Exercices corrigés : la dérivée et les règles de dérivation (201-103)

a) $D(2)=0{,}4\times 4+12+120=1{,}6+12+120=133{,}6$ et $D(6)=0{,}4\times 36+36+120=14{,}4+36+120=170{,}4$. Le taux moyen vaut $\dfrac{170{,}4-133{,}6}{6-2}=\dfrac{36{,}8}{4}=9{,}2$ millions de dollars par année. Géométriquement, c'est la pente de la SÉCANTE qui joint les deux points de la courbe.

b) $D(4)=0{,}4\times 16+24+120=6{,}4+24+120=150{,}4$. Puis $D(4+h)=0{,}4(16+8h+h^{2})+6(4+h)+120=6{,}4+3{,}2h+0{,}4h^{2}+24+6h+120=150{,}4+9{,}2h+0{,}4h^{2}$. Le taux moyen vaut donc $\dfrac{D(4+h)-D(4)}{h}=\dfrac{9{,}2h+0{,}4h^{2}}{h}=9{,}2+0{,}4h$ pour $h\ne 0$. C'est la figure : une droite en $h$, avec un trou en $h=0$, puisqu'un taux moyen sur un intervalle de longueur nulle n'a aucun sens.

c) $D'(4)=\lim_{h\to 0}(9{,}2+0{,}4h)=9{,}2$ millions de dollars par année. On vient de combler le trou : la limite existe même si l'expression n'est pas définie en $h=0$, et c'est exactement la discontinuité par point du chapitre précédent, réparée. Toute dérivée est cette réparation.

d) Les deux valent 9,2, et ce n'est pas un hasard : 4 est le MILIEU de l'intervalle $[2\,;6]$. Pour une fonction du second degré, le taux moyen sur un intervalle est toujours égal au taux instantané au milieu de cet intervalle. Vérification directe : $D'(t)=0{,}8t+6$, donc $D'(4)=3{,}2+6=9{,}2$, alors que $D'(2)=7{,}6$ et $D'(6)=10{,}8$, dont la moyenne vaut bien 9,2. La propriété ne tient plus dès que le degré dépasse 2, et l'invoquer sur une fonction quelconque est une erreur.

e) $D$ se mesure en millions de dollars, $t$ en années, donc $D'$ se mesure en MILLIONS DE DOLLARS PAR ANNÉE : l'unité d'une dérivée est toujours l'unité de la sortie divisée par l'unité de l'entrée. Phrase de rapport : en 2019, les dépenses du programme augmentaient au rythme de 9,2 millions de dollars par année. Le temps du verbe compte, c'est un rythme à cet instant, pas un montant sur l'année.

a) On réécrit d'abord chaque terme en puissance : $f(x)=5x^{4}-3x^{-2}+7x^{1/2}-9$. La règle $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ s'applique alors à tous, y compris aux exposants négatifs et fractionnaires. $f'(x)=20x^{3}+6x^{-3}+\dfrac{7}{2}x^{-1/2}$, soit $f'(x)=20x^{3}+\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{7}{2\sqrt{x}}$. Deux signes à surveiller : $-3x^{-2}$ donne $-3\times(-2)x^{-3}=+6x^{-3}$, le moins devient plus, et la constante $-9$ disparaît.

b) Règle du produit, $(uv)'=u'v+uv'$, avec $u=2x+5$ et $v=x^{2}-3x$ : $g'(x)=2(x^{2}-3x)+(2x+5)(2x-3)=2x^{2}-6x+4x^{2}-6x+10x-15=6x^{2}-2x-15$. Vérification en développant d'abord : $g(x)=2x^{3}-6x^{2}+5x^{2}-15x=2x^{3}-x^{2}-15x$, donc $g'(x)=6x^{2}-2x-15$. Les deux chemins concordent, et c'est le contrôle le moins cher sur un produit de polynômes.

c) Règle du quotient, $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$, avec $u=3x+1$ et $v=x^{2}+4$ : $h'(x)=\dfrac{3(x^{2}+4)-(3x+1)(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}=\dfrac{3x^{2}+12-6x^{2}-2x}{(x^{2}+4)^{2}}=\dfrac{-3x^{2}-2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}$. L'ORDRE du numérateur n'est pas négociable : $u'v-uv'$ et non l'inverse, sans quoi tout le signe de la dérivée est faux, donc tout le tableau de variation qui en découlera.

