MULTIPLIE par la dérivée de l'intérieure : $u'(x)=4(3x^{2}-5)^{3}\times 6x=24x(3x^{2}-5)^{3}$ . Oublier le facteur $6x$ est l'erreur la plus fréquente du cours ; on la repère au degré : la fonction est de degré 8, sa dérivée doit être de degré 7, et sans ce facteur on n'atteint que le degré 6.

b)

On écrit $v(x)=(7x+2)^{1/2}$ , donc $v'(x)=\dfrac{1}{2}(7x+2)^{-1/2}\times 7=\dfrac{7}{2\sqrt{7x+2}}$ . Le domaine se resserre en passant à la dérivée : $v$ existe pour $7x+2\ge 0$ , alors que $v'$ exige $7x+2>0$ strictement, la racine passant au dénominateur. En $x=-\dfrac{2}{7}$ , la fonction existe et la dérivée n'existe pas.

c)

On écrit $w(x)=(2x+9)^{-3}$ , donc $w'(x)=-3(2x+9)^{-4}\times 2=\dfrac{-6}{(2x+9)^{4}}$ . La dérivée est négative partout où elle existe, ce qui est cohérent : $w$ est une puissance négative d'une fonction croissante, donc elle décroît.

d)

$\dfrac{dS}{dW}=-8$ points par durée de service. $\dfrac{dW}{d\rho}=\dfrac{(1)(1-\rho)-\rho(-1)}{(1-\rho)^{2}}=\dfrac{1}{(1-\rho)^{2}}$ , donc en $\rho=0{,}8$ : $\dfrac{1}{0{,}04}=25$ durées de service par unité de $\rho$ . Le produit vaut $-8\times 25=-200$ points par unité de $\rho$ , c'est-à-dire 2 points de satisfaction perdus par point de pourcentage d'utilisation supplémentaire. À $\rho=0{,}5$ , le même calcul donnerait $-8\times 4=-32$ , six fois moins : c'est encore l'asymptote qui parle.

e)

La dérivée de la composée est le PRODUIT des dérivées prises à leur propre étage. En unités : $\dfrac{dS}{d\rho}$ s'exprime en points par unité de $\rho$ , et le calcul a multiplié des points par durée de service par des durées de service par unité de $\rho$ ; la durée de service se simplifie comme dans une fraction ordinaire. Cette simplification n'est pas une image commode, c'est le contrôle le plus sûr d'une chaîne de modèles : si les unités ne se simplifient pas, un maillon est à l'envers.

Exercice 4 : La tangente, sa pente et ses unités

La dérivée en un point est la pente de la tangente. Cette phrase est géométrique ; en sciences humaines, c'est la LECTURE de cette pente, avec ses unités, qui vaut les points.

Les inscriptions cumulées à un programme d'aide valent $N(t)=\dfrac{1\,500t}{t+8}$ personnes, $t$ mois après l'ouverture. La figure ci-dessous représente la situation.

a) Calculez $N'(t)$ par la règle du quotient et simplifiez.
b) Calculez $N(4)$ et $N'(4)$ .
c) Écrivez l'équation de la tangente à la courbe en $t=4$ .
d) Comparez $N'(4)$ et $N'(20)$ , puis dites ce que la décroissance de $N'$ signifie pour le programme.
e) Donnez les unités de $N$ , de $N'$ et de $N''$ .

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Réponses

a) $N'(t)=\dfrac{12\,000}{(t+8)^{2}}$ .
b) $N(4)=500$ personnes et $N'(4)=\dfrac{250}{3}\approx 83{,}33$ personne par mois.
c) $y=500+\dfrac{250}{3}(t-4)$ .
d) $N'(20)\approx 15{,}31$ : le rythme est divisé par plus de cinq, le modèle plafonne à 1 500 inscrits.
e) Personnes, personnes par mois, personnes par mois au carré.

a)

Avec $u=1\,500t$ et $v=t+8$ : $N'(t)=\dfrac{1\,500(t+8)-1\,500t\times 1}{(t+8)^{2}}=\dfrac{1\,500t+12\,000-1\,500t}{(t+8)^{2}}=\dfrac{12\,000}{(t+8)^{2}}$ . Le $t$ disparaît du numérateur, ce qui est le signe que la simplification a été menée jusqu'au bout. La dérivée est strictement positive : les inscriptions cumulées ne peuvent que croître, ce qu'un total cumulé fait toujours.

