Exercices corrigés : l'analyse marginale (201-103)

$C'(q)=0{,}6q+25$, donc $C'(60)=36+25=61$ dollars. Le coût fixe $600$ disparaît à la dérivation : il ne pèse pas sur l'unité suivante.

$C'(q)=0{,}03q^{2}-1{,}2q+40$, donc $C'(30)=0{,}03\times 900-1{,}2\times 30+40=27-36+40=31$ dollars.

$C(q)=800+60q^{\frac{1}{2}}+4q$, donc $C'(q)=30q^{-\frac{1}{2}}+4=\frac{30}{\sqrt{q}}+4$. En $q=36$ : $C'(36)=\frac{30}{6}+4=9$ dollars. Piège : dériver $60\sqrt{q}$ en $\frac{60}{\sqrt{q}}$, en oubliant le $\frac{1}{2}$ de l'exposant.

$C'(q)=12+0{,}4\times\frac{3}{2}q^{\frac{1}{2}}=12+0{,}6\sqrt{q}$. En $q=64$ : $C'(64)=12+0{,}6\times 8=16{,}8$ dollars.

$R(q)=q(120-0{,}4q)=120q-0{,}4q^{2}$, donc $R(100)=12\,000-4\,000=8\,000$ dollars. $R'(q)=120-0{,}8q$, donc $R'(100)=40$ dollars. Le revenu marginal décroît deux fois plus vite que le prix : le prix en $q=100$ vaut $80$, le revenu marginal $40$.

Le prix vaut $p(100)=60-2\times 10=40$ dollars. $R(q)=q(60-2q^{\frac{1}{2}})=60q-2q^{\frac{3}{2}}$, donc $R'(q)=60-3q^{\frac{1}{2}}=60-3\sqrt{q}$ et $R'(100)=60-30=30$ dollars. Piège : prendre le prix $40$ pour le revenu marginal, ou dériver $p$ au lieu de $R$.

$\overline{C}(q)=0{,}1q+12+\frac{2\,250}{q}$, donc $\overline{C}(50)=5+12+45=62$ dollars. $\overline{C}'(q)=0{,}1-\frac{2\,250}{q^{2}}$, donc $\overline{C}'(50)=0{,}1-\frac{2\,250}{2\,500}=0{,}1-0{,}9=-0{,}8$. Négatif : à $50$ unités, le coût moyen baisse encore. Piège : dériver $\frac{2\,250}{q}$ en $\frac{2\,250}{1}$ ; c'est $2\,250q^{-1}$, de dérivée $-2\,250q^{-2}$.

$\overline{C}(q)=0{,}4q+16+\frac{1\,000}{q}$ et $\overline{C}'(q)=0{,}4-\frac{1\,000}{q^{2}}=0$ donne $q^{2}=2\,500$, soit $q=50$ pour $q>0$. Le coût moyen minimal vaut $\overline{C}(50)=20+16+20=56$ dollars. Contrôle : $C'(50)=0{,}8\times 50+16=56$ aussi, le coût marginal croise le coût moyen à son minimum.

$R(q)=150q-0{,}5q^{2}$, donc $R'(q)=150-q$ ; $C'(q)=0{,}5q+30$. En $q=60$ : $R'(60)=90$ et $C'(60)=60$, donc $P'(60)=90-60=30$ dollars. Positif : produire une unité de plus augmente encore le profit.

$R(q)=200q-0{,}6q^{2}$, donc $R'(q)=200-1{,}2q$ ; $C'(q)=0{,}8q+40$. $200-1{,}2q=0{,}8q+40$ donne $2q=160$, soit $q=80$. Le prix de vente est alors $p(80)=200-48=152$ dollars. Piège : rendre $R'(80)=104$ comme prix ; le prix se lit sur la DEMANDE.

Le terme constant 800 est le COÛT FIXE : il est payé même si l'on ne produit rien, loyer, assurances, amortissement. Le terme $20q$ est un coût variable PROPORTIONNEL : chaque unité coûte 20 dollars de matière, quelle que soit la quantité. Le terme $0{,}5q^{2}$ est un coût variable qui s'accélère : il traduit qu'à mesure que la production augmente, chaque unité supplémentaire devient plus chère, par les heures supplémentaires, la saturation des machines ou le recours à des fournisseurs plus coûteux.