d) $h'(0)=\dfrac{-0-0+12}{(0+4)^{2}}=\dfrac{12}{16}=0{,}75$. Contrôle grossier : $h(0)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $h(0{,}1)=\dfrac{1{,}3}{4{,}01}\approx 0{,}324$, donc le taux moyen vaut environ $0{,}74$ sur ce petit intervalle. C'est bien l'ordre de grandeur attendu, et ce genre de vérification numérique attrape la plupart des erreurs de signe.

e) Avec $u(x)=v(x)=x$, le produit vaut $x^{2}$, dont la dérivée est $2x$. Le produit des dérivées vaudrait $1\times 1=1$. Les deux ne coïncident que pour $x=0{,}5$, donc la règle « produit des dérivées » est fausse en général. La bonne règle, $u'v+uv'$, redonne ici $1\times x+x\times 1=2x$. Le même contre-exemple règle la question du quotient : $\dfrac{x}{x}=1$ a pour dérivée 0, alors que le quotient des dérivées vaudrait 1.

a) La couche extérieure est la puissance quatrième, la couche intérieure est $3x^{2}-5$. On dérive l'extérieure en gardant l'intérieure intacte, puis on MULTIPLIE par la dérivée de l'intérieure : $u'(x)=4(3x^{2}-5)^{3}\times 6x=24x(3x^{2}-5)^{3}$. Oublier le facteur $6x$ est l'erreur la plus fréquente du cours ; on la repère à ce que la dérivée obtenue a le même degré apparent que la fonction.

b) On écrit $v(x)=(7x+2)^{1/2}$, donc $v'(x)=\dfrac{1}{2}(7x+2)^{-1/2}\times 7=\dfrac{7}{2\sqrt{7x+2}}$. Le domaine se resserre en passant à la dérivée : $v$ existe pour $7x+2\ge 0$, alors que $v'$ exige $7x+2>0$ strictement, la racine passant au dénominateur. En $x=-\dfrac{2}{7}$, la fonction existe et la dérivée n'existe pas.

c) On écrit $w(x)=(2x+9)^{-3}$, donc $w'(x)=-3(2x+9)^{-4}\times 2=\dfrac{-6}{(2x+9)^{4}}$. La dérivée est négative partout où elle existe, ce qui est cohérent : $w$ est une puissance négative d'une fonction croissante, donc elle décroît.

d) $\dfrac{dS}{dW}=-8$ points par durée de service. $\dfrac{dW}{d\rho}=\dfrac{(1)(1-\rho)-\rho(-1)}{(1-\rho)^{2}}=\dfrac{1}{(1-\rho)^{2}}$, donc en $\rho=0{,}8$ : $\dfrac{1}{0{,}04}=25$ durées de service par unité de $\rho$. Le produit vaut $-8\times 25=-200$ points par unité de $\rho$, c'est-à-dire 2 points de satisfaction perdus par point de pourcentage d'utilisation supplémentaire. À $\rho=0{,}5$, le même calcul donnerait $-8\times 4=-32$, six fois moins : c'est encore l'asymptote qui parle.

e) La dérivée de la composée est le PRODUIT des dérivées prises à leur propre étage. En unités : $\dfrac{dS}{d\rho}$ s'exprime en points par unité de $\rho$, et le calcul a multiplié des points par durée de service par des durées de service par unité de $\rho$ ; la durée de service se simplifie comme dans une fraction ordinaire. Cette simplification n'est pas une image commode, c'est le contrôle le plus sûr d'une chaîne de modèles : si les unités ne se simplifient pas, un maillon est à l'envers.

a) Avec $u=1\,500t$ et $v=t+8$ : $N'(t)=\dfrac{1\,500(t+8)-1\,500t\times 1}{(t+8)^{2}}=\dfrac{1\,500t+12\,000-1\,500t}{(t+8)^{2}}=\dfrac{12\,000}{(t+8)^{2}}$. Le $t$ disparaît du numérateur, ce qui est le signe que la simplification a été menée jusqu'au bout. La dérivée est strictement positive : les inscriptions cumulées ne peuvent que croître, ce qu'un total cumulé fait toujours.

b) $N(4)=\dfrac{6\,000}{12}=500$ personnes inscrites au bout de quatre mois. $N'(4)=\dfrac{12\,000}{144}=\dfrac{250}{3}\approx 83{,}33$ personnes par mois.

c) L'équation de la tangente est $y=N(4)+N'(4)(t-4)$, donc $y=500+\dfrac{250}{3}(t-4)$, soit $y\approx 500+83{,}33(t-4)$. La forme $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ est à préférer à $y=mx+b$ : elle se lit directement, le point d'abord, la pente ensuite, et elle évite de calculer une ordonnée à l'origine dont personne n'a besoin.