b)

$N(4)=\dfrac{6\,000}{12}=500$ personnes inscrites au bout de quatre mois. $N'(4)=\dfrac{12\,000}{144}=\dfrac{250}{3}\approx 83{,}33$ personnes par mois.

c)

L'équation de la tangente est $y=N(4)+N'(4)(t-4)$ , donc $y=500+\dfrac{250}{3}(t-4)$ , soit $y\approx 500+83{,}33(t-4)$ . La forme $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ est à préférer à $y=mx+b$ : elle se lit directement, le point d'abord, la pente ensuite, et elle évite de calculer une ordonnée à l'origine dont personne n'a besoin.

d)

$N'(20)=\dfrac{12\,000}{784}\approx 15{,}31$ personne par mois, contre 83,33 au quatrième mois : le rythme d'inscription est divisé par plus de cinq. Le programme continue de recruter, mais de plus en plus lentement ; c'est la signature d'un modèle qui plafonne, et l'on retrouve d'ailleurs $\lim_{t\to+\infty}N(t)=1\,500$ , le plafond du programme. Les inscriptions ne cesseront pas, elles deviendront négligeables, et la décision de gestion porte sur le moment où l'effort de recrutement cesse d'être rentable.

e)

$N$ se compte en personnes. $N'$ se compte en PERSONNES PAR MOIS, l'unité de la sortie divisée par celle de l'entrée. $N''$ se compte en personnes par mois au carré, c'est-à-dire en variation mensuelle du rythme mensuel. Cette dernière unité paraît étrange et elle est pourtant celle qu'emploie tout rapport qui écrit « la hausse ralentit » : ralentir est une affirmation sur $N''$ , pas sur $N'$ ni sur $N$ .

Exercice 5 : La dérivée seconde : accélérer ou ralentir

Trois phrases, trois fonctions : « le total monte » parle de la fonction, « le rythme est élevé » parle de la dérivée, « la hausse ralentit » parle de la dérivée seconde. Un rapport qui les mélange dit n'importe quoi.

Le nombre cumulé de demandes déposées à un service d'aide vaut $C(t)=-0{,}5t^{3}+9t^{2}+40t+300$ , $t$ semaines après l'ouverture, pour $0\le t\le 14$ .

a) Calculez $C'(t)$ et $C''(t)$ .
b) Pour quelle semaine le RYTHME de dépôt est-il maximal ? Quelle est sa valeur ?
c) Donnez le signe de $C''$ avant et après cette semaine, et traduisez-le en français.
d) À quelle semaine le total cumulé cesse-t-il d'augmenter ?
e) Un journal titre « les demandes reculent » à la semaine 8. A-t-il raison ? Que fallait-il écrire ?

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a)

Coefficient de

t^{2}

dans

C'

Coefficient de

t

dans

C''

Terme constant de

C''

b)

Semaine du rythme maximal

Rythme maximal dem./sem.

c)

Signe de

C''

avant la semaine 6

Après la semaine 6, le rythme

d)

Semaine où le cumul cesse de croître

e)

C'(8)

dem./sem.

Le journal

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Réponses

a) $C'(t)=-1{,}5t^{2}+18t+40$ et $C''(t)=-3t+18$ .
b) Semaine 6, avec $C'(6)=94$ demandes par semaine.
c) $C''>0$ avant la semaine 6, le rythme accélère ; $C''<0$ après, il ralentit sans devenir négatif.
d) $t=\dfrac{18+\sqrt{564}}{3}\approx 13{,}92$ semaine.
e) Il a tort : $C'(8)=88>0$ . Il fallait écrire que la hausse RALENTIT.

a)

$C'(t)=-1{,}5t^{2}+18t+40$ , en demandes par semaine. $C''(t)=-3t+18$ , en demandes par semaine au carré. La dérivée première est le RYTHME hebdomadaire de dépôt, la seconde est la variation de ce rythme.

b)