$C'(q)=q+20$. En $q=40$ : $C'(40)=40+20=60$ dollars. Le coût marginal est donc de 60 dollars au niveau de production de 40 unités, et c'est aussi la pente de la tangente à la courbe de coût en ce point, ce que montre la figure.

$C(41)=0{,}5\times 1\,681+20\times 41+800=840{,}5+820+800=2\,460{,}5$. $C(40)=0{,}5\times 1\,600+800+800=800+800+800=2\,400$. Le coût exact de la 41e unité vaut donc $2\,460{,}5-2\,400=60{,}50$ dollars, contre 60 dollars annoncés par la dérivée. L'écart, 50 cents, vient de ce que la dérivée est la pente de la tangente et non celle de la corde : elle approche le coût de l'unité suivante d'autant mieux que la fonction est peu courbée et que $q$ est grand.

Coût moyen : $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}=0{,}5q+20+\dfrac{800}{q}$. En $q=40$ : $\overline{C}(40)=20+20+20=60$ dollars par unité. Il faut remarquer que le coût moyen et le coût marginal valent tous deux 60 en $q=40$ : ce n'est pas une coïncidence, et l'exercice 4 en donnera la raison.

Le coût marginal $q+20$ est croissant parce que le terme quadratique du coût total a un coefficient POSITIF. Économiquement, c'est la loi des RENDEMENTS DÉCROISSANTS : au-delà d'un certain point, ajouter des ressources à une capacité de production fixe produit de moins en moins de résultat par dollar dépensé. Une usine qui tourne déjà à plein régime doit payer des heures supplémentaires, louer de l'espace ou accepter plus de rebuts. Sans cette croissance, la production optimale serait infinie, ce qui suffit à montrer que l'hypothèse est nécessaire au modèle.

$R(q)=p\times q=\left(100-0{,}5q\right)q=100q-0{,}5q^{2}$. En $q=40$ : $R(40)=4\,000-0{,}5\times 1\,600=4\,000-800=3\,200$ dollars, avec un prix unitaire de $100-20=80$ dollars.

$R'(q)=100-q$. En $q=40$ : $R'(40)=100-40=60$ dollars. Vendre une 41e unité rapporterait donc environ 60 dollars de plus, et non 80 dollars, alors que c'est bien 80 dollars que le client paierait.

Parce que vendre une unité de plus oblige à baisser le prix de TOUTES les unités vendues, pas seulement de la dernière. Le prix baisse de 0,5 dollar par unité supplémentaire : on gagne le prix de la nouvelle unité, environ $100-0{,}5q$, et l'on perd $0{,}5q$ sur les $q$ unités précédentes. Au total $\left(100-0{,}5q\right)-0{,}5q=100-q$, soit exactement le revenu marginal. La pente du revenu marginal, $-1$, est donc le double de celle de la demande, $-0{,}5$, et cette relation vaut pour toute demande linéaire.

Le revenu est maximal quand $R'(q)=0$, donc $100-q=0$ et $q=100$. Le revenu vaut alors $R(100)=10\,000-5\,000=5\,000$ dollars, au prix de $100-50=50$ dollars l'unité. On vérifie qu'il s'agit bien d'un maximum : $R''(q)=-1<0$, la parabole est tournée vers le bas.

Au-delà de $q=100$, le revenu marginal devient NÉGATIF : chaque unité supplémentaire fait perdre du revenu, parce que la baisse de prix imposée sur tout le stock dépasse ce que rapporte la nouvelle unité. Produire davantage rapporterait donc moins, et coûterait plus. Aucune entreprise rationnelle ne se place dans cette zone, et l'on verra à l'exercice suivant que le profit maximal se situe bien avant, en $q=40$.

$P(q)=\left(100q-0{,}5q^{2}\right)-\left(0{,}5q^{2}+20q+800\right)=100q-0{,}5q^{2}-0{,}5q^{2}-20q-800=80q-q^{2}-800$.