d) $N'(20)=\dfrac{12\,000}{784}\approx 15{,}31$ personne par mois, contre 83,33 au quatrième mois : le rythme d'inscription est divisé par plus de cinq. Le programme continue de recruter, mais de plus en plus lentement ; c'est la signature d'un modèle qui plafonne, et l'on retrouve d'ailleurs $\lim_{t\to+\infty}N(t)=1\,500$, le plafond du programme. Les inscriptions ne cesseront pas, elles deviendront négligeables, et la décision de gestion porte sur le moment où l'effort de recrutement cesse d'être rentable.

e) $N$ se compte en personnes. $N'$ se compte en PERSONNES PAR MOIS, l'unité de la sortie divisée par celle de l'entrée. $N''$ se compte en personnes par mois au carré, c'est-à-dire en variation mensuelle du rythme mensuel. Cette dernière unité paraît étrange et elle est pourtant celle qu'emploie tout rapport qui écrit « la hausse ralentit » : ralentir est une affirmation sur $N''$, pas sur $N'$ ni sur $N$.

a) $C'(t)=-1{,}5t^{2}+18t+40$, en demandes par semaine. $C''(t)=-3t+18$, en demandes par semaine au carré. La dérivée première est le RYTHME hebdomadaire de dépôt, la seconde est la variation de ce rythme.

b) Le rythme $C'$ est une parabole ouverte vers le bas, donc son maximum est à son sommet, là où $C''$ s'annule : $-3t+18=0$ donne $t=6$. Le rythme maximal vaut $C'(6)=-1{,}5\times 36+108+40=-54+108+40=94$ demandes par semaine. Il faut bien noter que l'on cherche ici le maximum de $C'$, donc on annule $C''$ et non $C'$ : c'est la confusion la plus coûteuse du chapitre.

c) Pour $t<6$, $C''(t)>0$ : le rythme AUGMENTE, le service reçoit chaque semaine plus de demandes que la précédente. Pour $t>6$, $C''(t)<0$ : le rythme DIMINUE, le service reçoit encore des demandes nouvelles chaque semaine, mais de moins en moins. La semaine 6 est le point de bascule, et c'est celle où il faut le plus de personnel au guichet.

d) Le total cesse d'augmenter quand $C'(t)=0$ : $-1{,}5t^{2}+18t+40=0$, soit $1{,}5t^{2}-18t-40=0$. Le discriminant vaut $324+240=564$, donc $t=\dfrac{18+\sqrt{564}}{3}\approx\dfrac{18+23{,}75}{3}\approx 13{,}92$ semaine, la racine négative étant rejetée. À partir de la quatorzième semaine environ, le modèle annonce un total cumulé qui décroît, ce qui est impossible pour un CUMUL : c'est le domaine de validité du modèle qui s'arrête là, comme l'énoncé le suggérait en bornant $t$ à 14.

e) Il a tort. À la semaine 8, $C'(8)=-96+144+40=88$ demandes par semaine, un nombre positif et élevé : le service reçoit encore 88 demandes nouvelles chaque semaine. Ce qui recule, c'est le RYTHME, puisque $C''(8)=-6<0$ et que 88 est inférieur au maximum de 94. Il fallait écrire « la hausse des demandes ralentit », ou « le service reçoit moins de nouvelles demandes que la semaine précédente ». Confondre $C'<0$ et $C''<0$ est l'erreur d'interprétation la plus répandue dans la presse, et c'est exactement ce que le calcul différentiel sert à trancher.

a) À gauche de 40, $T(x)=0{,}2x$ tend vers $0{,}2\times 40=8$. À droite, $T(x)=8+0{,}5(x-40)$ tend vers $8+0=8$. La valeur au point vaut $T(40)=8$. Les trois coïncident, donc $T$ est continue en 40 : le barème ne fait payer personne brutalement plus cher pour une heure de plus.

b) La dérivée à GAUCHE est la pente de la première branche, $0{,}2$ dollar par heure. La dérivée à DROITE est celle de la seconde, $0{,}5$ dollar par heure. Elles diffèrent, donc $T$ n'est PAS dérivable en $x=40$ : la courbe y présente une POINTE. Le tarif marginal y est ambigu, et c'est pour cela que tout document officiel écrit « jusqu'à 40 heures » et « au-delà de 40 heures », jamais « à 40 heures ».