Le rythme $C'$ est une parabole ouverte vers le bas, donc son maximum est à son sommet, là où $C''$ s'annule : $-3t+18=0$ donne $t=6$ . Le rythme maximal vaut $C'(6)=-1{,}5\times 36+108+40=-54+108+40=94$ demandes par semaine. Il faut bien noter que l'on cherche ici le maximum de $C'$ , donc on annule $C''$ et non $C'$ : c'est la confusion la plus coûteuse du chapitre.

c)

Pour $t<6$ , $C''(t)>0$ : le rythme AUGMENTE, le service reçoit chaque semaine plus de demandes que la précédente. Pour $t>6$ , $C''(t)<0$ : le rythme DIMINUE, le service reçoit encore des demandes nouvelles chaque semaine, mais de moins en moins. La semaine 6 est le point de bascule, et c'est celle où il faut le plus de personnel au guichet.

d)

Le total cesse d'augmenter quand $C'(t)=0$ : $-1{,}5t^{2}+18t+40=0$ , soit $1{,}5t^{2}-18t-40=0$ . Le discriminant vaut $324+240=564$ , donc $t=\dfrac{18+\sqrt{564}}{3}\approx\dfrac{18+23{,}75}{3}\approx 13{,}92$ semaine, la racine négative étant rejetée. À partir de la quatorzième semaine environ, le modèle annonce un total cumulé qui décroît, ce qui est impossible pour un CUMUL : c'est le domaine de validité du modèle qui s'arrête là, comme l'énoncé le suggérait en bornant $t$ à 14.

e)

Il a tort. À la semaine 8, $C'(8)=-96+144+40=88$ demandes par semaine, un nombre positif et élevé : le service reçoit encore 88 demandes nouvelles chaque semaine. Ce qui recule, c'est le RYTHME, puisque $C''(8)=-6<0$ et que 88 est inférieur au maximum de 94. Il fallait écrire « la hausse des demandes ralentit », ou « le service reçoit moins de nouvelles demandes que la semaine précédente ». Confondre $C'<0$ et $C''<0$ est l'erreur d'interprétation la plus répandue dans la presse, et c'est exactement ce que le calcul différentiel sert à trancher.

Exercice 6 : Les trois façons de perdre sa dérivée

Une fonction peut être parfaitement définie, parfaitement continue, et n'avoir aucune dérivée en un point. Trois situations produisent ce défaut, et deux d'entre elles sont fabriquées par des décisions administratives.

On étudie la contribution d'un usager $T(x)=0{,}2x$ pour $0\le x\le 40$ et $T(x)=8+0{,}5(x-40)$ pour $x>40$ , où $x$ est le nombre d'heures de service consommées.

a) Montrez que $T$ est continue en $x=40$ .
b) Calculez les deux dérivées unilatérales en $x=40$ et concluez.
c) Le forfait de données du chapitre 1 saute de 255 à 250 dollars en $x=50$ . Est-il dérivable en 50 ? Énoncez la règle générale qui permet de répondre sans calcul.
d) Soit $g(x)=\sqrt[3]{x-5}$ . Calculez $\dfrac{g(x)-g(5)}{x-5}$ pour $x=5{,}001$ puis $x=5{,}000\,001$ , et concluez.
e) Pourquoi un barème à taux marginal produit-il toujours une pointe aux frontières de tranche ?

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a)

Valeur commune en

x=40

dollars

b)

Dérivée à gauche

Dérivée à droite

La courbe présente

c)

Dérivable en 50

La règle est

d)

Quotient en

x=5{,}001

Quotient en

x=5{,}000001

La courbe présente

e)

Un barème progressif est

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Réponses

a) Les deux branches et la valeur donnent 8 dollars : $T$ est continue en 40.
b) $0{,}2$ à gauche et $0{,}5$ à droite : non dérivable, la courbe a une pointe.
c) Non : dérivable entraîne continue, et le forfait est discontinu en 50.
d) $100$ puis $10\,000$ : le quotient tend vers $+\infty$ , tangente verticale en $x=5$ .
e) Le taux marginal EST la pente : la continuité se raccorde, la pente non.

a)