$P'(q)=80-2q$, qui s'annule en $q=40$. Vérification par la dérivée seconde : $P''(q)=-2<0$, donc la fonction est concave et le point critique est bien un MAXIMUM. On peut aussi le voir par le signe de $P'$ : positif avant 40, négatif après, la fonction monte puis descend.

Revenu marginal en 40 : $R'(40)=100-40=60$. Coût marginal en 40 : $C'(40)=40+20=60$. Les deux valent 60 dollars : l'égalité est vérifiée. L'interprétation est directe : à 40 unités, la 41e rapporterait 60 dollars et coûterait 60 dollars, donc elle n'apporterait rien.

Le profit s'écrit $P=R-C$, donc $P'=R'-C'$. Une condition nécessaire de maximum est $P'(q)=0$, c'est-à-dire $R'(q)-C'(q)=0$, donc $R'(q)=C'(q)$ : le revenu marginal égale le coût marginal. La condition suffisante s'y ajoute : $P''(q)=R''(q)-C''(q)<0$, autrement dit le coût marginal doit croître plus vite que le revenu marginal au point considéré. Ici $R''=-1$ et $C''=1$, donc $P''=-2<0$, la condition est satisfaite. Cette règle, dite du « revenu marginal égale coût marginal », est le résultat le plus cité de toute la microéconomie, et il n'est rien d'autre qu'une annulation de dérivée.

$P(40)=80\times 40-1\,600-800=3\,200-1\,600-800=800$ dollars. Prix de vente : $p=100-0{,}5\times 40=80$ dollars. À retenir : la quantité qui maximise le PROFIT, 40, est bien inférieure à celle qui maximise le REVENU, 100. Maximiser les ventes et maximiser le profit sont deux objectifs différents, et c'est le coût qui les sépare.

$\overline{C}'(q)=0{,}5-\dfrac{800}{q^{2}}$. On annule : $0{,}5=\dfrac{800}{q^{2}}$, donc $q^{2}=1\,600$ et $q=40$, la racine négative étant rejetée. Vérification : $\overline{C}''(q)=\dfrac{1\,600}{q^{3}}>0$ pour $q>0$, la fonction est convexe et le point critique est un MINIMUM.

$\overline{C}(40)=0{,}5\times 40+20+\dfrac{800}{40}=20+20+20=60$ dollars par unité. $C'(40)=40+20=60$ dollars. Les deux coïncident, comme le montre le croisement des deux courbes sur la figure.

Écrivons $\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ et dérivons par la règle du quotient : $\overline{C}'(q)=\dfrac{C'(q)q-C(q)}{q^{2}}$. Annuler cette dérivée revient à annuler le numérateur, donc $C'(q)q=C(q)$, c'est-à-dire $C'(q)=\dfrac{C(q)}{q}=\overline{C}(q)$. Au minimum du coût moyen, le coût marginal égale donc le coût moyen, et la démonstration ne suppose rien sur la forme de $C$ : elle vaut pour toute fonction de coût dérivable.

L'image est celle d'une moyenne de notes. Si la note du prochain examen, le marginal, est INFÉRIEURE à la moyenne actuelle, la moyenne baisse. Si elle est supérieure, la moyenne monte. La moyenne est donc au plus bas précisément au moment où la nouvelle note l'égale. C'est exactement ce que dit le graphique : tant que le coût marginal est sous le coût moyen, celui-ci décroît; dès qu'il le dépasse, il remonte; le croisement est le minimum.

Que l'entreprise est rentable au point optimal : elle vend 80 dollars ce qui lui coûte 60 dollars en moyenne, soit une marge de 20 dollars par unité, ce qui redonne bien $20\times 40=800$ dollars de profit. Attention toutefois : ce n'est pas parce que le coût moyen est minimal en $q=40$ que le profit y est maximal, les deux coïncident ici par construction de l'exemple. En général, la quantité de coût moyen minimal et celle de profit maximal sont DIFFÉRENTES, et c'est la seconde qui gouverne la décision.

L'approximation linéaire s'écrit $\Delta C\approx C'(q)\Delta q$. Ici $C'(40)=60$ et $\Delta q=3$, donc $\Delta C\approx 60\times 3=180$ dollars.