c) Non, il n'est pas dérivable en 50, et l'on n'a pas besoin de calculer : DÉRIVABLE ENTRAÎNE CONTINUE. Par contraposée, une fonction discontinue en un point n'y est pas dérivable. Le forfait est discontinu en 50, donc la question est réglée. Attention au sens de l'implication : la réciproque est fausse, et la question b) vient d'en donner le contre-exemple, $T$ continue et non dérivable en 40.

d) $g(5)=0$, donc le quotient vaut $\dfrac{(x-5)^{1/3}}{x-5}=(x-5)^{-2/3}$. Pour $x=5{,}001$ : $(10^{-3})^{-2/3}=10^{2}=100$. Pour $x=5{,}000\,001$ : $(10^{-6})^{-2/3}=10^{4}=10\,000$. Le quotient ne tend vers aucun nombre, il tend vers $+\infty$ : la courbe a une TANGENTE VERTICALE en $x=5$. La fonction y est continue, elle y vaut 0, et sa dérivée n'existe pas. Troisième façon de perdre sa dérivée, après la pointe et le saut.

e) Parce qu'un taux marginal est exactement une PENTE, et qu'un barème par tranches change de taux d'une tranche à l'autre. La continuité est imposée, on l'a vue au chapitre 2, en choisissant le paramètre qui raccorde les deux formules ; mais rien ne peut raccorder les PENTES, puisque changer de taux est précisément l'objet de la tranche. Un barème progressif est donc, par construction, continu partout et non dérivable aux frontières de tranche. Ce n'est pas un défaut de conception : c'est la trace mathématique d'une décision politique, celle de taxer différemment au-dessus d'un seuil.

a) $P_{A}'(t)=1\,200$ et $P_{B}'(t)=500$ habitants par année, toutes deux constantes. En valeur ABSOLUE, A croît plus de deux fois plus vite : elle gagne 1 200 habitants par an contre 500.

b) $r_{A}(0)=\dfrac{1\,200}{50\,000}\times 100=2{,}4$ %. $r_{A}(10)=\dfrac{1\,200}{62\,000}\times 100\approx 1{,}94$ %. $r_{A}(25)=\dfrac{1\,200}{80\,000}\times 100=1{,}5$ %. Le taux relatif baisse d'année en année, alors que la municipalité gagne toujours exactement 1 200 habitants.

c) Parce que le numérateur du quotient est constant et que son dénominateur croît. $r(t)=\dfrac{1\,200}{50\,000+1\,200t}\times 100$ : la fraction a une valeur qui diminue dès que $t$ augmente, et sa limite en $+\infty$ vaut 0. Formulé sans calcul : ajouter 1 200 personnes à 50 000, c'est 2,4 % ; les ajouter à 80 000, c'est 1,5 %. Le même effort absolu pèse de moins en moins lourd à mesure que la base grossit, et c'est pour cette seule raison qu'un pays riche affiche toujours une croissance en pourcentage plus faible qu'un pays pauvre qui progresse moins en valeur absolue.

d) $r_{B}(0)=\dfrac{500}{12\,000}\times 100\approx 4{,}17$ %, presque le double de $r_{A}(0)$. Pour comparer à tout instant, on écrit $r_{B}(t)>r_{A}(t)$ sous la forme $\dfrac{500}{12\,000+500t}>\dfrac{1\,200}{50\,000+1\,200t}$. Les deux dénominateurs sont positifs, donc on multiplie en croix sans changer le sens : $500\,(50\,000+1\,200t)>1\,200\,(12\,000+500t)$, c'est-à-dire $25\,000\,000+600\,000t>14\,400\,000+600\,000t$. Les termes en $t$ se DÉTRUISENT et il reste $25\,000\,000>14\,400\,000$, vrai pour tout $t$. La petite municipalité garde donc l'avantage relatif à jamais, sans que l'écart absolu cesse de se creuser en faveur de la grande.

e) Ni l'un ni l'autre ne ment, et chacun répond à une question différente. Le taux ABSOLU, 1 200 contre 500, est le bon chiffre pour dimensionner des écoles, des autobus et des logements : ce sont des personnes réelles à loger. Le taux RELATIF, 4,17 % contre 2,4 %, est le bon chiffre pour comparer des dynamiques de tailles différentes, ou pour parler de pression sur un tissu urbain existant. Le titre honnête nomme donc la question avant le chiffre : « B croît deux fois plus vite en proportion » et « A accueille deux fois plus de monde » sont tous deux exacts. Le seul titre malhonnête est celui qui écrit « croît plus vite » sans dire en quoi.

a) FAUX. La règle est $(uv)'=u'v+uv'$. Le contre-exemple tient en une ligne : $(x\times x)'=(x^{2})'=2x$, alors que le produit des dérivées vaudrait $1\times 1=1$. Énoncé correct : la dérivée d'un produit est la dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second.