À gauche de 40, $T(x)=0{,}2x$ tend vers $0{,}2\times 40=8$ . À droite, $T(x)=8+0{,}5(x-40)$ tend vers $8+0=8$ . La valeur au point vaut $T(40)=8$ . Les trois coïncident, donc $T$ est continue en 40 : le barème ne fait payer personne brutalement plus cher pour une heure de plus.

b)

La dérivée à GAUCHE est la pente de la première branche, $0{,}2$ dollar par heure. La dérivée à DROITE est celle de la seconde, $0{,}5$ dollar par heure. Elles diffèrent, donc $T$ n'est PAS dérivable en $x=40$ : la courbe y présente une POINTE. Le tarif marginal y est ambigu, et c'est pour cela que tout document officiel écrit « jusqu'à 40 heures » et « au-delà de 40 heures », jamais « à 40 heures ».

c)

Non, il n'est pas dérivable en 50, et l'on n'a pas besoin de calculer : DÉRIVABLE ENTRAÎNE CONTINUE. Par contraposée, une fonction discontinue en un point n'y est pas dérivable. Le forfait est discontinu en 50, donc la question est réglée. Attention au sens de l'implication : la réciproque est fausse, et la question b) vient d'en donner le contre-exemple, $T$ continue et non dérivable en 40.

d)

$g(5)=0$ , donc le quotient vaut $\dfrac{(x-5)^{1/3}}{x-5}=(x-5)^{-2/3}$ . Pour $x=5{,}001$ : $(10^{-3})^{-2/3}=10^{2}=100$ . Pour $x=5{,}000\,001$ : $(10^{-6})^{-2/3}=10^{4}=10\,000$ . Le quotient ne tend vers aucun nombre, il tend vers $+\infty$ : la courbe a une TANGENTE VERTICALE en $x=5$ . La fonction y est continue, elle y vaut 0, et sa dérivée n'existe pas. Troisième façon de perdre sa dérivée, après la pointe et le saut.

e)

Parce qu'un taux marginal est exactement une PENTE, et qu'un barème par tranches change de taux d'une tranche à l'autre. La continuité est imposée, on l'a vue au chapitre 2, en choisissant le paramètre qui raccorde les deux formules ; mais rien ne peut raccorder les PENTES, puisque changer de taux est précisément l'objet de la tranche. Un barème progressif est donc, par construction, continu partout et non dérivable aux frontières de tranche. Ce n'est pas un défaut de conception : c'est la trace mathématique d'une décision politique, celle de taxer différemment au-dessus d'un seuil.

Exercice 7 : Le taux de variation relatif, en pourcentage par année

En démographie et en économie, on ne publie presque jamais la dérivée seule : on publie le taux de variation RELATIF, c'est-à-dire la dérivée divisée par la valeur, exprimée en pourcentage. Les deux nombres racontent des histoires différentes du même phénomène.

Deux municipalités : $P_{A}(t)=50\,000+1\,200t$ et $P_{B}(t)=12\,000+500t$ habitants, $t$ années après 2020.

a) Calculez $P_{A}'(t)$ et $P_{B}'(t)$ . Laquelle croît le plus vite en valeur absolue ?
b) Le taux relatif est $r(t)=\dfrac{P'(t)}{P(t)}\times 100$ . Calculez $r_{A}(0)$ , $r_{A}(10)$ et $r_{A}(25)$ .
c) Expliquez pourquoi une croissance absolue constante donne toujours un taux relatif décroissant.
d) Calculez $r_{B}(0)$ , puis montrez que $r_{B}(t)>r_{A}(t)$ pour tout $t\ge 0$ .
e) Un quotidien doit choisir un seul des deux chiffres pour son titre. Lequel, et à quelle condition ?