Exactement : $C(43)=0{,}5\times 1\,849+20\times 43+800=924{,}5+860+800=2\,584{,}5$, et $C(40)=2\,400$, donc $\Delta C=184{,}50$ dollars. L'erreur vaut $184{,}50-180=4{,}50$ dollars, soit 2,4 % de la variation. L'approximation SOUS-ESTIME toujours ici, parce que la fonction est convexe et que la tangente passe sous la courbe.

Géométriquement, $C'(q)\Delta q$ est la hauteur gagnée en suivant la TANGENTE, et $\Delta C$ celle gagnée en suivant la COURBE. Sur une fonction convexe, la courbe s'écarte de la tangente vers le haut, et l'écart grandit comme le carré du déplacement. C'est pourquoi l'approximation est excellente pour une unité et se dégrade rapidement quand on extrapole sur trois, dix ou vingt unités.

Développons : $C(q+1)-C(q)=0{,}5\left(q+1\right)^{2}+20\left(q+1\right)+800-\left(0{,}5q^{2}+20q+800\right)=0{,}5\left(2q+1\right)+20=q+0{,}5+20$. Or $C'(q)=q+20$. L'écart vaut donc $\left(q+20{,}5\right)-\left(q+20\right)=0{,}5$ dollar, quelle que soit la quantité. Ce résultat vient du coefficient quadratique : pour $C(q)=aq^{2}+bq+c$, l'écart d'une unité vaut toujours exactement $a$, ici 0,5.

Sur une fonction de coût LINÉAIRE, $C(q)=bq+c$, la tangente est la courbe elle-même : l'approximation est EXACTE et l'erreur est nulle pour tout $\Delta q$. Sur une fonction très courbée, à dérivée seconde grande, l'erreur devient importante dès la première unité : c'est le cas des coûts qui explosent près de la capacité maximale d'une usine. La règle pratique est de ne se fier au coût marginal que pour des variations petites devant l'échelle sur laquelle la courbure se manifeste.

$-q^{2}+80q-800=0$, soit $q^{2}-80q+800=0$. Discriminant : $80^{2}-4\times 800=6\,400-3\,200=3\,200$, donc $\sqrt{3\,200}=40\sqrt{2}\approx 56{,}5685$. Racines : $q=\dfrac{80\pm 56{,}5685}{2}$, soit $q_{1}\approx 11{,}72$ et $q_{2}\approx 68{,}28$.

La parabole $P(q)=-q^{2}+80q-800$ est tournée vers le bas, donc elle est POSITIVE entre ses racines : l'entreprise est rentable pour $q$ compris entre 11,72 et 68,28 unités, soit en pratique de 12 à 68 unités. En dehors de cet intervalle, elle perd de l'argent.

À 10 unités : $P(10)=800-100-800=-100$ dollars, l'entreprise perd 100 dollars, parce que la production ne suffit pas à couvrir les 800 dollars de coût fixe. À 75 unités : $P(75)=6\,000-5\,625-800=-425$ dollars, elle perd 425 dollars, cette fois parce que le coût marginal a dépassé le revenu marginal depuis longtemps : produire trop coûte aussi cher que produire trop peu.

Le profit devient $P(q)=80q-q^{2}-1\,200$. Racines de $q^{2}-80q+1\,200=0$ : discriminant $6\,400-4\,800=1\,600$, racine 40, donc $q=\dfrac{80\pm 40}{2}$, soit 20 et 60. L'intervalle de rentabilité se RÉTRÉCIT, de 11,7-68,3 à 20-60. Le profit maximal, lui, reste atteint en $q=40$, puisque le coût fixe ne change pas la dérivée, mais il tombe à $3\,200-1\,600-1\,200=400$ dollars. Un coût fixe déplace le profit vers le bas sans déplacer l'optimum : c'est une propriété très générale et souvent contre-intuitive.

Le profit maximal vaut $P(40)=3\,200-1\,600-F=1\,600-F$ où $F$ est le coût fixe. Il devient négatif dès que $F>1\,600$ dollars. Au-delà de ce seuil, l'entreprise perd de l'argent quelle que soit sa production, et la décision rationnelle à long terme est de fermer. À court terme, le raisonnement diffère : tant que le prix couvre le coût variable moyen, produire limite les pertes, puisque le coût fixe est payé de toute façon.