b) FAUX, c'est la réciproque qui est vraie. Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse. La contribution $T$ de l'exercice 6 est continue en 40 et n'y est pas dérivable, la racine cubique est continue en 5 et n'y est pas dérivable. Énoncé correct : si $f$ est dérivable en $a$, alors elle y est continue.

c) FAUX. $f'(a)$ est la pente de la TANGENTE au point d'abscisse $a$. La sécante joint DEUX points et sa pente est un taux de variation MOYEN ; la tangente n'en touche qu'un et sa pente est le taux instantané. Énoncé correct : $f'(a)$ est la limite des pentes des sécantes issues de $a$, c'est-à-dire la pente de la tangente en $a$.

d) FAUX, et c'est l'erreur d'interprétation la plus coûteuse du cours. $f''<0$ dit que la CROISSANCE ralentit, pas que la fonction décroît. L'exercice 5 le montre : en $t=8$, $C''(8)=-6<0$ et pourtant $C'(8)=88>0$, donc le total monte encore de 88 unités par semaine. Énoncé correct : $f''<0$ signifie que $f'$ décroît, donc que la courbe est concave vers le bas ; le sens de variation de $f$ se lit sur le signe de $f'$, jamais sur celui de $f''$.

e) FAUX. Une dérivée porte toujours l'unité de la SORTIE divisée par celle de l'ENTRÉE : des millions de dollars par année, des personnes par mois, des points de satisfaction par unité de taux d'utilisation. C'est même le contrôle le plus rapide d'une chaîne de modèles, puisque les unités intermédiaires doivent se simplifier. Énoncé correct : l'unité d'une dérivée est le quotient de l'unité de la fonction par celle de la variable, et une dérivée seconde porte cette unité divisée une seconde fois.

a) De 0 à 2 : $\dfrac{73{,}0-71{,}2}{2}=0{,}90$ point par année. De 2 à 4 : $\dfrac{74{,}4-73{,}0}{2}=0{,}70$. De 4 à 6 : $\dfrac{75{,}4-74{,}4}{2}=0{,}50$. De 6 à 8 : $\dfrac{76{,}0-75{,}4}{2}=0{,}30$. Le taux monte toujours, mais de moins en moins vite, et la baisse du rythme est régulière, $-0{,}20$ point par année à chaque intervalle.

b) $D(0)=71{,}2$. $D(2)=71{,}2+2-0{,}05\times 4=71{,}2+2-0{,}2=73{,}0$. $D(4)=71{,}2+4-0{,}8=74{,}4$. $D(6)=71{,}2+6-1{,}8=75{,}4$. $D(8)=71{,}2+8-3{,}2=76{,}0$. Les cinq valeurs sont reproduites EXACTEMENT, et ce n'est pas une chance : des taux de variation moyens qui décroissent d'un pas constant sont la signature d'un modèle du second degré, puisque $D''$ y est constante.

c) $D'(t)=1-0{,}1t$, en points de pourcentage par année. $D'(0)=1$ point par année en 2014, $D'(8)=1-0{,}8=0{,}2$ point par année en 2022. Le rythme d'amélioration a été divisé par cinq en huit ans.

d) Le taux cesse d'augmenter quand $D'(t)=0$, c'est-à-dire $1-0{,}1t=0$, donc $t=10$ : en 2024. Le maximum vaut $D(10)=71{,}2+10-0{,}05\times 100=71{,}2+10-5=76{,}2$ %. Le modèle annonce donc un plafond à 76,2 %, puis une baisse, et cette baisse est le point où l'on doit se demander si le modèle quadratique reste valable : rien, dans les données, ne prouve que le taux VA baisser. Un polynôme du second degré ajusté sur une phase de ralentissement prédit toujours un retournement, que le phénomène le veuille ou non.

e) La différence centrée donne $\dfrac{75{,}4-73{,}0}{4}=\dfrac{2{,}4}{4}=0{,}60$ point par année, et la valeur exacte vaut $D'(4)=1-0{,}4=0{,}60$. L'estimation est EXACTE, à la dernière décimale. La raison est celle de l'exercice 1 : sur une fonction du second degré, le taux moyen sur un intervalle est le taux instantané au milieu, et 4 est le milieu de $[2\,;6]$. C'est pourquoi les organismes statistiques estiment une dérivée par différence centrée plutôt que par différence à droite : sur une tendance courbée, la différence centrée est nettement plus juste, et elle est exacte si la courbure est constante.