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a)

P_{A}'

hab./an

P_{B}'

hab./an

En valeur absolue, la plus rapide est

b)

r_{A}(0)

%

r_{A}(10)

%

r_{A}(25)

%

c)

Le taux relatif décroît parce que

Sa limite en plus l'infini

d)

r_{B}(0)

%

Après multiplication en croix, il reste

e)

Pour dimensionner des écoles, il faut

Pour comparer deux villes de tailles différentes

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Réponses

a) $P_{A}'=1\,200$ et $P_{B}'=500$ habitants par année : A croît plus vite en valeur absolue.
b) $2{,}4$ %, environ $1{,}94$ % et $1{,}5$ %.
c) Numérateur constant, dénominateur croissant : le quotient décroît vers 0.
d) $r_{B}(0)\approx 4{,}17$ % ; la multiplication en croix laisse $25\,000\,000>14\,400\,000$ , vrai pour tout $t$ .
e) L'absolu pour dimensionner des services, le relatif pour comparer des villes de tailles différentes.

a)

$P_{A}'(t)=1\,200$ et $P_{B}'(t)=500$ habitants par année, toutes deux constantes. En valeur ABSOLUE, A croît plus de deux fois plus vite : elle gagne 1 200 habitants par an contre 500.

b)

$r_{A}(0)=\dfrac{1\,200}{50\,000}\times 100=2{,}4$ %. $r_{A}(10)=\dfrac{1\,200}{62\,000}\times 100\approx 1{,}94$ %. $r_{A}(25)=\dfrac{1\,200}{80\,000}\times 100=1{,}5$ %. Le taux relatif baisse d'année en année, alors que la municipalité gagne toujours exactement 1 200 habitants.

c)

Parce que le numérateur du quotient est constant et que son dénominateur croît. $r(t)=\dfrac{1\,200}{50\,000+1\,200t}\times 100$ : la fraction a une valeur qui diminue dès que $t$ augmente, et sa limite en $+\infty$ vaut 0. Formulé sans calcul : ajouter 1 200 personnes à 50 000, c'est 2,4 % ; les ajouter à 80 000, c'est 1,5 %. Le même effort absolu pèse de moins en moins lourd à mesure que la base grossit, et c'est pour cette seule raison qu'un pays riche affiche toujours une croissance en pourcentage plus faible qu'un pays pauvre qui progresse moins en valeur absolue.

d)

$r_{B}(0)=\dfrac{500}{12\,000}\times 100\approx 4{,}17$ %, presque le double de $r_{A}(0)$ . Pour comparer à tout instant, on écrit $r_{B}(t)>r_{A}(t)$ sous la forme $\dfrac{500}{12\,000+500t}>\dfrac{1\,200}{50\,000+1\,200t}$ . Les deux dénominateurs sont positifs, donc on multiplie en croix sans changer le sens : $500\,(50\,000+1\,200t)>1\,200\,(12\,000+500t)$ , c'est-à-dire $25\,000\,000+600\,000t>14\,400\,000+600\,000t$ . Les termes en $t$ se DÉTRUISENT et il reste $25\,000\,000>14\,400\,000$ , vrai pour tout $t$ . La petite municipalité garde donc l'avantage relatif à jamais, sans que l'écart absolu cesse de se creuser en faveur de la grande.

e)

Ni l'un ni l'autre ne ment, et chacun répond à une question différente. Le taux ABSOLU, 1 200 contre 500, est le bon chiffre pour dimensionner des écoles, des autobus et des logements : ce sont des personnes réelles à loger. Le taux RELATIF, 4,17 % contre 2,4 %, est le bon chiffre pour comparer des dynamiques de tailles différentes, ou pour parler de pression sur un tissu urbain existant. Le titre honnête nomme donc la question avant le chiffre : « B croît deux fois plus vite en proportion » et « A accueille deux fois plus de monde » sont tous deux exacts. Le seul titre malhonnête est celui qui écrit « croît plus vite » sans dire en quoi.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune de ces cinq phrases a été entendue en classe. Dites si elle est vraie ou fausse, et si elle est fausse, écrivez l'énoncé correct.

Une correction qui se contente de dire « faux » ne vaut aucun point : c'est la phrase juste qui est demandée.

a) La dérivée d'un produit est le produit des dérivées.
b) Si $f$ est continue en $a$ , alors $f$ est dérivable en $a$ .
c) $f'(a)$ est la pente de la sécante passant par le point d'abscisse $a$ .
d) Si $f''(t)<0$ , alors $f$ décroît.
e) Une dérivée est un nombre, elle n'a donc pas d'unité.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Cette affirmation est

La règle correcte est

b)

Cette affirmation est

Le bon sens de l'implication est

c)

Cette affirmation est

C'est la pente de

d)

Cette affirmation est

Le sens de variation se lit sur

e)

Cette affirmation est

Voir la correction

Réponses

a) Faux : $(uv)'=u'v+uv'$ , et $(x\cdot x)'=2x\ne 1$ .
b) Faux : c'est dérivable qui entraîne continue.
c) Faux : c'est la pente de la tangente, la sécante donnant un taux moyen.
d) Faux : $f''<0$ dit que la hausse ralentit ; le sens de variation se lit sur $f'$ .
e) Faux : l'unité de la sortie divisée par celle de l'entrée.

a)

FAUX. La règle est $(uv)'=u'v+uv'$ . Le contre-exemple tient en une ligne : $(x\times x)'=(x^{2})'=2x$ , alors que le produit des dérivées vaudrait $1\times 1=1$ . Énoncé correct : la dérivée d'un produit est la dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second.

b)

FAUX, c'est la réciproque qui est vraie. Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse. La contribution $T$ de l'exercice 6 est continue en 40 et n'y est pas dérivable, la racine cubique est continue en 5 et n'y est pas dérivable. Énoncé correct : si $f$ est dérivable en $a$ , alors elle y est continue.

c)

FAUX. $f'(a)$ est la pente de la TANGENTE au point d'abscisse $a$ . La sécante joint DEUX points et sa pente est un taux de variation MOYEN ; la tangente n'en touche qu'un et sa pente est le taux instantané. Énoncé correct : $f'(a)$ est la limite des pentes des sécantes issues de $a$ , c'est-à-dire la pente de la tangente en $a$ .

d)

FAUX, et c'est l'erreur d'interprétation la plus coûteuse du cours. $f''<0$ dit que la CROISSANCE ralentit, pas que la fonction décroît. L'exercice 5 le montre : en $t=8$ , $C''(8)=-6<0$ et pourtant $C'(8)=88>0$ , donc le total monte encore de 88 unités par semaine. Énoncé correct : $f''<0$ signifie que $f'$ décroît, donc que la courbe est concave vers le bas ; le sens de variation de $f$ se lit sur le signe de $f'$ , jamais sur celui de $f''$ .

e)

FAUX. Une dérivée porte toujours l'unité de la SORTIE divisée par celle de l'ENTRÉE : des millions de dollars par année, des personnes par mois, des points de satisfaction par unité de taux d'utilisation. C'est même le contrôle le plus rapide d'une chaîne de modèles, puisque les unités intermédiaires doivent se simplifier. Énoncé correct : l'unité d'une dérivée est le quotient de l'unité de la fonction par celle de la variable, et une dérivée seconde porte cette unité divisée une seconde fois.

Exercice 9 : Problème : le taux de diplomation, de la table à la dérivée

Les données réelles n'arrivent jamais sous forme de fonction : elles arrivent en tableau. Voici le taux de diplomation d'un réseau collégial, relevé tous les deux ans.

$t=0$ : $71{,}2$ % ; $t=2$ : $73{,}0$ % ; $t=4$ : $74{,}4$ % ; $t=6$ : $75{,}4$ % ; $t=8$ : $76{,}0$ %, où $t$ compte les années depuis 2014.

a) Calculez les quatre taux de variation moyens successifs, sur chacun des intervalles de deux ans.
b) Ces quatre taux décroissent d'un montant constant. Vérifiez que $D(t)=71{,}2+t-0{,}05t^{2}$ reproduit exactement les cinq données.
c) Calculez $D'(t)$ , puis $D'(0)$ et $D'(8)$ .
d) En quelle année le taux de diplomation cesse-t-il d'augmenter, et quelle valeur atteint-il alors ?
e) Estimez $D'(4)$ par la différence centrée $\dfrac{D(6)-D(2)}{4}$ et comparez à la valeur exacte. Expliquez la coïncidence.

Voir la correction

Réponses

a) $0{,}90$ ; $0{,}70$ ; $0{,}50$ ; $0{,}30$ point par année.
b) $D$ redonne $71{,}2$ ; $73{,}0$ ; $74{,}4$ ; $75{,}4$ ; $76{,}0$ : l'ajustement est exact.
c) $D'(t)=1-0{,}1t$ , donc $D'(0)=1$ et $D'(8)=0{,}2$ point par année.
d) $t=10$ , soit 2024, avec $D(10)=76{,}2$ %.
e) $0{,}60$ point par année dans les deux cas : la différence centrée est exacte sur une parabole.

a)

De 0 à 2 : $\dfrac{73{,}0-71{,}2}{2}=0{,}90$ point par année. De 2 à 4 : $\dfrac{74{,}4-73{,}0}{2}=0{,}70$ . De 4 à 6 : $\dfrac{75{,}4-74{,}4}{2}=0{,}50$ . De 6 à 8 : $\dfrac{76{,}0-75{,}4}{2}=0{,}30$ . Le taux monte toujours, mais de moins en moins vite, et la baisse du rythme est régulière, $-0{,}20$ point par année à chaque intervalle.

b)

$D(0)=71{,}2$ . $D(2)=71{,}2+2-0{,}05\times 4=71{,}2+2-0{,}2=73{,}0$ . $D(4)=71{,}2+4-0{,}8=74{,}4$ . $D(6)=71{,}2+6-1{,}8=75{,}4$ . $D(8)=71{,}2+8-3{,}2=76{,}0$ . Les cinq valeurs sont reproduites EXACTEMENT, et ce n'est pas une chance : des taux de variation moyens qui décroissent d'un pas constant sont la signature d'un modèle du second degré, puisque $D''$ y est constante.

c)

$D'(t)=1-0{,}1t$ , en points de pourcentage par année. $D'(0)=1$ point par année en 2014, $D'(8)=1-0{,}8=0{,}2$ point par année en 2022. Le rythme d'amélioration a été divisé par cinq en huit ans.

d)

Le taux cesse d'augmenter quand $D'(t)=0$ , c'est-à-dire $1-0{,}1t=0$ , donc $t=10$ : en 2024. Le maximum vaut $D(10)=71{,}2+10-0{,}05\times 100=71{,}2+10-5=76{,}2$ %. Le modèle annonce donc un plafond à 76,2 %, puis une baisse, et cette baisse est le point où l'on doit se demander si le modèle quadratique reste valable : rien, dans les données, ne prouve que le taux VA baisser. Un polynôme du second degré ajusté sur une phase de ralentissement prédit toujours un retournement, que le phénomène le veuille ou non.

e)

La différence centrée donne $\dfrac{75{,}4-73{,}0}{4}=\dfrac{2{,}4}{4}=0{,}60$ point par année, et la valeur exacte vaut $D'(4)=1-0{,}4=0{,}60$ . L'estimation est EXACTE, à la dernière décimale. La raison est celle de l'exercice 1 : sur une fonction du second degré, le taux moyen sur un intervalle est le taux instantané au milieu, et 4 est le milieu de $[2\,;6]$ . C'est pourquoi les organismes statistiques estiment une dérivée par différence centrée plutôt que par différence à droite : sur une tendance courbée, la différence centrée est nettement plus juste, et elle est exacte si la courbure est constante.

Exercice 10 : Problème : une campagne de financement

Le montant récolté par une campagne est un PRODUIT : le nombre de donateurs multiplié par le don moyen. Quand les deux facteurs évoluent en sens contraires, seule la dérivée du produit tranche.

Une campagne compte $n(t)=200+30t$ donateurs et recueille un don moyen de $m(t)=150-4t$ dollars, $t$ semaines après son lancement.

a) Écrivez le montant total $M(t)=n(t)\,m(t)$ sous forme développée, et donnez le domaine de validité du modèle.
b) Calculez $M'(t)$ par la règle du produit, puis vérifiez à partir de la forme développée.
c) Calculez $M'(0)$ et $M'(20)$ , et interprétez chacun des deux signes.
d) À quelle semaine le montant récolté est-il maximal ? Que vaut-il alors ?
e) Le don moyen est aussi $\dfrac{M(t)}{n(t)}$ . Dérivez ce quotient et retrouvez $m'(t)$ .

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Réponses

a) $M(t)=30\,000+3\,700t-120t^{2}$ , valable sur $[0\,;37{,}5[$ .
b) $M'(t)=3\,700-240t$ dollars par semaine, par les deux chemins.
c) $M'(0)=3\,700$ et $M'(20)=-1\,100$ : la campagne progresse puis recule.
d) $t=\dfrac{3\,700}{240}\approx 15{,}42$ semaine, pour environ $58\,521$ dollars.
e) La dérivée du quotient vaut $-4$ , soit exactement $m'(t)$ .

a)

$M(t)=(200+30t)(150-4t)=30\,000-800t+4\,500t-120t^{2}=30\,000+3\,700t-120t^{2}$ dollars. Le domaine de validité impose un don moyen positif : $150-4t>0$ donne $t<37{,}5$ . Le modèle vaut donc sur $[0\,;37{,}5[$ , et au-delà il annoncerait des dons négatifs.

b)

Règle du produit : $M'(t)=n'(t)m(t)+n(t)m'(t)=30(150-4t)+(200+30t)(-4)=4\,500-120t-800-120t=3\,700-240t$ dollars par semaine. Vérification à partir de la forme développée : $\bigl(30\,000+3\,700t-120t^{2}\bigr)'=3\,700-240t$ . Les deux chemins concordent. Le terme $-240t$ contient les DEUX effets contraires, chacun pesant $-120t$ : celui de donateurs plus nombreux mais moins généreux, et celui d'un don moyen appliqué à une base qui grossit.

c)

$M'(0)=3\,700$ dollars par semaine : au lancement, la campagne gagne plus en recrutant qu'elle ne perd en générosité moyenne. $M'(20)=3\,700-4\,800=-1\,100$ dollars par semaine : à la vingtième semaine, l'érosion du don moyen l'emporte, et chaque semaine supplémentaire fait RECULER le montant récolté, alors même que le nombre de donateurs continue de croître. C'est le genre de situation où un tableau de bord qui suit uniquement le nombre de donateurs donne un signal exactement inverse de la réalité.

d)

On annule $M'$ : $3\,700-240t=0$ donne $t=\dfrac{3\,700}{240}\approx 15{,}42$ semaine. Comme $M''(t)=-240<0$ , il s'agit bien d'un maximum. La valeur vaut $M(15{,}42)\approx 30\,000+3\,700\times 15{,}4167-120\times 237{,}67\approx 58\,521$ dollars. En pratique, la campagne devrait s'arrêter autour de la quinzième semaine, ou changer de méthode pour redresser le don moyen.

e)

$\dfrac{M(t)}{n(t)}=\dfrac{30\,000+3\,700t-120t^{2}}{200+30t}$ . Par la règle du quotient, le numérateur de la dérivée vaut $(3\,700-240t)(200+30t)-(30\,000+3\,700t-120t^{2})(30)$ . En développant : $740\,000+111\,000t-48\,000t-7\,200t^{2}-900\,000-111\,000t+3\,600t^{2}$ , soit $-160\,000-48\,000t-3\,600t^{2}$ . On reconnaît $-4\,(200+30t)^{2}=-4\,(40\,000+12\,000t+900t^{2})=-160\,000-48\,000t-3\,600t^{2}$ . La dérivée vaut donc $\dfrac{-4(200+30t)^{2}}{(200+30t)^{2}}=-4$ , c'est-à-dire exactement $m'(t)$ . Le contrôle est long mais il vaut d'être fait une fois : il montre que la règle du quotient et la règle du produit racontent la même chose, et que le don moyen baisse de 4 dollars par semaine, quoi qu'il arrive au nombre de donateurs.

Exercices corrigés : la dérivée et les règles de dérivation (201-103)

Rappel de cours

Calculs : les dérivées à calculer

Exercice 0.1 : Dériver à l'aide des formules : douze calculs directs

Calculs : les tangentes à écrire

Exercice 0.2 : Écrire l'équation de la tangente : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Du taux moyen au taux instantané

Exercice 2 : Les règles de base : puissance, produit, quotient

Exercice 3 : La règle de chaîne : dériver un modèle emboîté

Exercice 4 : La tangente, sa pente et ses unités

Exercice 5 : La dérivée seconde : accélérer ou ralentir

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Les trois façons de perdre sa dérivée

Exercice 7 : Le taux de variation relatif, en pourcentage par année

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : le taux de diplomation, de la table à la dérivée

Exercice 10 : Problème : une campagne de financement

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